공간에서의 운동 연습문제

41.APEX · 11.3절 · 29번대학 수준우리말 번역

연습문제 29–32 에서는 물체의 가속도와 처음 속도, 처음 위치가 주어질 때 그 물체의 위치 함수를 구하세요.

$\vec a(t) = \left\langle 2,3\right\rangle$ ; $\vec v(0) = \left\langle 1,2\right\rangle$ , $\vec r(0) = \left\langle 5,-2\right\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 29–32 , find the position function of an object given its acceleration and initial velocity and position.

$\vec a(t) = \left\langle 2,3\right\rangle$ ; $\vec v(0) = \left\langle 1,2\right\rangle$ , $\vec r(0) = \left\langle 5,-2\right\rangle$

정답·풀이 보기

$\vec v(t) = \left\langle 2t+1,3t+2\right\rangle$ , $\vec r(t) = \left\langle t^2+t+5,3t^2/2+2t-2\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\vec v(t) = \left\langle 2t+1,3t+2\right\rangle$ , $\vec r(t) = \left\langle t^2+t+5,3t^2/2+2t-2\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 39번

# 공간에서의 운동활용자동 분류

42.APEX · 11.3절 · 30번대학 수준우리말 번역

연습문제 29–32 에서는 물체의 가속도와 처음 속도, 처음 위치가 주어질 때 그 물체의 위치 함수를 구하세요.

$\vec a(t) = \left\langle 2,3\right\rangle$ ; $\vec v(1) = \left\langle 1,2\right\rangle$ , $\vec r(1) = \left\langle 5,-2\right\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 29–32 , find the position function of an object given its acceleration and initial velocity and position.

$\vec a(t) = \left\langle 2,3\right\rangle$ ; $\vec v(1) = \left\langle 1,2\right\rangle$ , $\vec r(1) = \left\langle 5,-2\right\rangle$

정답·풀이 보기

$\vec v(t) = \left\langle 2t-1,3t-1\right\rangle$ , $\vec r(t) = \left\langle t^2-t+5,3t^2/2-t-5/2\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\vec v(t) = \left\langle 2t-1,3t-1\right\rangle$ , $\vec r(t) = \left\langle t^2-t+5,3t^2/2-t-5/2\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 15번

# 공간에서의 운동활용자동 분류

43.APEX · 11.3절 · 31번대학 수준우리말 번역

연습문제 29–32 에서는 물체의 가속도와 처음 속도, 처음 위치가 주어질 때 그 물체의 위치 함수를 구하세요.

$\vec a(t) = \left\langle \cos t,-\sin t\right\rangle$ ; $\vec v(0) = \left\langle 0,1\right\rangle$ , $\vec r(0) = \left\langle 0,0\right\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 29–32 , find the position function of an object given its acceleration and initial velocity and position.

$\vec a(t) = \left\langle \cos t,-\sin t\right\rangle$ ; $\vec v(0) = \left\langle 0,1\right\rangle$ , $\vec r(0) = \left\langle 0,0\right\rangle$

정답·풀이 보기

$\vec v(t) = \left\langle \sin t,\cos t\right\rangle$ , $\vec r(t) = \left\langle 1-\cos t,\sin t\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\vec v(t) = \left\langle \sin t,\cos t\right\rangle$ , $\vec r(t) = \left\langle 1-\cos t,\sin t\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 27번

# 공간에서의 운동활용자동 분류

44.APEX · 11.3절 · 32번대학 수준우리말 번역

연습문제 29–32 에서는 물체의 가속도와 처음 속도, 처음 위치가 주어질 때 그 물체의 위치 함수를 구하세요.

$\vec a(t) = \left\langle 0,-32\right\rangle$ ; $\vec v(0) = \left\langle 10,50\right\rangle$ , $\vec r(0) = \left\langle 0,0\right\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 29–32 , find the position function of an object given its acceleration and initial velocity and position.

$\vec a(t) = \left\langle 0,-32\right\rangle$ ; $\vec v(0) = \left\langle 10,50\right\rangle$ , $\vec r(0) = \left\langle 0,0\right\rangle$

정답·풀이 보기

$\vec v(t) = \left\langle 10,-32t+50\right\rangle$ , $\vec r(t) = \left\langle 10t,-16t^2+50t\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\vec v(t) = \left\langle 10,-32t+50\right\rangle$ , $\vec r(t) = \left\langle 10t,-16t^2+50t\right\rangle$

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# 공간에서의 운동활용자동 분류

45.APEX · 11.3절 · 33번대학 수준우리말 번역

연습문제 33–36에서, 주어진 구간에서 다음 물체의 변위, 이동 거리, 평균 속도, 평균 속력을 구하세요.

위치 함수가 $\vec r(t) = \left\langle 2\cos t,2\sin t, 3t\right\rangle$ 인 물체이다. 여기서 거리는 피트 단위, 시간은 초 단위로 측정하며, 구간은 $[0,2\pi]$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 33–36 , find the displacement, distance traveled, average velocity and average speed of the described object on the given interval.

An object with position function $\vec r(t) = \left\langle 2\cos t,2\sin t, 3t\right\rangle$ , where distances are measured in feet and time is in seconds, on $[0,2\pi]$ .

정답·풀이 보기

변위: $\left\langle 0,0,6\pi\right\rangle$ ; 이동 거리: $2\sqrt{13}\pi \approx 22.65$ ft; 평균 속도: $\left\langle 0,0,3\right\rangle$ ; 평균 속력: $\sqrt{13} \approx 3.61$ ft/s

원본 교재 풀이(영어)

Displacement: $\left\langle 0,0,6\pi\right\rangle$ ; distance traveled: $2\sqrt{13}\pi \approx 22.65$ ft; average velocity: $\left\langle 0,0,3\right\rangle$ ; average speed: $\sqrt{13} \approx 3.61$ ft/s

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 33번

# 공간에서의 운동활용자동 분류

46.APEX · 11.3절 · 34번대학 수준우리말 번역

연습문제 33–36에서, 주어진 구간에서 다음 물체의 변위, 이동 거리, 평균 속도, 평균 속력을 구하세요.

위치 함수가 $\vec r(t) = \left\langle 5\cos t,-5\sin t\right\rangle$ 인 물체이다. 여기서 거리는 피트 단위, 시간은 초 단위로 측정하며, 구간은 $[0,\pi]$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 33–36 , find the displacement, distance traveled, average velocity and average speed of the described object on the given interval.

An object with position function $\vec r(t) = \left\langle 5\cos t,-5\sin t\right\rangle$ , where distances are measured in feet and time is in seconds, on $[0,\pi]$ .

정답·풀이 보기

변위: $\left\langle -10,0\right\rangle$ ; 이동 거리: $5\pi \approx 15.71$ ft; 평균 속도: $\left\langle -10/\pi,0\right\rangle \approx \left\langle -3.18,0\right\rangle$ ; 평균 속력: $5$ ft/s

원본 교재 풀이(영어)

Displacement: $\left\langle -10,0\right\rangle$ ; distance traveled: $5\pi \approx 15.71$ ft; average velocity: $\left\langle -10/\pi,0\right\rangle \approx \left\langle -3.18,0\right\rangle$ ; average speed: $5$ ft/s

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 29번

# 공간에서의 운동활용자동 분류

47.APEX · 11.3절 · 35번대학 수준우리말 번역

연습문제 33–36에서, 주어진 구간에서 다음 물체의 변위, 이동 거리, 평균 속도, 평균 속력을 구하세요.

속도 함수가 $\vec v(t) = \left\langle \cos t,\sin t\right\rangle$ 인 물체이다. 여기서 거리는 피트 단위, 시간은 초 단위로 측정하며, 구간은 $[0,2\pi]$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 33–36 , find the displacement, distance traveled, average velocity and average speed of the described object on the given interval.

An object with velocity function $\vec v(t) = \left\langle \cos t,\sin t\right\rangle$ , where distances are measured in feet and time is in seconds, on $[0,2\pi]$ .

정답·풀이 보기

변위: $\left\langle 0,0\right\rangle$ ; 이동 거리: $2\pi \approx 6.28$ ft; 평균 속도: $\left\langle 0,0\right\rangle$ ; 평균 속력: $1$ ft/s

원본 교재 풀이(영어)

Displacement: $\left\langle 0,0\right\rangle$ ; distance traveled: $2\pi \approx 6.28$ ft; average velocity: $\left\langle 0,0\right\rangle$ ; average speed: $1$ ft/s

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 33번

# 공간에서의 운동활용자동 분류

48.APEX · 11.3절 · 36번대학 수준우리말 번역

연습문제 33–36에서, 주어진 구간에서 다음 물체의 변위, 이동 거리, 평균 속도, 평균 속력을 구하세요.

속도 함수가 $\vec v(t) = \left\langle 1,2,-1\right\rangle$ 인 물체이다. 여기서 거리는 피트 단위, 시간은 초 단위로 측정하며, 구간은 $[0,10]$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 33–36 , find the displacement, distance traveled, average velocity and average speed of the described object on the given interval.

An object with velocity function $\vec v(t) = \left\langle 1,2,-1\right\rangle$ , where distances are measured in feet and time is in seconds, on $[0,10]$ .

정답·풀이 보기

변위: $\left\langle 10,20,-20\right\rangle$ ; 이동 거리: $30$ ft; 평균 속도: $\left\langle 1,2,-2\right\rangle$ ; 평균 속력: $3$ ft/s

원본 교재 풀이(영어)

Displacement: $\left\langle 10,20,-20\right\rangle$ ; distance traveled: $30$ ft; average velocity: $\left\langle 1,2,-2\right\rangle$ ; average speed: $3$ ft/s

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 21번

# 공간에서의 운동활용자동 분류

49.APEX · 11.3절 · 37번대학 수준우리말 번역

연습문제 37–42는 투사체 운동의 원리에 바탕을 둔 여러 문제를 풀어 봅니다.

한 소년이 3ft 길이의 끈에 매단 공을 머리 위에서 반시계 방향으로 원을 그리며 돌린다. 공은 1초에 2번 회전한다.

공이 소년 앞 10ft 거리에 서 있는 나무를 향해 곧바로 날아가려면, 소년은 $t$ 의 값이 얼마일 때 끈을 놓아야 하는지 구하세요.

영어 원문 보기

Exercises 37–42 ask you to solve a variety of problems based on the principles of projectile motion.

A boy whirls a ball, attached to a 3ft string, above his head in a counter–clockwise circle. The ball makes 2 revolutions per second.

At what $t$ -values should the boy release the string so that the ball heads directly for a tree standing 10ft in front of him?

정답·풀이 보기

$t$ 의 값이 $\sin^{-1}(9/30)/(4\pi) + n/2 \approx 0.024 + n/2$ 초일 때이다. 여기서 $n$ 은 정수이다.

원본 교재 풀이(영어)

At $t$ -values of $\sin^{-1}(9/30)/(4\pi) + n/2 \approx 0.024 + n/2$ seconds, where $n$ is an integer.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 11번

# 공간에서의 운동활용자동 분류

50.APEX · 11.3절 · 38번대학 수준우리말 번역

연습문제 37–42번은 포물선 운동(투사체 운동)의 원리를 바탕으로 한 여러 문제를 풀도록 한다.

데이비드는 길이 3ft의 물매(투석끈)에 돌 하나만 들고 골리앗과 마주 서 있다. 그는 이 돌을 머리 위에서 초당 4회전의 속도로 휘돌린다. 두 사람은 20ft 떨어져 서 있다.

(a) 골리앗을 맞히려면 데이비드는 물매의 돌을 어떤 $t$ 값에서 놓아야 하는지 구하세요. (b) 돌을 놓는 순간 돌의 속력을 구하세요. (c) 데이비드가 돌을 6ft 높이에서 놓고 골리앗의 이마가 지면으로부터 9ft 높이에 있다고 가정할 때, 골리앗의 머리를 맞히려면 데이비드가 돌에 어떤 올려본각을 주어야 하는지 구하세요.

영어 원문 보기

Exercises 37–42 ask you to solve a variety of problems based on the principles of projectile motion.

David faces Goliath with only a stone in a 3ft sling, which he whirls above his head at 4 revolutions per second. They stand 20ft apart.

(a) At what $t$ -values must David release the stone in his sling in order to hit Goliath? (b) What is the speed at which the stone is traveling when released? (c) Assume David releases the stone from a height of 6ft and Goliath's forehead is 9ft above the ground. What angle of elevation must David apply to the stone to hit Goliath's head?

정답·풀이 보기

휘돌리는 동안의 돌은 $\vec r(t) = \left\langle 3\cos(8\pi t),3\sin (8\pi t)\right\rangle$ 로 나타낼 수 있다.

(a) $t$ 값은 $t=\sin^{-1}(3/20)/(8\pi) + n/4 \approx 0.006 + n/4$ 이다. 여기서 $n$ 은 정수이다. (b) $\left\|\vec r\,'(t)\right\| = 24\pi\approx 51.4$ ft/s (c) $t=0.006$ 일 때 돌은 골리앗으로부터 약 $19.77$ ft 떨어져 있다. 포물선 운동 공식을 이용하여, $\left\langle 0,6\right\rangle$ 에서 처음 속도 $51.4$ ft/s 로 출발한 투사체가 $\left\langle 19.77,9\right\rangle$ 에 도달하게 하는 올려본각을 구한다. 구하는 각은 $0.27$ 라디안, 즉 $15.69^\circ$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The stone, while whirling, can be modeled by $\vec r(t) = \left\langle 3\cos(8\pi t),3\sin (8\pi t)\right\rangle$ .

(a) For $t$ -values $t=\sin^{-1}(3/20)/(8\pi) + n/4 \approx 0.006 + n/4$ , where $n$ is an integer. (b) $\left\|\vec r\,'(t)\right\| = 24\pi\approx 51.4$ ft/s (c) At $t=0.006$ , the stone is approximately $19.77$ ft from Goliath. Using the formula for projectile motion, we want the angle of elevation that lets a projectile starting at $\left\langle 0,6\right\rangle$ with a initial velocity of $51.4$ ft/s arrive at $\left\langle 19.77,9\right\rangle$ . The desired angle is $0.27$ radians, or $15.69^\circ$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 19번

# 공간에서의 운동활용자동 분류

51.APEX · 11.3절 · 42번대학 수준우리말 번역

연습문제 37–42는 포물선 운동(투사체 운동)의 원리에 바탕을 둔 여러 문제를 풀도록 요구한다.

미식축구 쿼터백이 6피트 높이에서 패스를 던져, 20야드 떨어진 곳에서 5피트 높이에 있는 리시버를 맞히려고 한다.

(a) 공을 50마일/시의 속력으로 던진다면, 목표를 맞히려면 올려 보는 각(앙각)이 얼마여야 하는지 구하세요. (b) 공을 올려 보는 각 $8^\circ$ 로 던진다면, 목표를 맞히려면 공의 처음 속력이 얼마여야 하는지 구하세요.

영어 원문 보기

Exercises 37–42 ask you to solve a variety of problems based on the principles of projectile motion.

A football quarterback throws a pass from a height of 6ft, intending to hit his receiver 20yds away at a height of 5ft.

(a) If the ball is thrown at a rate of 50mph, what angle of elevation is needed to hit his intended target? (b) If the ball is thrown at with an angle of elevation of $8^\circ$ , what initial ball speed is needed to hit his target?

정답·풀이 보기

공의 위치 함수는 $\vec r(t) = \left\langle (v_0\cos\theta)t,-16t^2+(v_0\sin\theta)t+6\right\rangle$ 이다. 여기서 $\theta$ 는 올려 보는 각이고 $v_0$ 는 공의 처음 속력이다.

(a) $v_0 = 73.33$ 피트/초일 때 가능한 올려 보는 각은 두 가지이다. $\theta = 9.47^\circ$ 이면 공이 0.83초 만에 도달하고, $79.57^\circ$ 이면 $4.5$ 초 만에 도달한다. (b) $\theta=8^\circ$ 일 때 처음 속력은 53.8마일/시 $\approx 78.9$ 피트/초이어야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

The position function of the ball is $\vec r(t) = \left\langle (v_0\cos\theta)t,-16t^2+(v_0\sin\theta)t+6\right\rangle$ , where $\theta$ is the angle of elevation and $v_0$ is the initial ball speed.

(a) With $v_0 = 73.33$ ft/s, there are two angles of elevation possible. An angle of $\theta = 9.47^\circ$ delivers the ball in 0.83s, while an angle of $79.57^\circ$ delivers the ball in $4.5$ s. (b) With $\theta=8^\circ$ , the initial speed must be 53.8mph $\approx 78.9$ ft/s.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 29번

# 공간에서의 운동활용자동 분류

52.CLP-4 · 1.7절 · 6번대학 수준우리말 번역

스케이트보더가 반지름이 5 m 인 마찰이 없는 원형 배수로 안에서 굴러가고 있습니다. 스케이트보더가 배수로를 한 바퀴 완전히 돌려면, 배수로의 맨 아래( $y=0$ )에서 속력이 얼마여야 하는지 구하세요.

영어 원문 보기

A skateboarder is rolling on a frictionless circular culvert of radius 5 m. What should their speed be when they're at the bottom of the culvert ( $y=0$ ) for them to make it all the way around?

정답·풀이 보기

교재에서, 스케이트보더가 한 바퀴 완전히 돌 조건은 $\frac{5}{2}(5) \le\frac{E}{mg}$ 이다. 에너지 $E$ 는 계의 운동 에너지와 위치 에너지의 합인 $E=\frac12m|\mathbf{v}|^2+mgy$ 로 주어진다. $y=0$ 일 때 에너지는 모두 운동 에너지이므로 $E=\frac12m|\mathbf{v}|^2$ 이다. 여기서 $|\mathbf{v}|$ 는 배수로의 맨 아래에서 스케이트보더의 속도이다.

따라서 다음을 푼다:

$\begin{aligned} \frac{25}{2}&\le\frac{E}{mg}=\frac{\frac12m|\mathbf{v}|^2}{m\cdot9.8}\\ |\mathbf{v}|&\ge5\sqrt{9.8} \end{aligned}$

따라서 $5\sqrt{9.8}$ m/s 이상의 속력이 필요하다. (이는 약 56 km/h 이다.)

원본 교재 풀이(영어)

From the text, the skateboarder will make it all the way around when $\frac{5}{2}(5) \le\frac{E}{mg}$ . Energy $E$ is given by $E=\frac12m|\mathbf{v}|^2+mgy$ , the sum of the kinetic and potential energy of the system. At $y=0$ , all the energy is kinetic, so $E=\frac12m|\mathbf{v}|^2$ , where $|\mathbf{v}|$ is the skater's velocity at the bottom of the culvert.

So, we solve:

$\begin{aligned} \frac{25}{2}&\le\frac{E}{mg}=\frac{\frac12m|\mathbf{v}|^2}{m\cdot9.8}\\ |\mathbf{v}|&\ge5\sqrt{9.8} \end{aligned}$

So, a speed of $5\sqrt{9.8}$ m/s or higher is needed. (That's about 56 kph.)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.7절 · 5번

# 공간에서의 운동활용보통자동 분류