적분 기법 전체 연습문제

581.CLP-2 · 1.9절 · 16번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int_{\sqrt{10}}^{\sqrt{17}} \frac{x^3}{\sqrt{x^2-1}}\, \mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int_{\sqrt{10}}^{\sqrt{17}} \frac{x^3}{\sqrt{x^2-1}}\, \mathrm{d}x$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

피적분함수에 제곱근 안의 이차 다항식이 있어서 삼각함수 치환이 떠오른다. 그러나 더 복잡한 방법으로 넘어가기 전에 더 간단한 방법을 찾아보는 것이 좋은 습관이며, 이 경우에는 삼각함수 치환보다 더 간단한 방법이 있다. 바로 $u=x^2-1$ , $\mathrm{d}u=2x\,\mathrm{d}x$ 로 하는 치환이다. 그러면 $x\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\mathrm{d}u$ 이고, $x^2 ={u+1}$ 이다. $x=\sqrt{10}$ 일 때 $u=9$ 이고, $x=\sqrt{17}$ 일 때 $u=16$ 이다.

$\begin{aligned} \int_{\sqrt{10}}^{\sqrt{17}} \frac{x^3}{\sqrt{x^2-1}}\, \mathrm{d}x&= \int_{\sqrt{10}}^{\sqrt{17}} \frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}\, \cdot x\mathrm{d}x \\&=\frac{1}{2} \int_{9}^{16} \frac{u+1}{\sqrt{u}}\,\mathrm{d}u\\ &=\frac{1}{2} \int_{9}^{16}\left(u^{1/2}+u^{-1/2}\right)\,\mathrm{d}u \\&=\frac{1}{2}\left[\frac{2}{3}u^{3/2} + 2u^{1/2} \right]_{9}^{16} \\&=\frac{1}{2}\left[\frac{2}{3}\cdot 4^3 + 2\cdot 4 -\frac{2}{3}\cdot 3^3 -2\cdot 3 \right]\\ &=\frac{40}{3} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The integrand has a quadratic polynomial under a square root, which makes us think of trig substitutions. However, it's good practice to look for simpler methods before we jump into more complicated ones, and in this case we find something nicer than a trig substitution: the substitution $u=x^2-1$ , $\mathrm{d}u=2x\,\mathrm{d}x$ . Then $x\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\mathrm{d}u$ , and $x^2 ={u+1}$ . When $x=\sqrt{10}$ , $u=9$ , and when $x=\sqrt{17}$ , $u=16$ .

$\begin{aligned} \int_{\sqrt{10}}^{\sqrt{17}} \frac{x^3}{\sqrt{x^2-1}}\, \mathrm{d}x&= \int_{\sqrt{10}}^{\sqrt{17}} \frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}\, \cdot x\mathrm{d}x \\&=\frac{1}{2} \int_{9}^{16} \frac{u+1}{\sqrt{u}}\,\mathrm{d}u\\ &=\frac{1}{2} \int_{9}^{16}\left(u^{1/2}+u^{-1/2}\right)\,\mathrm{d}u \\&=\frac{1}{2}\left[\frac{2}{3}u^{3/2} + 2u^{1/2} \right]_{9}^{16} \\&=\frac{1}{2}\left[\frac{2}{3}\cdot 4^3 + 2\cdot 4 -\frac{2}{3}\cdot 3^3 -2\cdot 3 \right]\\ &=\frac{40}{3} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.3절 · 22번

# 삼각치환계산보통자동 분류

582.CLP-2 · 1.9절 · 17번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{3-2x-x^2}}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{3-2x-x^2}}$ .

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

이 피적분함수는 위의 것들과 매우 달라 보인다. 그러나 약간 변장했을 뿐이다. 완전제곱식으로 고치면

$\begin{aligned} \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{3-2x-x^2}} = \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{4-(x+1)^2}} \end{aligned}$

이고, $y=x+1$ , $\mathrm{d}y=\mathrm{d}x$ 로 치환하면

$\begin{aligned} \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{3-2x-x^2}} = \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{4-(x+1)^2}} = \int \frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{4-y^2}} \end{aligned}$

전형적인 삼각함수 치환적분이 된다. 따라서 $y=2\sin\theta$ , $\mathrm{d}y=2\cos\theta\,\mathrm{d}\theta$ 로 치환하면

$\begin{aligned} \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{3-2x-x^2}} &= \int \frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{4-y^2}} = \int\frac{2\cos\theta\,\mathrm{d}\theta}{\sqrt{4-4\sin^2\theta}} = \int\frac{2\cos\theta\,\mathrm{d}\theta}{\sqrt{4\cos^2\theta}}\\ &=\int\mathrm{d}\theta =\theta +C =\arcsin\frac{y}{2} + C \\ &=\arcsin\frac{x+1}{2} + C \end{aligned}$

숙련된 적분 계산자라면 아마 $y$ 를 거치지 않고 곧바로 $x+1 = 2\sin\theta$ 로 치환할 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

This integrand looks very different from those above. But it is only slightly disguised. If we complete the square

$\begin{aligned} \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{3-2x-x^2}} = \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{4-(x+1)^2}} \end{aligned}$

and make the substitution $y=x+1$ , $\mathrm{d}y=\mathrm{d}x$

$\begin{aligned} \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{3-2x-x^2}} = \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{4-(x+1)^2}} = \int \frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{4-y^2}} \end{aligned}$

we get a typical trig substitution integral. So, we substitute $y=2\sin\theta$ , $\mathrm{d}y=2\cos\theta\,\mathrm{d}\theta$ to get

$\begin{aligned} \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{3-2x-x^2}} &= \int \frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{4-y^2}} = \int\frac{2\cos\theta\,\mathrm{d}\theta}{\sqrt{4-4\sin^2\theta}} = \int\frac{2\cos\theta\,\mathrm{d}\theta}{\sqrt{4\cos^2\theta}}\\ &=\int\mathrm{d}\theta =\theta +C =\arcsin\frac{y}{2} + C \\ &=\arcsin\frac{x+1}{2} + C \end{aligned}$

An experienced integrator would probably substitute $x+1 = 2\sin\theta$ directly, without going through $y$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.3절 · 24번

# 삼각치환계산보통자동 분류

583.CLP-2 · 1.9절 · 18번대학 수준우리말 번역

$x>2$ 일 때, $\displaystyle\int \dfrac{1}{(2x-3)^3\sqrt{4x^2-12x+8}}~\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int \dfrac{1}{(2x-3)^3\sqrt{4x^2-12x+8}}~\mathrm{d}x$ for $x>2$ .

정답·풀이 보기

완전제곱식으로 나타내면 $4x^2-12x+8 = (2x-3)^2-1$ 이다.

$\begin{aligned} \int \dfrac{1}{(2x-3)^3\sqrt{4x^2-12x+8}}~\mathrm{d}x&= \int \dfrac{1}{(2x-3)^3\sqrt{(2x-3)^2-1}}~\mathrm{d}x \\ \text{As $x>2$, we have $2x-3>1$. We use the substitution $2x-3 = \sec \theta$ with $0\le\theta<\frac{\pi}{2}$. So $2\,\mathrm{d}x=\sec\theta\tan\theta~\mathrm{d}\theta$ and $\sqrt{(2x-3)^2-1}=\sqrt{\sec^2\theta-1}=\sqrt{\tan^2\theta}=\tan\theta$.} \\ &=\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sec^3\theta\sqrt{\sec^2\theta-1}}\sec\theta\tan\theta~\mathrm{d}\theta\\ &=\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sec^3\theta\tan\theta}\sec\theta\tan\theta~\mathrm{d}\theta \\&=\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sec^2\theta}~\mathrm{d}\theta \\&=\frac{1}{2}\int{\cos^2\theta}~\mathrm{d}\theta \\&=\frac{1}{4}\int{\left(1+\cos(2\theta)\right)}~\mathrm{d}\theta \\&=\frac14\left(\theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta)\right)+C \\&=\frac14\left(\theta + \sin\theta\cos\theta\right)+C \\ \smash{ ![그림](clp/tikz/44a395a6e0.png) }\,&=\frac{1}{4}\left(\arccos\left(\frac{1}{2x-3}\right) + \frac{\sqrt{4x^2-12x+8}}{(2x-3)^2}\right)+C \end{aligned}$

$2x-3=\sec\theta$ 이므로 $\cos\theta = \frac{1}{2x-3}$ 이고 $\theta = \arccos\left(\frac{1}{2x-3}\right)$ 이다. (이와 같게, $\theta = \mathop{\mathrm{arcsec}}(2x-3)$ 이다.) $\sin\theta$ 를 구하기 위해 밑변의 길이가 1이고 빗변의 길이가 $2x-3$ 인 직각삼각형을 그린다. 피타고라스 정리에 의해 θ의 대변(높이)의 길이는 $\sqrt{4x^2-12x+8}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Completing the square, we see $4x^2-12x+8 = (2x-3)^2-1$ .

$\begin{aligned} \int \dfrac{1}{(2x-3)^3\sqrt{4x^2-12x+8}}~\mathrm{d}x&= \int \dfrac{1}{(2x-3)^3\sqrt{(2x-3)^2-1}}~\mathrm{d}x \\ \text{As $x>2$, we have $2x-3>1$. We use the substitution $2x-3 = \sec \theta$ with $0\le\theta<\frac{\pi}{2}$. So $2\,\mathrm{d}x=\sec\theta\tan\theta~\mathrm{d}\theta$ and $\sqrt{(2x-3)^2-1}=\sqrt{\sec^2\theta-1}=\sqrt{\tan^2\theta}=\tan\theta$.} \\ &=\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sec^3\theta\sqrt{\sec^2\theta-1}}\sec\theta\tan\theta~\mathrm{d}\theta\\ &=\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sec^3\theta\tan\theta}\sec\theta\tan\theta~\mathrm{d}\theta \\&=\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sec^2\theta}~\mathrm{d}\theta \\&=\frac{1}{2}\int{\cos^2\theta}~\mathrm{d}\theta \\&=\frac{1}{4}\int{\left(1+\cos(2\theta)\right)}~\mathrm{d}\theta \\&=\frac14\left(\theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta)\right)+C \\&=\frac14\left(\theta + \sin\theta\cos\theta\right)+C \\ \smash{ ![figure](clp/tikz/44a395a6e0.png) }\,&=\frac{1}{4}\left(\arccos\left(\frac{1}{2x-3}\right) + \frac{\sqrt{4x^2-12x+8}}{(2x-3)^2}\right)+C \end{aligned}$

Since $2x-3=\sec\theta$ , we know $\cos\theta = \frac{1}{2x-3}$ and $\theta = \arccos\left(\frac{1}{2x-3}\right)$ . (Equivalently, $\theta = \mathop{\mathrm{arcsec}}(2x-3)$ .) To find $\sin\theta$ , we draw a right triangle with adjacent side of length 1, and hypotenuse of length $2x-3$ . By the Pythagorean Theorem, the opposite side has length $\sqrt{4x^2-12x+8}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.9절 · 19번

# 삼각치환계산보통자동 분류

584.CLP-2 · 1.9절 · 19번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^2}{(x^2+1)^{3/2}}\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

$\int \sec x\mathrm{d}x = \log|\sec x+\tan x| +C$ 임을 이용해도 됩니다.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^2}{(x^2+1)^{3/2}}\mathrm{d}x$ .

You may use that $\int \sec x\mathrm{d}x = \log|\sec x+\tan x| +C$ .

정답·풀이 보기

치환 $x=\tan u$ , $\mathrm{d}x=\sec^2 u~\mathrm{d}u$ 를 사용한다. $\tan 0=0$ 이고 $\tan \frac{\pi}{4} =1$ 임에 주의한다.

$\begin{aligned} \displaystyle\int_0^1\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2+1}^3}\mathrm{d}x&= \int_0^{\pi/4}\dfrac{\tan^2 u}{\sqrt{\tan^2 u +1}^3}\sec^2u~\mathrm{d}u\\ &= \int_0^{\pi/4}\dfrac{\tan^2 u}{\sqrt{\sec^2u}^3}\sec^2u~\mathrm{d}u\\ &= \int_0^{\pi/4}\frac{\tan^2 u}{\sec u}~\mathrm{d}u\\&= \int_0^{\pi/4}\frac{\sec^2 u-1}{\sec u}~\mathrm{d}u\\&= \int_0^{\pi/4}\big({\sec u}-\cos u\big)~\mathrm{d}u\\ &=\Big[\log\left|\sec u + \tan u \right| - \sin u\Big]_{0}^{\pi/4} \\ &=\left(\log\left|\sqrt{2} + 1 \right| -\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - \left(\log|1+0|-0\right)\\ &=\log(1+\sqrt{2})-\frac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We use the substitution $x=\tan u$ , $\mathrm{d}x=\sec^2 u~\mathrm{d}u$ . Note $\tan 0=0$ and $\tan \frac{\pi}{4} =1$ .

$\begin{aligned} \displaystyle\int_0^1\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2+1}^3}\mathrm{d}x&= \int_0^{\pi/4}\dfrac{\tan^2 u}{\sqrt{\tan^2 u +1}^3}\sec^2u~\mathrm{d}u\\ &= \int_0^{\pi/4}\dfrac{\tan^2 u}{\sqrt{\sec^2u}^3}\sec^2u~\mathrm{d}u\\ &= \int_0^{\pi/4}\frac{\tan^2 u}{\sec u}~\mathrm{d}u\\&= \int_0^{\pi/4}\frac{\sec^2 u-1}{\sec u}~\mathrm{d}u\\&= \int_0^{\pi/4}\big({\sec u}-\cos u\big)~\mathrm{d}u\\ &=\Big[\log\left|\sec u + \tan u \right| - \sin u\Big]_{0}^{\pi/4} \\ &=\left(\log\left|\sqrt{2} + 1 \right| -\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - \left(\log|1+0|-0\right)\\ &=\log(1+\sqrt{2})-\frac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.3절 · 8번

# 삼각치환계산보통자동 분류

585.CLP-2 · 1.9절 · 20번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int \frac{1}{(x^2+1)^2}~\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int \frac{1}{(x^2+1)^2}~\mathrm{d}x$ .

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

제곱근은 없지만, 치환 $x=\tan\theta$ , $\mathrm{d}x = \sec^2\theta~\mathrm{d}\theta$ 를 여전히 사용할 수 있다.

$\begin{aligned} \int \frac{1}{(x^2+1)^2}~\mathrm{d}x&=\int\frac{1}{(\tan^2\theta+1)^2}\sec^2\theta~\mathrm{d}\theta\\ &=\int\frac{1}{\sec^4\theta}\sec^2\theta~\mathrm{d}\theta = \int\cos^2\theta~\mathrm{d}\theta\\ &=\frac{1}{2}\int \big(1 + \cos(2\theta)\big)~\mathrm{d}\theta\\ &=\frac{1}{2}\left(\theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta)\right)+C\\ &=\frac{1}{2}\left(\theta + \sin\theta\cos\theta\right)+C\\ \smash{ ![그림](clp/tikz/e8c02e1de1.png) }\,&=\frac{1}{2}\left(\arctan x + \frac{x}{x^2+1}\right)+C \end{aligned}$

$x = \tan\theta$ 이므로, 각 $\theta$ 에 대한 반대쪽 변의 길이가 $x$ 이고 이웃한 변의 길이가 $1$ 인 직각삼각형을 그릴 수 있다. 그러면 피타고라스 정리에 의해 빗변의 길이는 $\sqrt{x^2+1}$ 이고, 이로부터 $\sin\theta$ 와 $\cos\theta$ 를 구할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

There's no square root, but we can still make use of the substitution $x=\tan\theta$ , $\mathrm{d}x = \sec^2\theta~\mathrm{d}\theta$ .

$\begin{aligned} \int \frac{1}{(x^2+1)^2}~\mathrm{d}x&=\int\frac{1}{(\tan^2\theta+1)^2}\sec^2\theta~\mathrm{d}\theta\\ &=\int\frac{1}{\sec^4\theta}\sec^2\theta~\mathrm{d}\theta = \int\cos^2\theta~\mathrm{d}\theta\\ &=\frac{1}{2}\int \big(1 + \cos(2\theta)\big)~\mathrm{d}\theta\\ &=\frac{1}{2}\left(\theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta)\right)+C\\ &=\frac{1}{2}\left(\theta + \sin\theta\cos\theta\right)+C\\ \smash{ ![figure](clp/tikz/e8c02e1de1.png) }\,&=\frac{1}{2}\left(\arctan x + \frac{x}{x^2+1}\right)+C \end{aligned}$

Since $x = \tan\theta$ , we can draw a right triangle with angle $\theta$ , opposite side $x$ , and adjacent side $1$ . Then by the Pythagorean Theorem, its hypotenuse has length $\sqrt{x^2+1}$ , which allows us to find $\sin\theta$ and $\cos\theta$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.9절 · 23번

# 삼각치환계산보통자동 분류

586.CLP-2 · 1.9절 · 23번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int\dfrac{(1+x^2)^{3/2}}{x}\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요. $\displaystyle\int \csc \theta~\mathrm{d}\theta=\log|\cot \theta - \csc \theta|+C$ 임을 이용해도 됩니다.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int\dfrac{(1+x^2)^{3/2}}{x}\mathrm{d}x$ . You may use the fact that $\displaystyle\int \csc \theta~\mathrm{d}\theta=\log|\cot \theta - \csc \theta|+C$ .

정답·풀이 보기

치환 $x=\tan u$ , $\mathrm{d}x=\sec^2 u~\mathrm{d}u$ 를 이용한다.

$\begin{aligned} \int\dfrac{\sqrt{1+x^2}^3}{x}\mathrm{d}x&=\int\frac{\sqrt{1+\tan^2 u}^3}{\tan u}\sec^2 u~\mathrm{d}u \\&=\int\frac{\sec^3u}{\tan u}\sec^2 u~\mathrm{d}u \\&=\int\frac{(\sec^2u)^2}{\tan u}\sec u~\mathrm{d}u \\&=\int\frac{(\tan^2u+1)^2}{\tan u}\sec u~\mathrm{d}u \\&=\int\frac{\tan^4u+2\tan^2 u + 1}{\tan u}\sec u~\mathrm{d}u \\&=\int \tan^3 u \sec u ~\mathrm{d}u + \int 2\sec u \tan u~\mathrm{d}u + \int \frac{\sec u}{\tan u}~\mathrm{d}u \\ \text{첫 번째 적분에서는 치환 $w=\sec u$ 를 이용한다. 두 번째는 $2\sec u$ 의 부정적분이다. 세 번째는 $\frac{\sec u}{\tan u} = \frac{1}{\cos u}\cdot \frac{\cos u}{\sin u} = \csc u$~로 간단히 한다.} \\ &=\int\bigg((\sec^2 u -1)\sec u \tan u\bigg)~\mathrm{d}u + 2\sec u + \log|\cot u - \csc u |+C\\ &=\int (w^2-1)~\mathrm{d}w+2\sec u + \log|\cot u - \csc u|+C\\ &=\frac{1}{3}w^3-w+2\sec u + \log|\cot u - \csc u|+C\\ &=\frac{1}{3}\sec^3u-\sec u+2\sec u + \log|\cot u - \csc u|+C \\ \smash{ ![그림](clp/tikz/f1bcb1bbbc.png) } \qquad &=\frac{1}{3}\sec^3u+\sec u + \log|\cot u - \csc u|+C \\ \text{처음에 치환 $x=\tan u$ 를 사용했다. 그러면 $\cot u = \frac{1}{x}$ 이다. $\csc u$ 와 $\sec u$ 를 구하기 위해, 각 $u$ 가 있고 높이가 $x$, 밑변이 $1$ 인 직각삼각형을 그린다. 피타고라스 정리로 빗변의 길이를 구할 수 있다.} \\ &=\frac{1}{3}\sqrt{1+x^2}^3+\sqrt{1+x^2}+\log\left| \frac{1}{x}-\frac{\sqrt{1+x^2}}{x} \right|+C \\&=\frac{1}{3}\sqrt{1+x^2}(4+x^2)+\log\left|\frac{1-\sqrt{1+x^2}}{x} \right|+C \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We use the substitution $x=\tan u$ , $\mathrm{d}x=\sec^2 u~\mathrm{d}u$ .

$\begin{aligned} \int\dfrac{\sqrt{1+x^2}^3}{x}\mathrm{d}x&=\int\frac{\sqrt{1+\tan^2 u}^3}{\tan u}\sec^2 u~\mathrm{d}u \\&=\int\frac{\sec^3u}{\tan u}\sec^2 u~\mathrm{d}u \\&=\int\frac{(\sec^2u)^2}{\tan u}\sec u~\mathrm{d}u \\&=\int\frac{(\tan^2u+1)^2}{\tan u}\sec u~\mathrm{d}u \\&=\int\frac{\tan^4u+2\tan^2 u + 1}{\tan u}\sec u~\mathrm{d}u \\&=\int \tan^3 u \sec u ~\mathrm{d}u + \int 2\sec u \tan u~\mathrm{d}u + \int \frac{\sec u}{\tan u}~\mathrm{d}u \\ \text{For the first integral, we use the substitution $w=\sec u$. The second is the antiderivative of $2\sec u$. The third we simplify as $\frac{\sec u}{\tan u} = \frac{1}{\cos u}\cdot \frac{\cos u}{\sin u} = \csc u$~.} \\ &=\int\bigg((\sec^2 u -1)\sec u \tan u\bigg)~\mathrm{d}u + 2\sec u + \log|\cot u - \csc u |+C\\ &=\int (w^2-1)~\mathrm{d}w+2\sec u + \log|\cot u - \csc u|+C\\ &=\frac{1}{3}w^3-w+2\sec u + \log|\cot u - \csc u|+C\\ &=\frac{1}{3}\sec^3u-\sec u+2\sec u + \log|\cot u - \csc u|+C \\ \smash{ ![figure](clp/tikz/f1bcb1bbbc.png) } \qquad &=\frac{1}{3}\sec^3u+\sec u + \log|\cot u - \csc u|+C \\ \text{We began with the substitution $x=\tan u$. Then $\cot u = \frac{1}{x}$. To find $\csc u$ and $\sec u$, we draw a right triangle with angle $u$, opposite side $x$, and adjacent side $1$. The Pythagorean Theorem gives us the hypotenuse.} \\ &=\frac{1}{3}\sqrt{1+x^2}^3+\sqrt{1+x^2}+\log\left| \frac{1}{x}-\frac{\sqrt{1+x^2}}{x} \right|+C \\&=\frac{1}{3}\sqrt{1+x^2}(4+x^2)+\log\left|\frac{1-\sqrt{1+x^2}}{x} \right|+C \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.9절 · 25번

# 삼각치환계산도전자동 분류

587.CLP-2 · 1.9절 · 25번대학 수준우리말 번역

$f(x) = \dfrac{|x|}{\sqrt[4]{1-x^2}}$ 이라 하고, $R$ 을 구간 $[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$ 에서 $f(x)$ 와 $x$ 축 사이의 영역이라 하자.

(a) $R$ 의 넓이를 구하세요. (b) $R$ 을 $x$ 축을 중심으로 회전시켜 만든 입체의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

Let $f(x) = \dfrac{|x|}{\sqrt[4]{1-x^2}}$ , and let $R$ be the region between $f(x)$ and the $x$ -axis over the interval $[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$ .

(a) Find the area of $R$ . (b) Find the volume of the solid formed by rotating $R$ about the $x$ -axis.

정답·풀이 보기

$f(x)$ 는 우함수이고, 정의역 전체에서 음이 아님에 유의한다.

(a) $R$ 의 넓이를 구하기 위해 다음을 계산한다.

$\begin{aligned} \text{넓이}&=\int _{-1/2}^{1/2} \dfrac{|x|}{\sqrt[4]{1-x^2}}~\mathrm{d}x = 2\int _{0}^{1/2} \dfrac{x}{\sqrt[4]{1-x^2}}~\mathrm{d}x \\ \text{치환 $u=1-x^2$, $\mathrm{d}u=-2x~\mathrm{d}x$ 를 이용한다.} \\ &=-\int_{1}^{3/4} \frac{1}{u^{1/4}}~\mathrm{d}u\\ &=-\left[\frac{4}{3}u^{3/4}\right]_1^{3/4} = -\frac{4}{3}\left(\left(\frac{3}{4}\right)^{3/4}-1\right)\\ &=\frac{4}{3} - \sqrt[4]{\frac{4}{3}} \end{aligned}$

(b) 회전체를 너비가 $\mathrm{d}x$ 이고 반지름이 $\dfrac{|x|}{\sqrt[4]{1-x^2}}$ 인 원판으로 얇게 자른다.

$\begin{aligned} \text{부피}&=\int_{-1/2}^{1/2} \pi\left(\dfrac{|x|}{\sqrt[4]{1-x^2}}\right)^2~\mathrm{d}x\\ &=2\pi\int_{0}^{1/2} \dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}~\mathrm{d}x \\ \text{치환 $x=\sin \theta$, $\mathrm{d}x = \cos\theta~\mathrm{d}\theta$ 를 이용하면 $\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\sin^2\theta}=\cos \theta$ 이다. $\sin 0 =0$ 이고 $\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$ 임에 유의한다.} \\ &=2\pi\int_{0}^{\pi/6} \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta}\cos \theta~\mathrm{d}\theta \\&=2\pi\int_{0}^{\pi/6} \sin^2 \theta~\mathrm{d}\theta \\&=\pi\int_{0}^{\pi/6}\big(1- \cos(2 \theta)\big)~\mathrm{d}\theta\\ &=\pi\left[\theta - \frac{1}{2}\sin(2\theta)\right]_0^{\pi/6}\\ &=\pi\left(\frac{\pi}{6} - \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\ &=\frac{\pi^2}{6} - \frac{\sqrt{3}\pi}{4} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Note that $f(x)$ is an even function, nonnegative over its entire domain.

(a) To find the area of $R$ , we evaluate

$\begin{aligned} \text{Area}&=\int _{-1/2}^{1/2} \dfrac{|x|}{\sqrt[4]{1-x^2}}~\mathrm{d}x = 2\int _{0}^{1/2} \dfrac{x}{\sqrt[4]{1-x^2}}~\mathrm{d}x \\ \text{We use the substitution $u=1-x^2$, $\mathrm{d}u=-2x~\mathrm{d}x$.} \\ &=-\int_{1}^{3/4} \frac{1}{u^{1/4}}~\mathrm{d}u\\ &=-\left[\frac{4}{3}u^{3/4}\right]_1^{3/4} = -\frac{4}{3}\left(\left(\frac{3}{4}\right)^{3/4}-1\right)\\ &=\frac{4}{3} - \sqrt[4]{\frac{4}{3}} \end{aligned}$

(b) We slice the solid of rotation into circular disks of width $\mathrm{d}x$ and radius $\dfrac{|x|}{\sqrt[4]{1-x^2}}$ .

$\begin{aligned} \text{Volume}&=\int_{-1/2}^{1/2} \pi\left(\dfrac{|x|}{\sqrt[4]{1-x^2}}\right)^2~\mathrm{d}x\\ &=2\pi\int_{0}^{1/2} \dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}~\mathrm{d}x \\ \text{We use the substitution $x=\sin \theta$, $\mathrm{d}x = \cos\theta~\mathrm{d}\theta$, so $\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\sin^2\theta}=\cos \theta$. Note $\sin 0 =0$ and $\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}.$} \\ &=2\pi\int_{0}^{\pi/6} \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta}\cos \theta~\mathrm{d}\theta \\&=2\pi\int_{0}^{\pi/6} \sin^2 \theta~\mathrm{d}\theta \\&=\pi\int_{0}^{\pi/6}\big(1- \cos(2 \theta)\big)~\mathrm{d}\theta\\ &=\pi\left[\theta - \frac{1}{2}\sin(2\theta)\right]_0^{\pi/6}\\ &=\pi\left(\frac{\pi}{6} - \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\ &=\frac{\pi^2}{6} - \frac{\sqrt{3}\pi}{4} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.9절 · 28번

# 삼각치환활용도전자동 분류

588.CLP-2 · 1.9절 · 28번대학 수준우리말 번역

(a) 상수 $a$ 가 양수이고, 적분할 식에 $\sqrt{a^2-x^2}$ 항이 들어 있어서 치환 $x=a\sin u$ (역함수는 $u = \arcsin(x/a)$ )를 쓴다고 하자. 그러면 $\sqrt{a^2-x^2} = \sqrt{a^2\cos^2u}= |a\cos u|$ 이다. 어떤 경우에 $|a\cos u|\neq a\cos u$ 인지 구하세요. (b) 상수 $a$ 가 양수이고, 적분할 식에 $\sqrt{a^2+x^2}$ 항이 들어 있어서 치환 $x=a\tan u$ (역함수는 $u = \arctan(x/a)$ )를 쓴다고 하자. 그러면 $\sqrt{a^2+x^2} = \sqrt{a^2\sec^2u}= |a\sec u|$ 이다. 어떤 경우에 $|a\sec u|\neq a\sec u$ 인지 구하세요. (c) 상수 $a$ 가 양수이고, 적분할 식에 $\sqrt{x^2-a^2}$ 항이 들어 있어서 치환 $x=a\sec u$ (역함수는 $u = \mathop{\mathrm{arcsec}}(x/a)=\arccos(a/x)$ )를 쓴다고 하자. 그러면 $\sqrt{x^2-a^2} = \sqrt{a^2\tan^2u}= |a\tan u|$ 이다. 어떤 경우에 $|a\tan u|\neq a\tan u$ 인지 구하세요.

영어 원문 보기

(a) Suppose we are evaluating an integral that contains the term $\sqrt{a^2-x^2}$ , where $a$ is a positive constant, and we use the substitution $x=a\sin u$ (with inverse $u = \arcsin(x/a)$ ), so that $\sqrt{a^2-x^2} = \sqrt{a^2\cos^2u}= |a\cos u|$ Under what circumstances is $|a\cos u|\neq a\cos u$ ? (b) Suppose we are evaluating an integral that contains the term $\sqrt{a^2+x^2}$ , where $a$ is a positive constant, and we use the substitution $x=a\tan u$ (with inverse $u = \arctan(x/a)$ ), so that $\sqrt{a^2+x^2} = \sqrt{a^2\sec^2u}= |a\sec u|$ Under what circumstances is $|a\sec u|\neq a\sec u$ ? (c) Suppose we are evaluating an integral that contains the term $\sqrt{x^2-a^2}$ , where $a$ is a positive constant, and we use the substitution $x=a\sec u$ (with inverse $u = \mathop{\mathrm{arcsec}}(x/a)=\arccos(a/x)$ ), so that $\sqrt{x^2-a^2} = \sqrt{a^2\tan^2u}= |a\tan u|$ Under what circumstances is $|a\tan u|\neq a\tan u$ ?

정답·풀이 보기

임의의 값 $X$ 에 대해 $|X| = \left\{\begin{array}{rl} X&\text{(}X \ge 0\text{ 일 때)}\\ -X&\text{(}X \le 0\text{ 일 때)}\end{array}\right.$ 임을 기억하자. 따라서 $|X| \neq X$ 인 것은 정확히 $X<0$ 일 때이다.

(a) 아크사인의 치역은 $\big[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big]$ 이다. 따라서 $u=\arcsin(x/a)$ 이므로 $u$ 는 $\big[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big]$ 범위에 있다. 그러므로 $\cos u \geq 0$ 이다. $a$ 가 양수이므로 $a\cos u \ge 0$ 이고, 따라서 $a\cos u = |a\cos u|$ 이다. 즉, $\sqrt{a^2-x^2}=|a\cos u|=a\cos u$ 가 항상 성립한다.

(b) 아크탄젠트의 치역은 $\big(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big)$ 이다. 따라서 $u=\arctan(x/a)$ 이므로 $u$ 는 $\big(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big)$ 범위에 있다. 그러므로 $\sec u = \frac{1}{\cos u} >0$ 이다. $a$ 가 양수이므로 $a\sec u > 0$ 이고, 따라서 $a\sec u = |a\sec u|$ 이다. 즉, $\sqrt{a^2+x^2}=|a\sec u|=a\sec u$ 가 항상 성립한다.

(c) 아크코사인의 치역은 $\big[0,\pi \big]$ 이다. 따라서 $u=\mathop{\mathrm{arcsec}}(x/a) = \arccos(a/x)$ 이므로 $u$ 는 $\big[0,\pi\big]$ 범위에 있다. (사실 시컨트는 $\pi/2$ 에서 정의되지 않으므로 $u$ 는 $[0,\frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2},\pi]$ 범위에 있다.) $|a\tan u| \neq a\tan u$ 이면 $\tan u <0$ 이고, 이는 $u$ 가 $\big (\frac{\pi}{2},\pi)$ 범위에 있을 때 일어난다. 이 범위는 $-1<\cos u <0$ 인 범위와 같으므로 $-1<\frac{a}{x}<0$ 이다. $\frac{a}{x}<0$ 이므로 $a$ 와 $x$ 의 부호가 다르고, 따라서 $x<0$ 이다. 그러면 $-1<\frac{a}{x}$ 이므로 $x<-a$ 이기도 하다.

그러므로 $\sqrt{x^2-a^2} = |a\tan u| = -a\tan u \neq a\tan u$ 가 성립하는 것은 정확히 $x< -a$ 일 때이다.

원본 교재 풀이(영어)

Remember that for any value $X$ , $|X| = \left\{\begin{array}{rl} X&\text{if }X \ge 0\\ -X&\text{if }X \le 0 \end{array}\right.$ So, $|X| \neq X$ precisely when $X<0$ .

(a) The range of arcsine is $\big[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big]$ . So, since $u=\arcsin(x/a)$ , $u$ is in the range $\big[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big]$ . Therefore $\cos u \geq 0$ . Since $a$ is positive, $a\cos u \ge 0$ , so $a\cos u = |a\cos u|$ . That is, $\sqrt{a^2-x^2}=|a\cos u|=a\cos u$ all the time.

(b) The range of arctangent is $\big(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big)$ . So, since $u=\arctan(x/a)$ , $u$ is in the range $\big(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big)$ . Therefore $\sec u = \frac{1}{\cos u} >0$ . Since $a$ is positive, $a\sec u > 0$ , so $a\sec u = |a\sec u|$ .That is, $\sqrt{a^2+x^2}=|a\sec u|=a\sec u$ all the time.

(c) The range of arccosine is $\big[0,\pi \big]$ . So, since $u=\mathop{\mathrm{arcsec}}(x/a) = \arccos(a/x)$ , $u$ is in the range $\big[0,\pi\big]$ . (Actually, it's in the range $[0,\frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2},\pi]$ , since secant is undefined at $\pi/2$ .) If $|a\tan u| \neq a\tan u$ , then $\tan u <0$ , which happens when $u$ is in the range $\big (\frac{\pi}{2},\pi)$ . This is the same range over which $-1<\cos u <0$ , and so $-1<\frac{a}{x}<0$ . Since $\frac{a}{x}<0$ , $a$ and $x$ have different signs, so $x<0$ . Then since $-1<\frac{a}{x}$ , also $x<-a$ .

So, $\sqrt{x^2-a^2} = |a\tan u| = -a\tan u \neq a\tan u$ happens precisely when when $x< -a$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.3절 · 42번

# 삼각치환계산도전자동 분류

589.CLP-2 · 1.10절 · 1번대학 수준우리말 번역

아래는 서로 다른 네 이차함수의 그래프입니다. 각 이차함수가 (1) 기약인지, (2) 서로 다른 두 일차 인수의 곱인지, (3) 중복된 일차 인수(와 경우에 따라 상수)의 곱인지 판단하세요.

영어 원문 보기

Below are the graphs of four different quadratic functions. For each quadratic function, decide whether it is: (i) irreducible, (ii) the product of two distinct linear factors, or (iii) the product of a repeated linear factor (and possibly a constant).

정답·풀이 보기

이차함수가 어떤 상수 $a,b,c,d$ 에 대해 $(ax+b)(cx+d)$ 로 인수분해되면, 그 근은 $-\frac{b}{a}$ 와 $-\frac{d}{c}$ 이다. 따라서 이차함수가 근을 갖지 않으면 기약이다. 그래프 (d)의 함수가 이 경우이다.

이차함수가 서로 다른 두 근을 가지면, 어떤 상수 $\alpha$ 에 대해서도 $(ax+b) \neq \alpha(cx+d)$ 이다. 즉, 이 이차함수는 서로 다른 일차 인수들의 곱이다. (b)와 (c)에 그려진 함수는 각각 $x$ 축과 만나는 서로 다른 점이 두 개이므로 이 경우이다.

마지막으로, 이차함수가 근을 정확히 하나만 가지면 $\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$ 이므로 다음이 성립한다.

$\begin{aligned} (ax+b)(cx+d)&=a(x+\tfrac{b}{a})(cx+d) = a(x+\tfrac{d}{c})(cx+d) = \tfrac{a}{c}(cx+d)(cx+d) \end{aligned}$

즉, 이 이차함수는 중복된 일차 인수와 상수 $\frac{a}{c}$ (단순히 $\frac{a}{c}=1$ 일 수도 있다)의 곱이다.

원본 교재 풀이(영어)

If a quadratic function can be factored as $(ax+b)(cx+d)$ for some constants $a,b,c,d$ , then it has roots $-\frac{b}{a}$ and $-\frac{d}{c}$ . So, if a quadratic function has no roots, it is irreducible: this is the case for the function in graph (d).

If a quadratic function has two different roots, then $(ax+b) \neq \alpha(cx+d)$ for any constant $\alpha$ . That is, the quadratic function is the product of distinct linear factors. This is the case for the functions graphed in (b) and (c), since these each have two distinct places where they cross the $x$ -axis.

Finally, if a quadratic function has precisely one root, then $\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$ , so:

$\begin{aligned} (ax+b)(cx+d)&=a(x+\tfrac{b}{a})(cx+d) = a(x+\tfrac{d}{c})(cx+d) = \tfrac{a}{c}(cx+d)(cx+d) \end{aligned}$

That is, the quadratic function is the product of a repeated linear factor, and a constant $\frac{a}{c}$ (which might simply be $\frac{a}{c}=1$ ).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.4절 · 50번

# 부분분수 적분그래프·표 해석기본자동 분류

590.CLP-2 · 1.10절 · 6번대학 수준우리말 번역

다음 사실이 있습니다.

분모에 중복된 일차인수 $(ax+b)^n$ 이 있고 분자의 차수가 분모의 차수보다 (엄밀히) 작은 유리함수가 있다고 하자. 부분분수분해에서 다음 항들

$\frac{A_1}{ax+b} + \frac{A_2}{(ax+b)^2}+\frac{A_3}{(ax+b)^3}+\cdots+ \frac{A_n}{(ax+b)^n}\tag{1}$

을 하나의 항

$\frac{B_1+B_2x+B_3x^2+\cdots + B_{n}x^{n-1}}{(ax+b)^n}\tag{2}$

으로 바꾸어도 여전히 해를 구할 수 있음이 보장된다.

부분분수분해에서 (2)의 단일 항 대신 (1)의 합을 사용하는 이유는 무엇인지 설명하세요.

영어 원문 보기

Here is a fact:

Suppose we have a rational function with a repeated linear factor $(ax+b)^n$ in the denominator, and the degree of the numerator is strictly less than the degree of the denominator. In the partial fraction decomposition, we can replace the terms

$\frac{A_1}{ax+b} + \frac{A_2}{(ax+b)^2}+\frac{A_3}{(ax+b)^3}+\cdots+ \frac{A_n}{(ax+b)^n}\tag{1}$

with the single term

$\frac{B_1+B_2x+B_3x^2+\cdots + B_{n}x^{n-1}}{(ax+b)^n}\tag{2}$

and still be guaranteed to find a solution.

Why do we use the sum in (1), rather than the single term in (2), in partial fraction decomposition?

정답·풀이 보기

부분분수분해의 목표는 피적분함수를 적분하기 쉬운 꼴로 쓰는 것이다. (1)의 부정적분은 치환 $u=(ax+b)$ 로 쉽게 구할 수 있다. 반면 (2)의 부정적분은 어떻게 구해야 할지 분명하지 않다.

원본 교재 풀이(영어)

The goal of partial fraction decomposition is to write our integrand in a form that is easy to integrate. The antiderivative of (1) can be easily determined with the substitution $u=(ax+b)$ . It's less clear how to find the antiderivative of (2).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.10절 · 15번

# 부분분수 적분계산기본자동 분류

591.CLP-2 · 1.10절 · 7번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int_1^2 \frac{\mathrm{d}x}{x+x^2}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int_1^2 \frac{\mathrm{d}x}{x+x^2}$ .

정답·풀이 보기

피적분함수는 유리함수이므로 부분분수로 분해할 수 있는 후보이다. 뻔한 치환이나 부분적분은 바로 배제할 수 있으므로, 분해를 그대로 진행한다.

먼저 피적분함수, 즉 분수 $\frac{1}{x+x^2}=\frac{1}{x(1+x)}$ 을 더 간단한 분수 $\frac{1}{x}$ 과 $\frac{1}{x+1}$ 의 일차결합으로 나타낸다(이 두 분수의 적분은 이미 알고 있다). 그러면

$\begin{aligned} \frac{1}{x+x^2}=\frac{1}{x(1+x)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x+1} =\frac{a(x+1) +bx}{x(1+x)} \end{aligned}$

이다.

좌변의 분수와 우변의 분수가 같을 필요충분조건은 좌변의 분자 $1 = 0x + 1$ 이 우변의 분자 $a(x+1)+bx = (a+b)x +a$ 와 같은 것이다. 이는 다시 $a=1$ (즉 두 분자의 상수항이 같다)이고 $a+b=0$ (즉 두 분자에서 $x$ 의 계수가 같다)일 필요충분조건이다. 따라서 $a=1$ , $b=-1$ 이다. 이제 적분을 쉽게 계산할 수 있다.

$\begin{aligned} \int_1^2 \frac{\mathrm{d}x}{x+x^2} &=\int_1^2 \frac{\mathrm{d}x}{x(x+1)} =\int_1^2 \Big(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\Big)\,\mathrm{d}x =\Big[\log x-\log(x+1)\Big]_1^2\\ &=\log 2-\log\frac{3}{2} =\log\frac{4}{3} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The integrand is a rational function, so it's a candidate for partial fraction. We quickly rule out any obvious substitution or integration by parts, so we go ahead with the decomposition.

We start by expressing the integrand, i.e. the fraction $\frac{1}{x+x^2}=\frac{1}{x(1+x)}$ , as a linear combination of the simpler fractions $\frac{1}{x}$ and $\frac{1}{x+1}$ (which we already know how to integrate). We will have

$\begin{aligned} \frac{1}{x+x^2}=\frac{1}{x(1+x)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x+1} =\frac{a(x+1) +bx}{x(1+x)} \end{aligned}$

The fraction on the left hand side is the same as the fraction on the right hand side if and only if the numerator on the left hand side, which is $1 = 0x + 1$ , is equal to the numerator on the right hand side, which is $a(x+1)+bx = (a+b)x +a$ . This in turn is the case if and only of $a=1$ (i.e. the constant terms are the same in the two numerators) and $a+b=0$ (i.e. the coefficients of $x$ are the same in the two numerators). So $a=1$ and $b=-1$ . Now we can easily evaluate the integral

$\begin{aligned} \int_1^2 \frac{\mathrm{d}x}{x+x^2} &=\int_1^2 \frac{\mathrm{d}x}{x(x+1)} =\int_1^2 \Big(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\Big)\,\mathrm{d}x =\Big[\log x-\log(x+1)\Big]_1^2\\ &=\log 2-\log\frac{3}{2} =\log\frac{4}{3} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.10절 · 6번

# 부분분수 적분계산보통자동 분류

592.CLP-2 · 1.10절 · 15번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int \frac{x^2+2x-1}{x^4-2x^3+x^2}~\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int \frac{x^2+2x-1}{x^4-2x^3+x^2}~\mathrm{d}x$ .

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

피적분함수는 뚜렷한 치환이 보이지 않는 유리함수이므로 부분분수분해를 이용한다.

분자의 차수가 분모의 차수보다 확실히 작으므로 긴 나눗셈으로 시작할 필요가 없다.
그러나 분모는 인수분해해야 한다. $x^2$ 은 바로 묶어 낼 수 있고, 나머지는 $x^2-2x+1 = (x-1)^2$ 이다.
이제 부분분수분해를 할 수 있다.

$\begin{aligned} \frac{x^2+2x-1}{x^4-2x^3+x^2}&= \frac{x^2+2x-1}{x^2(x-1)^2} = \frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{(x-1)^2} \\ \text{양변에 처음 분모를 곱한다.} \\ x^2+2x-1&=Ax(x-1)^2+B(x-1)^2+Cx^2(x-1)+Dx^2\tag{1} \\ \text{요령껏 $x=0$ 을 대입하면 다음을 얻는다:} \\ -1&=B \\ \text{또 $x=1$ 을 대입하면 다음을 얻는다:} \\ 2&=D \\ \text{$B$ 와 $D$ 를 이용하여 식 (1)을 간단히 한다.} \\ x^2+2x-1&=Ax(x-1)^2 -1(x-1)^2+Cx^2(x-1)+ 2x^2\\ 0&=Ax(x-1)^2+Cx^2(x-1)\\ &=x(x-1)[(A+C)x-A]\\ \text{따라서,}\qquad 0&=(A+C)x-A \end{aligned}$

즉, $A=C=0$ 이다.

이제 적분의 값을 구할 수 있다.

$\begin{aligned} \int \frac{x^2+2x-1}{x^4-2x^3+x^2}~\mathrm{d}x&=\int \left(\frac{-1}{x^2}+\frac{2}{(x-1)^2}\right)~\mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{x}-\frac{2}{x-1}+C \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The integrand is a rational function with no obvious substitution, so we'll use a partial fraction decomposition.

Since the numerator has strictly smaller degree than the denominator, we don't need to start off with a long division.
We do, however, need to factor the denominator. We can immediately pull out $x^2$ ; the remaining part is $x^2-2x+1 = (x-1)^2$ .
Now we can perform our partial fraction decomposition.

$\begin{aligned} \frac{x^2+2x-1}{x^4-2x^3+x^2}&= \frac{x^2+2x-1}{x^2(x-1)^2} = \frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{(x-1)^2} \\ \text{Multiply both sides by the original denominator.} \\ x^2+2x-1&=Ax(x-1)^2+B(x-1)^2+Cx^2(x-1)+Dx^2\tag{1} \\ \text{To be sneaky, we set $x=0$, and find:} \\ -1&=B \\ \text{We also set $x=1$, and find:} \\ 2&=D \\ \text{We use $B$ and $D$ to simplify Equation (1).} \\ x^2+2x-1&=Ax(x-1)^2 -1(x-1)^2+Cx^2(x-1)+ 2x^2\\ 0&=Ax(x-1)^2+Cx^2(x-1)\\ &=x(x-1)[(A+C)x-A]\\ \text{So,}\qquad 0&=(A+C)x-A \end{aligned}$

That is, $A=C=0$ .

Now we can evaluate our integral.

$\begin{aligned} \int \frac{x^2+2x-1}{x^4-2x^3+x^2}~\mathrm{d}x&=\int \left(\frac{-1}{x^2}+\frac{2}{(x-1)^2}\right)~\mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{x}-\frac{2}{x-1}+C \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.10절 · 1번

# 부분분수 적분계산보통자동 분류

593.CLP-2 · 1.10절 · 16번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int \frac{ 3x^2-4x-10}{2x^3-x^2-8x+4}~\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int \frac{ 3x^2-4x-10}{2x^3-x^2-8x+4}~\mathrm{d}x$ .

정답·풀이 보기

피적분함수는 뚜렷한 치환이 보이지 않는 유리함수이므로 부분분수 방법을 사용한다.

분자의 차수가 분모의 차수보다 작다.
분모를 인수분해해야 한다. 처음 두 항의 비와 마지막 두 항의 비가 같다.

$\begin{aligned} 2x^3-x^2-8x+4&=x^2(2x-1)-4(2x-1) \\ &= (x^2-4)(2x-1)\\ &=(x-2)(x+2)(2x-1) \end{aligned}$

이제 부분분수 분해를 구한다.

$\begin{aligned} \frac{ 3x^2-4x-10}{2x^3-x^2-8x+4}&=\frac{ 3x^2-4x-10}{(x-2)(x+2)(2x-1)}= \frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{2x-1} \\ \text{양변에 처음의 분모를 곱한다.} \\ 3x^2-4x-10&=A(x+2)(2x-1)+B(x-2)(2x-1)+C(x-2)(x+2) \\ \text{서로 다른 일차식의 곱인 경우는 요령 있는 방법을 쓰기에 가장 좋은 경우이다. 먼저 $x=2$ 로 놓자.} \\ 3(4)-4(2)-10&=A(4)(3)+B(0)+C(0)\\ A&=-\frac{1}{2} \\ \text{이번에는 $x=-2$ 로 놓자.} \\ 3(4)-4(-2)-10&=A(0)+B(-4)(-5)+C(0)\\ B&=\frac{1}{2} \\ \text{마지막으로 $x=\frac{1}{2}$ 로 놓자.} \\ \frac{3}{4}-2-10&=A(0)+B(0)+C\left(-\frac{3}{2}\right)\left(\frac{5}{2}\right)\\ C&=3 \end{aligned}$

이제 새로운 꼴로 나타낸 적분의 값을 구할 수 있다.

$\begin{aligned} \int \frac{ 3x^2-4x-10}{2x^3-x^2-8x+4}~\mathrm{d}x&=\int \left(\frac{-1/2}{x-2}+\frac{1/2}{x+2}+\frac{3}{2x-1}\right) ~\mathrm{d}x\\ &=-\frac{1}{2}\log|x-2| + \frac{1}{2}\log|x+2| + \frac{3}{2}\log|2x-1|+C \\&=\frac{1}{2}\log\left| \frac{x+2}{x-2} \right| + \frac{3}{2}\log|2x-1|+C \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Our integrand is a rational function with no obvious substitution, so we'll use the method of partial fractions.

The degree of the numerator is less than the degree of the denominator.
We need to factor the denominator. The first two terms have the same ratio as the last two terms.

$\begin{aligned} 2x^3-x^2-8x+4&=x^2(2x-1)-4(2x-1) \\ &= (x^2-4)(2x-1)\\ &=(x-2)(x+2)(2x-1) \end{aligned}$

Now we find our partial fraction decomposition.

$\begin{aligned} \frac{ 3x^2-4x-10}{2x^3-x^2-8x+4}&=\frac{ 3x^2-4x-10}{(x-2)(x+2)(2x-1)}= \frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{2x-1} \\ \text{Multiply both sides by the original denominator.} \\ 3x^2-4x-10&=A(x+2)(2x-1)+B(x-2)(2x-1)+C(x-2)(x+2) \\ \text{Distinct linear factors is the best possible scenario for the sneaky method. First, let's set $x=2$.} \\ 3(4)-4(2)-10&=A(4)(3)+B(0)+C(0)\\ A&=-\frac{1}{2} \\ \text{Now, let $x=-2$.} \\ 3(4)-4(-2)-10&=A(0)+B(-4)(-5)+C(0)\\ B&=\frac{1}{2} \\ \text{Finally, let $x=\frac{1}{2}$.} \\ \frac{3}{4}-2-10&=A(0)+B(0)+C\left(-\frac{3}{2}\right)\left(\frac{5}{2}\right)\\ C&=3 \end{aligned}$

Now we can evaluate our integral in its new form.

$\begin{aligned} \int \frac{ 3x^2-4x-10}{2x^3-x^2-8x+4}~\mathrm{d}x&=\int \left(\frac{-1/2}{x-2}+\frac{1/2}{x+2}+\frac{3}{2x-1}\right) ~\mathrm{d}x\\ &=-\frac{1}{2}\log|x-2| + \frac{1}{2}\log|x+2| + \frac{3}{2}\log|2x-1|+C \\&=\frac{1}{2}\log\left| \frac{x+2}{x-2} \right| + \frac{3}{2}\log|2x-1|+C \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.10절 · 7번

# 부분분수 적분계산보통자동 분류

594.CLP-2 · 1.11절 · 1번대학 수준우리말 번역

어떤 물체의 부피를 $1.5 \mathrm{m}^3$ 로 어림했는데, 정확한 부피는 $1.387 \mathrm{m}^3$ 이다. 이 어림값의 상대오차, 절대오차, 백분율 오차를 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose we approximate an object to have volume $1.5 \mathrm{m}^3$ , when its exact volume is $1.387 \mathrm{m}^3$ . Give the relative error, absolute error, and percent error of our approximation.

정답·풀이 보기

절대오차는 두 값의 차이다: $|1.387-1.5| = 0.113$ 상대오차는 절대오차를 정확한 값으로 나눈 것이다: $\frac{0.113}{1.387}\approx 0.08147$ 백분율 오차는 상대오차의 100배이다: $\approx 8.147\%$

원본 교재 풀이(영어)

The absolute error is the difference between the two values: $|1.387-1.5| = 0.113$ The relative error is the absolute error divided by the exact value: $\frac{0.113}{1.387}\approx 0.08147$ The percent error is 100 times the relative error: $\approx 8.147\%$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.11절 · 2번

# 수치적분계산기본자동 분류

595.CLP-2 · 1.11절 · 2번대학 수준우리말 번역

아래 그래프에 나타난 함수 $f(x)$ 에 대하여 $\displaystyle\int_2^{10} f(x)~\mathrm{d}x$ 의 근삿값을 구하는 경우를 생각하자.

(a) $n=4$ 일 때 중점 법칙을 이용한 근삿값에 해당하는 직사각형을 그리세요. (b) 사다리꼴 법칙을 이용한 근삿값과 $n=4$ 에 해당하는 사다리꼴을 그리세요.

근삿값을 구할 필요는 없습니다.

영어 원문 보기

Consider approximating $\displaystyle\int_2^{10} f(x)~\mathrm{d}x$ , where $f(x)$ is the function in the graph below.

(a) Draw the rectangles associated with the midpoint rule approximation and $n=4$ . (b) Draw the trapezoids associated with the trapezoidal rule approximation and $n=4$ .

You don't have to give an approximation.

정답·풀이 보기

중점 법칙:

사다리꼴 법칙:

원본 교재 풀이(영어)

Midpoint rule:

Trapezoidal rule:

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.11절 · 3번

# 수치적분그래프·표 해석기본자동 분류

596.CLP-2 · 1.11절 · 3번대학 수준우리말 번역

$f(x) = -\dfrac{1}{12}x^4+\dfrac{7}{6}x^3-3x^2$ 이라 하자.

(a) 모든 $1 \leq x \leq 6$ 에 대해 $|f''(x)| \leq M$ 을 만족시키는 적당한 값 $M$ 을 구하세요. (b) 모든 $1 \leq x \leq 6$ 에 대해 $|f^{(4)}(x)| \leq L$ 을 만족시키는 적당한 값 $L$ 을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $f(x) = -\dfrac{1}{12}x^4+\dfrac{7}{6}x^3-3x^2$ .

(a) Find a reasonable value $M$ such that $|f''(x)| \leq M$ for all $1 \leq x \leq 6$ . (b) Find a reasonable value $L$ such that $|f^{(4)}(x)| \leq L$ for all $1 \leq x \leq 6$ .

정답·풀이 보기

(a) 미분하면 $f''(x) = -x^2+7x-6$ 임을 알 수 있다. $f''(x)$ 는 이차식이므로 그 그래프의 대략적인 모양을 잘 알 수 있다.

이 식은 $f(x) = -(x-6)(x-1)$ 로 인수분해되므로, 두 근은 $x=6$ 과 $x=1$ 이다.
포물선의 “평평한 부분"은 $x=3.5$ 에 있다( $x=1$ 과 $x=6$ 의 정확히 가운데이기 때문이다. 또는 $f'''(3.5)=0$ 임을 확인해도 된다).
$x^2$ 의 계수가 음수이므로, $f(x)$ 는 $-\infty$ 에서 $3.5$ 까지 증가하고, $3.5$ 에서 $\infty$ 까지 감소한다.

따라서 구간 $[1,6]$ 에서 $f''(x)$ 의 가장 큰 양의 값은 $x=3.5$ 일 때 나타나며, 그 값은 $f''(3.5) = -(3.5-6)(3.5-1)=6.25$ 이다.

그러므로 $M=6.25$ 로 잡는다. (b) 더 미분하면 $f^{(4)}(x)=-2$ 이다. 이것은 어디서나 상수이므로 $L=|-2|=2$ 로 잡는다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Differentiating, we find $f''(x) = -x^2+7x-6$ . Since $f''(x)$ is quadratic, we have a pretty good idea of what it looks like.

It factors as $f(x) = -(x-6)(x-1)$ , so its two roots are at $x=6$ and $x=1$ .
The “flat part" of the parabola is at $x=3.5$ (since this is exactly half way between $x=1$ and $x=6$ ; alternately, we can check that $f'''(3.5)=0$ ).
Since the coefficient of $x^2$ is negative, $f(x)$ is increasing from $-\infty$ to $3.5$ , then decreasing from $3.5$ to $\infty$ .

Therefore, over the interval $[1,6]$ , the largest positive value of $f''(x)$ occurs when $x=3.5$ , and this is $f''(3.5) = -(3.5-6)(3.5-1)=6.25$ .

So, we take $M=6.25$ . (b) We differentiate further to find $f^{(4)}(x)=-2$ . This is constant everywhere, so we take $L=|-2|=2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.11절 · 7번

# 수치적분계산기본자동 분류

597.CLP-2 · 1.11절 · 7번대학 수준우리말 번역

어머니의 나이는 100세 미만이고, 나의 나이는 200세 미만이라고 하자. (이 이야기는 어딘가로 이어진다.) 누가 더 나이가 많은지 말하세요.

영어 원문 보기

Suppose my mother is under 100 years old, and I am under 200 years old. (We're going somewhere with this.) Who is older?

정답·풀이 보기

어떤 합리적인 가정을 하더라도(내가 어머니보다 나이가 많은 상황을 만들어 내려다 들킨 사람은 최고 보안 등급의 대학원으로 보내질 것이다.) 어머니가 나보다 나이가 많다.

원본 교재 풀이(영어)

Under any reasonable assumptions (Anyone caught trying to come up with a scenario in which I am older than my mother will be sent to maximum security grad school.), my mother is older than I am.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.11절 · 9번

# 수치적분계산기본자동 분류

598.CLP-2 · 1.11절 · 9번대학 수준우리말 번역

다음 명제가 참인지 거짓인지 판단하세요. 거짓이면 반례를 제시하세요. 참이면 간단한 근거를 제시하세요.

$f(x)$ 가 양수이고 아래로 볼록할 때, $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \,\mathrm{d}x$ 에 대한 사다리꼴 공식 어림값은 항상 $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \,\mathrm{d}x$ 의 상한 어림값이다.

영어 원문 보기

Decide whether the following statement is true or false. If false, provide a counterexample. If true, provide a brief justification.

When $f(x)$ is positive and concave up, any trapezoidal rule approximation for $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \,\mathrm{d}x$ will be an upper estimate for $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \,\mathrm{d}x$ .

정답·풀이 보기

참이다. $f(x)$ 가 양수이고 아래로 볼록하므로, $f(x)$ 의 그래프는 사다리꼴 공식에 사용된 사다리꼴들의 윗변보다 항상 아래에 있다.

원본 교재 풀이(영어)

True. Because $f(x)$ is positive and concave up, the graph of $f(x)$ is always below the top edges of the trapezoids used in the trapezoidal rule.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.5절 · 1번

# 수치적분개념 확인기본자동 분류

599.CLP-2 · 1.11절 · 31번대학 수준우리말 번역

$f(x)$ 를 $f''(x) = \dfrac{x^2}{x+1}$ 을 만족하는 함수라고 하세요. (예를 들어 $f(x)=\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{2}x^2+(1+x)\log|x+1|$ 이면 되지만, 이 문제에서는 $f(x)$ 가 무엇인지 알 필요가 없습니다.)

(a) $x$ 가 구간 $[0,1]$ 에 있을 때마다 $|f''(x)| \leq 1$ 임을 보이세요. (b) 구간 $[0,1]$ 에서 $|f''(x)|$ 의 최댓값을 구하세요. (c) $M=1$ 이라고 가정할 때, $\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)~\mathrm{d}x$ 를 오차 $10^{-5}$ 이내로 어림하려면 구간을 몇 개 사용해야 하는지 구하세요. (d) (b)에서 구한 $M$ 의 값을 사용할 때, $\displaystyle\int_0^1 f(x)~\mathrm{d}x$ 를 오차 $10^{-5}$ 이내로 어림하려면 구간을 몇 개 사용해야 하는지 구하세요.

영어 원문 보기

Let $f(x)$ be a function (For example, $f(x)=\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{2}x^2+(1+x)\log|x+1|$ will do, but you don't need to know what $f(x)$ is for this problem.) with $f''(x) = \dfrac{x^2}{x+1}$ .

(a) Show that $|f''(x)| \leq 1$ whenever $x$ is in the interval $[0,1]$ . (b) Find the maximum value of $|f''(x)|$ over the interval $[0,1]$ . (c) Assuming $M=1$ , how many intervals should you use to approximate $\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)~\mathrm{d}x$ to within $10^{-5}$ ? (d) Using the value of $M$ you found in (b), how many intervals should you use to approximate $\displaystyle\int_0^1 f(x)~\mathrm{d}x$ to within $10^{-5}$ ?

정답·풀이 보기

(a) $0 \leq x \leq1$ 일 때 $x^2 \leq 1$ 이고 $x+1 \geq 1$ 이므로 $|f''(x)| = \dfrac{x^2}{|x+1|}\leq \dfrac{1}{1}=1$ 이다. (b) 닫힌구간에서 함수의 최댓값을 구하려면, 구간의 양 끝점과 구간 안의 임계점에서 함수의 값을 조사한다. 임계점은 함수의 도함수가 0이거나 존재하지 않는 점이다.

최대화하려는 함수는 $|f''(x)| = \frac{x^2}{|x+1|} = \frac{x^2}{x+1}=f''(x)$ 이다 (구간에 음이 아닌 수만 있기 때문이다). 따라서 임계점은 $f'''(x) = 0$ 이거나 존재하지 않을 때 나타난다. 몫의 미분법을 이용하여 $f'''(x)$ 를 구한다.

$\begin{aligned} f'''(x)&=\frac{(x+1)(2x)-x^2}{(x+1)^2}=\frac{x^2+2x}{(x+1)^2}\\ 0&=\frac{x(x+2)}{x+1}\\ 0&=x \quad\text{또는}\quad x=-1\quad\text{또는}\quad x=-2 \end{aligned}$

$[0,1]$ 에 있는 임계점은 $x=0$ 뿐이다. 따라서 $[0,1]$ 에서 $f''(x)$ 의 극값은 양 끝점에서 나타난다. 실제로 $[0,1]$ 에 속하는 모든 $x$ 에 대해 $f'''(x) \geq 0$ 이므로 $f''(x)$ 는 이 구간에서 증가하고, 따라서 최댓값은 $x=1$ 에서 나타난다. 즉, $|f''(x)|\leq f''(1)=\frac{1}{2}$ (c) 중점법을 사용할 때 절대 오차는 최대 $\dfrac{M(b-a)^3}{24n^2}$ 이다. $M=1$ 을 사용하여 이 값이 $10^{-5}$ 이하가 되게 하려면, 다음 계산으로 알맞은 $n$ 의 값을 구한다.

$\begin{aligned} \dfrac{M(b-a)^3}{24n^2}&\leq 10^{-5}\\ \dfrac{1}{24n^2}&\leq 10^{-5}&(b-a=1,\,M=1)\\ \frac{10^5}{24} & \leq n^2\\ n & \geq 65 \end{aligned}$ (d) 중점법을 사용할 때 절대 오차는 최대 $\dfrac{M(b-a)^3}{24n^2}$ 이다. $M=\frac{1}{2}$ 을 사용하여 이 값이 $10^{-5}$ 이하가 되게 하려면, 다음 계산으로 알맞은 $n$ 의 값을 구한다.

$\begin{aligned} \dfrac{M(b-a)^3}{24n^2}&\leq 10^{-5}\\ \dfrac{1}{48n^2}&\leq 10^{-5}&(b-a=1,\,M=\frac{1}{2})\\ \frac{10^5}{48} & \leq n^2\\ n & \geq 46 \end{aligned}$

참고: 이러한 계산을 얼마나 정확하게 할지는 상황에 따라 크게 달라진다. 예를 들어 $M$ 을 손으로 구하고, 이를 이용해 $n$ 을 손으로 구한 다음, 근삿값을 계산하도록 컴퓨터를 프로그래밍한다고 하자. 이처럼 간단한 적분에서는 구간 65개와 46개의 계산 시간 차이가 아주 작을 것이다. 따라서 (b)에서 추가로 하는 수고로 얻는 이점은 많지 않다. 그러나 처음의 대충 구한 $M$ 으로 $n=1000000$ 정도가 나왔다면, 계산 시간을 줄이기 위해 $M$ 을 개선하는 데 시간을 들일 만하다. 또한 근삿값을 손으로 구한다면 46개의 항을 더하는 것과 65개의 항을 더하는 것의 차이는 상당할 것이므로, 가능한 한 가장 정확한 $M$ 을 구하는 수고를 미리 들이는 것이 좋을 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) When $0 \leq x \leq1$ , then $x^2 \leq 1$ and $x+1 \geq 1$ , so $|f''(x)| = \dfrac{x^2}{|x+1|}\leq \dfrac{1}{1}=1$ . (b) To find the maximum value of a function over a closed interval, we test the function's values at the endpoints of the interval and at its critical points inside the interval. The critical points are where the function's derivative is zero or does not exist.

The function we're trying to maximize is $|f''(x)| = \frac{x^2}{|x+1|} = \frac{x^2}{x+1}=f''(x)$ (since our interval only contains nonnegative numbers). So, the critical points occur when $f'''(x) = 0$ or does not exist. We find $f'''(x)$ Using the quotient rule.

$\begin{aligned} f'''(x)&=\frac{(x+1)(2x)-x^2}{(x+1)^2}=\frac{x^2+2x}{(x+1)^2}\\ 0&=\frac{x(x+2)}{x+1}\\ 0&=x \quad\text{or}\quad x=-1\quad\text{or}\quad x=-2 \end{aligned}$

The only critical point in $[0,1]$ is $x=0$ . So, the extrema of $f''(x)$ over $[0,1]$ will occur at its endpoints. Indeed, since $f'''(x) \geq 0$ for all $x$ in $[0,1]$ , $f''(x)$ is increasing over this interval, so its maximum occurs at $x=1$ . That is, $|f''(x)|\leq f''(1)=\frac{1}{2}$ (c) The absolute error using the midpoint rule is at most $\dfrac{M(b-a)^3}{24n^2}$ . Using $M=1$ , if we want this to be no more than $10^{-5}$ , we find an acceptable value of $n$ with the following calculation:

$\begin{aligned} \dfrac{M(b-a)^3}{24n^2}&\leq 10^{-5}\\ \dfrac{1}{24n^2}&\leq 10^{-5}&(b-a=1,\,M=1)\\ \frac{10^5}{24} & \leq n^2\\ n & \geq 65 \end{aligned}$ (d) The absolute error using the midpoint rule is at most $\dfrac{M(b-a)^3}{24n^2}$ . Using $M=\frac{1}{2}$ , if we want this to be no more than $10^{-5}$ , we find an acceptable value of $n$ with the following calculation:

$\begin{aligned} \dfrac{M(b-a)^3}{24n^2}&\leq 10^{-5}\\ \dfrac{1}{48n^2}&\leq 10^{-5}&(b-a=1,\,M=\frac{1}{2})\\ \frac{10^5}{48} & \leq n^2\\ n & \geq 46 \end{aligned}$

Remark: how accurate you want to be in these calculations depends a lot on your circumstances. Imagine, for instance, that you were finding $M$ by hand, using this to find $n$ by hand, then programming a computer to evaluate the approximation. For a simple integral like this, the difference between computing time for 65 intervals versus 46 is likely to be miniscule. So, there's not much to be gained by the extra work in (b). However, if your original sloppy $M$ gave you something like $n=1000000$ , you might want to put some time into improving it, to shorten computation time. Moreover, if you were finding the approximation by hand, the difference between adding 46 terms and adding 65 terms would be considerable, and you would probably want to put in the effort up front to find the most accurate $M$ possible.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.11절 · 32번

# 수치적분증명·논술도전자동 분류

600.CLP-2 · 1.11절 · 32번대학 수준우리말 번역

적분 $\displaystyle\int_1^{x\vphantom{\frac{1}{2}}} \frac{1}{t}~\mathrm{d}t$ 를 심프슨 공식으로 어림하여 함수 $\log x$ 를 유리함수로 어림하세요. 구간 $[1,3]$ 의 모든 $x$ 에 대해 유리함수 $f(x)$ 와 $\log x$ 의 오차가 0.1 이하가 되도록 하세요.

영어 원문 보기

Approximate the function $\log x$ with a rational function by approximating the integral $\displaystyle\int_1^{x\vphantom{\frac{1}{2}}} \frac{1}{t}~\mathrm{d}t$ using Simpson's rule. Your rational function $f(x)$ should approximate $\log x$ with an error of not more than 0.1 for any $x$ in the interval $[1,3]$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\displaystyle\int_1^x \dfrac{1}{t}~\mathrm{d}t$ 를 심프슨 공식으로 어림하기 전에, 몇 개의 구간을 사용할지 알아야 한다. 그러려면 오차의 한계를 구해야 하고, 이는 $\frac{\mathrm{d}^4}{\mathrm{d}{t}^4}\left\{\frac{1}{t}\right\}$ 의 한계를 구해야 한다는 뜻이다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left\{\frac{1}{t}\right\}&=-\frac{1}{t^2}& \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}{t}^2}\left\{\frac{1}{t}\right\}&=\frac{2}{t^3}\\ \frac{\mathrm{d}^3}{\mathrm{d}{t}^3}\left\{\frac{1}{t}\right\}&=-\frac{6}{t^4}& \frac{\mathrm{d}^4}{\mathrm{d}{t}^4}\left\{\frac{1}{t}\right\}&=\frac{24}{t^5} \end{aligned}$

따라서 구간 $[1,3]$ 에서 $\displaystyle\left|\frac{\mathrm{d}^4}{\mathrm{d}{t}^4}\left\{\frac{1}{t}\right\}\right| \leq 24$ 이다.

이제 $[1,3]$ 의 모든 $x$ 에 대해 오차가 0.1보다 작도록 보장하는 적당한 $n$ 을 구할 수 있다.

$\begin{aligned} \frac{L(b-a)^5}{180 n^4}&<0 .1 \\\frac{24(x-1)^5}{180 n^4}&< \frac{1}{10} \\n^4 &> \frac{24\cdot (x-1)^5}{18} \\ \text{$[1,3]$ 의 모든 $x$ 에 대해 $x-1 \leq 2$ 이므로, $n^4 > \dfrac{24\cdot 2^5}{18}$ 이면 허용되는 모든 $x$ 에 대해 $n^4 > \dfrac{24\cdot (x-1)^5}{18}$ 이다.} \\ n^4&> \frac{24\cdot 2^5}{18}= \frac{128}{3}\\ n&>\sqrt[4]{\frac{128}{3}}\approx 2.6 \end{aligned}$

$n$ 은 짝수여야 하므로, $n=4$ 개의 구간이면 $[1,3]$ 의 모든 $x$ 에 대해 오차가 너무 크지 않도록 보장하기에 충분하다. 이제 $n=4$ , $a=1$ , $b=x$ , $\Delta x = \dfrac{x-1}{4}$ 로 심프슨 공식에 의한 어림값을 구한다. $\frac{1}{t}$ 의 값을 계산하는 점들은 다음과 같다.

$\begin{aligned} x_0 =& 1 & x_1&=1+ \frac{x-1}{4}& x_2&=1+2\frac{x-1}{4}& x_3&=1+3\frac{x-1}{4}& x_4&=1+4\frac{x-1}{4}\\ & & &=\frac{x+3}{4}& &=\frac{x+1}{2}&&=\frac{3x+1}{4}& &=x \end{aligned}$

$\begin{aligned} \log x=\int_1^x \frac{1}{t}~\mathrm{d}t&\approx \frac{\Delta x}{3}\left[\frac{1}{x_0}+\frac{4}{x_1}+\frac{2}{x_2}+\frac{4}{x_3}+\frac{1}{x_4}\right]\\ &=\frac{x-1}{12}\left[1+\frac{16}{x+3}+\frac{4}{x+1}+\frac{16}{3x+1}+\frac{1}{x}\right]\\ &=f(x) \end{aligned}$

아래는 어림한 함수 $f(x)$ 와 자연로그 함수를 같은 좌표축에 나타낸 그래프이다. 자연로그 함수는 붉은 점선으로, 어림한 함수는 푸른 실선으로 나타냈다. 어림한 함수는 작은 양수 $x$ 에 대해 꽤 정확해 보인다.

원본 교재 풀이(영어)

Before we can take our Simpson's rule approximation of $\displaystyle\int_1^x \dfrac{1}{t}~\mathrm{d}t$ , we need to know how many intervals to use. That means we need to bound our error, which means we need to bound $\frac{\mathrm{d}^4}{\mathrm{d}{t}^4}\left\{\frac{1}{t}\right\}$ .

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left\{\frac{1}{t}\right\}&=-\frac{1}{t^2}& \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}{t}^2}\left\{\frac{1}{t}\right\}&=\frac{2}{t^3}\\ \frac{\mathrm{d}^3}{\mathrm{d}{t}^3}\left\{\frac{1}{t}\right\}&=-\frac{6}{t^4}& \frac{\mathrm{d}^4}{\mathrm{d}{t}^4}\left\{\frac{1}{t}\right\}&=\frac{24}{t^5} \end{aligned}$

So, over the interval $[1,3]$ , $\displaystyle\left|\frac{\mathrm{d}^4}{\mathrm{d}{t}^4}\left\{\frac{1}{t}\right\}\right| \leq 24$ .

Now, we can find an appropriate $n$ to ensure our error will be be less than 0.1 for any $x$ in $[1,3]$ :

$\begin{aligned} \frac{L(b-a)^5}{180 n^4}&<0 .1 \\\frac{24(x-1)^5}{180 n^4}&< \frac{1}{10} \\n^4 &> \frac{24\cdot (x-1)^5}{18} \\ \text{Because $x-1 \leq 2$ for every $x$ in $[1,3]$, if $n^4 > \dfrac{24\cdot 2^5}{18}$, then $n^4 > \dfrac{24\cdot (x-1)^5}{18}$ for every allowed $x$.} \\ n^4&> \frac{24\cdot 2^5}{18}= \frac{128}{3}\\ n&>\sqrt[4]{\frac{128}{3}}\approx 2.6 \end{aligned}$

Since $n$ must be even, $n=4$ is enough intervals to guarantee our error is not too high for any $x$ in $[1,3]$ . Now we find our Simpson's rule approximation with $n=4$ , $a=1$ , $b=x$ , and $\Delta x = \dfrac{x-1}{4}$ . The points where we evaluate $\frac{1}{t}$ are:

$\begin{aligned} x_0 =& 1 & x_1&=1+ \frac{x-1}{4}& x_2&=1+2\frac{x-1}{4}& x_3&=1+3\frac{x-1}{4}& x_4&=1+4\frac{x-1}{4}\\ & & &=\frac{x+3}{4}& &=\frac{x+1}{2}&&=\frac{3x+1}{4}& &=x \end{aligned}$

$\begin{aligned} \log x=\int_1^x \frac{1}{t}~\mathrm{d}t&\approx \frac{\Delta x}{3}\left[\frac{1}{x_0}+\frac{4}{x_1}+\frac{2}{x_2}+\frac{4}{x_3}+\frac{1}{x_4}\right]\\ &=\frac{x-1}{12}\left[1+\frac{16}{x+3}+\frac{4}{x+1}+\frac{16}{3x+1}+\frac{1}{x}\right]\\ &=f(x) \end{aligned}$

Below is a graph of our approximation $f(x)$ and natural logarithm on the same axes. The natural logarithm function is shown red and dashed, while our approximating function is solid blue. Our approximation appears to be quite accurate for small, positive values of $x$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.6절 · 9번

# 수치적분계산도전자동 분류

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