빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

공간에서의 운동

위치벡터로 속도·가속도를 구하고 포물체 운동, 접선·법선 가속도를 다룬다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

9문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 3권 · 3.4절 · 10번대학 수준우리말 번역

r(t)=rcosh⁡(ωt)i+rsinh⁡(ωt)j\text{r}(t)=r\cosh (\omega t)\text{i}+r\sinh (\omega t)\text{j} 라 하자. 속도 벡터와 가속도 벡터를 구하고, 가속도가 r(t)\text{r}(t) 에 비례함을 보이세요.

영어 원문 보기

Let r(t)=rcosh⁡(ωt)i+rsinh⁡(ωt)j.\text{r}(t)=r\cosh (\omega t)\text{i}+r\sinh (\omega t)\text{j}. Find the velocity and acceleration vectors and show that the acceleration is proportional to r(t).\text{r}(t).

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 3번
# 공간에서의 운동증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
2.OpenStax 3권 · 3.4절 · 28번대학 수준우리말 번역

일정한 속력으로 직선 위를 움직이는 물체의 가속도가 0임을 증명하세요.

영어 원문 보기

Prove that an object moving in a straight line at a constant speed has an acceleration of zero.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 31번
# 공간에서의 운동증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
3.OpenStax 3권 · 3.4절 · 45번대학 수준우리말 번역

입자가 원뿔 위에서 움직임을 보이세요

영어 원문 보기

Show that the particle moves on a circular cone.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 11.3절 · 6번
# 공간에서의 운동증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
4.APEX · 11.3절 · 25번대학 수준우리말 번역

연습문제 25–28에서는 각각의 구간에서 같은 경로를 따라 움직이는 두 물체의 위치 함수 r⃗1(t)\vec r_1(t) 와 r⃗2(s)\vec r_2(s) 가 주어져 있다.

(a) 주어진 t0t_0 와 s0s_0 의 값에서 두 위치가 같음을 보이세요. 즉, r⃗1(t0)=r⃗2(s0)\vec r_1(t_0) = \vec r_2(s_0) 임을 보이세요. (b) 두 물체의 t0t_0 와 s0s_0 에서의 속도, 속력, 가속도를 각각 구하세요.

r⃗1(t)=⟨t,t2⟩\vec r_1(t) = \left\langle t,t^2\right\rangle ([0,1][0,1] 에서); t0=1t_0 = 1

r⃗2(s)=⟨s2,s4⟩\vec r_2(s) = \left\langle s^2,s^4\right\rangle ([0,1][0,1] 에서); s0=1s_0 = 1

영어 원문 보기

In Exercises 25–28 , position functions r⃗1(t)\vec r_1(t) and r⃗2(s)\vec r_2(s) for two objects are given that follow the same path on the respective intervals.

(a) Show that the positions are the same at the indicated t0t_0 and s0s_0 values; i.e., show r⃗1(t0)=r⃗2(s0).\vec r_1(t_0) = \vec r_2(s_0). (b) Find the velocity, speed and acceleration of the two objects at t0t_0 and s0s_0, respectively.

r⃗1(t)=⟨t,t2⟩\vec r_1(t) = \left\langle t,t^2\right\rangle on [0,1][0,1]; t0=1t_0 = 1

r⃗2(s)=⟨s2,s4⟩\vec r_2(s) = \left\langle s^2,s^4\right\rangle on [0,1][0,1]; s0=1s_0 = 1

정답·풀이 보기

(a) r⃗1(1)=⟨1,1⟩\vec r_1(1) = \left\langle 1,1\right\rangle ; r⃗2(1)=⟨1,1⟩\vec r_2(1) = \left\langle 1,1\right\rangle (b) v⃗1(1)=⟨1,2⟩\vec v_1(1) = \left\langle 1,2\right\rangle ; ∥v⃗1(1)∥=5\left\|\vec v_1(1)\right\| = \sqrt{5}; a⃗1(1)=⟨0,2⟩\vec a_1(1) = \left\langle 0,2\right\rangle

v⃗2(1)=⟨2,4⟩\vec v_2(1) = \left\langle 2,4\right\rangle ; ∥v⃗2(1)∥=25\left\|\vec v_2(1)\right\| = 2\sqrt{5}; a⃗2(1)=⟨2,12⟩\vec a_2(1) = \left\langle 2,12\right\rangle

원본 교재 풀이(영어)

(a) r⃗1(1)=⟨1,1⟩\vec r_1(1) = \left\langle 1,1\right\rangle ; r⃗2(1)=⟨1,1⟩\vec r_2(1) = \left\langle 1,1\right\rangle (b) v⃗1(1)=⟨1,2⟩\vec v_1(1) = \left\langle 1,2\right\rangle ; ∥v⃗1(1)∥=5\left\|\vec v_1(1)\right\| = \sqrt{5}; a⃗1(1)=⟨0,2⟩\vec a_1(1) = \left\langle 0,2\right\rangle

v⃗2(1)=⟨2,4⟩\vec v_2(1) = \left\langle 2,4\right\rangle ; ∥v⃗2(1)∥=25\left\|\vec v_2(1)\right\| = 2\sqrt{5}; a⃗2(1)=⟨2,12⟩\vec a_2(1) = \left\langle 2,12\right\rangle

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 17번
# 공간에서의 운동증명·논술자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
5.APEX · 11.3절 · 26번대학 수준우리말 번역

연습문제 25–28에서는 각각의 구간에서 같은 경로를 따라 움직이는 두 물체의 위치 함수 r⃗1(t)\vec r_1(t) 와 r⃗2(s)\vec r_2(s) 가 주어져 있다.

(a) 주어진 t0t_0 와 s0s_0 의 값에서 두 위치가 같음을 보이세요. 즉, r⃗1(t0)=r⃗2(s0)\vec r_1(t_0) = \vec r_2(s_0) 임을 보이세요. (b) 두 물체의 t0t_0 와 s0s_0 에서의 속도, 속력, 가속도를 각각 구하세요.

r⃗1(t)=⟨3cos⁡t,3sin⁡t⟩\vec r_1(t) = \left\langle 3\cos t,3\sin t\right\rangle ([0,2π][0,2\pi] 에서); t0=π/2t_0 = \pi/2

r⃗2(s)=⟨3cos⁡(4s),3sin⁡(4s)⟩\vec r_2(s) = \left\langle 3\cos (4s),3\sin(4s)\right\rangle ([0,π/2][0,\pi/2] 에서); s0=π/8s_0 = \pi/8

영어 원문 보기

In Exercises 25–28 , position functions r⃗1(t)\vec r_1(t) and r⃗2(s)\vec r_2(s) for two objects are given that follow the same path on the respective intervals.

(a) Show that the positions are the same at the indicated t0t_0 and s0s_0 values; i.e., show r⃗1(t0)=r⃗2(s0).\vec r_1(t_0) = \vec r_2(s_0). (b) Find the velocity, speed and acceleration of the two objects at t0t_0 and s0s_0, respectively.

r⃗1(t)=⟨3cos⁡t,3sin⁡t⟩\vec r_1(t) = \left\langle 3\cos t,3\sin t\right\rangle on [0,2π][0,2\pi]; t0=π/2t_0 = \pi/2

r⃗2(s)=⟨3cos⁡(4s),3sin⁡(4s)⟩\vec r_2(s) = \left\langle 3\cos (4s),3\sin(4s)\right\rangle on [0,π/2][0,\pi/2]; s0=π/8s_0 = \pi/8

정답·풀이 보기

(a) r⃗1(π/2)=⟨0,3⟩\vec r_1(\pi/2) = \left\langle 0,3\right\rangle ; r⃗2(π/8)=⟨0,3⟩\vec r_2(\pi/8) = \left\langle 0,3\right\rangle (b) v⃗1(π/2)=⟨−3,0⟩\vec v_1(\pi/2) = \left\langle -3,0\right\rangle ; ∥v⃗1(π/2)∥=3\left\|\vec v_1(\pi/2)\right\| = 3; a⃗1(π/2)=⟨0,−3⟩\vec a_1(\pi/2) = \left\langle 0,-3\right\rangle

v⃗2(π/8)=⟨−12,0⟩\vec v_2(\pi/8) = \left\langle -12,0\right\rangle ; ∥v⃗2(π/8)∥=12\left\|\vec v_2(\pi/8)\right\| = 12; a⃗2(π/8)=⟨0,−48⟩\vec a_2(\pi/8) = \left\langle 0,-48\right\rangle

원본 교재 풀이(영어)

(a) r⃗1(π/2)=⟨0,3⟩\vec r_1(\pi/2) = \left\langle 0,3\right\rangle ; r⃗2(π/8)=⟨0,3⟩\vec r_2(\pi/8) = \left\langle 0,3\right\rangle (b) v⃗1(π/2)=⟨−3,0⟩\vec v_1(\pi/2) = \left\langle -3,0\right\rangle ; ∥v⃗1(π/2)∥=3\left\|\vec v_1(\pi/2)\right\| = 3; a⃗1(π/2)=⟨0,−3⟩\vec a_1(\pi/2) = \left\langle 0,-3\right\rangle

v⃗2(π/8)=⟨−12,0⟩\vec v_2(\pi/8) = \left\langle -12,0\right\rangle ; ∥v⃗2(π/8)∥=12\left\|\vec v_2(\pi/8)\right\| = 12; a⃗2(π/8)=⟨0,−48⟩\vec a_2(\pi/8) = \left\langle 0,-48\right\rangle

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 27번
# 공간에서의 운동증명·논술자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
6.APEX · 11.3절 · 27번대학 수준우리말 번역

연습문제 25–28에서는 각각의 구간에서 같은 경로를 따라 움직이는 두 물체의 위치 함수 r⃗1(t)\vec r_1(t) 와 r⃗2(s)\vec r_2(s) 가 주어져 있다.

(a) 주어진 t0t_0 와 s0s_0 의 값에서 두 위치가 같음을 보이세요. 즉, r⃗1(t0)=r⃗2(s0)\vec r_1(t_0) = \vec r_2(s_0) 임을 보이세요. (b) 두 물체의 t0t_0 와 s0s_0 에서의 속도, 속력, 가속도를 각각 구하세요.

r⃗1(t)=⟨3t,2t⟩\vec r_1(t) = \left\langle 3t,2t\right\rangle ([0,2][0,2] 에서); t0=2t_0 = 2

r⃗2(s)=⟨6s−6,4s−4⟩\vec r_2(s) = \left\langle 6s-6,4s-4\right\rangle ([1,2][1,2] 에서); s0=2s_0 = 2

영어 원문 보기

In Exercises 25–28 , position functions r⃗1(t)\vec r_1(t) and r⃗2(s)\vec r_2(s) for two objects are given that follow the same path on the respective intervals.

(a) Show that the positions are the same at the indicated t0t_0 and s0s_0 values; i.e., show r⃗1(t0)=r⃗2(s0).\vec r_1(t_0) = \vec r_2(s_0). (b) Find the velocity, speed and acceleration of the two objects at t0t_0 and s0s_0, respectively.

r⃗1(t)=⟨3t,2t⟩\vec r_1(t) = \left\langle 3t,2t\right\rangle on [0,2][0,2]; t0=2t_0 = 2

r⃗2(s)=⟨6s−6,4s−4⟩\vec r_2(s) = \left\langle 6s-6,4s-4\right\rangle on [1,2][1,2]; s0=2s_0 = 2

정답·풀이 보기

(a) r⃗1(2)=⟨6,4⟩\vec r_1(2) = \left\langle 6,4\right\rangle ; r⃗2(2)=⟨6,4⟩\vec r_2(2) = \left\langle 6,4\right\rangle (b) v⃗1(2)=⟨3,2⟩\vec v_1(2) = \left\langle 3,2\right\rangle ; ∥v⃗1(2)∥=13\left\|\vec v_1(2)\right\| = \sqrt{13}; a⃗1(2)=⟨0,0⟩\vec a_1(2) = \left\langle 0,0\right\rangle

v⃗2(2)=⟨6,4⟩\vec v_2(2) = \left\langle 6,4\right\rangle ; ∥v⃗2(2)∥=213\left\|\vec v_2(2)\right\| = 2\sqrt{13}; a⃗2(2)=⟨0,0⟩\vec a_2(2) = \left\langle 0,0\right\rangle

원본 교재 풀이(영어)

(a) r⃗1(2)=⟨6,4⟩\vec r_1(2) = \left\langle 6,4\right\rangle ; r⃗2(2)=⟨6,4⟩\vec r_2(2) = \left\langle 6,4\right\rangle (b) v⃗1(2)=⟨3,2⟩\vec v_1(2) = \left\langle 3,2\right\rangle ; ∥v⃗1(2)∥=13\left\|\vec v_1(2)\right\| = \sqrt{13}; a⃗1(2)=⟨0,0⟩\vec a_1(2) = \left\langle 0,0\right\rangle

v⃗2(2)=⟨6,4⟩\vec v_2(2) = \left\langle 6,4\right\rangle ; ∥v⃗2(2)∥=213\left\|\vec v_2(2)\right\| = 2\sqrt{13}; a⃗2(2)=⟨0,0⟩\vec a_2(2) = \left\langle 0,0\right\rangle

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 15번
# 공간에서의 운동증명·논술자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
7.APEX · 11.3절 · 28번대학 수준우리말 번역

연습문제 25–28 에서는 각각의 구간에서 같은 경로를 따라 움직이는 두 물체의 위치 함수 r⃗1(t)\vec r_1(t) 와 r⃗2(s)\vec r_2(s) 가 주어져 있다.

(a) 주어진 t0t_0 와 s0s_0 의 값에서 두 위치가 같음을 보이세요. 즉, r⃗1(t0)=r⃗2(s0)\vec r_1(t_0) = \vec r_2(s_0) 임을 보이세요. (b) 두 물체의 t0t_0 와 s0s_0 에서의 속도, 속력, 가속도를 각각 구하세요.

r⃗1(t)=⟨t,t⟩\vec r_1(t) = \left\langle t,\sqrt{t}\right\rangle , 구간 [0,1][0,1]; t0=1t_0 = 1

r⃗2(s)=⟨sin⁡t,sin⁡t⟩\vec r_2(s) = \left\langle \sin t,\sqrt{\sin t}\right\rangle , 구간 [0,π/2][0,\pi/2]; s0=π/2s_0 = \pi/2

영어 원문 보기

In Exercises 25–28 , position functions r⃗1(t)\vec r_1(t) and r⃗2(s)\vec r_2(s) for two objects are given that follow the same path on the respective intervals.

(a) Show that the positions are the same at the indicated t0t_0 and s0s_0 values; i.e., show r⃗1(t0)=r⃗2(s0).\vec r_1(t_0) = \vec r_2(s_0). (b) Find the velocity, speed and acceleration of the two objects at t0t_0 and s0s_0, respectively.

r⃗1(t)=⟨t,t⟩\vec r_1(t) = \left\langle t,\sqrt{t}\right\rangle on [0,1][0,1]; t0=1t_0 = 1

r⃗2(s)=⟨sin⁡t,sin⁡t⟩\vec r_2(s) = \left\langle \sin t,\sqrt{\sin t}\right\rangle on [0,π/2][0,\pi/2]; s0=π/2s_0 = \pi/2

정답·풀이 보기

(a) r⃗1(1)=⟨1,1⟩\vec r_1(1) = \left\langle 1,1\right\rangle ; r⃗2(π/2)=⟨1,1⟩\vec r_2(\pi/2) = \left\langle 1,1\right\rangle (b) v⃗1(1)=⟨1,1/2⟩\vec v_1(1) = \left\langle 1,1/2\right\rangle ; ∥v⃗1(1)∥=5/2\left\|\vec v_1(1)\right\| = \sqrt{5}/2; a⃗1(1)=⟨0,−1/4⟩\vec a_1(1) = \left\langle 0,-1/4\right\rangle

v⃗2(π/2)=⟨0,0⟩\vec v_2(\pi/2) = \left\langle 0,0\right\rangle ; ∥v⃗2(π/2)∥=0\left\|\vec v_2(\pi/2)\right\| = 0; a⃗2(π/2)=⟨−1,−1/2⟩\vec a_2(\pi/2) = \left\langle -1,-1/2\right\rangle

원본 교재 풀이(영어)

(a) r⃗1(1)=⟨1,1⟩\vec r_1(1) = \left\langle 1,1\right\rangle ; r⃗2(π/2)=⟨1,1⟩\vec r_2(\pi/2) = \left\langle 1,1\right\rangle (b) v⃗1(1)=⟨1,1/2⟩\vec v_1(1) = \left\langle 1,1/2\right\rangle ; ∥v⃗1(1)∥=5/2\left\|\vec v_1(1)\right\| = \sqrt{5}/2; a⃗1(1)=⟨0,−1/4⟩\vec a_1(1) = \left\langle 0,-1/4\right\rangle

v⃗2(π/2)=⟨0,0⟩\vec v_2(\pi/2) = \left\langle 0,0\right\rangle ; ∥v⃗2(π/2)∥=0\left\|\vec v_2(\pi/2)\right\| = 0; a⃗2(π/2)=⟨−1,−1/2⟩\vec a_2(\pi/2) = \left\langle -1,-1/2\right\rangle

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 25번
# 공간에서의 운동증명·논술자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
8.APEX · 11.3절 · 40번대학 수준우리말 번역

연습문제 37–42는 포물체 운동의 원리를 바탕으로 한 여러 문제를 풀도록 합니다.

한 야구 선수가 보스턴의 펜웨이 파크에서 처음 높이 3ft, 올림각 20∘20^\circ 로 100mph 의 속력으로 공을 칩니다. 공은 홈플레이트에서 310ft 떨어진 곳에 있는 높이 37ft 의 벽, 유명한 “그린 몬스터”를 향해 날아갑니다.

(a) 친 그대로라면 공이 벽에 맞음을 보이세요. (b) 올림각이 21∘21^\circ 이면 공이 그린 몬스터를 넘어감을 보이세요.

영어 원문 보기

Exercises 37–42 ask you to solve a variety of problems based on the principles of projectile motion.

A baseball player hits a ball at 100mph, with an initial height of 3ft and an angle of elevation of 20∘20^\circ, at Boston's Fenway Park. The ball flies towards the famed “Green Monster,” a wall 37ft high located 310ft from home plate.

(a) Show that as hit, the ball hits the wall. (b) Show that if the angle of elevation is 21∘21^\circ, the ball clears the Green Monster.

정답·풀이 보기

공의 위치 함수는 r⃗(t)=⟨(146.67cos⁡θ)t,−16t2+(146.67sin⁡θ)t+3⟩\vec r(t) = \left\langle (146.67\cos\theta)t,-16t^2+(146.67\sin\theta)t+3\right\rangle 이다. 여기서 θ\theta 는 올림각이다.

(a) θ=20∘\theta=20^\circ 이면 공은 2.25초 후에 홈플레이트에서 310ft 떨어진 곳에 도달하고, 이때 공의 높이는 34.9ft 로 그린 몬스터를 넘기기에 충분하지 않다. (b) θ=21∘\theta=21^\circ 이면 공은 2.26초 후에 홈플레이트에서 310ft 떨어진 곳에 도달하고, 이때 높이는 40ft 로 벽을 넘어간다.

원본 교재 풀이(영어)

The position function of the ball is r⃗(t)=⟨(146.67cos⁡θ)t,−16t2+(146.67sin⁡θ)t+3⟩\vec r(t) = \left\langle (146.67\cos\theta)t,-16t^2+(146.67\sin\theta)t+3\right\rangle , where θ\theta is the angle of elevation.

(a) With θ=20∘\theta=20^\circ, the ball reaches 310ft from home plate in 2.25 seconds; at this time, the height of the ball is 34.9ft, not enough to clear the Green Monster. (b) With θ=21∘\theta=21^\circ, the ball reaches 310ft from home plate in 2.26s, with a height of 40ft, clearing the wall.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.4절 · 39번
# 공간에서의 운동증명·논술자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
9.CLP-4 · 1.7절 · 13번대학 수준우리말 번역

마찰이 없는 롤러코스터 트랙은 매개변수 표현이  (acos⁡θ,asin⁡θ,bθ)\ (a\cos\theta,a\sin\theta,b\theta) 인 원형 나선의 한 바퀴 모양이다. 자동차가  θ=2π \ \theta=2\pi\ 인 점에서 속도 0으로 출발하여 중력을 받으며  θ=0\ \theta=0 인 점까지 움직인다. 뉴턴의 운동 법칙에 따라, 시각 tt 에서 자동차의 위치 r(t)\mathbf{r}(t) 는 다음을 만족한다.

mr′′(t)=N(r(t))−mgk^m \mathbf{r}''(t) = \mathbf{N}\big(\mathbf{r}(t)\big) - mg\hat{\mathbf{k}}

여기서 mm 은 자동차의 질량, gg 는 상수, −mgk^-mg\hat{\mathbf{k}} 는 중력에 의한 힘이고, N(r(t))\mathbf{N}\big(\mathbf{r}(t)\big) 는 자동차가 트랙 위에 머물도록 롤러코스터 트랙이 자동차에 가하는 힘이다. 트랙에 마찰이 없으므로 N(r(t))\mathbf{N}\big(\mathbf{r}(t)\big) 는 항상 v(t)=drdt(t)\mathbf{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t) 에 수직이다.

(a) E(t)=12m∣v(t)∣2+mgr(t)⋅k^E(t)=\tfrac{1}{2} m |\mathbf{v}(t)|^2 +mg \mathbf{r}(t)\cdot\hat{\mathbf{k}} 가 tt 에 관계없는 상수임을 보이세요. (이것을 “에너지 보존”이라고 한다.) (b) 점 θ\theta 에서의 속력 ∣v∣|\mathbf{v}| 가  ∣v∣2=2gb(2π−θ)\ |\mathbf{v}|^2=2gb(2\pi-\theta) 를 만족함을 보이세요. (c) θ=0\theta=0 에 도달하는 데 걸리는 시간을 구하세요.

영어 원문 보기

A frictionless roller-coaster track has the form of one turn of the circular helix with parametrization  (acos⁡θ,asin⁡θ,bθ).\ (a\cos\theta,a\sin\theta,b\theta). A car leaves the point where  θ=2π \ \theta=2\pi\ with zero velocity and moves under gravity to the point where  θ=0\ \theta=0. By Newton's law of motion, the position r(t)\mathbf{r}(t) of the car at time tt obeys

mr′′(t)=N(r(t))−mgk^m \mathbf{r}''(t) = \mathbf{N}\big(\mathbf{r}(t)\big) - mg\hat{\mathbf{k}}

Here mm is the mass of the car, gg is a constant, −mgk^-mg\hat{\mathbf{k}} is the force due to gravity and N(r(t))\mathbf{N}\big(\mathbf{r}(t)\big) is the force that the roller-coaster track applies to the car to keep the car on the track. Since the track is frictionless, N(r(t))\mathbf{N}\big(\mathbf{r}(t)\big) is always perpendicular to v(t)=drdt(t)\mathbf{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t).

(a) Prove that E(t)=12m∣v(t)∣2+mgr(t)⋅k^E(t)=\tfrac{1}{2} m |\mathbf{v}(t)|^2 +mg \mathbf{r}(t)\cdot\hat{\mathbf{k}} is a constant, independent of tt. (This is called “conservation of energy”.) (b) Prove that the speed ∣v∣|\mathbf{v}| at the point θ\theta obeys  ∣v∣2=2gb(2π−θ).\ |\mathbf{v}|^2=2gb(2\pi-\theta). (c) Find the time it takes to reach θ=0\theta=0.

정답·풀이 보기

(a) 뉴턴의 운동 법칙에 의해

E′(t)=ddt[12m∣v(t)∣2+mgr(t)⋅k^]=mv(t)⋅v′(t)+mgv(t)⋅k^=v(t)⋅[N(r(t))−mgk^]+mgv(t)⋅k^=0\begin{aligned} E'(t)&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\frac{1}{2} m |\mathbf{v}(t)|^2 +mg \mathbf{r}(t)\cdot\hat{\mathbf{k}}\right] =m\mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{v}'(t)+mg\mathbf{v}(t)\cdot\hat{\mathbf{k}}\\ &=\mathbf{v}(t)\cdot\big[\mathbf{N}\big(\mathbf{r}(t)\big) - mg\hat{\mathbf{k}}\big]+mg\mathbf{v}(t)\cdot\hat{\mathbf{k}}\\ &=0 \end{aligned}

이다. v(t)⋅N(r(t))=0\mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{N}\big(\mathbf{r}(t)\big)=0 이기 때문이다. 따라서 E(t)E(t) 는 tt 에 관계없는 상수이다.

(b) (a)에 의해

E(t)=E(0)  ⟹  12m∣v(t)∣2+mgbθ(t)=mg(2πb)  ⟹  ∣v(t)∣2=2gb(2π−θ(t))\begin{aligned} E(t)=E(0) \implies \tfrac{1}{2} m |\mathbf{v}(t)|^2 +mg b\theta(t) = mg(2\pi b) \implies|\mathbf{v}(t)|^2=2gb\big(2\pi-\theta(t)\big) \end{aligned}

이다.

(c) θ=2π\theta=2\pi 에서 θ=0\theta=0 까지 가는 데 걸리는 시간을 구하려 한다. 먼저 dθdt\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} 를 구한다.

v=drdt=drdθdθdt=(−asin⁡θ,acos⁡θ,b)dθdt  ⟹  ∣v∣2=[a2+b2](dθdt)2  ⟹  dθdt=−[∣v∣2a2+b2]1/2=−[2gb(2π−θ)a2+b2]1/2\begin{aligned} &\mathbf{v}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}\theta}\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} =\big(-a\sin\theta,a\cos\theta,b\big)\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} \\ &\implies |\mathbf{v}|^2=\big[a^2+b^2]\left(\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\right)^2\\ &\implies \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=-\left[\frac{|\mathbf{v}|^2}{a^2+b^2}\right]^{1/2} =-\left[\frac{2gb(2\pi-\theta)}{a^2+b^2}\right]^{1/2} \end{aligned}

θ\theta 는 2π2\pi 에서 0까지 감소해야 하므로 음의 부호를 택했다. 이때 걸리는 시간은

∫dt=∫2π0dtdθdθ=−[a2+b22gb]1/2∫2π01(2π−θ)1/2dθ=[a2+b22gb]1/2∫02π1(2π−θ)1/2dθ=[a2+b22gb]1/2[−2(2π−θ)1/2]02π=2[a2+b2gbπ]1/2\begin{aligned} \int dt&=\int_{2\pi}^0 \frac{dt}{d\theta}d\theta =-\left[\frac{a^2+b^2}{2gb}\right]^{1/2}\int_{2\pi}^0 \frac{1}{(2\pi-\theta)^{1/2}}d\theta \\ &=\left[\frac{a^2+b^2}{2gb}\right]^{1/2}\int^{2\pi}_0 \frac{1}{(2\pi-\theta)^{1/2}}d\theta\\ &=\left[\frac{a^2+b^2}{2gb}\right]^{1/2} \left[-2(2\pi-\theta)^{1/2}\right]_0^{2\pi} =2\left[\frac{a^2+b^2}{gb}\pi\right]^{1/2} \end{aligned}

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) By Newton's law of motion

E′(t)=ddt[12m∣v(t)∣2+mgr(t)⋅k^]=mv(t)⋅v′(t)+mgv(t)⋅k^=v(t)⋅[N(r(t))−mgk^]+mgv(t)⋅k^=0\begin{aligned} E'(t)&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\frac{1}{2} m |\mathbf{v}(t)|^2 +mg \mathbf{r}(t)\cdot\hat{\mathbf{k}}\right] =m\mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{v}'(t)+mg\mathbf{v}(t)\cdot\hat{\mathbf{k}}\\ &=\mathbf{v}(t)\cdot\big[\mathbf{N}\big(\mathbf{r}(t)\big) - mg\hat{\mathbf{k}}\big]+mg\mathbf{v}(t)\cdot\hat{\mathbf{k}}\\ &=0 \end{aligned}

since v(t)⋅N(r(t))=0\mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{N}\big(\mathbf{r}(t)\big)=0. So E(t)E(t) is a constant, independent of tt.

(b) By part (a),

E(t)=E(0)  ⟹  12m∣v(t)∣2+mgbθ(t)=mg(2πb)  ⟹  ∣v(t)∣2=2gb(2π−θ(t))\begin{aligned} E(t)=E(0) \implies \tfrac{1}{2} m |\mathbf{v}(t)|^2 +mg b\theta(t) = mg(2\pi b) \implies|\mathbf{v}(t)|^2=2gb\big(2\pi-\theta(t)\big) \end{aligned}

(c) We wish to determine the time it takes to go from θ=2π\theta=2\pi to θ=0\theta=0. We'll first determine dθdt\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}.

v=drdt=drdθdθdt=(−asin⁡θ,acos⁡θ,b)dθdt  ⟹  ∣v∣2=[a2+b2](dθdt)2  ⟹  dθdt=−[∣v∣2a2+b2]1/2=−[2gb(2π−θ)a2+b2]1/2\begin{aligned} &\mathbf{v}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}\theta}\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} =\big(-a\sin\theta,a\cos\theta,b\big)\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} \\ &\implies |\mathbf{v}|^2=\big[a^2+b^2]\left(\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\right)^2\\ &\implies \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=-\left[\frac{|\mathbf{v}|^2}{a^2+b^2}\right]^{1/2} =-\left[\frac{2gb(2\pi-\theta)}{a^2+b^2}\right]^{1/2} \end{aligned}

We have chosen the negative sign because θ\theta must decrease from 2π2\pi to 0. The time required to do so is

∫dt=∫2π0dtdθdθ=−[a2+b22gb]1/2∫2π01(2π−θ)1/2dθ=[a2+b22gb]1/2∫02π1(2π−θ)1/2dθ=[a2+b22gb]1/2[−2(2π−θ)1/2]02π=2[a2+b2gbπ]1/2\begin{aligned} \int dt&=\int_{2\pi}^0 \frac{dt}{d\theta}d\theta =-\left[\frac{a^2+b^2}{2gb}\right]^{1/2}\int_{2\pi}^0 \frac{1}{(2\pi-\theta)^{1/2}}d\theta \\ &=\left[\frac{a^2+b^2}{2gb}\right]^{1/2}\int^{2\pi}_0 \frac{1}{(2\pi-\theta)^{1/2}}d\theta\\ &=\left[\frac{a^2+b^2}{2gb}\right]^{1/2} \left[-2(2\pi-\theta)^{1/2}\right]_0^{2\pi} =2\left[\frac{a^2+b^2}{gb}\pi\right]^{1/2} \end{aligned}

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