적분 기법 전체 문제

$9\sin^{-1}(1/3)+\sqrt{8}$ 참고: 새로운 아래끝은 $\theta=\sin^{-1}(-1/3)$ 이고 새로운 위끝은 $\theta=\sin^{-1}(1/3)$ 이다. 최종 답은 $\sin^{-1}(-1/3)=-\sin^{-1}(1/3)$ 이고 $\cos\big(\sin^{-1}(1/3)\big)=\cos\big(\sin^{-1}(-1/3)\big) = \sqrt{8}/3$ 임을 이용하여 얻는다.

$\pi/8$

$u=\cos x$ 이면 $\mathrm{d}u=-\sin x\,\mathrm{d}x$ 이다. $n \neq -1$ 이면

$$\begin{aligned} \int_0^{\pi/4} \sin x \cos^n x ~\mathrm{d}x&= - \int_1^{1/\sqrt2} u^n \mathrm{d}u = \left[-\frac{1}{n+1}u^{n+1}\right]_1^{1/\sqrt2}=\frac{1}{n+1}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}^{n+1}}\right) \\ \text{$n=-1$ 이면} \\ \int_0^{\pi/4} \sin x \cos^n x ~\mathrm{d}x&= - \int_1^{1/\sqrt2} u^n \mathrm{d}u = - \int_1^{1/\sqrt2} \frac{1}{u} \mathrm{d}u =\bigg[ -\log|u|\bigg]_1^{1/\sqrt2} \\ & =-\log\left(\frac{1}{\sqrt2}\right) = \frac{1}{2}\log 2 \end{aligned}$$

따라서 (e) $n$ 은 임의의 실수일 수 있다.

치환 $u=\sec x$, $\mathrm{d}u=\sec x \tan x ~\mathrm{d}x$ 를 사용한다.

$$\begin{aligned} \int \sec^n x \tan x \mathrm{d}x&=\int \sec^{n-1}x \cdot \sec x \tan x~\mathrm{d}x = \int u^{n-1}\mathrm{d}u \\ \text{$n$ 이 양수이므로 $n-1 \neq -1$ 이고, 따라서 거듭제곱 법칙으로 부정적분한다.} \\ &=\frac{u^n}{n}+C = \frac{1}{n}\sec^n x +C \end{aligned}$$

양변을 $\cos^2 x$ 로 나누고 간단히 한다.

$$\begin{aligned} \sin^2x+\cos^2 x &=1 \\\frac{\sin^2x+\cos^2 x }{\cos^2 x}&=\frac{1}{\cos^2 x} \\\frac{\sin^2x}{\cos^2 x}+1&=\sec^2 x \\\tan^2 x+1&=\sec^2 x \end{aligned}$$

$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ 임을 떠올리자.

$$\begin{aligned} \int \tan^5 x \cos^2 x ~\mathrm{d}x&=\int \frac{\sin^5 x}{\cos^5 x}\cos^2 x ~\mathrm{d}x =\int \frac{\sin^5 x}{\cos^3 x}~\mathrm{d}x \\ \text{$u=\cos x$ 로 치환하면 $\mathrm{d}u=-\sin x~\mathrm{d}x$ 이고 $\sin^2 x = 1-\cos^2 x = 1-u^2$ 이다.} \\ &=\int \frac{\sin^4 x}{\cos^3 x}~\sin x~\mathrm{d}x =-\int \frac{(1-u^2)^2}{u^3}~\mathrm{d}u\\ &=-\int \frac{1-2u^2+u^4}{u^3}~\mathrm{d}u= \int \left(-\frac{1}{u^3}+\frac{2}{u}-u\right)\mathrm{d}u\\ &=\frac{1}{2u^2}+2\log|u|-\frac{1}{2}u^2+C\\ &=\frac{1}{2\cos^2 x}+2\log|\cos x|-\frac{1}{2}\cos^2 x +C \end{aligned}$$

시컨트의 정의를 이용하면 이 적분을 더 익숙한 꼴로 바꿀 수 있다. $$\int \frac{1}{\cos^2 \theta}~\mathrm{d}\theta = \int \sec^2\theta~\mathrm{d}\theta = \tan \theta +C$$

$\cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}$ 로 고쳐 쓰고, $u=\sin x$, $\mathrm{d}u=\cos x~\mathrm{d}x$ 로 치환한다.

$$\begin{aligned} \int \cot x~\mathrm{d}x&= \int \frac{\cos x}{\sin x}~\mathrm{d}x = \int \frac{1}{u}~\mathrm{d}u\\ &=\log|u|+C = \log|\sin x|+C \end{aligned}$$

• 풀이 1: 먼저 쉽게 떠오르는 치환 $w=e^x$, $\mathrm{d}w=e^x \mathrm{d}w$ 로 시작한다.

$$\begin{aligned} \int e^x\sin(e^x)\cos(e^x) ~\mathrm{d}x&= \int \sin w \cos w ~\mathrm{d}w \\ \text{이제 또 다른 치환 $u=\sin w$, $\mathrm{d}u=\cos w~\mathrm{d}w$ 가 보인다.} \\ &=\int u~\mathrm{d}u=\frac{1}{2}u^2+C=\frac{1}{2}\sin^2 w +C\\ &=\frac{1}{2}\sin^2(e^x)+C \end{aligned}$$

• 풀이 2: $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\sin(e^x)\} = e^x \cos(e^x)$ 임에 주목한다. 이는 $u=\sin(e^x)$, $\mathrm{d}u = e^x \cos(e^x)~\mathrm{d}x$ 로 치환하면 된다는 것을 알려 준다.

$$\begin{aligned} \int e^x\sin(e^x)\cos(e^x) ~\mathrm{d}x&= \int u~\mathrm{d}u =\frac{1}{2}u^2+C = \frac{1}{2}\sin^2(e^x)+C \end{aligned}$$

“안쪽 함수”가 있으므로 $s=\cos x$ 로 치환하며 시작한다. 그러면 $-\mathrm{d}s=\sin x ~\mathrm{d}x$ 이고 $\sin^2 x = 1-\cos^2 x = 1-s^2$ 이다.

$$\begin{aligned} \int \sin(\cos x)\sin^3 x ~\mathrm{d}x&=\int \sin(\cos x) \cdot \sin^2 x \cdot \sin x \mathrm{d}x\\ &=-\int \sin(s)\cdot (1-s^2) ~\mathrm{d}s \\ \text{$u=(1-s^2)$, $\mathrm{d}v=\sin s ~\mathrm{d}s$ 로 놓고 부분적분을 하면 $\mathrm{d}u=-2s~\mathrm{d}s$, $v = -\cos s$ 이다.} \\ &=-\left[-(1-s^2)\cos s - \int 2s\cos s~ \mathrm{d}s\right] \\&= (1-s^2)\cos s + \int 2s\cos s~ \mathrm{d}s \\ \text{$u=2s$, $\mathrm{d}v=\cos s ~\mathrm{d}s$ 로 놓고 다시 부분적분을 하면 $\mathrm{d}u=2~\mathrm{d}s$, $v=\sin s$ 이다.} \\ &=(1-s^2)\cos s + 2s\sin s - \int 2\sin s~\mathrm{d}s \\&=(1-s^2)\cos s + 2s\sin s +2\cos s +C \\&=\sin^2 x\cdot\cos (\cos x) + 2\cos x\cdot\sin (\cos x) +2\cos (\cos x) +C \\&=(\sin^2x+2)\cos (\cos x) + 2\cos x\cdot\sin (\cos x) +C \end{aligned}$$

피적분함수가 다항식과 삼각함수의 곱이므로 부분적분으로 풀릴 것이라고 짐작할 수 있다. 이를 수행하는 방법은 여러 가지가 있다.

• 풀이 1: 부분을 고르기 전에 항등식 $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$ 를 이용하자.

$$\begin{aligned} \int x\sin x \cos x \mathrm{d}x&=\frac{1}{2}\int x \sin(2x)\mathrm{d}x \\ \text{이제 $u= x$, $\mathrm{d}v=\sin(2x)\mathrm{d}x$ 로 놓으면 $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$ 이고 $v=-\frac{1}{2}\cos (2x) $ 이다. 부분적분을 이용하면:} \\ &=\frac{1}{2}\left[-\frac{x}{2}\cos (2x) +\frac{1}{2} \int \cos (2x) \mathrm{d}x\right]\\ &=-\frac{x}{4}\cos (2x) +\frac{1}{8}\sin (2x) +C\\ &=-\frac{x}{4}(1-2\sin^2x) +\frac{1}{4}\sin x\cos x +C\\ &=-\frac{x}{4} + \frac{x}{2}\sin^2x+\frac{1}{4}\sin x \cos x +C \end{aligned}$$

• 풀이 2: $u=x$ 로 놓으면 $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$ 이므로 부분적분에 알맞아 보인다. $u=x$ 이면 $\mathrm{d}v = \sin x \cos x \mathrm{d}x$ 이다. $v$ 를 구하기 위해 치환 $u=\sin x$, $\mathrm{d}u=\cos x \mathrm{d}x$ 를 쓸 수 있다.

$$\begin{aligned} v=\int \sin x \cos x \mathrm{d}x&=\int u \mathrm{d}u = \frac{1}{2}u^2+C = \frac{1}{2}\sin^2 x +C \\ \text{따라서 $v = \frac{1}{2}\sin^2 x$ 로 잡는다. 이제 처음의 적분에 부분적분을 적용할 수 있다.} \\ \int x\sin x \cos x ~\mathrm{d}x&=\frac{x}{2}\sin^2 x - \int \frac{1}{2}\sin^2 x \mathrm{d}x \\ \text{항등식 $\sin^2x = \dfrac{1-\cos(2x)}{2}$ 를 적용한다.} \\ &=\frac{x}{2}\sin^2 x - \frac{1}{4}\int 1-\cos(2 x) \mathrm{d}x\\ &=\frac{x}{2}\sin^2 x - \frac{x}{4} +\frac{1}{8}\sin(2 x)+C\\ &=\frac{x}{2}\sin^2 x - \frac{x}{4} +\frac{1}{4}\sin x \cos x+C \end{aligned}$$

• 풀이 3: $u=x\sin x$, $\mathrm{d}v=\cos x \mathrm{d}x$ 로 놓으면 $\mathrm{d}u = (x\cos x + \sin x)\mathrm{d}x$ 이고 $v = \sin x$ 이다.

$$\begin{aligned} \int x\sin x \cos x \mathrm{d}x&=x\sin^2 x - \int \sin x(x\cos x + \sin x)\mathrm{d}x\\ &=x\sin^2 x - \int x \sin x \cos x\mathrm{d}x - \int \sin^2 x\mathrm{d}x \\ \text{두 번째 적분에 항등식 $\sin^2 x = \dfrac{1-\cos(2x)}{2}$ 를 적용한다.} \\ &=x\sin^2 x - \int x \sin x \cos x\mathrm{d}x - \int \dfrac{1-\cos(2x)}{2}\mathrm{d}x \\&=x\sin^2 x - \int x \sin x \cos x\mathrm{d}x - \frac{x}{2} +\frac{1}{4}\sin(2x)+C \\ \text{따라서 다음 등식을 얻는다.} \\ \int x\sin x \cos x \mathrm{d}x&=x\sin^2 x - \int x \sin x \cos x\mathrm{d}x - \frac{x}{2} + \frac{1}{4}\sin(2x)+C\\ 2\int x\sin x \cos x \mathrm{d}x&=x\sin^2 x - \frac{x}{2} + \frac{1}{4}\sin(2x)+C\\ \int x\sin x \cos x \mathrm{d}x&=\frac{x}{2}\sin^2 x - \frac{x}{4} + \frac{1}{8}\sin(2x)+\frac{C}{2}\\ &=\frac{x}{2}\sin^2 x - \frac{x}{4} + \frac{1}{4}\sin x\cos x+\frac{C}{2} \end{aligned}$$

$C$ 는 $(-\infty,\infty)$ 의 어떤 값이든 가질 수 있는 임의의 상수이므로 $\frac{C}{2}$ 도 $(-\infty,\infty)$ 의 어떤 값이든 가질 수 있는 임의의 상수이다. 따라서 $\frac{C}{2}$ 를 $C$ 로 바꾸어 써도 된다.

교재에는 알맞은 치환을 고르는 방법을 정리한 표가 있지만, 이 문제에서는 치환을 고르는 논리를 설명한다.

사용할 수 있는 삼각함수 항등식은 다음과 같다.

$$\begin{aligned} &1-\sin^2\theta=\cos^2\theta & &\tan^2 \theta +1 = \sec^2 \theta & &\sec^2 \theta - 1 =\tan^2 \theta \\ \text{각각 다음과 같은 꼴이다:} \\ &\text{상수 } - \text{ 함수} &&\text{함수 } + \text{ 상수} & &\text{함수 } - \text{ 상수} \end{aligned}$$

제곱근을 없애려면, 제곱근 안의 식과 같은 꼴의 삼각함수 항등식이 나오도록 치환을 선택해야 한다.

(a) 이 문제에는 삼각함수를 쓰지 않는 뚜렷한 치환이 없으므로, 분모의 제곱근을 없애기 위해 삼각치환을 사용한다. 제곱근 안은 함수 $9x^2-16$ 이고, 이는 (함수) $-$ (상수) 꼴이다. 이 꼴은 삼각함수 항등식 $\sec^2 \theta - 1 = \tan^2 \theta$ 와 맞는다. $x$ 는 필요한 대로 정할 수 있지만, 상수 16 은 같은 방식으로 조절할 수 없다. 그래서 치환이 성립하도록 항등식을 다른 꼴로 바꾸어 양변에 16 을 곱하면 다음과 같다.

$$\begin{aligned} ~16\sec^2\theta - 16 &= 16\tan^2\theta \\ \text{우리가 원하는 것은 다음이 되게 하는 치환이다.} \\ 9x^2-16&=16\sec^2\theta - 16\\ \text{따라서,}\qquad 9x^2&=16\sec^2\theta\\ x &= \frac{4}{3}\sec\theta \\ \text{이 치환을 사용하면,} \\ \sqrt{9x^2-16}&=\sqrt{16\sec^2\theta-16}\\ &=\sqrt{16\tan^2\theta}\\ &=4|\tan\theta| \end{aligned}$$

따라서 제곱근이 없어졌다.

(b) 이 문제에는 삼각함수를 쓰지 않는 뚜렷한 치환이 없으므로, 분모의 제곱근을 없애기 위해 삼각치환을 사용한다. 제곱근 안은 함수 $1-4x^2$ 이고, 이는 (상수) $-$ (함수) 꼴이다. 이 꼴은 삼각함수 항등식 $1-\sin^2\theta = \cos^2\theta$ 와 맞는다. 우리가 원하는 것은 다음이 되게 하는 치환이다.

$$\begin{aligned} 1-4x^2&=1-\sin^2\theta\\ \text{따라서,}\qquad 4x^2&=\sin^2\theta\\ x &= \frac{1}{2}\sin\theta \\ \text{이 치환을 사용하면,} \\ \sqrt{1-4x^2}&=\sqrt{1-\sin^2\theta}\\ &=\sqrt{\cos^2\theta}\\ &=|\cos\theta| \end{aligned}$$

따라서 제곱근이 없어졌다. $|\cos\theta|$ 에서 절댓값 기호는 필요하지 않은데, $-\frac{1}{2}\le x\le\frac{1}{2}$ 일 때 $\theta=\arcsin(2x)$ 는 $-\frac{\pi}{2}$ 와 $\frac{\pi}{2}$ 사이의 값이고, 그러한 $\theta$ 에 대해 $\cos(\theta)\ge 0$ 이기 때문이다.

(c) 이 문제에는 삼각함수를 쓰지 않는 뚜렷한 치환이 없으므로, 분수 거듭제곱을 없애기 위해 삼각치환을 사용한다. (즉, 제곱근을 없애려는 것이다.) 거듭제곱의 밑은 함수 $25+x^2$ 이고, 이는 (상수) $+$ (함수) 꼴이다. 이 꼴은 삼각함수 항등식 $\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta$ 와 맞는다. $x$ 는 필요한 대로 정할 수 있지만, 상수 25 는 같은 방식으로 조절할 수 없다. 그래서 치환이 성립하도록 항등식을 다른 꼴로 바꾸어 양변에 25 를 곱하면 다음과 같다.

$$\begin{aligned} 25\tan^2 \theta + 25 &= 25\sec^2 \theta \\ \text{우리가 원하는 것은 다음이 되게 하는 치환이다.} \\ 25+x^2&=25\tan^2\theta+25\\ \text{따라서,}\qquad x^2&=25\tan^2\theta\\ x &= 5\tan\theta \\ \text{이 치환을 사용하면,} \\ (25+x^2)^{-5/2}&=(25+25\tan^2\theta)^{-5/2}\\ &=(25\sec^2\theta)^{-5/2}\\ &=(5|\sec\theta|)^{-5} \end{aligned}$$

따라서 제곱근이 없어졌다. $|\sec\theta|$ 에서 절댓값 기호는 필요하지 않은데, $-\infty< x<\infty$ 일 때 $\theta=\arctan(x/5)$ 는 $-\frac{\pi}{2}$ 와 $\frac{\pi}{2}$ 사이의 값이고, 그러한 $\theta$ 에 대해 $\sec(\theta)\ge 0$ 이기 때문이다.