다변수 미분 전체 연습문제

21.APEX · 12.4절 · 3번대학 수준우리말 번역

참/거짓: $z=f(x,y)$ 가 미분가능하면, $x$ 와 $y$ 의 작은 변화량 $dx$ 와 $dy$ 에 대한 $z$ 의 변화량은 근사적으로 $dz$ 이다.

영어 원문 보기

T/F: If $z=f(x,y)$ is differentiable, then the change in $z$ over small changes $dx$ and $dy$ in $x$ and $y$ is approximately $dz$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

T

원본 교재 풀이(영어)

T

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.4절 · 2번

# 접평면과 선형근사개념 확인자동 분류

22.APEX · 12.4절 · 4번대학 수준우리말 번역

문장을 완성하세요: “새로운 $z$ 값은 대략 이전 $z$ 값에 대략적인 _____ 을(를) 더한 것이다.”

영어 원문 보기

Finish the sentence: “The new $z$ -value is approximately the old $z$ -value plus the approximate _____.”

정답·풀이 보기

변화량

원본 교재 풀이(영어)

amount of change

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.5절 · 7번

# 접평면과 선형근사개념 확인자동 분류

23.APEX · 12.5절 · 1번대학 수준우리말 번역

방향도함수와 편도함수의 차이는 무엇인가요?

영어 원문 보기

What is the difference between a directional derivative and a partial derivative?

정답·풀이 보기

편도함수는 본질적으로 방향도함수의 특수한 경우이다. 즉, $x$ 방향 또는 $y$ 방향, 곧 $\left\langle 1,0\right\rangle$ 또는 $\left\langle 0,1\right\rangle$ 방향의 방향도함수이다.

원본 교재 풀이(영어)

A partial derivative is essentially a special case of a directional derivative; it is the directional derivative in the direction of $x$ or $y$ , i.e., $\left\langle 1,0\right\rangle$ or $\left\langle 0,1\right\rangle$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.5절 · 6번

# 다변수 연쇄법칙개념 확인자동 분류

24.APEX · 12.5절 · 2번대학 수준우리말 번역

어떤 $\vec u$ 에 대해 $D_{\vec u\,} f = f_x$ 인가요?

영어 원문 보기

For what $\vec u$ is $D_{\vec u\,} f = f_x$ ?

정답·풀이 보기

$\vec u = \left\langle 1,0\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\vec u = \left\langle 1,0\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.5절 · 3번

# 다변수 연쇄법칙개념 확인자동 분류

25.APEX · 12.5절 · 3번대학 수준우리말 번역

어떤 $\vec u$ 에 대해 $D_{\vec u\,} f = f_y$ 인가요?

영어 원문 보기

For what $\vec u$ is $D_{\vec u\,} f = f_y$ ?

정답·풀이 보기

$\vec u = \left\langle 0,1\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\vec u = \left\langle 0,1\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.5절 · 1번

# 다변수 연쇄법칙개념 확인자동 분류

26.APEX · 12.5절 · 4번대학 수준우리말 번역

기울기벡터는 등위곡선에 _____ 이다.

영어 원문 보기

The gradient is _____ to level curves.

정답·풀이 보기

수직

원본 교재 풀이(영어)

orthogonal

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.5절 · 5번

# 다변수 연쇄법칙개념 확인자동 분류

27.APEX · 12.5절 · 5번대학 수준우리말 번역

기울기벡터는 _____ 증가의 방향을 가리킨다.

영어 원문 보기

The gradient points in the direction of _____ increase.

정답·풀이 보기

최대, 즉 가장 큰

원본 교재 풀이(영어)

maximal, or greatest

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.5절 · 7번

# 다변수 연쇄법칙개념 확인자동 분류

28.APEX · 12.5절 · 6번대학 수준우리말 번역

방향도함수를 극한의 결과로 보기보다는 _____ 곱의 결과로 보는 것이 일반적으로 더 유익하다.

영어 원문 보기

It is generally more informative to view the directional derivative not as the result of a limit, but rather as the result of a _____ product.

정답·풀이 보기

내적

원본 교재 풀이(영어)

dot

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.5절 · 4번

# 다변수 연쇄법칙개념 확인자동 분류

29.APEX · 12.6절 · 1번대학 수준우리말 번역

벡터 $\vec v=\left\langle 1,0,3\right\rangle$ 가 어떻게 "기울기" 3을 갖는 것으로 볼 수 있는지 설명하세요.

영어 원문 보기

Explain how the vector $\vec v=\left\langle 1,0,3\right\rangle$ can be thought of as having a “slope” of 3.

정답·풀이 보기

답은 다양할 수 있다. 이 벡터의 변위는 $x$ 방향으로 1단위, $z$ 방향으로 3단위이며 $y$ 는 변하지 않는다. 따라서 $\vec v$ 에 평행한 직선을 따라 $z$ 의 변화량은 $x$ 의 변화량의 3배이다. 즉 "기울기"가 3이다. 구체적으로, $z$ 에 평행한 $x$ - $z$ 평면 위의 직선은 기울기가 3이다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary. The displacement of the vector is one unit in the $x$ -direction and 3 units in the $z$ -direction, with no change in $y$ . Thus along a line parallel to $\vec v$ , the change in $z$ is 3 times the change in $x$ – i.e., a “slope” of 3. Specifically, the line in the $x$ - $z$ plane parallel to $z$ has a slope of 3.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 25번

# 방향도함수와 기울기벡터개념 확인자동 분류

30.APEX · 12.6절 · 2번대학 수준우리말 번역

벡터 $\vec v=\left\langle 0.6,0.8, -2\right\rangle$ 가 어떻게 "기울기" $-2$ 를 갖는 것으로 생각될 수 있는지 설명하세요.

영어 원문 보기

Explain how the vector $\vec v=\left\langle 0.6,0.8, -2\right\rangle$ can be thought of as having a “slope” of $-2$ .

정답·풀이 보기

답은 다양할 수 있다. $\vec u = \left\langle 0.6,0.8\right\rangle$ 라 하자. 이것은 단위벡터이다. 이 벡터의 변위는 $\vec u$ 방향으로 1단위, $z$ 방향으로 $-2$ 단위이다. $z$ 축과 벡터 $\vec u$ 를 포함하는 평면에서, $\vec v$ 에 평행한 직선은 기울기가 $-2$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary. Let $\vec u = \left\langle 0.6,0.8\right\rangle$ ; this is a unit vector. The displacement of the vector is one unit in the $\vec u$ -direction and $-2$ units in the $z$ -direction. In the plane containing the $z$ -axis and the vector $\vec u$ , the line parallel to $\vec v$ has slope $-2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 26번

# 방향도함수와 기울기벡터개념 확인자동 분류

31.APEX · 12.6절 · 3번대학 수준우리말 번역

참/거짓: $z=f(x,y)$ 가 $P$ 에서 미분가능하다고 하자. $\vec n$ 이 $P$ 에서 $f$ 의 접평면에 대한 법선벡터이면, $\vec n$ 은 $P$ 에서 $\ell_x$ 와 $\ell_y$ 에 수직이다.

영어 원문 보기

T/F: Let $z=f(x,y)$ be differentiable at $P$ . If $\vec n$ is a normal vector to the tangent plane of $f$ at $P$ , then $\vec n$ is orthogonal to $\ell_x$ and $\ell_y$ at $P$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

T

원본 교재 풀이(영어)

T

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 27번

# 방향도함수와 기울기벡터개념 확인자동 분류

32.APEX · 12.6절 · 4번대학 수준우리말 번역

곡면 위의 한 점에서 곡면에 대한 접선을 '하나의 접선'이라고 부르지 않고 곡면에 대한 방향 접선들이라고 부르는 이유를 자신의 말로 설명하세요.

영어 원문 보기

Explain in your own words why we do not refer to the tangent line to a surface at a point, but rather to directional tangent lines to a surface at a point.

정답·풀이 보기

한 점을 지나는 곡면 위에는 매끄러운 곡선이 여러 개 있으며, 각 곡선은 그 점에서 접선을 갖는다. 이 접선들은 모두 곡면에 "접"하기도 한다. 접선은 하나만 있는 것이 아니라 여러 개이고, 각각 서로 다른 방향을 향한다. 따라서 하나의 접선이라고 하지 않고 방향 접선들이라고 부른다.

원본 교재 풀이(영어)

On a surface through a point, there are many different smooth curves, each with a tangent line at the point. Each of these tangent lines is also “tangent” to the surface. There is not just one tangent line, but many, each in a different direction. Therefore we refer to directional tangent lines, not just the tangent line.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 20번

# 방향도함수와 기울기벡터개념 확인자동 분류

33.APEX · 12.7절 · 2번대학 수준우리말 번역

참/거짓: 점 $P$ 에서 $f_x$ 와 $f_y$ 가 모두 0이면 $P$ 는 $f$ 의 임계점이다.

영어 원문 보기

T/F: A point $P$ is a critical point of $f$ if $f_x$ and $f_y$ are both 0 at $P$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

T

원본 교재 풀이(영어)

T

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.5절 · 16번

# 접평면과 선형근사개념 확인자동 분류

34.APEX · 12.7절 · 3번대학 수준우리말 번역

참/거짓: 점 $P$ 에서 $f_x$ 또는 $f_y$ 가 정의되지 않으면 $P$ 는 $f$ 의 임계점이다.

영어 원문 보기

T/F: A point $P$ is a critical point of $f$ if $f_x$ or $f_y$ are undefined at $P$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

T

원본 교재 풀이(영어)

T

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.5절 · 17번

# 접평면과 선형근사개념 확인자동 분류

35.APEX · 12.7절 · 4번대학 수준우리말 번역

"제약 조건이 있는 최적화" 문제를 푼다는 것이 무엇을 뜻하는지 설명하세요.

영어 원문 보기

Explain what it means to “solve a constrained optimization” problem.

정답·풀이 보기

답은 다양할 수 있다. 좋은 답은 함수의 정의역에 대한 제약 조건, 즉 한계 안에서 함수를 최적화한다는 점을 서술한다. 정의역의 일부분만 "바라보면서" 함수의 최댓값 또는 최솟값을 찾으려는 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary. A good answer will state that we are optimizing a function subject to a constraint, or limit, on the domain of the function. We are looking to maximize/minimize the function while “looking” at only a certain part of the domain.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.5절 · 13번

# 접평면과 선형근사개념 확인자동 분류

36.APEX · 12.8절 · 1번대학 수준우리말 번역

$z=f(x,y)$ 의 등위곡선이 $x=g(t)$ , $y = h(t)$ 로 나타내어진다고 하자. $\frac{dz}{dt}=0$ 인 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Let a level curve of $z=f(x,y)$ be described by $x=g(t)$ , $y = h(t)$ . Explain why $\frac{dz}{dt}=0$ .

정답·풀이 보기

매개변수 방정식이 등위곡선을 나타내므로 모든 $t$ 에 대해 $z$ 는 상수이다. 따라서 $\frac{dz}{dt}=0$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Because the parametric equations describe a level curve, $z$ is constant for all $t$ . Therefore $\frac{dz}{dt}=0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.9절 · 8번

# 극값과 안장점개념 확인자동 분류

37.APEX · 12.8절 · 2번대학 수준우리말 번역

빈칸을 채우세요: 일변수 연쇄 법칙은 $\displaystyle \frac{d}{dx}\Big(f\big(g(x)\big)\Big) = f\,'\big(g(x)\big)\cdot$ _____ 임을 말해 준다.

영어 원문 보기

Fill in the blank: The single variable Chain Rule states $\displaystyle \frac{d}{dx}\Big(f\big(g(x)\big)\Big) = f\,'\big(g(x)\big)\cdot$ _____.

정답·풀이 보기

$g'(x)$

원본 교재 풀이(영어)

$g'(x)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.8절 · 1번

# 극값과 안장점개념 확인자동 분류

38.APEX · 12.8절 · 3번대학 수준우리말 번역

빈칸을 채우세요: 다변수 연쇄 법칙은 다음과 같다.

$\displaystyle \frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot\text{\underline{}}+\text{\underline{}}\cdot\frac{dy}{dt}$ .

영어 원문 보기

Fill in the blank: The Multivariable Chain Rule states

$\displaystyle \frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot\text{\underline{}}+\text{\underline{}}\cdot\frac{dy}{dt}$ .

정답·풀이 보기

$\frac{dx}{dt}$ , 그리고 $\frac{\partial f}{\partial y}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{dx}{dt}$ , and $\frac{\partial f}{\partial y}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.8절 · 2번

# 극값과 안장점개념 확인자동 분류

39.APEX · 12.8절 · 4번대학 수준우리말 번역

$z=f(x,y)$ 이고 $x=g(t)$ , $y=h(t)$ 이면, 대입하여 $z$ 를 $t$ 의 명시적인 함수로 나타낼 수 있다.

참/거짓: $\frac{dz}{dt}$ 를 구할 때 다변수 연쇄 법칙을 사용하는 것이, 먼저 대입한 다음 도함수를 구하는 것보다 더 쉬운 경우가 있다.

영어 원문 보기

If $z=f(x,y)$ , where $x=g(t)$ and $y=h(t)$ , we can substitute and write $z$ as an explicit function of $t$ .

T/F: Using the Multivariable Chain Rule to find $\frac{dz}{dt}$ is sometimes easier than first substituting and then taking the derivative.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

T

원본 교재 풀이(영어)

T

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.8절 · 3번

# 극값과 안장점개념 확인자동 분류

40.APEX · 12.8절 · 5번대학 수준우리말 번역

참/거짓: 다변수 연쇄 법칙은 관련된 함수가 모두 명시적으로 주어져 있을 때에만 유용하다.

영어 원문 보기

T/F: The Multivariable Chain Rule is only useful when all the related functions are known explicitly.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

F

원본 교재 풀이(영어)

F

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.8절 · 4번

# 극값과 안장점개념 확인자동 분류

다변수 미분 전체 문제