유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.
98문제 · 3 / 5쪽
41.CLP-3 · 2.6절 · 9번대학 수준우리말 번역
물체의 비중 S 는 S=A−WA 로 주어진다.
여기서 A 는 공기 중에서 잰 물체의 무게이고 W 는 물속에서 잰 물체의 무게이다. A=20±.01 이고 W=12±.02 일 때, 주어진 측정값으로 S 를 계산할 때의 백분율 오차를 어림하여 구하세요.
영어 원문 보기
The specific gravity S of an object is given by S=A−WA
where A is the weight of the object in air and W is the weight of the
object in water. If A=20±.01 and W=12±.02 find the
approximate percentage error in calculating S from the given measurements.
로 주어진다. 여기서 s 는 비열이고 r 는 밀도이다. (s,r) 를 측정하면 대략 (2,2) 일 것으로 예상하며, P 의 값을 가장 정확하게 얻고자 한다.
s 와 r 를 측정하는 방법은 두 가지가 있다. 방법 1 은 s 의 오차가 ±0.01 이고 r 의 오차가 ±0.1 이며, 방법 2 는 s 와 r 모두 오차가 ±0.02 이다.
방법 1 과 방법 2 중 어느 것을 사용해야 하는지 판단하세요. 이유를 자세히 설명하세요.
영어 원문 보기
The pressure in a solid is given by
P(s,r)=sr(4s2−r2−2)
where s is the specific heat and r is the density. We expect to measure
(s,r) to be approximately (2,2) and would like to have the most
accurate value for P.
There are two different ways to measure s and r. Method 1
has an error in s of ±0.01 and an error in r of ±0.1,
while method 2 has an error of ±0.02 for both s and r.
Should we use method 1 or method 2? Explain your reasoning carefully.
정답·풀이 보기
(2,2) 에서 P(s,r) 의 선형 근사는
P(s,r)≈P(2,2)+Ps(2,2)(s−2)+Pr(2,2)(r−2)
이다.
P(2,2)Ps(2,2)Pr(2,2)=(2)(2)[4(2)2−(2)2−2]=40(which we don’t actually need) =[12s2r−r3−2r]s=r=2=84=[4s3−3sr2−2s]s=r=2=4
이므로 선형 근사는
P(s,r)≈40+84(s−2)+4(r−2)
이다.
방법 1에서 P 의 최대 오차의 크기는 (근사적으로) 많아야
84(0.01)+4(0.1)=1.24
이다.
방법 2에서 P 의 최대 오차의 크기는 (근사적으로) 많아야
84(0.02)+4(0.02)=1.76
이다.
따라서 방법 1이 더 좋다.
원본 교재 풀이(영어)
The linear approximation to P(s,r) at (2,2) is
P(s,r)≈P(2,2)+Ps(2,2)(s−2)+Pr(2,2)(r−2)
As
P(2,2)Ps(2,2)Pr(2,2)=(2)(2)[4(2)2−(2)2−2]=40(which we don’t actually need) =[12s2r−r3−2r]s=r=2=84=[4s3−3sr2−2s]s=r=2=4
the linear approximation is
P(s,r)≈40+84(s−2)+4(r−2)
Under method 1, the maximum error in P will have magnitude
at most (approximately)
84(0.01)+4(0.1)=1.24
Under method 2, the maximum error in P will have magnitude
at most (approximately)
(a) ∂x∂z 를 구하세요.
(b) f(−1,1)<0 일 때, 함수
z=f(x,y) 의 (−1,1) 에서의 선형 근사를 구하세요.
(c) f(−1,1)<0 일 때, (b)의 선형 근사를 이용하여 f(−1.02,0.97) 을 어림하세요.
영어 원문 보기
Suppose that a function z=f(x,y) is implicitly defined by an equation:
xyz+x+y2+z3=0
(a) Find ∂x∂z.
(b) If f(−1,1)<0, find the linear approximation of the function
z=f(x,y) at (−1,1).
(c) If f(−1,1)<0, use the linear approximation in (b) to approximate f(−1.02,0.97).
삼각형의 두 변과 그 끼인각을 측정하였더니 각각 3±.1m, 4±.1m, 90±1∘ 이었다. 이때 코사인법칙 C2=A2+B2−2ABcosθ 를 이용하여 셋째 변의 길이를 계산한다.
계산한 C 의 값에서 생기는 최대 오차의 근삿값을 구하세요.
영어 원문 보기
Two sides and the enclosed angle of a triangle are measured to be
3±.1m, 4±.1m and 90±1∘ respectively. The length of the
third side is then computed using the cosine law C2=A2+B2−2ABcosθ.
What is the approximate maximum error in the computed value of C?
답 쓰고 채점
정답·풀이 보기
C(A,B,θ)=A2+B2−2ABcosθ 라 하자. 그러면
C(3,4,2π)=5 이다. C2=A2+B2−2ABcosθ 를 미분하면
금속의 두께가 0.04cm일 때, 지름이 8cm이고 높이가 12cm인 닫힌 금속 캔에 들어 있는 금속의 부피를 미분을 이용하여 어림하세요.
영어 원문 보기
Use differentials to estimate the volume of metal in a closed
metal can with diameter 8cm and height 12cm if the metal is 0.04cm thick.
정답·풀이 보기
지름이 d 이고 높이가 h 인 원기둥의 부피는 V(d,h)=π(2d)2h 이다. 이 문제의 표현은 주어진 치수가 안쪽 치수인지 바깥쪽 치수인지 밝히지 않아 다소 모호하다. 바깥쪽 치수라고 가정하자. 그러면 금속을 포함한 캔의 부피는 V(8,12) 이고, 금속을 제외한 안쪽 부피는
이다. 따라서 금속의 부피는 약 π×128×0.04=5.12π≈16.1cc 이다. (이 정도의 근사에서는 주어진 치수가 안쪽 치수이든 바깥쪽 치수이든 상관없다.)
원본 교재 풀이(영어)
The volume of a cylinder of diameter d and height h
is V(d,h)=π(2d)2h. The wording of the question is
a bit ambiguous in that it does not specify if the given dimensions are
inside dimensions or outside dimensions. Assume that they are outside
dimensions. Then the volume of the can, including the metal, is V(8,12)
and the volume of the interior, excluding the metal, is
So the volume of metal is approximately π×128×0.04=5.12π≈16.1cc. (To this level of approximation, it doesn't matter
whether the dimensions are inside or outside dimensions.)
(a) f(x,y)=3x−4y, 점 (0,2), 방향 −2^.
(b) f(x,y,z)=x−1+y−1+z−1, 점 (2,−3,4), 방향 ^+^+k^.
영어 원문 보기
Find the rate of change of the given function at the given point in
the given direction.
(a) f(x,y)=3x−4y at the point (0,2) in the direction −2^.
(b) f(x,y,z)=x−1+y−1+z−1 at (2,−3,4) in the direction
^+^+k^.
답 쓰고 채점
(a)
(b)
정답·풀이 보기
(a)
f 의 기울기벡터는 ∇f(x,y)=⟨3,−4⟩ 이다. 따라서 구하는 변화율은
⟨3,−4⟩⋅∣⟨−2,0⟩∣⟨−2,0⟩=−3
(b)
f 의 기울기벡터는
∇f(x,y,z)=⟨−x−2,−y−2,−z−2⟩ 이다. 특히 점 (2,−3,4) 에서 f 의 기울기벡터는
∇f(2,−3,4)=⟨−41,−91,−161⟩ 이다.
따라서 구하는 변화율은
⟨−41,−91,−161⟩⋅3⟨1,1,1⟩=−144361≈−0.2446
원본 교재 풀이(영어)
(a)
The gradient of f is ∇f(x,y)=⟨3,−4⟩. So the specified rate of change is
⟨3,−4⟩⋅∣⟨−2,0⟩∣⟨−2,0⟩=−3
(b)
The gradient of f is
∇f(x,y,z)=⟨−x−2,−y−2,−z−2⟩. In particular,
the gradient of f at the point (2,−3,4) is
∇f(2,−3,4)=⟨−41,−91,−161⟩.
So the specified rate of change is
점 (2,0) 에서 함수 f(x,y)=xy 가 주어진 변화율을 갖는 방향을 각각 구하세요.
(a) −1
(b) −2
(c) −3
영어 원문 보기
In what directions at the point (2,0) does the function f(x,y)=xy
have the specified rates of change?
(a) −1
(b) −2
(c) −3
정답·풀이 보기
f(x,y) 의 기울기벡터는 ∇f(x,y)=⟨y,x⟩ 이다. 특히 점 (2,0) 에서 f 의 기울기벡터는
∇f(2,0)=⟨0,2⟩ 이다. 따라서 x 축과 이루는 각이 θ 인 방향, 즉
⟨cosθ,sinθ⟩ 방향으로의 변화율은
⟨cosθ,sinθ⟩⋅∇f(2,0)=⟨cosθ,sinθ⟩⋅⟨0,2⟩=2sinθ
이다.
(a) 변화율 −1 을 얻으려면
sinθ=−21⟹θ=−30∘,−150∘
이어야 한다. 따라서 구하는 방향은
⟨cosθ,sinθ⟩=⟨±23,−21⟩
이다.
(b) 변화율 −2 를 얻으려면
sinθ=−1⟹θ=−90∘
이어야 한다. 따라서 구하는 방향은
⟨cosθ,sinθ⟩=⟨0,−1⟩
이다.
(c) 변화율 −3 을 얻으려면
sinθ=−23
이어야 한다.
모든 θ 에 대해 −1≤sinθ≤1 이므로 이를 만족하는 θ 는 없다.
따라서 알맞은 방향이 없다!
원본 교재 풀이(영어)
The gradient of f(x,y) is ∇f(x,y)=⟨y,x⟩. In particular,
the gradient of f at the point (2,0) is
∇f(2,0)=⟨0,2⟩. So the rate of change in the direction
that makes angle θ with respect to the x-axis, that is,
in the direction
⟨cosθ,sinθ⟩ is
⟨cosθ,sinθ⟩⋅∇f(2,0)=⟨cosθ,sinθ⟩⋅⟨0,2⟩=2sinθ
(a) To get a rate −1, we need
sinθ=−21⟹θ=−30∘,−150∘
So the desired directions are
⟨cosθ,sinθ⟩=⟨±23,−21⟩
(b) To get a rate −2, we need
sinθ=−1⟹θ=−90∘
So the desired direction is
⟨cosθ,sinθ⟩=⟨0,−1⟩
(c) To get a rate −3, we need
sinθ=−23
No θ obeys this, since −1≤sinθ≤1 for all θ.
So no direction works!
당신은 지표면이 매끄러운 곳에 서 있습니다.
남쪽 방향의 기울기는 4 이고 남동쪽 방향의 기울기는 2 입니다. 동쪽 방향의 기울기를 구하세요.
영어 원문 보기
You are standing at a location where the surface of the earth is smooth.
The slope in the southern direction is 4 and the slope in the south–eastern direction is 2. Find the slope in the eastern direction.
답 쓰고 채점
정답·풀이 보기
양의 y 축이 북쪽, 양의 x 축이 동쪽을 향하고 현재 위치가 x=y=0 인 좌표계를 사용한다. (x,y) 에서 지표면의 고도를 z(x,y) 라 하자. 주어진 조건에서
∇z(0,0)⋅(−^)∇z(0,0)⋅(2^−^)=4=2
이다. 첫째 식에서 zy(0,0)=−4 이고 둘째 식에서
2zx(0,0)−zy(0,0)=2⟹zx(0,0)=zy(0,0)+2=−2
이다. 따라서 동쪽 방향의 기울기는
∇z(0,0)⋅^=zx(0,0)=−2
이다.
원본 교재 풀이(영어)
Use a coordinate system with the positive y–axis pointing
north, with the positive x–axis pointing east and with our current
location being x=y=0. Denote by z(x,y) the elevation of the
earth's surface at (x,y). We are told that
∇z(0,0)⋅(−^)∇z(0,0)⋅(2^−^)=4=2
The first equation implies that zy(0,0)=−4 and the second equation
implies that
w=f(x,y,z) 의 점 P 에서의 방향미분계수가 벡터 2^−^+k^ 의 방향으로 최대이고, 그 방향으로의 방향미분계수의 값이 36 이라고 가정하자.
(a) w=f(x,y,z) 의 점 P 에서의 기울기 벡터를 구하세요.
(b) w=f(x,y,z) 의 점 P 에서 벡터 ^+^ 의 방향으로의 방향미분계수를 구하세요.
영어 원문 보기
Assume that the directional derivative of w=f(x,y,z) at a point P
is a maximum in the direction of the vector 2^−^+k^, and
the value of the directional derivative in that direction is 36.
(a) Find the gradient vector of w=f(x,y,z) at P.
(b) Find the directional derivative of w=f(x,y,z) at P in the
direction of the vector ^+^
정답·풀이 보기
(a) ∇f(P) 로 f 의 점 P 에서의 기울기 벡터를 나타내자. 주어진 조건은 다음과 같다.
f 의 점 P 에서의 방향미분계수가 2^−^+k^ 의 방향으로 최대이므로, ∇f(P) 는 2^−^+k^ 와 평행하다.
양의 x 축은 동쪽을, 양의 y 축은 북쪽을 가리키고,
등산객은 점 P(2,1,4) 에서 출발한다.
(a) 가장 가파른 길을 따라 올라가려면 등산객은 P 에서 어느 방향으로 나아가야 하는지 구하세요. 그 길의 기울기는 얼마인지 구하세요.
(b) P 에서 북쪽으로 걸으면 등산객은 오르기 시작하는지 내려가기 시작하는지 판단하세요. 기울기는 얼마인지 구하세요.
(c) 같은 높이를 유지하려면 등산객은 P 에서 어느 방향으로 걸어야 하는지 구하세요.
영어 원문 보기
A hiker is walking on a mountain with height above the z=0 plane given by
z=f(x,y)=6−xy2
The positive x–axis points east and the positive y–axis points north,
and the hiker starts from the point P(2,1,4).
(a) In what direction should the hiker proceed from P to ascend
along the steepest path? What is the slope of the path?
(b) Walking north from P, will the hiker start to ascend or descend?
What is the slope?
(c) In what direction should the hiker walk from P to remain at the same height?
정답·풀이 보기
(a) (x,y)=(2,1) 에서 f 의 그래디언트는
∇f(2,1)=⟨−y2,−2xy⟩(x,y)=(2,1)=⟨−1,−4⟩
이므로 가장 가파르게 올라가는 길의 방향은
−171⟨1,4⟩ 이며, 이는 남쪽에서 약간 서쪽으로 치우친 방향이다. 기울기는
∣∇f(2,1)∣=∣⟨−1,−4⟩∣=17
이다.
(b) 북쪽 방향의 방향미분계수는
D⟨0,1⟩f(2,1)=∇f(2,1)⋅⟨0,1⟩=⟨−1,−4⟩⋅⟨0,1⟩=−4
이므로 등산객은 기울기 ∣−4∣=4 로 내려간다.
(c) 등고선을 따라 걷는, 즉 같은 높이를 유지하려면 등산객은
∇f(2,1)=⟨−1,−4⟩ 에 수직인 방향으로 걸어야 한다.
⟨−1,−4⟩ 에 수직인 두 단위벡터는
±171⟨4,−1⟩ 이다.
원본 교재 풀이(영어)
(a) The gradient of f at (x,y)=(2,1) is
∇f(2,1)=⟨−y2,−2xy⟩(x,y)=(2,1)=⟨−1,−4⟩
So the path of steepest ascent is in the direction
−171⟨1,4⟩, which is a little
west of south. The slope is
∣∇f(2,1)∣=∣⟨−1,−4⟩∣=17
(b) The directional derivative in the north direction is
D⟨0,1⟩f(2,1)=∇f(2,1)⋅⟨0,1⟩=⟨−1,−4⟩⋅⟨0,1⟩=−4
So the hiker descends with slope ∣−4∣=4.
(c) To contour, i.e. remain at the same height, the hiker should walk
in a direction perpendicular to ∇f(2,1)=⟨−1,−4⟩.
Two unit vectors perpendicular to ⟨−1,−4⟩
are ±171⟨4,−1⟩.
두 등산객이 높이가 z=1000−2x2−3y2 인 (작은) 산을 오르고 있다.
이들은 (1,1,995) 에서 출발하여 가장 가파른 오르막 경로를 따라간다. 이들의
(x,y) 좌표는 어떤 상수 a,b 에 대해 y=axb 를 만족한다.
a 와 b 를 구하세요.
영어 원문 보기
Two hikers are climbing a (small) mountain whose height is
z=1000−2x2−3y2.
They start at (1,1,995) and follow the path of steepest ascent. Their
(x,y) coordinates obey y=axb for some constants a,b.
Determine a and b.
정답·풀이 보기
h(x,y)=1000−2x2−3y2 의 기울기벡터는
∇h(x,y)=(−4x,−6y) 이다. 이 기울기벡터(가장 가파르게 오르는 방향을 가리킨다)는
y=axb 위의 모든 점에서 y=axb 의 접선과 평행해야 한다. y=axb 의 접선은 ⟨1,dxdy⟩=⟨1,abxb−1⟩ 이다.
⟨−4x,−6y⟩∥⟨1,abxb−1⟩⟹1abxb−1=−4x−6y⟹23y=abxb
이것이 y=axb 위의 모든 점에서 성립하는 것은 b=23 일 때, 그리고 그때에 한한다.
(1,1) 도 y=axb 위에 있어야 하므로 1=a1b 이어야 하고, 따라서
a=1, b=23 이다. 다음은 등산로를 나타낸 등고선 지도이다.
원본 교재 풀이(영어)
The gradient of h(x,y)=1000−2x2−3y2 is
∇h(x,y)=(−4x,−6y). This gradient (which points in the direction
of steepest ascent) must be parallel to the tangent to y=axb at all
points on y=axb. A tangent to y=axb is ⟨1,dxdy⟩=⟨1,abxb−1⟩.
⟨−4x,−6y⟩∥⟨1,abxb−1⟩⟹1abxb−1=−4x−6y⟹23y=abxb
This is true at all points on y=axb if and only if b=23.
As (1,1) must also be on y=axb, we need 1=a1b, which forces
a=1, b=23. Here is a contour map showing the hiking trail.
모기 한 마리가 R3 의 점 (3,2,1) 에 있다.
모기는 그 근처의 온도 T 가
T=2x2+y2−z2
으로 주어진다는 것을 알고 있다.
(a) 모기는 같은 온도를 유지하고 싶지만, 어떤 처음 방향으로든 날아가야 한다. 온도의 처음 변화율이 0 이 되는 방향을 하나 구하세요.
(b) 여러분과 다른 학생이 (a)에서 모두 옳은 답을 구했다면, 두 사람이 제시한 방향은 반드시 같아야 하나요? 그 이유를 설명하세요.
(c) 모기가 가능한 한 빨리 시원해지고 싶다면, 어떤 처음 방향 또는 방향들이 알맞은지 구하세요.
영어 원문 보기
A mosquito is at the location (3,2,1) in R3.
She knows that the temperature T near there is given by
T=2x2+y2−z2.
(a) She wishes to stay at the same temperature, but must fly in some
initial direction. Find a direction in which the initial rate of
change of the temperature is 0.
(b) If you and another student both get correct answers in part (a),
must the directions you give be the same? Why or why not?
(c) What initial direction or directions would suit the mosquito if
she wanted to cool down as fast as possible?
정답·풀이 보기
(a) (3,2,1) 에서의 온도의 기울기벡터는
∇T(3,2,1)=⟨4x,2y,−2z⟩(x,y,z)=(3,2,1)=⟨12,4,−2⟩
이다.
모기는 ∇T(3,2,1) 에 수직인 방향으로 날아가야 한다.
즉, 다음을 만족하는 방향 ⟨a,b,c⟩ 로 날아가야 한다.
0=⟨12,4,−2⟩⋅⟨a,b,c⟩=12a+4b−2c
12a+4b−2c=0 을 만족하는 0이 아닌 임의의 ⟨a,b,c⟩ 는 허용되는 방향이다. 허용되는 단위벡터 네 개는
±5⟨0,1,2⟩ 와
±10⟨1,−3,0⟩ 이다.
(b) 아니요, 같을 필요는 없다. (a)에서 서로 다른 네 개의 구체적인 방향이 주어졌다.
(c) 가능한 한 빨리 시원해지려면, 모기는 온도의 기울기벡터와 반대 방향으로 움직여야 한다. 그 방향의 단위벡터는
−41⟨6,2,−1⟩ 이다.
원본 교재 풀이(영어)
(a) The temperature gradient at (3,2,1) is
∇T(3,2,1)=⟨4x,2y,−2z⟩(x,y,z)=(3,2,1)=⟨12,4,−2⟩
She wishes to fly in a direction that is perpendicular to ∇T(3,2,1).
That is, she wishes to fly in a direction ⟨a,b,c⟩
that obeys
0=⟨12,4,−2⟩⋅⟨a,b,c⟩=12a+4b−2c
Any nonzero ⟨a,b,c⟩ that obeys 12a+4b−2c=0
is an allowed direction. Four allowed unit vectors are
±5⟨0,1,2⟩ and
±10⟨1,−3,0⟩.
(b) No they need not be the same. Four different explicit directions
were given in part (a).
(c) To cool down as quickly as possible, she should move in the direction
opposite to the temperature gradient. A unit vector in that direction is
−41⟨6,2,−1⟩.
(a) 새 한 마리가 (2,1,3) 을 지나 (4,3,4) 를 향해 속력 2 로 날아가고 있다.
이 순간 새가 느끼는 기온의 변화율을 구하세요.
(b) 만약 새가 (2,1,3) 을 지날 때 고도를 일정하게(z=3) 유지하면서 동시에 기온도 T=8 로 일정하게 유지한다면,
새가 진행할 수 있는 두 방향은 무엇인지 구하세요.
영어 원문 보기
The air temperature T(x,y,z) at a location (x,y,z) is given by:
T(x,y,z)=1+x2+yz.
(a) A bird passes through (2,1,3) travelling towards (4,3,4) with speed 2.
At what rate does the air temperature it experiences change at this instant?
(b) If instead the bird maintains constant altitude (z=3) as it passes
through (2,1,3) while also keeping at a fixed air temperature, T=8,
what are its two possible directions of travel?
정답·풀이 보기
(2,1,3) 에서의 기온의 기울기 벡터(그레이디언트)는
∇T(2,1,3)=⟨2x,z,y⟩(x,y,z)=(2,1,3)=⟨4,3,1⟩
이다.
(a) 새는 방향 ⟨4−2,3−1,4−3⟩=⟨2,2,1⟩ 으로 속력 2 로 날아가므로 속도는
v=2∣⟨2,2,1⟩∣⟨2,2,1⟩=32⟨2,2,1⟩
이다.
이 순간 새가 느끼는 기온의 변화율은
∇T(2,1,3)⋅v=32⟨4,3,1⟩⋅⟨2,2,1⟩=10
이다.
(b) 고도를 일정하게 유지하려면(정지해 있지 않은 상태에서) 새의 진행 방향은
어떤 상수 a, b (둘 다 0은 아님)에 대해
⟨a,b,0⟩ 꼴이어야 한다. 기온을 일정하게 유지하려면 진행 방향이
∇T(2,1,3)=⟨4,3,1⟩ 에 수직이어야 한다.
따라서 a, b 는 다음을 만족해야 한다.
0=⟨a,b,0⟩⋅⟨4,3,1⟩=4a+3b⟺b=−34a
그러므로 진행 방향은 ⟨3,−4,0⟩ 에 0이 아닌 상수를 곱한 꼴이어야 한다. 이러한 단위벡터는
±51⟨3,−4,0⟩ 두 개이다.
원본 교재 풀이(영어)
The temperature gradient at (2,1,3) is
∇T(2,1,3)=⟨2x,z,y⟩(x,y,z)=(2,1,3)=⟨4,3,1⟩
(a) The bird is flying in the direction ⟨4−2,3−1,4−3⟩=⟨2,2,1⟩ at speed 2 and so has velocity
v=2∣⟨2,2,1⟩∣⟨2,2,1⟩=32⟨2,2,1⟩.
The rate of change of air temperature experienced by the bird at that
instant is
∇T(2,1,3)⋅v=32⟨4,3,1⟩⋅⟨2,2,1⟩=10
(b) To maintain constant altitude (while not being stationary),
the bird's direction of travel has to be
of the form ⟨a,b,0⟩, for some constants a and b,
not both zero. To keep the air temperature fixed, its direction of travel
has to be perpendicular to ∇T(2,1,3)=⟨4,3,1⟩.
So a and b have to obey
0=⟨a,b,0⟩⋅⟨4,3,1⟩=4a+3b⟺b=−34a
and the direction of travel has to be a nonzero constant times
⟨3,−4,0⟩. The two such unit vectors are
±51⟨3,−4,0⟩.
(a) 점 P(1,−34) 에서 f(x,y) 의 최대 변화율을 구하세요.
(b) 점 P(1,−34) 에서 f(x,y) 의 방향미분계수가 51 이 되는 방향을 구하세요.
영어 원문 보기
Let f(x,y)=2x2+3xy+y2 be a function of x and y.
(a) Find the maximum rate of change of f(x,y) at the point
P(1,−34).
(b) Find the directions in which the directional derivative of f(x,y)
at the point P(1,−34) has the value 51.
정답·풀이 보기
이 문제의 두 소문제 모두에서 (x,y)=(1,−34) 에서의 f(x,y) 의 그래디언트가 필요하다.
따라서 먼저 이를 구한다.
벌레 한 마리가 곡선 y=x2 을 따라 왼쪽에서 오른쪽으로 0.01m/sec 의 속력으로 움직인다. 이 벌레는 T(x,y) 를 계속 측정한다. 벌레가 점 (1,1) 을 지날 때 T 의 변화율은 얼마인지 구하여라.
영어 원문 보기
The temperature T(x,y) at a point of the xy–plane is given by
T(x,y)=yex2
A bug travels from left to right along the curve y=x2 at a speed of 0.01m/sec. The bug
monitors T(x,y) continuously. What is the rate of change of T as the bug passes through
the point (1,1)?
답 쓰고 채점
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(1,1) 에서 y=x2 의 기울기는 dxdx2x=1=2 이다.
따라서 벌레가 움직이는 방향의 단위벡터는
5⟨1,2⟩ 이고, 벌레의 속도 벡터는 v=0.015⟨1,2⟩ 이다.
(1,1) 에서 온도의 그래디언트(기울기 벡터)는
∇T(1,1)=⟨2xyex2,ex2⟩(x.y)=(1,1)=⟨2e,e⟩
이고, 벌레가 점 (1,1) 을 지날 때 느끼는 T 의 (단위 시간당) 변화율은
∇T(1,1)⋅v=50.01⟨2e,e⟩⋅⟨1,2⟩=50.04e
이다.
원본 교재 풀이(영어)
The slope of y=x2 at (1,1) is dxdx2x=1=2.
So a unit vector in the bug's direction of motion is
5⟨1,2⟩ and the bug's velocity vector is
v=0.015⟨1,2⟩.
The temperature gradient at (1,1) is
∇T(1,1)=⟨2xyex2,ex2⟩(x.y)=(1,1)=⟨2e,e⟩
and the rate of change of T (per unit time) that the bug feels as it
passes through the point (1,1) is
