다변수 미분 전체 연습문제

381.APEX · 12.4절 · 22번대학 수준우리말 번역

연습문제 19–22에서, 주어진 정보와 전미분을 이용하여 주어진 값을 어림하세요.

$f(3,3,3) = 5$ , $f_x(3,3,3) = 2$ , $f_y(3,3,3) = 0$ , $f_z(3,3,3) = -2$ . $f(3.1, 3.1,3.1)$ 의 값을 어림하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 19–22, use the information provided and the total differential to make the given approximation.

$f(3,3,3) = 5$ , $f_x(3,3,3) = 2$ , $f_y(3,3,3) = 0$ , $f_z(3,3,3) = -2$ . Approximate $f(3.1, 3.1,3.1)$ .

정답·풀이 보기

$dx = 0.1$ , $dy = 0.1$ , $dz = 0.1$ .

$dw = 2(0.1) + (0)(0.1) + (-2)(.1) = 0$ , so $f(3.1,3.1,3.1) \approx 5+0=5$ .

원본 교재 풀이(영어)

$dx = 0.1$ , $dy = 0.1$ , $dz = 0.1$ .

$dw = 2(0.1) + (0)(0.1) + (-2)(.1) = 0$ , so $f(3.1,3.1,3.1) \approx 5+0=5$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 12번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

382.APEX · 12.5절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–12에서 함수 $z=f(x,y)$ 가 주어져 있습니다. $\nabla f$ 를 구하세요.

$f(x,y) = -x^2y+xy^2+xy$

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, a function $z=f(x,y)$ is given. Find $\nabla f$ .

$f(x,y) = -x^2y+xy^2+xy$

정답·풀이 보기

$\nabla f = \left\langle -2xy+y^2+y, -x^2+2xy+x\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\nabla f = \left\langle -2xy+y^2+y, -x^2+2xy+x\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.4절 · 8번

# 다변수 연쇄법칙계산자동 분류

383.APEX · 12.5절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–12에서 함수 $z=f(x,y)$ 가 주어져 있습니다. $\nabla f$ 를 구하세요.

$\displaystyle f(x,y) = \sin x\cos y$

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, a function $z=f(x,y)$ is given. Find $\nabla f$ .

$\displaystyle f(x,y) = \sin x\cos y$

정답·풀이 보기

$\nabla f = \left\langle \cos x\cos y, -\sin x\sin y\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\nabla f = \left\langle \cos x\cos y, -\sin x\sin y\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.5절 · 23번

# 다변수 연쇄법칙계산자동 분류

384.APEX · 12.5절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–12번에서 함수 $z=f(x,y)$ 가 주어져 있다. $\nabla f$ 를 구하세요.

$\displaystyle f(x,y) = \frac{1}{x^2+y^2+1}$

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, a function $z=f(x,y)$ is given. Find $\nabla f$ .

$\displaystyle f(x,y) = \frac{1}{x^2+y^2+1}$

정답·풀이 보기

$\nabla f = \left\langle \frac{-2x}{(x^2+y^2+1)^2}, \frac{-2y}{(x^2+y^2+1)^2}\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\nabla f = \left\langle \frac{-2x}{(x^2+y^2+1)^2}, \frac{-2y}{(x^2+y^2+1)^2}\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.5절 · 27번

# 다변수 연쇄법칙계산자동 분류

385.APEX · 12.5절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–12번에서 함수 $z=f(x,y)$ 가 주어져 있다. $\nabla f$ 를 구하세요.

$\displaystyle f(x,y) = -4x+3y$

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, a function $z=f(x,y)$ is given. Find $\nabla f$ .

$\displaystyle f(x,y) = -4x+3y$

정답·풀이 보기

$\nabla f = \left\langle -4,3\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\nabla f = \left\langle -4,3\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.5절 · 19번

# 다변수 연쇄법칙계산자동 분류

386.APEX · 12.5절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–12번에서 함수 $z=f(x,y)$ 가 주어져 있다. $\nabla f$ 를 구하세요.

$\displaystyle f(x,y) = x^2+2y^2-xy-7x$

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, a function $z=f(x,y)$ is given. Find $\nabla f$ .

$\displaystyle f(x,y) = x^2+2y^2-xy-7x$

정답·풀이 보기

$\nabla f = \left\langle 2x-y-7,4y-x\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\nabla f = \left\langle 2x-y-7,4y-x\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.5절 · 41번

# 다변수 연쇄법칙계산자동 분류

387.APEX · 12.5절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–12번에서 함수 $z=f(x,y)$ 가 주어져 있다. $\nabla f$ 를 구하세요.

$\displaystyle f(x,y) = x^2y^3-2x$

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, a function $z=f(x,y)$ is given. Find $\nabla f$ .

$\displaystyle f(x,y) = x^2y^3-2x$

정답·풀이 보기

$\nabla f = \left\langle 2xy^3-2,3x^2y^2\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\nabla f = \left\langle 2xy^3-2,3x^2y^2\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.4절 · 4번

# 다변수 연쇄법칙계산자동 분류

388.APEX · 12.5절 · 25번대학 수준우리말 번역

연습문제 25–28번에서 함수 $w=F(x,y,z)$ , 벡터 $\vec v$ , 점 $P$ 가 주어져 있다.

(a) $\nabla F(x,y,z)$ 를 구하세요. (b) $P$ 에서 $D_{\vec u\,}F$ 를 구하세요. 단, $\vec u$ 는 $\vec v$ 의 방향의 단위벡터이다.

$\displaystyle F(x,y,z) = 3x^2z^3+4xy-3z^2$ , $\vec v = \left\langle 1,1,1\right\rangle$ , $P = (3,2,1)$

영어 원문 보기

In Exercises 25–28, a function $w=F(x,y,z)$ , a vector $\vec v$ and a point $P$ are given.

(a) Find $\nabla F(x,y,z)$ . (b) Find $D_{\vec u\,}F$ at $P$ , where $\vec u$ is the unit vector in the direction of $\vec v$ .

$\displaystyle F(x,y,z) = 3x^2z^3+4xy-3z^2$ , $\vec v = \left\langle 1,1,1\right\rangle$ , $P = (3,2,1)$

정답·풀이 보기

(a) $\nabla F(x,y,z) = \left\langle 6xz^3+4y, 4x, 9x^2z^2-6z\right\rangle$ (b) $113/\sqrt{3}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\nabla F(x,y,z) = \left\langle 6xz^3+4y, 4x, 9x^2z^2-6z\right\rangle$ (b) $113/\sqrt{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.5절 · 27번

# 다변수 연쇄법칙계산자동 분류

389.APEX · 12.5절 · 26번대학 수준우리말 번역

연습문제 25–28에서 함수 $w=F(x,y,z)$ , 벡터 $\vec v$ , 점 $P$ 가 주어져 있다.

(a) $\nabla F(x,y,z)$ 를 구하세요. (b) $\vec u$ 가 $\vec v$ 의 방향의 단위벡터일 때, $P$ 에서 $D_{\vec u\,}F$ 를 구하세요.

$\displaystyle F(x,y,z) = \sin(x)\cos(y)e^z$ , $\vec v = \left\langle 2,2,1\right\rangle$ , $P = (0,0,0)$

영어 원문 보기

In Exercises 25–28, a function $w=F(x,y,z)$ , a vector $\vec v$ and a point $P$ are given.

(a) Find $\nabla F(x,y,z)$ . (b) Find $D_{\vec u\,}F$ at $P$ , where $\vec u$ is the unit vector in the direction of $\vec v$ .

$\displaystyle F(x,y,z) = \sin(x)\cos(y)e^z$ , $\vec v = \left\langle 2,2,1\right\rangle$ , $P = (0,0,0)$

정답·풀이 보기

(a) $\nabla F(x,y,z) = \left\langle \cos x\cos ye^z, -\sin x\sin ye^z, \sin x\cos ye^z\right\rangle$ (b) $2/3$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\nabla F(x,y,z) = \left\langle \cos x\cos ye^z, -\sin x\sin ye^z, \sin x\cos ye^z\right\rangle$ (b) $2/3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.5절 · 1번

# 다변수 연쇄법칙계산자동 분류

390.APEX · 12.5절 · 27번대학 수준우리말 번역

연습문제 25–28에서 함수 $w=F(x,y,z)$ , 벡터 $\vec v$ , 점 $P$ 가 주어져 있다.

(a) $\nabla F(x,y,z)$ 를 구하세요. (b) $\vec u$ 가 $\vec v$ 의 방향의 단위벡터일 때, $P$ 에서 $D_{\vec u\,}F$ 를 구하세요.

$\displaystyle F(x,y,z) = x^2y^2-y^2z^2$ , $\vec v = \left\langle -1,7,3\right\rangle$ , $P = (1,0,-1)$

영어 원문 보기

In Exercises 25–28, a function $w=F(x,y,z)$ , a vector $\vec v$ and a point $P$ are given.

(a) Find $\nabla F(x,y,z)$ . (b) Find $D_{\vec u\,}F$ at $P$ , where $\vec u$ is the unit vector in the direction of $\vec v$ .

$\displaystyle F(x,y,z) = x^2y^2-y^2z^2$ , $\vec v = \left\langle -1,7,3\right\rangle$ , $P = (1,0,-1)$

정답·풀이 보기

(a) $\nabla F(x,y,z) = \left\langle 2xy^2, 2y(x^2-z^2), -2y^2z\right\rangle$ (b) $0$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\nabla F(x,y,z) = \left\langle 2xy^2, 2y(x^2-z^2), -2y^2z\right\rangle$ (b) $0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.5절 · 5번

# 다변수 연쇄법칙계산자동 분류

391.APEX · 12.5절 · 28번대학 수준우리말 번역

연습문제 25–28에서 함수 $w=F(x,y,z)$ , 벡터 $\vec v$ , 점 $P$ 가 주어져 있다.

(a) $\nabla F(x,y,z)$ 를 구하세요. (b) $\vec u$ 가 $\vec v$ 의 방향의 단위벡터일 때, $P$ 에서 $D_{\vec u\,}F$ 를 구하세요.

$\displaystyle F(x,y,z) = \frac{2}{x^2+y^2+z^2}$ , $\vec v = \left\langle 1,1,-2\right\rangle$ , $P = (1,1,1)$

영어 원문 보기

In Exercises 25–28, a function $w=F(x,y,z)$ , a vector $\vec v$ and a point $P$ are given.

(a) Find $\nabla F(x,y,z)$ . (b) Find $D_{\vec u\,}F$ at $P$ , where $\vec u$ is the unit vector in the direction of $\vec v$ .

$\displaystyle F(x,y,z) = \frac{2}{x^2+y^2+z^2}$ , $\vec v = \left\langle 1,1,-2\right\rangle$ , $P = (1,1,1)$

정답·풀이 보기

(a) $\nabla F(x,y,z) = \left\langle -\frac{4x}{(x^2+y^2+z^2)^2},-\frac{4y}{(x^2+y^2+z^2)^2},-\frac{4z}{(x^2+y^2+z^2)^2}\right\rangle$ (b) $0$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\nabla F(x,y,z) = \left\langle -\frac{4x}{(x^2+y^2+z^2)^2},-\frac{4y}{(x^2+y^2+z^2)^2},-\frac{4z}{(x^2+y^2+z^2)^2}\right\rangle$ (b) $0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.5절 · 17번

# 다변수 연쇄법칙계산자동 분류

392.APEX · 12.6절 · 5번대학 수준우리말 번역

연습문제 5~8에서 함수 $z=f(x,y)$ , 벡터 $\vec v$ , 점 $P$ 가 주어져 있다. $P$ 에서 $f$ 에 대한 다음 방향 접선의 매개변수 방정식을 구하세요:

(a) $\ell_x(t)$ (b) $\ell_y(t)$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t)$ , 여기서 $\vec u$ 는 $\vec v$ 방향의 단위벡터이다.

$f(x,y) = 2x^2y-4xy^2$ , $\vec v = \left\langle 1,3\right\rangle$ , $P=(2,3)$ .

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, a function $z=f(x,y)$ , a vector $\vec v$ and a point $P$ are given. Give the parametric equations of the following directional tangent lines to $f$ at $P$ :

(a) $\ell_x(t)$ (b) $\ell_y(t)$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t)$ , where $\vec u$ is the unit vector in the direction of $\vec v$ .

$f(x,y) = 2x^2y-4xy^2$ , $\vec v = \left\langle 1,3\right\rangle$ , $P=(2,3)$ .

정답·풀이 보기

(a) $\ell_x(t) = \left\{\begin{array}{l} x=2+t\\ y=3 \\ z = -48-12t\end{array}\right.$ (b) $\ell_y(t) = \left\{\begin{array}{l} x=2\\ y=3+t \\ z = -48-40t\end{array}\right.$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t) = \left\{\begin{array}{l} x=2+t/\sqrt{10}\\ y=3+3t/\sqrt{10} \\ z = -48-66\sqrt{2/5}t\end{array}\right.$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\ell_x(t) = \left\{\begin{array}{l} x=2+t\\ y=3 \\ z = -48-12t\end{array}\right.$ (b) $\ell_y(t) = \left\{\begin{array}{l} x=2\\ y=3+t \\ z = -48-40t\end{array}\right.$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t) = \left\{\begin{array}{l} x=2+t/\sqrt{10}\\ y=3+3t/\sqrt{10} \\ z = -48-66\sqrt{2/5}t\end{array}\right.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 25번

# 방향도함수와 기울기벡터계산자동 분류

393.APEX · 12.6절 · 6번대학 수준우리말 번역

연습문제 5~8에서 함수 $z=f(x,y)$ , 벡터 $\vec v$ , 점 $P$ 가 주어져 있다. $P$ 에서 $f$ 에 대한 다음 방향 접선의 매개변수 방정식을 구하세요:

(a) $\ell_x(t)$ (b) $\ell_y(t)$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t)$ , 여기서 $\vec u$ 는 $\vec v$ 방향의 단위벡터이다.

$f(x,y) = 3\cos x\sin y$ , $\vec v = \left\langle 1,2\right\rangle$ , $P=(\pi/3, \pi/6)$ .

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, a function $z=f(x,y)$ , a vector $\vec v$ and a point $P$ are given. Give the parametric equations of the following directional tangent lines to $f$ at $P$ :

(a) $\ell_x(t)$ (b) $\ell_y(t)$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t)$ , where $\vec u$ is the unit vector in the direction of $\vec v$ .

$f(x,y) = 3\cos x\sin y$ , $\vec v = \left\langle 1,2\right\rangle$ , $P=(\pi/3, \pi/6)$ .

정답·풀이 보기

(a) $\ell_x(t) = \left\{\begin{array}{l} x = \pi/3+t\\ y = \pi/6 \\ z = 3/4 -\frac{3\sqrt{3}}{4}t \end{array} \right.$ (b) $\ell_y(t) = \left\{\begin{array}{l} x = \pi/3\\ y = \pi/6 +t\\ z = 3/4 +\frac{3\sqrt{3}}{4}t \end{array} \right.$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t) = \left\{\begin{array}{l} x = \pi/3+t/\sqrt{5}\\ y = \pi/6+2t/\sqrt{5} \\ z = 3/4 +\frac{3\sqrt{3/5}}{4}t \end{array} \right.$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\ell_x(t) = \left\{\begin{array}{l} x = \pi/3+t\\ y = \pi/6 \\ z = 3/4 -\frac{3\sqrt{3}}{4}t \end{array} \right.$ (b) $\ell_y(t) = \left\{\begin{array}{l} x = \pi/3\\ y = \pi/6 +t\\ z = 3/4 +\frac{3\sqrt{3}}{4}t \end{array} \right.$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t) = \left\{\begin{array}{l} x = \pi/3+t/\sqrt{5}\\ y = \pi/6+2t/\sqrt{5} \\ z = 3/4 +\frac{3\sqrt{3/5}}{4}t \end{array} \right.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.6절 · 28번

# 방향도함수와 기울기벡터계산자동 분류

394.APEX · 12.6절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 5~8에서 함수 $z=f(x,y)$ , 벡터 $\vec v$ , 점 $P$ 가 주어져 있다. $P$ 에서 $f$ 에 대한 다음 방향 접선의 매개변수 방정식을 구하세요:

(a) $\ell_x(t)$ (b) $\ell_y(t)$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t)$ , 여기서 $\vec u$ 는 $\vec v$ 방향의 단위벡터이다.

$f(x,y) = 3x-5y$ , $\vec v = \left\langle 1,1\right\rangle$ , $P=(4,2)$ .

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, a function $z=f(x,y)$ , a vector $\vec v$ and a point $P$ are given. Give the parametric equations of the following directional tangent lines to $f$ at $P$ :

(a) $\ell_x(t)$ (b) $\ell_y(t)$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t)$ , where $\vec u$ is the unit vector in the direction of $\vec v$ .

$f(x,y) = 3x-5y$ , $\vec v = \left\langle 1,1\right\rangle$ , $P=(4,2)$ .

정답·풀이 보기

(a) $\ell_x(t) = \left\{\begin{array}{l} x = 4+t\\ y = 2 \\ z = 2 + 3t \end{array} \right.$ (b) $\ell_y(t) = \left\{\begin{array}{l} x = 4\\ y = 2+t\\ z = 2-5t \end{array} \right.$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t) = \left\{\begin{array}{l} x = 4+t/\sqrt{2}\\ y = 2+t/\sqrt{2} \\ z = 2 -\sqrt{2}t \end{array} \right.$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\ell_x(t) = \left\{\begin{array}{l} x = 4+t\\ y = 2 \\ z = 2 + 3t \end{array} \right.$ (b) $\ell_y(t) = \left\{\begin{array}{l} x = 4\\ y = 2+t\\ z = 2-5t \end{array} \right.$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t) = \left\{\begin{array}{l} x = 4+t/\sqrt{2}\\ y = 2+t/\sqrt{2} \\ z = 2 -\sqrt{2}t \end{array} \right.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 23번

# 방향도함수와 기울기벡터계산자동 분류

395.APEX · 12.6절 · 8번대학 수준우리말 번역

5–8번 연습문제에서 함수 $z=f(x,y)$ , 벡터 $\vec v$ , 점 $P$ 가 주어져 있습니다. $P$ 에서 $f$ 에 대한 다음 방향 접선의 매개변수 방정식을 구하세요.

(a) $\ell_x(t)$ (b) $\ell_y(t)$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t)$ , 여기서 $\vec u$ 는 $\vec v$ 의 방향의 단위벡터이다.

$f(x,y) = x^2-2x-y^2+4y$ , $\vec v = \left\langle 1,1\right\rangle$ , $P=(1,2)$ .

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, a function $z=f(x,y)$ , a vector $\vec v$ and a point $P$ are given. Give the parametric equations of the following directional tangent lines to $f$ at $P$ :

(a) $\ell_x(t)$ (b) $\ell_y(t)$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t)$ , where $\vec u$ is the unit vector in the direction of $\vec v$ .

$f(x,y) = x^2-2x-y^2+4y$ , $\vec v = \left\langle 1,1\right\rangle$ , $P=(1,2)$ .

정답·풀이 보기

(a) $\ell_x(t) = \left\{\begin{array}{l} x = 1+t\\ y = 2 \\ z = 3 \end{array} \right.$ (b) $\ell_y(t) = \left\{\begin{array}{l} x = 1\\ y = 2+t\\ z = 3 \end{array} \right.$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t) = \left\{\begin{array}{l} x = 1+t/\sqrt{2}\\ y = 2+t/\sqrt{2} \\ z = 3 \end{array} \right.$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\ell_x(t) = \left\{\begin{array}{l} x = 1+t\\ y = 2 \\ z = 3 \end{array} \right.$ (b) $\ell_y(t) = \left\{\begin{array}{l} x = 1\\ y = 2+t\\ z = 3 \end{array} \right.$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t) = \left\{\begin{array}{l} x = 1+t/\sqrt{2}\\ y = 2+t/\sqrt{2} \\ z = 3 \end{array} \right.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.6절 · 36번

# 방향도함수와 기울기벡터계산자동 분류

396.APEX · 12.6절 · 21번대학 수준우리말 번역

21–24번 연습문제에서 $x$ , $y$ , $z$ 에 대한 음함수로 정의된 함수와 그 곡면 위의 점 $P$ 가 주어져 있습니다. 기울기 벡터 $\nabla F$ 를 이용하여 다음을 구하세요.

(a) $P$ 에서 곡면의 법선의 방정식 (b) $P$ 에서 곡면에 접하는 평면의 방정식

$\displaystyle \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}4+\frac{z^2}{16}=1$ , $P = (1,\sqrt{2},\sqrt{6})$ 에서

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, an implicitly defined function of $x$ , $y$ and $z$ is given along with a point $P$ that lies on the surface. Use the gradient $\nabla F$ to:

(a) find the equation of the normal line to the surface at $P$ , and (b) find the equation of the plane tangent to the surface at $P$ .

$\displaystyle \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}4+\frac{z^2}{16}=1$ , at $P = (1,\sqrt{2},\sqrt{6})$

정답·풀이 보기

$\nabla F = \left\langle x/4, y/2, z/8\right\rangle$ ; at $P$ , $\nabla F = \left\langle 1/4, \sqrt{2}/2, \sqrt{6}/8\right\rangle$

(a) $\ell_{\vec n}(t) = \left\{\begin{array}{l} x= 1+ t/4 \\ y = \sqrt{2}+ \sqrt{2}t/2\\ z = \sqrt{6} + \sqrt{6}t/8 \end{array}\right.$ (b) $\frac14(x-1) + \frac{\sqrt{2}}{2}(y-\sqrt{2}) + \frac{\sqrt{6}}8(z-\sqrt{6}) = 0$ .

원본 교재 풀이(영어)

$\nabla F = \left\langle x/4, y/2, z/8\right\rangle$ ; at $P$ , $\nabla F = \left\langle 1/4, \sqrt{2}/2, \sqrt{6}/8\right\rangle$

(a) $\ell_{\vec n}(t) = \left\{\begin{array}{l} x= 1+ t/4 \\ y = \sqrt{2}+ \sqrt{2}t/2\\ z = \sqrt{6} + \sqrt{6}t/8 \end{array}\right.$ (b) $\frac14(x-1) + \frac{\sqrt{2}}{2}(y-\sqrt{2}) + \frac{\sqrt{6}}8(z-\sqrt{6}) = 0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 11번

# 방향도함수와 기울기벡터계산자동 분류

397.APEX · 12.6절 · 22번대학 수준우리말 번역

21–24번 연습문제에서 $x$ , $y$ , $z$ 에 대한 음함수로 정의된 함수와 그 곡면 위의 점 $P$ 가 주어져 있습니다. 기울기 벡터 $\nabla F$ 를 이용하여 다음을 구하세요.

(a) $P$ 에서 곡면의 법선의 방정식 (b) $P$ 에서 곡면에 접하는 평면의 방정식

$\displaystyle z^2-\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}9=0$ , $P = (4,-3,\sqrt{5})$ 에서

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, an implicitly defined function of $x$ , $y$ and $z$ is given along with a point $P$ that lies on the surface. Use the gradient $\nabla F$ to:

(a) find the equation of the normal line to the surface at $P$ , and (b) find the equation of the plane tangent to the surface at $P$ .

$\displaystyle z^2-\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}9=0$ , at $P = (4,-3,\sqrt{5})$

정답·풀이 보기

$\nabla F = \left\langle -\frac x2, -\frac{2y}9,2z \right\rangle$ ; at $P$ , $\nabla F = \left\langle -2, 2/3, 2\sqrt{5}\right\rangle$

(a) $\ell_{\vec n}(t) = \left\{\begin{array}{l} x= 4-2t \\ y = -3+ 2t/3\\ z = \sqrt{5} + 2\sqrt{5}t \end{array}\right.$ (b) $-2(x-4) + \frac23(y+3) + 2\sqrt{5}(z-\sqrt{5}) = 0$ .

원본 교재 풀이(영어)

$\nabla F = \left\langle -\frac x2, -\frac{2y}9,2z \right\rangle$ ; at $P$ , $\nabla F = \left\langle -2, 2/3, 2\sqrt{5}\right\rangle$

(a) $\ell_{\vec n}(t) = \left\{\begin{array}{l} x= 4-2t \\ y = -3+ 2t/3\\ z = \sqrt{5} + 2\sqrt{5}t \end{array}\right.$ (b) $-2(x-4) + \frac23(y+3) + 2\sqrt{5}(z-\sqrt{5}) = 0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 12번

# 방향도함수와 기울기벡터계산자동 분류

398.APEX · 12.6절 · 23번대학 수준우리말 번역

21–24번 연습문제에서 $x$ , $y$ , $z$ 에 대한 음함수로 정의된 함수와 그 곡면 위의 점 $P$ 가 주어져 있습니다. 기울기 벡터 $\nabla F$ 를 이용하여 다음을 구하세요.

(a) $P$ 에서 곡면의 법선의 방정식 (b) $P$ 에서 곡면에 접하는 평면의 방정식

$\displaystyle xy^2-xz^2=0$ , $P = (2,1,-1)$ 에서

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, an implicitly defined function of $x$ , $y$ and $z$ is given along with a point $P$ that lies on the surface. Use the gradient $\nabla F$ to:

(a) find the equation of the normal line to the surface at $P$ , and (b) find the equation of the plane tangent to the surface at $P$ .

$\displaystyle xy^2-xz^2=0$ , at $P = (2,1,-1)$

정답·풀이 보기

$\nabla F = \left\langle y^2-z^2, 2xy, -2xz\right\rangle$ ; at $P$ , $\nabla F = \left\langle 0, 4, 4\right\rangle$

(a) $\ell_{\vec n}(t) = \left\{\begin{array}{l} x= 2 \\ y = 1+4t\\ z = -1+4t \end{array}\right.$ (b) $4(y-1) + 4(z+1) = 0$ .

원본 교재 풀이(영어)

$\nabla F = \left\langle y^2-z^2, 2xy, -2xz\right\rangle$ ; at $P$ , $\nabla F = \left\langle 0, 4, 4\right\rangle$

(a) $\ell_{\vec n}(t) = \left\{\begin{array}{l} x= 2 \\ y = 1+4t\\ z = -1+4t \end{array}\right.$ (b) $4(y-1) + 4(z+1) = 0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 13번

# 방향도함수와 기울기벡터계산자동 분류

399.APEX · 12.6절 · 24번대학 수준우리말 번역

21–24번 연습문제에서 $x$ , $y$ , $z$ 에 대한 음함수로 정의된 함수와 그 곡면 위의 점 $P$ 가 주어져 있습니다. 기울기 벡터 $\nabla F$ 를 이용하여 다음을 구하세요.

(a) $P$ 에서 곡면의 법선의 방정식 (b) $P$ 에서 곡면에 접하는 평면의 방정식

$\displaystyle \sin(xy)+\cos(yz)=1$ , $P = (2, \pi/12, 4)$ 에서

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, an implicitly defined function of $x$ , $y$ and $z$ is given along with a point $P$ that lies on the surface. Use the gradient $\nabla F$ to:

(a) find the equation of the normal line to the surface at $P$ , and (b) find the equation of the plane tangent to the surface at $P$ .

$\displaystyle \sin(xy)+\cos(yz)=1$ , at $P = (2, \pi/12, 4)$

정답·풀이 보기

$\nabla F = \left\langle y\cos(xy), x\cos(xy)-z\sin(yz), -y\sin(yz)\right\rangle$ ; at $P$ , $\nabla F = \left\langle \frac{\pi}{8\sqrt{3}}, -\sqrt{3},-\frac{\pi}{8\sqrt{3}}\right\rangle$

(a) $\ell_{\vec n}(t) = \left\{\begin{array}{l} x= 2 +\frac{\pi}{8\sqrt{3}}t\\ y = \frac{\pi}{12}-\sqrt{3}t\\ z = 4-\frac{\pi}{8\sqrt{3}}t \end{array}\right.$ (b) $\frac{\pi}{8\sqrt{3}}(x-2) -\sqrt{3}(y-\frac{\pi}{12}) -\frac{\pi}{8\sqrt{3}}(z-4) = 0$ .

원본 교재 풀이(영어)

$\nabla F = \left\langle y\cos(xy), x\cos(xy)-z\sin(yz), -y\sin(yz)\right\rangle$ ; at $P$ , $\nabla F = \left\langle \frac{\pi}{8\sqrt{3}}, -\sqrt{3},-\frac{\pi}{8\sqrt{3}}\right\rangle$

(a) $\ell_{\vec n}(t) = \left\{\begin{array}{l} x= 2 +\frac{\pi}{8\sqrt{3}}t\\ y = \frac{\pi}{12}-\sqrt{3}t\\ z = 4-\frac{\pi}{8\sqrt{3}}t \end{array}\right.$ (b) $\frac{\pi}{8\sqrt{3}}(x-2) -\sqrt{3}(y-\frac{\pi}{12}) -\frac{\pi}{8\sqrt{3}}(z-4) = 0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 3번

# 방향도함수와 기울기벡터계산자동 분류

400.APEX · 12.7절 · 15번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–18에서, 주어진 제약 조건 아래에서 함수의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

$\displaystyle f(x,y) = x^2+y^2+y+1$ , 꼭짓점이 $(0,1)$ , $(-1,-1)$ , $(1,-1)$ 인 삼각형으로 제한된다.

영어 원문 보기

In Exercises 15–18, find the absolute maximum and minimum of the function subject to the given constraint.

$\displaystyle f(x,y) = x^2+y^2+y+1$ , constrained to the triangle with vertices $(0,1)$ , $(-1,-1)$ and $(1,-1)$ .

정답·풀이 보기

이 삼각형은 직선 $y=-1$ , $y=2x+1$ , $y=-2x+1$ 로 둘러싸여 있다.

$y=-1$ 위에서는 $(0,-1)$ 에 임계점이 있다.

$y=2x+1$ 위에서는 $(-3/5,-1/5)$ 에 임계점이 있다.

$y=-2x+1$ 위에서는 $(3/5,-1/5)$ 에 임계점이 있다.

함수 $f$ 는 제약 조건과 관계없이 $(0,-1/2)$ 에 임계점이 하나 있다.

이 네 점과 삼각형의 세 꼭짓점에서 $f$ 의 값을 확인하면, 최댓값은 $(0,1,3)$ 에서, 최솟값은 $(0,-1/2,3/4)$ 에서 얻는다.

원본 교재 풀이(영어)

The triangle is bound by the lines $y=-1$ , $y=2x+1$ and $y=-2x+1$ .

Along $y=-1$ , there is a critical point at $(0,-1)$ .

Along $y=2x+1$ , there is a critical point at $(-3/5,-1/5)$ .

Along $y=-2x+1$ , there is a critical point at $(3/5,-1/5)$ .

The function $f$ has one critical point, irrespective of the constraint, at $(0,-1/2)$ .

Checking the value of $f$ at these four points, along with the three vertices of the triangle, we find the absolute maximum is at $(0,1,3)$ and the absolute minimum is at $(0,-1/2,3/4)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 37번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

다변수 미분 전체 문제