공간에서의 운동 연습문제

1.OpenStax 3권 · 3.4절 · 1번대학 수준우리말 번역

$\text{r}(t)=(3{t}^{2}-2)\text{i}+(2t-\sin (t))\text{j}$ 가 주어질 때, 이 곡선을 따라 움직이는 입자의 속도를 구하세요.

이 그림은 xy 평면 위의 곡선이다. 곡선은 제4사분면에서 y축 쪽으로 향하며 시작하여, 0보다 아래에서 x축과 만나고, 그 뒤 휘어 돌아 양의 y축과 만나며 제1사분면을 지나 증가한다.

영어 원문 보기

Given $\text{r}(t)=(3{t}^{2}-2)\text{i}+(2t-\sin (t))\text{j},$ find the velocity of a particle moving along this curve.

This figure is a curve in the xy plane. The curve begins in the fourth quadrant towards the y-axis, intersects below 0 to the x axis, then bends around to intersect the positive y-axis and increasing through the first quadrant.

정답·풀이 보기

$\text{v}(t)=(6t)\text{i}+(2-\cos (t))\text{j}$

원본 교재 풀이(영어)

$\text{v}(t)=(6t)\text{i}+(2-\cos (t))\text{j}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 3번

# 공간에서의 운동그래프·표 해석자동 분류

2.OpenStax 3권 · 3.4절 · 7번대학 수준우리말 번역

주어진 위치 함수를 갖는 입자의 속도, 가속도, 속력을 구하세요.

$\text{r}(t)=\langle {e}^{t},{e}^{-t}\rangle$ . 그래프는 다음과 같다.

이 그림은 3차원 공간의 곡선이다. 곡선은 상자 안에 있다. 이 상자는 하나의 팔분공간(옥탄트)을 나타낸다. 곡선은 상자의 아랫부분 왼쪽 아래에서 시작하여, 상자를 가로질러 휘어지면서 반대쪽인 오른쪽 아래까지 이어진다.

영어 원문 보기

Find the velocity, acceleration, and speed of a particle with the given position function.

$\text{r}(t)=\langle {e}^{t},{e}^{-t}\rangle$ . The graph is shown here:

This figure is a curve in 3 dimensions. It is inside of a box. The box represents an octant. The curve begins in the bottom of the box, from the lower left, and bends through the box to the other side, in the lower right.

정답·풀이 보기

$\text{v}(t)={e}^{t}\text{i}-{e}^{-t}\text{j},$ $\text{a}(t)={e}^{t}\text{i}+{e}^{-t}\text{j}$ , 속력 = $\| \text{v}(t)\| =\sqrt{{e}^{2t}+{e}^{-2t}}$

원본 교재 풀이(영어)

$\text{v}(t)={e}^{t}\text{i}-{e}^{-t}\text{j},$ $\text{a}(t)={e}^{t}\text{i}+{e}^{-t}\text{j},$ speed = $\| \text{v}(t)\| =\sqrt{{e}^{2t}+{e}^{-2t}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 9번

# 공간에서의 운동그래프·표 해석자동 분류

3.OpenStax 3권 · 3.4절 · 12번대학 수준우리말 번역

행글라이더를 탄 사람이 빠르게 상승하는 공기 때문에 위치 벡터가 $\text{r}(t)=(3\cos t)\text{i}+(3\sin t)\text{j}+{t}^{2}\text{k}$ 인 경로를 따라 나선을 그리며 위로 올라가고 있다. 이 경로는 나선과 비슷하지만 나선은 아니다. 그래프는 다음과 같다.

다음 양을 구하세요.

속도 벡터와 가속도 벡터

영어 원문 보기

A person on a hang glider is spiraling upward as a result of the rapidly rising air on a path having position vector $\text{r}(t)=(3\cos t)\text{i}+(3\sin t)\text{j}+{t}^{2}\text{k}.$ The path is similar to that of a helix, although it is not a helix. The graph is shown here:

Find the following quantities:

The velocity and acceleration vectors

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 7번

# 공간에서의 운동그래프·표 해석자동 분류

4.OpenStax 3권 · 3.4절 · 13번대학 수준우리말 번역

행글라이더를 탄 사람이 빠르게 상승하는 공기의 영향으로, 위치 벡터가 $\text{r}(t)=(3\cos t)\text{i}+(3\sin t)\text{j}+{t}^{2}\text{k}$ 인 경로를 따라 나선을 그리며 위로 올라가고 있습니다. 이 경로는 나선과 비슷하지만 나선은 아닙니다. 그래프는 다음과 같습니다.

다음 양을 구하세요.

임의의 시각에서 글라이더의 속력

영어 원문 보기

A person on a hang glider is spiraling upward as a result of the rapidly rising air on a path having position vector $\text{r}(t)=(3\cos t)\text{i}+(3\sin t)\text{j}+{t}^{2}\text{k}.$ The path is similar to that of a helix, although it is not a helix. The graph is shown here:

Find the following quantities:

The glider’s speed at any time

정답·풀이 보기

$\| \text{v}(t)\| =\sqrt{9+4{t}^{2}}$

원본 교재 풀이(영어)

$\| \text{v}(t)\| =\sqrt{9+4{t}^{2}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 11번

# 공간에서의 운동그래프·표 해석자동 분류

5.OpenStax 3권 · 3.4절 · 22번대학 수준우리말 번역

발사체를 지면에서 수평면과 60°의 각을 이루도록 초기 속도 500 m/sec로 공중에 쏘았다. 그래프는 다음과 같다.

최대 도달 거리는 얼마입니까?

영어 원문 보기

A projectile is shot in the air from ground level with an initial velocity of 500 m/sec at an angle of 60° with the horizontal. The graph is shown here:

What is the maximum range?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 47번

# 공간에서의 운동그래프·표 해석자동 분류

6.OpenStax 3권 · 3.4절 · 33번대학 수준우리말 번역

다음 각 문제에서 가속도의 접선 성분과 법선 성분을 구하세요.

$\text{r}(t)=\langle {e}^{t}\cos t,{e}^{t}\sin t,{e}^{t}\rangle$ . 그래프는 다음과 같습니다.

이 그림은 3차원 공간에 있는 곡선이다. 곡선은 상자 안에 있다. 상자는 한 팔분공간을 나타낸다. 곡선은 상자의 바닥 왼쪽 아래에서 시작하여 상자를 가로질러 휘어지면서 반대편의 왼쪽 위로 이어진다.

영어 원문 보기

For each of the following problems, find the tangential and normal components of acceleration.

$\text{r}(t)=\langle {e}^{t}\cos t,{e}^{t}\sin t,{e}^{t}\rangle .$ The graph is shown here:

This figure is a curve in 3 dimensions. It is inside of a box. The box represents an octant. The curve begins in the bottom of the box, from the lower left, and bends through the box to the other side, in the upper left.

정답·풀이 보기

${a}_{T}=\sqrt{3}{e}^{t},$ ${a}_{N}=\sqrt{2}{e}^{t}$

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{T}=\sqrt{3}{e}^{t},$ ${a}_{N}=\sqrt{2}{e}^{t}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 29번

# 공간에서의 운동그래프·표 해석자동 분류

7.APEX · 11.3절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서 위치 함수 $\vec r(t)$ 가 주어져 있습니다. 주어진 구간에서 $\vec r(t)$ 의 그래프를 그리세요. $\vec v(t)$ 와 $\vec a(t)$ 를 구한 다음, 주어진 $t_0$ 의 값에 대해 $\vec v(t_0)$ 와 $\vec a(t_0)$ 를 시점이 $\vec r(t_0)$ 가 되도록 그래프에 추가하세요.

$\displaystyle \vec r(t) = \left\langle t,\sin t \right\rangle$ ( $[0,\pi/2]$ 에서); $t_0= \pi/4$

영어 원문 보기

In Exercises 11–14 , a position function $\vec r(t)$ is given. Sketch $\vec r(t)$ on the indicated interval. Find $\vec v(t)$ and $\vec a(t)$ , then add $\vec v(t_0)$ and $\vec a(t_0)$ to your sketch, with their initial points at $\vec r(t_0)$ , for the given value of $t_0$ .

$\displaystyle \vec r(t) = \left\langle t,\sin t \right\rangle$ on $[0,\pi/2]$ ; $t_0= \pi/4$

정답·풀이 보기

$\vec v(t) = \left\langle 1,\cos t\right\rangle$ , $\vec a(t) = \left\langle 0,-\sin t\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\vec v(t) = \left\langle 1,\cos t\right\rangle$ , $\vec a(t) = \left\langle 0,-\sin t\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.7절 · 3번

# 공간에서의 운동그래프·표 해석자동 분류

8.APEX · 11.3절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서 위치 함수 $\vec r(t)$ 가 주어져 있습니다. 주어진 구간에서 $\vec r(t)$ 의 그래프를 그리세요. $\vec v(t)$ 와 $\vec a(t)$ 를 구한 다음, 주어진 $t_0$ 의 값에 대해 $\vec v(t_0)$ 와 $\vec a(t_0)$ 를 시점이 $\vec r(t_0)$ 가 되도록 그래프에 추가하세요.

$\displaystyle \vec r(t) = \left\langle t^2,\sin t^2 \right\rangle$ ( $[0,\pi/2]$ 에서); $t_0=\sqrt{\pi/4}$

영어 원문 보기

In Exercises 11–14 , a position function $\vec r(t)$ is given. Sketch $\vec r(t)$ on the indicated interval. Find $\vec v(t)$ and $\vec a(t)$ , then add $\vec v(t_0)$ and $\vec a(t_0)$ to your sketch, with their initial points at $\vec r(t_0)$ , for the given value of $t_0$ .

$\displaystyle \vec r(t) = \left\langle t^2,\sin t^2 \right\rangle$ on $[0,\pi/2]$ ; $t_0=\sqrt{\pi/4}$

정답·풀이 보기

$\vec v(t) = \left\langle 2 t,2 t \cos \left(t^2\right)\right\rangle$ , $\vec a(t) = \left\langle 2,2 \left(\cos \left(t^2\right)-2 t^2 \sin \left(t^2\right)\right)\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\vec v(t) = \left\langle 2 t,2 t \cos \left(t^2\right)\right\rangle$ , $\vec a(t) = \left\langle 2,2 \left(\cos \left(t^2\right)-2 t^2 \sin \left(t^2\right)\right)\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 13번

# 공간에서의 운동그래프·표 해석자동 분류

9.APEX · 11.3절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서 위치 함수 $\vec r(t)$ 가 주어져 있습니다. 주어진 구간에서 $\vec r(t)$ 의 그래프를 그리세요. $\vec v(t)$ 와 $\vec a(t)$ 를 구한 다음, 주어진 $t_0$ 의 값에 대해 $\vec v(t_0)$ 와 $\vec a(t_0)$ 를 시점이 $\vec r(t_0)$ 가 되도록 그래프에 추가하세요.

$\displaystyle \vec r(t) = \left\langle t^2+t,-t^2+2t \right\rangle$ ( $[-2,2]$ 에서); $t_0=1$

영어 원문 보기

In Exercises 11–14 , a position function $\vec r(t)$ is given. Sketch $\vec r(t)$ on the indicated interval. Find $\vec v(t)$ and $\vec a(t)$ , then add $\vec v(t_0)$ and $\vec a(t_0)$ to your sketch, with their initial points at $\vec r(t_0)$ , for the given value of $t_0$ .

$\displaystyle \vec r(t) = \left\langle t^2+t,-t^2+2t \right\rangle$ on $[-2,2]$ ; $t_0=1$

정답·풀이 보기

$\vec v(t) = \left\langle 2t+1,-2t+2\right\rangle$ , $\vec a(t) = \left\langle 2,-2\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\vec v(t) = \left\langle 2t+1,-2t+2\right\rangle$ , $\vec a(t) = \left\langle 2,-2\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.7절 · 1번

# 공간에서의 운동그래프·표 해석자동 분류

10.APEX · 11.3절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서 위치 함수 $\vec r(t)$ 가 주어져 있습니다. 주어진 구간에서 $\vec r(t)$ 의 그래프를 그리세요. $\vec v(t)$ 와 $\vec a(t)$ 를 구한 다음, 주어진 $t_0$ 의 값에 대해 $\vec v(t_0)$ 와 $\vec a(t_0)$ 를 시작점이 $\vec r(t_0)$ 가 되도록 그래프에 추가하세요.

$\displaystyle \vec r(t) = \left\langle \frac{2t+3}{t^2+1},t^2\right\rangle$ ( $[-1,1]$ 에서); $t_0= 0$

영어 원문 보기

In Exercises 11–14 , a position function $\vec r(t)$ is given. Sketch $\vec r(t)$ on the indicated interval. Find $\vec v(t)$ and $\vec a(t)$ , then add $\vec v(t_0)$ and $\vec a(t_0)$ to your sketch, with their initial points at $\vec r(t_0)$ , for the given value of $t_0$ .

$\displaystyle \vec r(t) = \left\langle \frac{2t+3}{t^2+1},t^2\right\rangle$ on $[-1,1]$ ; $t_0= 0$

정답·풀이 보기

$\vec v(t) = \left\langle -\frac{2 \left(t^2+3 \ t-1\right)}{\left(t^2+1\right)^2},2 t\right\rangle$ , $\vec a(t) = \left\langle \frac{2 \left(2 t^3+9 t^2-6 t-3\right)}{\left(t^2+1\right)^3},2\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\vec v(t) = \left\langle -\frac{2 \left(t^2+3 \ t-1\right)}{\left(t^2+1\right)^2},2 t\right\rangle$ , $\vec a(t) = \left\langle \frac{2 \left(2 t^3+9 t^2-6 t-3\right)}{\left(t^2+1\right)^3},2\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.7절 · 2번

# 공간에서의 운동그래프·표 해석자동 분류

11.CLP-4 · 1.7절 · 1번대학 수준우리말 번역

아래 그림은 철사를 따라 미끄러져 내려가는 구슬을 나타낸 것입니다. 철사가 구슬에 작용하는 수직항력과 중력을 나타내는 벡터를 그리세요.

페이지의 위쪽이 "수직 위쪽"이라고 가정하세요.

영어 원문 보기

The figure below represents a bead sliding down a wire. Sketch vectors representing the normal force the wire exerts on the bead, and the force of gravity.

Assume the top of the page is “straight up."

정답·풀이 보기

벡터의 크기를 가늠할 만한 정보는 충분하지 않지만, 방향은 알 수 있다. 중력은 바로 아래로 당기므로 벡터 $-mg\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 는 바로 아래를 향한다. 수직항력은 곡선에 수직인 방향이다.

원본 교재 풀이(영어)

We don't have enough information to gauge the size of the vectors, but we can figure out their direction. Gravity pulls straight down, so the vector $-mg\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ points straight down. The normal force will be normal to the curve.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 13번

# 공간에서의 운동그래프·표 해석기본자동 분류

12.CLP-4 · 1.7절 · 3번대학 수준우리말 번역

아래와 같은 모양의 철사를 따라 구슬이 미끄러져 내려갑니다. $x<0$ 입니다.

구슬이 위치 $x$ 에 있을 때 철사가 구슬에 가하는 수직항력을 $W\hat{\mathbf{N}}$ 이라 하세요. 단, $W>0$ 입니다. $\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}x}$ 는 양수인지 음수인지 판단하세요.

영어 원문 보기

A bead slides down a wire with the shape shown below, $x<0$ .

Let $W\hat{\mathbf{N}}$ be the normal force exerted by the wire when the bead is at position $x$ . Note $W>0$ . Is $\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}x}$ positive or negative?

정답·풀이 보기

풀이 1:

$x$ 가 음수이고 절댓값이 클수록 철사는 점점 수직선에 가까워진다. 구슬이 수직인 철사를 따라 내려간다면 철사에 닿지 않고도 내려갈 수 있으므로, 구슬에 가해지는 힘은 0이다. $x$ 가 왼쪽에서 0에 가까워질수록 철사는 수평선에 가까워진다. 구슬이 수평선 위에 놓여 있다면 철사는 중력을 상쇄하도록 위로 밀어 올릴 것이다. 따라서 철사가 가하는 힘의 크기는 $x$ 가 증가함에 따라 증가한다고 생각할 수 있다. 즉, $\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}x}>0$ 이다.

풀이 2:

구슬에 작용하는 알짜힘은 다음과 같다.

$\begin{aligned} F=m\mathbf{a}&= W\hat{\mathbf{N}} -mg\hat{\boldsymbol{\jmath}} \\ \text{양변에 $\hat{\mathbf{N}}$ 을 내적한다.} \\ W\hat{\mathbf{N}} \cdot \hat{\mathbf{N}} - mg\hat{\boldsymbol{\jmath}}\cdot\hat{\mathbf{N}}&=m\mathbf{a}\cdot\hat{\mathbf{N}} \\ \text{식 $\mathbf{a}(t) = \frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}{t}^2}\hat{\mathbf{T}} + \kappa \left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)^2\hat{\mathbf{N}}$ 을 이용하면,} \\ W-mg\hat{\boldsymbol{\jmath}}\cdot\hat{\mathbf{N}}&=m\kappa \left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)^2\\ W&=mg\hat{\mathbf{n}}\cdot\hat{\mathbf{N}}+m\kappa \left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)^2\\ &=mg\cos\theta+m\kappa \left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)^2 \end{aligned}$

여기서 $\theta$ 는 $\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 와 $\hat{\mathbf{N}}$ 사이의 각이다.

$x$ 가 절댓값이 큰 음수에서 0으로 움직이면 $\theta$ 는 $\pi/2$ 에 가까운 값에서 $0$ 에 가까운 값으로 움직인다. 따라서 $\cos \theta$ 는 0에 가까운 값에서 1에 가까운 값으로 증가한다. 그러면 $mg\cos\theta$ 는 증가한다.

또한 $x$ 가 증가함에 따라 그림에서 곡률 $\kappa$ 가 증가하고, 속력 $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$ 도 증가함을 알 수 있다(위치 에너지가 감소하므로 운동 에너지는 증가한다).

따라서 $\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}x}>0$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Solution 1:

For large, negative values of $x$ , the wire is closer and closer to a vertical line. If the bead were sliding down a vertical wire, it could do so without even touching the wire, so the force exerted on the bead would be zero. As $x$ approaches 0 from the left, the wire approximates a horizontal line. If the bead were sitting on a horizontal line, the wire would be pushing up to counter gravity. So, we imagine the magnitude of the force exerted by the wire might increase as $x$ increases. That is, $\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}x}>0$ .

Solution 2:

The net force exerted on the bead is

$\begin{aligned} F=m\mathbf{a}&= W\hat{\mathbf{N}} -mg\hat{\boldsymbol{\jmath}} \\ \text{We dot both sides with $\hat{\mathbf{N}}$.} \\ W\hat{\mathbf{N}} \cdot \hat{\mathbf{N}} - mg\hat{\boldsymbol{\jmath}}\cdot\hat{\mathbf{N}}&=m\mathbf{a}\cdot\hat{\mathbf{N}} \\ \text{Using the equation $\mathbf{a}(t) = \frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}{t}^2}\hat{\mathbf{T}} + \kappa \left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)^2\hat{\mathbf{N}}$,} \\ W-mg\hat{\boldsymbol{\jmath}}\cdot\hat{\mathbf{N}}&=m\kappa \left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)^2\\ W&=mg\hat{\mathbf{n}}\cdot\hat{\mathbf{N}}+m\kappa \left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)^2\\ &=mg\cos\theta+m\kappa \left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)^2 \end{aligned}$

where $\theta$ is the angle between $\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ and $\hat{\mathbf{N}}$ .

As $x$ moves from a highly negative number to zero, $\theta$ moves from nearly $\pi/2$ to nearly $0$ . Therefore $\cos \theta$ increases from nearly zero to nearly one. Then $mg\cos\theta$ is increasing.

Furthermore, as $x$ increases, we see from the picture that the curvature $\kappa$ increases, and speed $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$ increases as well (kinetic energy is increasing as potential energy decreases).

So, $\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}x}>0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.7절 · 2번

# 공간에서의 운동그래프·표 해석기본자동 분류