멱급수의 연산 연습문제 | 빌드라인 스쿨

41.OpenStax 2권 · 6.2절 · 41번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] $\ln (1+x)$ 의 무한급수에서 $\ln (1-x)$ 의 무한급수를 빼서 $\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ 의 거듭제곱급수를 구하세요. $x=\frac{1}{3}$ 에서 값을 구하세요. 이 급수의 제 N 부분합이 $\ln (2)$ 를 오차 0.001 미만으로 근사하게 되는 가장 작은 N 은 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Subtract the infinite series of $\ln (1-x)$ from $\ln (1+x)$ to get a power series for $\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right).$ Evaluate at $x=\frac{1}{3}.$ What is the smallest N such that the Nth partial sum of this series approximates $\ln (2)$ with an error less than 0.001?

정답·풀이 보기

$\ln (1-x)=-\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{x}^{n}}{n}$ 이므로 $\ln (1+x)=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\frac{{x}^{n}}{n}$ 이다. 따라서 $\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)=\sum_{n=1}^{\infty }(1+{(-1)}^{n-1})\frac{{x}^{n}}{n}=2\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{x}^{2n-1}}{2n-1}$ 이다. $x=\frac{1}{3}$ 일 때 $\ln (2)=2\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{{3}^{2n-1}(2n-1)}$ 을 얻는다. $2\sum_{n=1}^{3}\frac{1}{{3}^{2n-1}(2n-1)}=0.69300\ldots$ 이고 $2\sum_{n=1}^{4}\frac{1}{{3}^{2n-1}(2n-1)}=0.69313\ldots$ 이며 $\ln (2)=0.69314\ldots$ 이므로 $N=4$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

We have $\ln (1-x)=-\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{x}^{n}}{n}$ so $\ln (1+x)=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\frac{{x}^{n}}{n}.$ Thus, $\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)=\sum_{n=1}^{\infty }(1+{(-1)}^{n-1})\frac{{x}^{n}}{n}=2\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{x}^{2n-1}}{2n-1}.$ When $x=\frac{1}{3}$ we obtain $\ln (2)=2\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{{3}^{2n-1}(2n-1)}.$ We have $2\sum_{n=1}^{3}\frac{1}{{3}^{2n-1}(2n-1)}=0.69300\ldots ,$ while $2\sum_{n=1}^{4}\frac{1}{{3}^{2n-1}(2n-1)}=0.69313\ldots$ and $\ln (2)=0.69314\ldots ;$ therefore, $N=4.$

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# 멱급수의 연산계산자동 분류

42.OpenStax 2권 · 6.2절 · 42번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 치환이 제시된 경우에는 치환을 사용하여, 각 급수를 초등함수로 나타내고 그 합의 수렴 반지름을 구하세요.

$\sum_{k=0}^{\infty }({x}^{k}-{x}^{2k+1})$

영어 원문 보기

In the following exercises, using a substitution if indicated, express each series in terms of elementary functions and find the radius of convergence of the sum.

$\sum_{k=0}^{\infty }({x}^{k}-{x}^{2k+1})$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 멱급수의 연산계산자동 분류

43.OpenStax 2권 · 6.2절 · 43번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서, 지시가 있으면 치환을 이용하여 각 급수를 초등함수로 나타내고, 그 합의 수렴 반지름을 구하세요.

$\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{x}^{3k}}{6k}$

영어 원문 보기

In the following exercises, using a substitution if indicated, express each series in terms of elementary functions and find the radius of convergence of the sum.

$\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{x}^{3k}}{6k}$

정답·풀이 보기

$\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{x}^{k}}{k}=-\ln (1-x)$ 이므로 $\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{x}^{3k}}{6k}=-\frac{1}{6}\ln (1-{x}^{3})$ . 수렴 반지름은 비판정법에 의해 1이다.

원본 교재 풀이(영어)

$\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{x}^{k}}{k}=-\ln (1-x)$ so $\sum_{k=1}^{\infty }\frac{{x}^{3k}}{6k}=-\frac{1}{6}\ln (1-{x}^{3}).$ The radius of convergence is equal to 1 by the ratio test.

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# 멱급수의 연산계산자동 분류

44.OpenStax 2권 · 6.2절 · 44번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 치환이 제시된 경우 치환을 이용하여 각 급수를 기본함수로 나타내고, 그 합의 수렴 반지름을 구하세요.

$\sum_{k=1}^{\infty }{(1+{x}^{2})}^{-k}$ 에서 $y=\frac{1}{1+{x}^{2}}$ 로 치환하세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, using a substitution if indicated, express each series in terms of elementary functions and find the radius of convergence of the sum.

$\sum_{k=1}^{\infty }{(1+{x}^{2})}^{-k}$ using $y=\frac{1}{1+{x}^{2}}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 멱급수의 연산계산자동 분류

45.OpenStax 2권 · 6.2절 · 45번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 치환이 제시된 경우 치환을 이용하여 각 급수를 기본함수로 나타내고, 그 합의 수렴 반지름을 구하세요.

$\sum_{k=1}^{\infty }{2}^{-kx}$ 에서 $y={2}^{-x}$ 로 치환하세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, using a substitution if indicated, express each series in terms of elementary functions and find the radius of convergence of the sum.

$\sum_{k=1}^{\infty }{2}^{-kx}$ using $y={2}^{-x}$

정답·풀이 보기

$y={2}^{-x}$ 이면 $\sum_{k=1}^{\infty }{y}^{k}=\frac{y}{1-y}=\frac{{2}^{-x}}{1-{2}^{-x}}=\frac{1}{{2}^{x}-1}$ 이다. ${a}_{k}={2}^{-kx}$ 이면 $x>0$ 일 때 $\frac{{a}_{k+1}}{{a}_{k}}={2}^{-x}<1$ 이다. 따라서 이 급수는 모든 $x>0$ 에 대해 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

If $y={2}^{-x},$ then $\sum_{k=1}^{\infty }{y}^{k}=\frac{y}{1-y}=\frac{{2}^{-x}}{1-{2}^{-x}}=\frac{1}{{2}^{x}-1}.$ If ${a}_{k}={2}^{-kx},$ then $\frac{{a}_{k+1}}{{a}_{k}}={2}^{-x}<1$ when $x>0.$ So the series converges for all $x>0.$

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# 멱급수의 연산계산자동 분류

46.OpenStax 2권 · 6.2절 · 46번대학 수준우리말 번역

x³ 과 y³ 의 거듭제곱 항까지 $E(x)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{x}^{n}}{n!}$ 이 $E(x+y)=E(x)E(y)$ 를 만족시킴을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that, up to powers x³ and y³, $E(x)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{x}^{n}}{n!}$ satisfies $E(x+y)=E(x)E(y).$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 멱급수의 연산증명·논술자동 분류

47.OpenStax 2권 · 6.2절 · 47번대학 수준우리말 번역

급수 $E(x)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{x}^{n}}{n!}$ 을 항별로 미분하여 $E(x)$ 가 그 도함수와 같음을 보이세요.

영어 원문 보기

Differentiate the series $E(x)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{x}^{n}}{n!}$ term-by-term to show that $E(x)$ is equal to its derivative.

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

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# 멱급수의 연산증명·논술자동 분류

48.OpenStax 2권 · 6.2절 · 48번대학 수준우리말 번역

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 이 짝수 차수 항들의 합, 즉 n 이 홀수이면 ${a}_{n}=0$ 일 때, $F={\int }_{0}^{x}f(t)dt$ 는 홀수 차수 항들의 합이고, f 가 홀수 차수 항들의 합이면 F 는 짝수 차수 항들의 합임을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that if $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ is a sum of even powers, that is, ${a}_{n}=0$ if n is odd, then $F={\int }_{0}^{x}f(t)dt$ is a sum of odd powers, while if f is a sum of odd powers, then F is a sum of even powers.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 멱급수의 연산증명·논술자동 분류

49.OpenStax 2권 · 6.2절 · 49번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 급수 $\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 의 계수 a_n 이 점화 관계 ${a}_{n}=\frac{{a}_{n-1}}{n}+\frac{{a}_{n-2}}{n(n-1)}$ 로 정의된다고 하자. ${a}_{0}=0$ , ${a}_{1}=1$ 일 때, $[-1,1]$ 에서 $N=2,3,4,5$ 에 대해 부분합 ${S}_{N}=\sum_{n=0}^{N}{a}_{n}{x}^{n}$ 을 계산하고 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

[T] Suppose that the coefficients a_n of the series $\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ are defined by the recurrence relation ${a}_{n}=\frac{{a}_{n-1}}{n}+\frac{{a}_{n-2}}{n(n-1)}.$ For ${a}_{0}=0$ and ${a}_{1}=1,$ compute and plot the sums ${S}_{N}=\sum_{n=0}^{N}{a}_{n}{x}^{n}$ for $N=2,3,4,5$ on $[-1,1].$

정답·풀이 보기

세 개의 곡선을 그린 그래프이다. 곡선은 모두 증가하며, x = 0 에 가까워질수록 서로 매우 가까워진다. 그리고 x 가 0 에서 멀어지면 곡선들이 서로 갈라진다.

실선은 S₅ 이다. 파선은 S₂, 점선은 S₃, 일점쇄선은 S₄ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

This is a graph of three curves. They are all increasing and become very close as the curves approach x = 0. Then they separate as x moves away from 0.

The solid curve is S₅. The dashed curve is S₂, dotted is S₃, and dash-dotted is S₄

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# 멱급수의 연산계산자동 분류

50.OpenStax 2권 · 6.2절 · 50번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 급수 $\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 의 계수 a_n 이 점화 관계 ${a}_{n}=\frac{{a}_{n-1}}{\sqrt{n}}-\frac{{a}_{n-2}}{\sqrt{n(n-1)}}$ 로 정의된다고 하자. ${a}_{0}=1$ , ${a}_{1}=0$ 일 때, $[-1,1]$ 에서 $N=2,3,4,5$ 에 대해 부분합 ${S}_{N}=\sum_{n=0}^{N}{a}_{n}{x}^{n}$ 을 계산하고 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

[T] Suppose that the coefficients a_n of the series $\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ are defined by the recurrence relation ${a}_{n}=\frac{{a}_{n-1}}{\sqrt{n}}-\frac{{a}_{n-2}}{\sqrt{n(n-1)}}.$ For ${a}_{0}=1$ and ${a}_{1}=0,$ compute and plot the sums ${S}_{N}=\sum_{n=0}^{N}{a}_{n}{x}^{n}$ for $N=2,3,4,5$ on $[-1,1].$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 멱급수의 연산계산자동 분류

51.OpenStax 2권 · 6.2절 · 51번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 거듭제곱급수 전개 $\ln (1+x)=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\frac{{x}^{n}}{n}$ 가 주어졌을 때, $x=-1/2$ 에서 계산한 합의 항을 몇 개(N 개) 더해야 $\ln (2)$ 를 오차 1/1000 이내로 어림할 수 있는지 구하세요. 이에 해당하는 부분합 $\sum_{n=1}^{N}{(-1)}^{n-1}\frac{{x}^{n}}{n}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Given the power series expansion $\ln (1+x)=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\frac{{x}^{n}}{n},$ determine how many terms N of the sum evaluated at $x=-1/2$ are needed to approximate $\ln (2)$ accurate to within 1/1000. Evaluate the corresponding partial sum $\sum_{n=1}^{N}{(-1)}^{n-1}\frac{{x}^{n}}{n}.$

정답·풀이 보기

$x=-\frac{1}{2},-\ln (2)=\ln \left(\frac{1}{2}\right)=-\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n{2}^{n}}$ 일 때이다. $\sum_{n=11}^{\infty }\frac{1}{n{2}^{n}}<\sum_{n=11}^{\infty }\frac{1}{{2}^{n}}=\frac{1}{{2}^{10}}$ 이므로 $\sum_{n=1}^{10}\frac{1}{n{2}^{n}}=0.69306\ldots$ 이고 $\ln (2)=0.69314\ldots$ 이다. 따라서 $N=10.$

원본 교재 풀이(영어)

When $x=-\frac{1}{2},-\ln (2)=\ln \left(\frac{1}{2}\right)=-\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n{2}^{n}}.$ Since $\sum_{n=11}^{\infty }\frac{1}{n{2}^{n}}<\sum_{n=11}^{\infty }\frac{1}{{2}^{n}}=\frac{1}{{2}^{10}},$ one has $\sum_{n=1}^{10}\frac{1}{n{2}^{n}}=0.69306\ldots$ whereas $\ln (2)=0.69314\ldots ;$ therefore, $N=10.$

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# 멱급수의 연산계산자동 분류

52.OpenStax 2권 · 6.2절 · 52번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 거듭제곱급수 전개 ${\tan }^{-1}(x)=\sum_{k=0}^{\infty }{(-1)}^{k}\frac{{x}^{2k+1}}{2k+1}$ 가 주어졌을 때, 교대급수 판정법을 이용하여 ${\tan }^{-1}(1)=\frac{\pi }{4}$ 를 오차 1/1000 이내로 어림하려면 $x=1$ 에서 계산한 합의 항이 몇 개(N) 필요한지 판단하세요. 그에 해당하는 부분합 $\sum_{k=0}^{N}{(-1)}^{k}\frac{{x}^{2k+1}}{2k+1}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Given the power series expansion ${\tan }^{-1}(x)=\sum_{k=0}^{\infty }{(-1)}^{k}\frac{{x}^{2k+1}}{2k+1},$ use the alternating series test to determine how many terms N of the sum evaluated at $x=1$ are needed to approximate ${\tan }^{-1}(1)=\frac{\pi }{4}$ accurate to within 1/1000. Evaluate the corresponding partial sum $\sum_{k=0}^{N}{(-1)}^{k}\frac{{x}^{2k+1}}{2k+1}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 멱급수의 연산계산자동 분류

53.OpenStax 2권 · 6.2절 · 53번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] ${\tan }^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi }{6}$ 임을 떠올리세요. $\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ 의 값을 정확한 값으로 가정하고, 거듭제곱급수 전개 ${\tan }^{-1}(x)=\sum_{k=0}^{\infty }{(-1)}^{k}\frac{{x}^{2k+1}}{2k+1}$ 의 $x=\frac{1}{\sqrt{3}}$ 에서의 부분합 ${S}_{N}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ 을 계산하여 $\frac{\pi }{6}$ 을 어림하세요. $6{S}_{N}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ 이 π 를 오차 0.001 이내로 어림하는 가장 작은 수 N 은 얼마인지 구하세요. 오차 0.00001 이내로 어림하려면 항이 몇 개 필요한지 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Recall that ${\tan }^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi }{6}.$ Assuming an exact value of $\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right),$ estimate $\frac{\pi }{6}$ by evaluating partial sums ${S}_{N}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ of the power series expansion ${\tan }^{-1}(x)=\sum_{k=0}^{\infty }{(-1)}^{k}\frac{{x}^{2k+1}}{2k+1}$ at $x=\frac{1}{\sqrt{3}}.$ What is the smallest number N such that $6{S}_{N}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ approximates π accurately to within 0.001? How many terms are needed for accuracy to within 0.00001?

정답·풀이 보기

$6{S}_{N}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=2\sqrt{3}\sum_{n=0}^{N}{(-1)}^{n}\frac{1}{{3}^{n}(2n+1)}.$ $\pi -6{S}_{4}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0.00101\ldots$ 이고 $\pi -6{S}_{5}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0.00028\ldots$ 이므로 $N=5$ 가 오차 0.001 이내인 가장 작은 부분합이다. 또한 $\pi -6{S}_{7}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0.00002\ldots$ 이고 $\pi -6{S}_{8}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-0.000007\ldots$ 이므로 $N=8$ 이 오차 0.00001 이내가 되는 가장 작은 N 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$6{S}_{N}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=2\sqrt{3}\sum_{n=0}^{N}{(-1)}^{n}\frac{1}{{3}^{n}(2n+1)}.$ One has $\pi -6{S}_{4}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0.00101\ldots$ and $\pi -6{S}_{5}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0.00028\ldots$ so $N=5$ is the smallest partial sum with accuracy to within 0.001. Also, $\pi -6{S}_{7}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0.00002\ldots$ while $\pi -6{S}_{8}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-0.000007\ldots$ so $N=8$ is the smallest N to give accuracy to within 0.00001.

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# 멱급수의 연산계산자동 분류