빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다변수 미분

다변수 미분 전체 문제

이 단원의 모든 연습문제입니다. 소단원으로 좁혀 보려면 아래 꼬리표를 누르세요.

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

509문제 · 16 / 26쪽

301.OpenStax 3권 · 4장 복습 · 20번대학 수준우리말 번역

점 (3,0)(3,0) 에서 함수 f(x,y)=x3+2xy−cos⁡(πy)f(x,y)={x}^{3}+2xy-\cos (\pi y) 의 방향미분계수의 최댓값(크기)과 그때의 방향을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the maximal directional derivative magnitude and direction for the function f(x,y)=x3+2xy−cos⁡(πy)f(x,y)={x}^{3}+2xy-\cos (\pi y) at point (3,0).(3,0).

정답·풀이 보기

385,⟨27,6⟩3\sqrt{85},\langle 27,6\rangle

원본 교재 풀이(영어)

385,⟨27,6⟩3\sqrt{85},\langle 27,6\rangle

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4장 복습 · 22번
# 편도함수계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
302.OpenStax 3권 · 4장 복습 · 21번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 각 함수의 그래디언트를 구하세요.

c(x,t)=e(t−x)2+3 cos⁡(t)c(x,t)=e{(t-x)}^{2}+3\,\cos (t)

영어 원문 보기

For the following exercises, find the gradient.

c(x,t)=e(t−x)2+3 cos⁡(t)c(x,t)=e{(t-x)}^{2}+3\,\cos (t)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.2절 · 5번
# 편도함수계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
303.OpenStax 3권 · 4장 복습 · 22번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 기울기벡터를 구하세요.

f(x,y)=x+y2xyf(x,y)=\frac{\sqrt{x}+{y}^{2}}{xy}

영어 원문 보기

For the following exercises, find the gradient.

f(x,y)=x+y2xyf(x,y)=\frac{\sqrt{x}+{y}^{2}}{xy}

정답·풀이 보기

∇f(x,y)=−x+2y22x2yi+(1x−1xy2)j\nabla f(x,y)=-\frac{\sqrt{x}+2{y}^{2}}{2{x}^{2}y}\text{i}+\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sqrt{x}{y}^{2}}\right)\text{j}

원본 교재 풀이(영어)

∇f(x,y)=−x+2y22x2yi+(1x−1xy2)j\nabla f(x,y)=-\frac{\sqrt{x}+2{y}^{2}}{2{x}^{2}y}\text{i}+\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sqrt{x}{y}^{2}}\right)\text{j}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.3절 · 40번
# 편도함수계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
304.OpenStax 3권 · 4장 복습 · 23번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 임계점을 구하고 분류하세요.

z=x3−xy+y2−1z={x}^{3}-xy+{y}^{2}-1

영어 원문 보기

For the following exercises, find and classify the critical points.

z=x3−xy+y2−1z={x}^{3}-xy+{y}^{2}-1

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4장 복습 · 20번
# 편도함수계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
305.OpenStax 3권 · 4장 복습 · 24번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 라그랑주 승수법을 이용하여 주어진 제약조건 아래에서 함수의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

f(x,y)=x2y,x2+y2=4f(x,y)={x}^{2}y,{x}^{2}+{y}^{2}=4

영어 원문 보기

For the following exercises, use Lagrange multipliers to find the maximum and minimum values for the functions with the given constraints.

f(x,y)=x2y,x2+y2=4f(x,y)={x}^{2}y,{x}^{2}+{y}^{2}=4

정답·풀이 보기

최댓값: 1633\frac{16}{3\sqrt{3}}, 최솟값: −1633-\frac{16}{3\sqrt{3}}

원본 교재 풀이(영어)

maximum: 1633,\frac{16}{3\sqrt{3}}, minimum: −1633-\frac{16}{3\sqrt{3}}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4장 복습 · 26번
# 편도함수계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
306.OpenStax 3권 · 4장 복습 · 25번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 라그랑주 승수법을 이용하여 주어진 제약조건 아래에서 함수의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

f(x,y)=x2−y2,x+6y=4f(x,y)={x}^{2}-{y}^{2},x+6y=4

영어 원문 보기

For the following exercises, use Lagrange multipliers to find the maximum and minimum values for the functions with the given constraints.

f(x,y)=x2−y2,x+6y=4f(x,y)={x}^{2}-{y}^{2},x+6y=4

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.3절 · 28번
# 편도함수계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
307.APEX · 12.1절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–14에서 다변수함수의 정의역과 치역을 구하세요.

f(x,y)=x2+y2+2f(x,y) = x^2+y^2+2

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, give the domain and range of the multivariable function.

f(x,y)=x2+y2+2f(x,y) = x^2+y^2+2

정답·풀이 보기

정의역: R2\mathbb{R}^2

치역: z≥2z\geq 2

원본 교재 풀이(영어)

domain: R2\mathbb{R}^2

range: z≥2z\geq 2

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.1절 · 19번
# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
308.APEX · 12.1절 · 8번대학 수준우리말 번역

7–14번 문제에서 다변수 함수의 정의역과 치역을 구하세요.

f(x,y)=x+2yf(x,y) = x+2y

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, give the domain and range of the multivariable function.

f(x,y)=x+2yf(x,y) = x+2y

정답·풀이 보기

정의역: R2\mathbb{R}^2

치역: R\mathbb{R}

원본 교재 풀이(영어)

domain: R2\mathbb{R}^2

range: R\mathbb{R}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.1절 · 4번
# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
309.APEX · 12.1절 · 9번대학 수준우리말 번역

7–14번 문제에서 다변수 함수의 정의역과 치역을 구하세요.

f(x,y)=x−2yf(x,y) = x-2y

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, give the domain and range of the multivariable function.

f(x,y)=x−2yf(x,y) = x-2y

정답·풀이 보기

정의역: R2\mathbb{R}^2

치역: R\mathbb{R}

원본 교재 풀이(영어)

domain: R2\mathbb{R}^2

range: R\mathbb{R}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.1절 · 9번
# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
310.APEX · 12.1절 · 10번대학 수준우리말 번역

7–14번 문제에서 다변수 함수의 정의역과 치역을 구하세요.

f(x,y)=1x+2y\displaystyle f(x,y) = \frac{1}{x+2y}

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, give the domain and range of the multivariable function.

f(x,y)=1x+2y\displaystyle f(x,y) = \frac{1}{x+2y}

정답·풀이 보기

정의역: x≠2yx\neq 2y; 집합 기호로는 {(x,y) ∣ x≠2y}\{(x,y)\,|\, x\neq 2y\}

치역: z≠0z\neq 0

원본 교재 풀이(영어)

domain: x≠2yx\neq 2y; in set notation, {(x,y) ∣ x≠2y}\{(x,y)\,|\, x\neq 2y\}

range: z≠0z\neq 0

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.1절 · 1번
# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
311.APEX · 12.1절 · 11번대학 수준우리말 번역

7–14번 문제에서 다변수 함수의 정의역과 치역을 구하세요.

f(x,y)=1x2+y2+1\displaystyle f(x,y) = \frac{1}{x^2+y^2+1}

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, give the domain and range of the multivariable function.

f(x,y)=1x2+y2+1\displaystyle f(x,y) = \frac{1}{x^2+y^2+1}

정답·풀이 보기

정의역: R2\mathbb{R}^2

치역: 0<z≤10<z\leq 1

원본 교재 풀이(영어)

domain: R2\mathbb{R}^2

range: 0<z≤10<z\leq 1

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.1절 · 21번
# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
312.APEX · 12.1절 · 12번대학 수준우리말 번역

7–14번 문제에서 다변수 함수의 정의역과 치역을 구하세요.

f(x,y)=sin⁡xcos⁡y\displaystyle f(x,y) = \sin x\cos y

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, give the domain and range of the multivariable function.

f(x,y)=sin⁡xcos⁡y\displaystyle f(x,y) = \sin x\cos y

정답·풀이 보기

정의역: R2\mathbb{R}^2

치역: −1≤z≤1-1\leq z\leq 1

원본 교재 풀이(영어)

domain: R2\mathbb{R}^2

range: −1≤z≤1-1\leq z\leq 1

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.1절 · 37번
# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
313.APEX · 12.1절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–14에서, 다변수함수의 정의역과 치역을 구하세요.

f(x,y)=9−x2−y2\displaystyle f(x,y) = \sqrt{9-x^2-y^2}

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, give the domain and range of the multivariable function.

f(x,y)=9−x2−y2\displaystyle f(x,y) = \sqrt{9-x^2-y^2}

정답·풀이 보기

정의역: {(x,y) ∣ x2+y2≤9}\{(x,y)\,|\, x^2+y^2\leq 9\}, 즉 정의역은 원점을 중심으로 하고 반지름이 3인 원과 그 내부이다.

치역: 0≤z≤30\leq z\leq 3

원본 교재 풀이(영어)

domain: {(x,y) ∣ x2+y2≤9}\{(x,y)\,|\, x^2+y^2\leq 9\}, i.e., the domain is the circle and interior of a circle centered at the origin with radius 3.

range: 0≤z≤30\leq z\leq 3

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.1절 · 25번
# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
314.APEX · 12.1절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–14에서, 다변수함수의 정의역과 치역을 구하세요.

f(x,y)=1x2+y2−9\displaystyle f(x,y) = \frac1{\sqrt{x^2+y^2-9}}

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, give the domain and range of the multivariable function.

f(x,y)=1x2+y2−9\displaystyle f(x,y) = \frac1{\sqrt{x^2+y^2-9}}

정답·풀이 보기

정의역: {(x,y) ∣ x2+y2≥9}\{(x,y)\,|\, x^2+y^2\geq 9\}, 즉 정의역은 원점을 중심으로 하고 반지름이 3인 원의 외부이다(원 자체는 포함하지 않는다).

치역: 0<z<∞0< z< \infty, 또는 (0,∞)(0,\infty)

원본 교재 풀이(영어)

domain: {(x,y) ∣ x2+y2≥9}\{(x,y)\,|\, x^2+y^2\geq 9\}, i.e., the domain is the exterior of the circle (not including the circle itself) centered at the origin with radius 3.

range: 0<z<∞0< z< \infty, or (0,∞)(0,\infty)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.1절 · 39번
# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
315.APEX · 12.1절 · 23번대학 수준우리말 번역

연습문제 23–26에서 다음 세 변수 함수의 정의역과 치역을 구하세요.

f(x,y,z)=xx+2y−4z\displaystyle f(x,y,z) = \frac{x}{x+2y-4z}

영어 원문 보기

In Exercises 23–26, give the domain and range of the functions of three variables.

f(x,y,z)=xx+2y−4z\displaystyle f(x,y,z) = \frac{x}{x+2y-4z}

정답·풀이 보기

정의역: x+2y−4z≠0x+2y-4z\neq 0; 정의역에 속하지 않는 R3\mathbb{R}^3의 점들의 집합은 원점을 지나는 평면을 이룬다.

치역: R\mathbb{R}

원본 교재 풀이(영어)

domain: x+2y−4z≠0x+2y-4z\neq 0; the set of points in R3\mathbb{R}^3 NOT in the domain form a plane through the origin.

range: R\mathbb{R}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.1절 · 37번
# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
316.APEX · 12.1절 · 24번대학 수준우리말 번역

연습문제 23–26에서 다음 세 변수 함수의 정의역과 치역을 구하세요.

f(x,y,z)=11−x2−y2−z2\displaystyle f(x,y,z) = \frac{1}{1-x^2-y^2-z^2}

영어 원문 보기

In Exercises 23–26, give the domain and range of the functions of three variables.

f(x,y,z)=11−x2−y2−z2\displaystyle f(x,y,z) = \frac{1}{1-x^2-y^2-z^2}

정답·풀이 보기

정의역: x2+y2+z2≠1x^2+y^2+z^2\neq 1; 정의역에 속하지 않는 R3\mathbb{R}^3의 점들의 집합은 반지름이 1인 구를 이룬다.

치역: (−∞,0)∪[1,∞)(-\infty,0)\cup[1,\infty)

원본 교재 풀이(영어)

domain: x2+y2+z2≠1x^2+y^2+z^2\neq 1; the set of points in R3\mathbb{R}^3 NOT in the domain form a sphere of radius 1.

range: (−∞,0)∪[1,∞)(-\infty,0)\cup[1,\infty)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.1절 · 27번
# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
317.APEX · 12.1절 · 25번대학 수준우리말 번역

연습문제 23–26에서 다음 세 변수 함수의 정의역과 치역을 구하세요.

f(x,y,z)=z−x2+y2\displaystyle f(x,y,z) = \sqrt{z-x^2+y^2}

영어 원문 보기

In Exercises 23–26, give the domain and range of the functions of three variables.

f(x,y,z)=z−x2+y2\displaystyle f(x,y,z) = \sqrt{z-x^2+y^2}

정답·풀이 보기

정의역: z≥x2−y2z\geq x^2-y^2; 쌍곡포물면 z=x2−y2z=x^2-y^2 위의 점과 그 위쪽에 있는 R3\mathbb{R}^3의 점들의 집합이다.

치역: [0,∞)[0,\infty)

원본 교재 풀이(영어)

domain: z≥x2−y2z\geq x^2-y^2; the set of points in R3\mathbb{R}^3 above (and including) the hyperbolic paraboloid z=x2−y2z=x^2-y^2.

range: [0,∞)[0,\infty)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.1절 · 39번
# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
318.APEX · 12.1절 · 26번대학 수준우리말 번역

연습문제 23–26에서 다음 세 변수 함수의 정의역과 치역을 구하세요.

f(x,y,z)=z2sin⁡xcos⁡y\displaystyle f(x,y,z) = z^2\sin x\cos y

영어 원문 보기

In Exercises 23–26, give the domain and range of the functions of three variables.

f(x,y,z)=z2sin⁡xcos⁡y\displaystyle f(x,y,z) = z^2\sin x\cos y

정답·풀이 보기

정의역: R3\mathbb{R}^3

치역: R\mathbb{R}

원본 교재 풀이(영어)

domain: R3\mathbb{R}^3

range: R\mathbb{R}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.1절 · 29번
# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
319.APEX · 12.1절 · 27번대학 수준우리말 번역

연습문제 27–30에서 다음 세 변수 함수의 등위면을 설명하세요.

f(x,y,z)=x2+y2+z2\displaystyle f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2

영어 원문 보기

In Exercises 27–30, describe the level surfaces of the given functions of three variables.

f(x,y,z)=x2+y2+z2\displaystyle f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2

정답·풀이 보기

등위면은 원점을 중심으로 하고 반지름이 c\sqrt{c}인 구이다.

원본 교재 풀이(영어)

The level surfaces are spheres, centered at the origin, with radius c\sqrt{c}.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.1절 · 11번
# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
320.APEX · 12.1절 · 28번대학 수준우리말 번역

연습문제 27–30에서 주어진 세 변수 함수의 등위면을 설명하세요.

f(x,y,z)=z−x2+y2\displaystyle f(x,y,z) = z-x^2+y^2

영어 원문 보기

In Exercises 27–30, describe the level surfaces of the given functions of three variables.

f(x,y,z)=z−x2+y2\displaystyle f(x,y,z) = z-x^2+y^2

정답·풀이 보기

등위면은 z=x2−y2+cz=x^2-y^2+c 꼴의 쌍곡포물면이며, 각각 cc 만큼 위아래로 평행이동한 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

The level surfaces are hyperbolic paraboloids of the form z=x2−y2+cz=x^2-y^2+c; each is shifted up/down by cc.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.1절 · 53번
# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)