정적분의 뜻과 성질 연습문제

21.APEX · 5.2절 · 5번우리말 번역

연습문제 5–10에서 함수 $f(x)$ 의 그래프가 주어져 있다. 그래프의 기하학적 모양을 이용하여 정적분의 값을 구하세요.

(a) $\displaystyle \int_0^1 (-2x+4)\ dx$ (b) $\displaystyle \int_0^2 (-2x+4)\ dx$ (c) $\displaystyle \int_0^3 (-2x+4)\ dx$

(a) $\displaystyle \int_1^3 (-2x+4)\ dx$ (b) $\displaystyle \int_2^4 (-2x+4)\ dx$ (c) $\displaystyle \int_0^1 (-6x+12)\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 5–10, a graph of a function $f(x)$ is given. Using the geometry of the graph, evaluate the definite integrals.

(a) $\displaystyle \int_0^1 (-2x+4)\ dx$ (b) $\displaystyle \int_0^2 (-2x+4)\ dx$ (c) $\displaystyle \int_0^3 (-2x+4)\ dx$

(a) $\displaystyle \int_1^3 (-2x+4)\ dx$ (b) $\displaystyle \int_2^4 (-2x+4)\ dx$ (c) $\displaystyle \int_0^1 (-6x+12)\ dx$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

정답·풀이 보기

(a) 3 (b) 4 (c) 3 (d) 0 (e) $-4$ (f) 9

원본 교재 풀이(영어)

(a) 3 (b) 4 (c) 3 (d) 0 (e) $-4$ (f) 9

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.2절 · 19번

# 정적분의 뜻과 성질그래프·표 해석자동 분류

22.APEX · 5.2절 · 6번우리말 번역

연습문제 5–10에서 함수 $f(x)$ 의 그래프가 주어져 있다. 그래프의 기하학적 모양을 이용하여 정적분의 값을 구하세요.

(a) $\displaystyle \int_0^2 f(x)\ dx$ (b) $\displaystyle \int_0^3 f(x)\ dx$ (c) $\displaystyle \int_0^5 f(x)\ dx$

(a) $\displaystyle \int_2^5 f(x)\ dx$ (b) $\displaystyle \int_5^3 f(x)\ dx$ (c) $\displaystyle \int_0^3 -2f(x)\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 5–10, a graph of a function $f(x)$ is given. Using the geometry of the graph, evaluate the definite integrals.

(a) $\displaystyle \int_0^2 f(x)\ dx$ (b) $\displaystyle \int_0^3 f(x)\ dx$ (c) $\displaystyle \int_0^5 f(x)\ dx$

(a) $\displaystyle \int_2^5 f(x)\ dx$ (b) $\displaystyle \int_5^3 f(x)\ dx$ (c) $\displaystyle \int_0^3 -2f(x)\ dx$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

정답·풀이 보기

(a) $-4$ (b) $-5$ (c) $-3$ (d) 1 (e) $-2$ (f) 10

원본 교재 풀이(영어)

(a) $-4$ (b) $-5$ (c) $-3$ (d) 1 (e) $-2$ (f) 10

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 11번

# 정적분의 뜻과 성질그래프·표 해석자동 분류

23.APEX · 5.2절 · 7번우리말 번역

연습문제 5–10에서 함수 $f(x)$ 의 그래프가 주어져 있다. 그래프의 기하적 의미를 이용하여 정적분의 값을 구하세요.

(a) $\displaystyle \int_0^2 f(x)\ dx$ (b) $\displaystyle \int_2^4 f(x)\ dx$ (c) $\displaystyle \int_2^4 2f(x)\ dx$

(a) $\displaystyle \int_0^1 4x\ dx$ (b) $\displaystyle \int_2^3 (2x-4)\ dx$ (c) $\displaystyle \int_2^3 (4x-8)\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 5–10, a graph of a function $f(x)$ is given. Using the geometry of the graph, evaluate the definite integrals.

(a) $\displaystyle \int_0^2 f(x)\ dx$ (b) $\displaystyle \int_2^4 f(x)\ dx$ (c) $\displaystyle \int_2^4 2f(x)\ dx$

(a) $\displaystyle \int_0^1 4x\ dx$ (b) $\displaystyle \int_2^3 (2x-4)\ dx$ (c) $\displaystyle \int_2^3 (4x-8)\ dx$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

정답·풀이 보기

(a) $4$ (b) $2$ (c) $4$ (d) 2 (e) $1$ (f) 2

원본 교재 풀이(영어)

(a) $4$ (b) $2$ (c) $4$ (d) 2 (e) $1$ (f) 2

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 30번

# 정적분의 뜻과 성질그래프·표 해석자동 분류

24.APEX · 5.2절 · 8번우리말 번역

연습문제 5–10에서 함수 $f(x)$ 의 그래프가 주어져 있다. 그래프의 기하적 의미를 이용하여 정적분의 값을 구하세요.

(a) $\displaystyle \int_0^1 (x-1)\ dx$ (b) $\displaystyle \int_0^2 (x-1)\ dx$ (c) $\displaystyle \int_0^3 (x-1)\ dx$

(a) $\displaystyle \int_2^3 (x-1)\ dx$ (b) $\displaystyle \int_1^4 (x-1)\ dx$ (c) $\displaystyle \int_1^4 \big((x-1)+1\big)\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 5–10, a graph of a function $f(x)$ is given. Using the geometry of the graph, evaluate the definite integrals.

(a) $\displaystyle \int_0^1 (x-1)\ dx$ (b) $\displaystyle \int_0^2 (x-1)\ dx$ (c) $\displaystyle \int_0^3 (x-1)\ dx$

(a) $\displaystyle \int_2^3 (x-1)\ dx$ (b) $\displaystyle \int_1^4 (x-1)\ dx$ (c) $\displaystyle \int_1^4 \big((x-1)+1\big)\ dx$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

정답·풀이 보기

(a) $-1/2$ (b) $0$ (c) $3/2$ (d) $3/2$ (e) $9/2$ (f) $15/2$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $-1/2$ (b) $0$ (c) $3/2$ (d) $3/2$ (e) $9/2$ (f) $15/2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 56번

# 정적분의 뜻과 성질그래프·표 해석자동 분류

25.APEX · 5.2절 · 9번우리말 번역

연습문제 5–10에서 함수 $f(x)$ 의 그래프가 주어져 있다. 그래프의 기하적 의미를 이용하여 정적분의 값을 구하세요.

(a) $\displaystyle \int_0^2 f(x)\ dx$ (b) $\displaystyle \int_2^4 f(x)\ dx$

(a) $\displaystyle \int_0^4 f(x)\ dx$ (b) $\displaystyle \int_0^4 5f(x)\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 5–10, a graph of a function $f(x)$ is given. Using the geometry of the graph, evaluate the definite integrals.

(a) $\displaystyle \int_0^2 f(x)\ dx$ (b) $\displaystyle \int_2^4 f(x)\ dx$

(a) $\displaystyle \int_0^4 f(x)\ dx$ (b) $\displaystyle \int_0^4 5f(x)\ dx$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

(c)

(d)

정답·풀이 보기

(a) $\pi$ (b) $\pi$ (c) $2\pi$ (d) $10\pi$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\pi$ (b) $\pi$ (c) $2\pi$ (d) $10\pi$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 60번

# 정적분의 뜻과 성질그래프·표 해석자동 분류

26.APEX · 5.2절 · 10번우리말 번역

연습문제 5–10에서 함수 $f(x)$ 의 그래프가 주어져 있다. 그래프의 기하적 의미를 이용하여 정적분의 값을 구하세요.

(a) $\displaystyle \int_0^5 f(x)\ dx$ (b) $\displaystyle \int_3^7 f(x)\ dx$

(a) $\displaystyle \int_0^0 f(x)\ dx$ (b) $\displaystyle \int_a^b f(x)\ dx$ , 단,

$0\leq a\leq b\leq 10$

영어 원문 보기

In Exercises 5–10, a graph of a function $f(x)$ is given. Using the geometry of the graph, evaluate the definite integrals.

(a) $\displaystyle \int_0^5 f(x)\ dx$ (b) $\displaystyle \int_3^7 f(x)\ dx$

(a) $\displaystyle \int_0^0 f(x)\ dx$ (b) $\displaystyle \int_a^b f(x)\ dx$ , where

$0\leq a\leq b\leq 10$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

(c)

(d)

정답·풀이 보기

(a) $15$ (b) $12$ (c) $0$ (d) $3(b-a)$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $15$ (b) $12$ (c) $0$ (d) $3(b-a)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 12번

# 정적분의 뜻과 성질그래프·표 해석자동 분류

27.APEX · 5.2절 · 11번우리말 번역

연습문제 11–14에서 함수 $f(x)$ 의 그래프가 주어져 있다. 색칠한 영역 안의 수는 그 영역의 넓이를 나타낸다. 이 넓이 정보를 이용하여 정적분의 값을 구하세요.

(a) $\displaystyle \int_0^1 f(x)\ dx$ (b) $\displaystyle \int_0^2 f(x)\ dx$

(a) $\displaystyle \int_0^3 f(x)\ dx$ (b) $\displaystyle \int_1^2 -3f(x)\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 11–14, a graph of a function $f(x)$ is given; the numbers inside the shaded regions give the area of that region. Evaluate the definite integrals using this area information.

(a) $\displaystyle \int_0^1 f(x)\ dx$ (b) $\displaystyle \int_0^2 f(x)\ dx$

(a) $\displaystyle \int_0^3 f(x)\ dx$ (b) $\displaystyle \int_1^2 -3f(x)\ dx$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

(c)

(d)

정답·풀이 보기

(a) $-59$ (b) $-48$ (c) $-27$ (d) $-33$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $-59$ (b) $-48$ (c) $-27$ (d) $-33$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 42번

# 정적분의 뜻과 성질그래프·표 해석자동 분류

28.APEX · 5.2절 · 12번우리말 번역

연습문제 11–14에서는 함수 $f(x)$ 의 그래프가 주어져 있고, 색칠된 영역 안의 수는 그 영역의 넓이를 나타냅니다. 이 넓이 정보를 이용하여 정적분의 값을 구하세요.

(a) $\displaystyle \int_0^2 f(x)\ dx$ (b) $\displaystyle \int_2^4 f(x)\ dx$

(a) $\displaystyle \int_0^4 f(x)\ dx$ (b) $\displaystyle \int_0^1 f(x)\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 11–14, a graph of a function $f(x)$ is given; the numbers inside the shaded regions give the area of that region. Evaluate the definite integrals using this area information.

(a) $\displaystyle \int_0^2 f(x)\ dx$ (b) $\displaystyle \int_2^4 f(x)\ dx$

(a) $\displaystyle \int_0^4 f(x)\ dx$ (b) $\displaystyle \int_0^1 f(x)\ dx$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

(c)

(d)

정답·풀이 보기

(a) $4/\pi$ (b) $-4/\pi$ (c) $0$ (d) $2/\pi$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $4/\pi$ (b) $-4/\pi$ (c) $0$ (d) $2/\pi$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 80번

# 정적분의 뜻과 성질그래프·표 해석자동 분류

29.APEX · 5.2절 · 13번우리말 번역

연습문제 11–14에서는 함수 $f(x)$ 의 그래프가 주어져 있고, 색칠된 영역 안의 수는 그 영역의 넓이를 나타냅니다. 이 넓이 정보를 이용하여 정적분의 값을 구하세요.

(a) $\displaystyle \int_{-2}^{-1} f(x)\ dx$ (b) $\displaystyle \int_1^2 f(x)\ dx$

(a) $\displaystyle \int_{-1}^1 f(x)\ dx$ (b) $\displaystyle \int_0^1 f(x)\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 11–14, a graph of a function $f(x)$ is given; the numbers inside the shaded regions give the area of that region. Evaluate the definite integrals using this area information.

(a) $\displaystyle \int_{-2}^{-1} f(x)\ dx$ (b) $\displaystyle \int_1^2 f(x)\ dx$

(a) $\displaystyle \int_{-1}^1 f(x)\ dx$ (b) $\displaystyle \int_0^1 f(x)\ dx$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

(c)

(d)

정답·풀이 보기

(a) $4$ (b) $4$ (c) $-4$ (d) $-2$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $4$ (b) $4$ (c) $-4$ (d) $-2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.2절 · 15번

# 정적분의 뜻과 성질그래프·표 해석자동 분류

30.APEX · 5.2절 · 14번우리말 번역

연습문제 11–14에서는 함수 $f(x)$ 의 그래프가 주어져 있고, 색칠된 영역 안의 수는 그 영역의 넓이를 나타냅니다. 이 넓이 정보를 이용하여 정적분의 값을 구하세요.

(a) $\displaystyle \int_{0}^{2} 5x^2\ dx$ (b) $\displaystyle \int_0^2 (x^2+3)\ dx$

(a) $\displaystyle \int_{1}^3 (x-1)^2\ dx$ (b) $\displaystyle \int_2^4 \big((x-2)^2+5\big)\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 11–14, a graph of a function $f(x)$ is given; the numbers inside the shaded regions give the area of that region. Evaluate the definite integrals using this area information.

(a) $\displaystyle \int_{0}^{2} 5x^2\ dx$ (b) $\displaystyle \int_0^2 (x^2+3)\ dx$

(a) $\displaystyle \int_{1}^3 (x-1)^2\ dx$ (b) $\displaystyle \int_2^4 \big((x-2)^2+5\big)\ dx$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

(c)

(d)

정답·풀이 보기

(a) $40/3$ (b) $26/3$ (c) $8/3$ (d) $38/3$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $40/3$ (b) $26/3$ (c) $8/3$ (d) $38/3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 10번

# 정적분의 뜻과 성질그래프·표 해석자동 분류

31.APEX · 5.2절 · 15번우리말 번역

연습문제 15–16에서는 직선 위를 움직이는 물체의 속도 함수의 그래프가 주어져 있습니다. 그 그래프를 바탕으로 물음에 답하세요.

(a) 물체의 최대 속도는 얼마인가요? (b) 물체의 최대 변위는 얼마인가요? (c) $[0,3]$ 에서 물체의 총 변위는 얼마인가요?

영어 원문 보기

In Exercises 15–16, a graph of the velocity function of an object moving in a straight line is given. Answer the questions based on that graph.

(a) What is the object's maximum velocity? (b) What is the object's maximum displacement? (c) What is the object's total displacement on $[0,3]$ ?

정답·풀이 보기

(a) 2ft/s (b) 2ft (c) 1.5ft

원본 교재 풀이(영어)

(a) 2ft/s (b) 2ft (c) 1.5ft

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.2절 · 1번

# 정적분의 뜻과 성질그래프·표 해석자동 분류

32.APEX · 5.2절 · 16번우리말 번역

연습문제 15–16에서는 직선 위를 움직이는 물체의 속도 함수의 그래프가 주어져 있습니다. 그 그래프를 바탕으로 물음에 답하세요.

(a) 물체의 최대 속도는 얼마인가요? (b) 물체의 최대 변위는 얼마인가요? (c) $[0,5]$ 에서 물체의 총 변위는 얼마인가요?

영어 원문 보기

In Exercises 15–16, a graph of the velocity function of an object moving in a straight line is given. Answer the questions based on that graph.

(a) What is the object's maximum velocity? (b) What is the object's maximum displacement? (c) What is the object's total displacement on $[0,5]$ ?

정답·풀이 보기

(a) 3ft/s (b) 9.5ft (c) 9.5ft

원본 교재 풀이(영어)

(a) 3ft/s (b) 9.5ft (c) 9.5ft

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 32번

# 정적분의 뜻과 성질그래프·표 해석자동 분류

33.CLP-2 · 1.2절 · 17번우리말 번역

다음 표를 채우세요: (우함수/기함수)와 (우함수/기함수)의 곱은 (우함수/기함수)이다. 두 함수 모두 모든 실수에서 정의되어 있다고 가정해도 됩니다.

$\begin{array}{|c||c|c|}\hline \times & \text{even} & \text{odd} \\ \hline \hline \text{even} & & \\ \hline \text{odd} & & \\ \hline \end{array}$

영어 원문 보기

Fill in the following table: the product of an (even/odd) function with an (even/odd) function is an (even/odd) function. You may assume that both functions are defined for all real numbers.

$\begin{array}{|c||c|c|}\hline \times & \text{even} & \text{odd} \\ \hline \hline \text{even} & & \\ \hline \text{odd} & & \\ \hline \end{array}$

정답·풀이 보기

우함수와 기함수의 정의를 떠올려 보자. $f(x)$ 가 우함수라는 것은 정의역에 속하는 모든 $x$ 에 대해 $f(-x)=f(x)$ 라는 뜻이고, $f(x)$ 가 기함수라는 것은 정의역에 속하는 모든 $x$ 에 대해 $f(-x)=-f(x)$ 라는 뜻이다.

$h(x)=f(x)\cdot g(x)$ 라 하자.

**우함수 $\times$ 우함수: ** $f$ 와 $g$ 가 모두 우함수이면 $h(-x)=f(-x)\cdot g(-x) = f(x)\cdot g(x)=h(x)$ 이므로 두 함수의 곱은 우함수이다.
**기함수 $\times$ 기함수: ** $f$ 와 $g$ 가 모두 기함수이면 $h(-x)=f(-x)\cdot g(-x) =[- f(x)]\cdot [-g(x)]=f(x)\cdot g(x)=h(x)$ 이므로 두 함수의 곱은 우함수이다.
**우함수 $\times$ 기함수: ** $f$ 가 우함수이고 $g$ 가 기함수이면 $h(-x)=f(-x)\cdot g(-x) = f(x)\cdot[- g(x)]=-[f(x)\cdot g(x)]=-h(x)$ 이므로 두 함수의 곱은 기함수이다. 곱셈은 교환법칙이 성립하므로 두 함수를 곱하는 순서는 상관없다.

이 표는 함수가 아니라 짝수와 홀수인 수를 (곱하는 것이 아니라) 더할 때의 표와 같음을 알 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Let's recall the definitions of even and odd functions: $f(x)$ is even if $f(-x)=f(x)$ for every $x$ in its domain, and $f(x)$ is odd if $f(-x)=-f(x)$ for every $x$ in its domain.

Let $h(x)=f(x)\cdot g(x)$ .

**even $\times$ even: ** If $f$ and $g$ are both even, then $h(-x)=f(-x)\cdot g(-x) = f(x)\cdot g(x)=h(x)$ , so their product is even.
**odd $\times$ odd: ** If $f$ and $g$ are both odd, then $h(-x)=f(-x)\cdot g(-x) =[- f(x)]\cdot [-g(x)]=f(x)\cdot g(x)=h(x)$ , so their product is even.
**even $\times$ odd: ** If $f$ is even and $g$ is odd, then $h(-x)=f(-x)\cdot g(-x) = f(x)\cdot[- g(x)]=-[f(x)\cdot g(x)]=-h(x)$ , so their product is odd. Because multiplication is commutative, the order we multiply the functions in doesn't matter.

We note that the table would be the same as if we were adding (not multiplying) even and odd numbers (not functions).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.2절 · 16번

# 정적분의 뜻과 성질그래프·표 해석도전자동 분류

34.Active Calculus · 4.3절 · 12번우리말 번역

$f(x) = 3 - x^2$ 이고 $g(x) = 2x^2$ 이라 하자.

(a) 구간 $[-1,1]$ 에서 $y = f(x)$ 의 그래프를 이름을 붙여 그리고, $[-1,1]$ 에서 $y = f(x)$ 로 유계인 정확한 넓이를 값으로 갖는 정적분을 쓰세요. (b) 구간 $[-1,1]$ 에서 $y = g(x)$ 의 그래프를 이름을 붙여 그리고, $[-1,1]$ 에서 $y = g(x)$ 로 유계인 정확한 넓이를 값으로 갖는 정적분을 쓰세요. (c) $[-1,1]$ 에서 $y = f(x)$ 와 $y = g(x)$ 사이에 있는 영역의 정확한 넓이를 값으로 갖는, 정적분의 차를 포함한 식을 쓰세요. (d) (c)에서 쓴 식이 하나의 적분 $\int_{-1}^1 [f(x) - g(x)] \, dx$ 와 같은 값을 갖는 이유를 설명하세요. (e) 일반적으로 $[a,b]$ 의 모든 $x$ 에 대해 $p(x) \ge q(x)$ 이면, $y = p(x)$ 와 $y = q(x)$ 사이의 정확한 넓이가 다음과 같이 주어지는 이유를 설명하세요. $\int_a^b [p(x) - q(x)] \, dx\,.$

영어 원문 보기

Let $f(x) = 3 - x^2$ and $g(x) = 2x^2$ .

(a) On the interval $[-1,1]$ , sketch a labeled graph of $y = f(x)$ and write a definite integral whose value is the exact area bounded by $y = f(x)$ on $[-1,1]$ . (b) On the interval $[-1,1]$ , sketch a labeled graph of $y = g(x)$ and write a definite integral whose value is the exact area bounded by $y = g(x)$ on $[-1,1]$ . (c) Write an expression involving a difference of definite integrals whose value is the exact area that lies between $y = f(x)$ and $y = g(x)$ on $[-1,1]$ . (d) Explain why your expression in (c) has the same value as the single integral $\int_{-1}^1 [f(x) - g(x)] \, dx$ . (e) Explain why, in general, if $p(x) \ge q(x)$ for all $x$ in $[a,b]$ , the exact area between $y = p(x)$ and $y = q(x)$ is given by $\int_a^b [p(x) - q(x)] \, dx\,.$

정답·풀이 보기

(a) $f(x)$ 는 $[-1,1]$ 에서 양수이므로, 주어진 구간에서 이 함수와 $x$ 축으로 유계인 넓이는 $A_1 = \int_{-1}^{1} (3-x^2) \, dx$ 이다. 함수와 영역의 그래프는 아래와 같다. 이 그림에 대체 텍스트를 추가하세요. (b) 마찬가지로 $g(x)$ 는 $[-1,1]$ 에서 양수이므로, 주어진 구간에서 이 함수와 $x$ 축으로 유계인 넓이는 $A_2 = \int_{-1}^{1} 2x^2 \, dx$ 이다. 함수와 영역의 그래프는 아래와 같다. (c) 위의 두 그림에서 두 곡선 사이의 정확한 넓이는 $f$ 아래의 넓이( $A_1$ )에서 $g$ 아래의 넓이( $A_2$ )를 뺀 것임을 알 수 있다. 즉, $A_1 - A_2 = \int_{-1}^{1} (3-x^2) \, dx - \int_{-1}^{1} 2x^2 \, dx\,.$ (d) 같은 구간에서의 정적분의 합 법칙에 의해 다음이 성립한다. $\int_{-1}^{1} (3-x^2) \, dx - \int_{-1}^{1} 2x^2 \, dx = \int_{-1}^{1} [ (3-x^2) - 2x^2 ] \, dx$ 따라서 오른쪽의 하나의 적분은 $[-1,1]$ 에서 두 곡선 사이의 정확한 넓이를 나타낸다. (e) 일반적으로 $[a,b]$ 에서 $p(x) \ge q(x)$ 이면, 이 구간에서 $p$ 와 $q$ 사이의 정확한 넓이 $A$ 는 다음과 같이 주어진다. $A = \int_a^b [p(x) - q(x)] \, dx$ 왜냐하면 이 넓이는 $p$ 아래의 넓이( $\int_a^b p(x) \, dx$ )와 $q$ 아래의 넓이( $\int_a^b q(x) \, dx$ )의 차로 구할 수 있고, (d)에서 보인 것처럼 두 정적분을 빼서 하나로 나타낼 수 있기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since $f(x)$ is positive on $[-1,1]$ , the area bounded by the function and $x$ -axis on the given interval is $A_1 = \int_{-1}^{1} (3-x^2) \, dx$ . A sketch of the function and region is shown below. ADD ALT TEXT TO THIS IMAGE (b) Likewise, because $g(x)$ is positive on $[-1,1]$ , the area bounded by the function and $x$ -axis on the given interval is $A_2 = \int_{-1}^{1} 2x^2 \, dx$ . A sketch of the function and region is shown below. (c) From the above two figures, we see that the exact area between the two curves is the area under $f$ ( $A_1$ ) minus the area under $g$ ( $A_2$ ). That is, $A_1 - A_2 = \int_{-1}^{1} (3-x^2) \, dx - \int_{-1}^{1} 2x^2 \, dx\,.$ (d) By the sum rule for definite integrals over the same interval, we know that $\int_{-1}^{1} (3-x^2) \, dx - \int_{-1}^{1} 2x^2 \, dx = \int_{-1}^{1} [ (3-x^2) - 2x^2 ] \, dx$ and thus the latter single integral captures the exact area between the two curves on $[-1,1]$ . (e) In general, if $p(x) \ge q(x)$ on $[a,b]$ , the exact area, $A$ , between $p$ and $q$ on the interval will be given by $A = \int_a^b [p(x) - q(x)] \, dx$ because we can find the area as the difference of the area under $p$ ( $\int_a^b p(x) \, dx$ ) and the area under $q$ ( $\int_a^b q(x) \, dx$ ), and then subtract the two definite integrals as shown in (d).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 40번

# 정적분의 뜻과 성질그래프·표 해석자동 분류