극한·미분 심화 전체 연습문제

1.OpenStax 1권 · 2.5절 · 24번대학 수준우리말 번역

한 공학자가 기계를 사용하여 넓이가 144 cm²인 평평한 정사각형 에어로젤을 자르고 있습니다. 넓이의 최대 허용 오차가 8 cm²라면, 모든 변의 길이가 같다고 할 때 변을 얼마나 정확하게 잘라야 하나요? 이 수들은 $\delta ,$ ε, a, $L$ 과 어떤 관계가 있나요?

영어 원문 보기

An engineer is using a machine to cut a flat square of Aerogel of area 144 cm². If there is a maximum error tolerance in the area of 8 cm², how accurately must the engineer cut on the side, assuming all sides have the same length? How do these numbers relate to $\delta ,$ ε, a, and L?

정답·풀이 보기

공학자는 각 변을 12 cm에서 0.328 cm 이내의 오차로 잘라야 한다; $\varepsilon =8,\delta =0.328,a=12,L=144$

원본 교재 풀이(영어)

The engineer must cut within 0.328 cm of 12 cm on each side; $\varepsilon =8,\delta =0.328,a=12,L=144$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 26번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)활용자동 분류

2.OpenStax 1권 · 4.2절 · 41번대학 수준우리말 번역

아이스크림 콘의 높이는 4 in. 이고 반지름은 1 in. 입니다. 콘의 두께가 0.1 in. 일 때, 껍질을 포함한 콘의 부피와 껍질 안에 들어갈 수 있는 아이스크림의 부피의 차는 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

An ice cream cone has height 4 in. and radius 1 in. If the cone is 0.1 in. thick, what is the difference between the volume of the cone, including the shell, and the volume of the ice cream you can fit inside the shell?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 8번

# 선형근사와 미분소활용자동 분류

3.OpenStax 1권 · 6.7절 · 41번대학 수준우리말 번역

$x=1$ 과 $y=5$ 로 둘러싸이고 $y=\ln \,x$ 위쪽에 있는 영역의 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the area of the region enclosed by $x=1$ and $y=5$ above $y=\ln \,x.$

정답·풀이 보기

${e}^{5}-6\,{\text{units}}^{2}$

원본 교재 풀이(영어)

${e}^{5}-6\,{\text{units}}^{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.7절 · 39번

# 적분으로 정의한 로그·지수함수활용자동 분류

4.OpenStax 1권 · 6.7절 · 45번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 앞의 연습문제의 곡선을 $x=1$ 에서 $x=2$ 까지 x축을 중심으로 회전시켜 만든 도형의 겉넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Find the surface area of the shape created when rotating the curve in the previous exercise from $x=1$ to $x=2$ around the x-axis.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$2.8656$

원본 교재 풀이(영어)

$2.8656$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.7절 · 1번

# 적분으로 정의한 로그·지수함수활용자동 분류

5.OpenStax 1권 · 6.7절 · 46번대학 수준우리말 번역

$y=1/x$ 의 위쪽에서 $x=2\,\text{와}\,y=2$ 로 둘러싸인 쌍곡선 사분원 모양의 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the area of the hyperbolic quarter-circle enclosed by $x=2\,\text{and}\,y=2$ above $y=1/x.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.7절 · 37번

# 적분으로 정의한 로그·지수함수활용자동 분류

6.OpenStax 1권 · 6.9절 · 44번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 속도의 제곱과 같은 마찰을 받으며 떨어지는 물체는 방정식 $dv/dt=g-{v}^{2}$ 을 따른다는 사실을 이용하세요.

$\frac{dv}{g-{v}^{2}}=dt$ 를 적분하여 앞에서 나온 $v(t)$ 의 식을 유도하세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, use the fact that a falling body with friction equal to velocity squared obeys the equation $dv/dt=g-{v}^{2}.$

Derive the previous expression for $v(t)$ by integrating $\frac{dv}{g-{v}^{2}}=dt.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.9절 · 37번

# 쌍곡선함수의 미적분활용자동 분류

7.OpenStax 1권 · 6.9절 · 45번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] $v(t)$ 의 곡선 아래 넓이를 구하여 물체가 $12$ 초 동안 떨어진 거리를 어림하세요.

영어 원문 보기

[T] Estimate how far a body has fallen in $12$ seconds by finding the area underneath the curve of $v(t).$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$37.30$

원본 교재 풀이(영어)

$37.30$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 6.6절 · 6번

# 쌍곡선함수의 미적분활용자동 분류

8.OpenStax 1권 · 6.9절 · 50번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 두 기둥이 4미터 떨어져 있고, 그 사이에 걸린 사슬이 방정식 $y=4\,\cosh (x/4)-3$ 으로 나타내어지는 현수선을 이룹니다. 현수선의 전체 길이(곡선의 길이)를 구하세요.

영어 원문 보기

[T] A chain hangs from two posts four meters apart to form a catenary described by the equation $y=4\,\cosh (x/4)-3.$ Find the total length of the catenary (arc length).

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.9절 · 43번

# 쌍곡선함수의 미적분활용자동 분류

9.APEX · 4.4절 · 31번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–34는 미분을 이용하여 전파 오차를 어림하는 문제입니다.

지름이 1cm인 플라스틱 구를 여러 개 만들려고 합니다. 제조 공정의 정확도가 1mm일 때, 구의 부피에서 전파 오차는 얼마인가요?

영어 원문 보기

Exercises 31–34 use differentials to approximate propagated error.

A set of plastic spheres are to be made with a diameter of 1cm. If the manufacturing process is accurate to 1mm, what is the propagated error in volume of the spheres?

정답·풀이 보기

$dV = \pm 0.157$

원본 교재 풀이(영어)

$dV = \pm 0.157$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.2절 · 14번

# 선형근사와 미분소활용자동 분류

10.APEX · 4.4절 · 32번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–34는 미분을 이용하여 전파 오차를 어림하는 문제입니다.

돌이 $t$ 초 동안 떨어지는 거리(피트)는 $d(t) = 16t^2$ 으로 주어집니다. 돌을 떨어뜨려 바닥에 닿는 소리를 듣는 방법으로 구멍의 깊이를 어림하려고 합니다. 시간 측정의 정확도가 $2/10^{\text{ths}}$ 초이고 측정한 시간이 다음과 같을 때, 전파 오차는 얼마인가요?

(a) 2초 (b) 5초

영어 원문 보기

Exercises 31–34 use differentials to approximate propagated error.

The distance, in feet, a stone drops in $t$ seconds is given by $d(t) = 16t^2$ . The depth of a hole is to be approximated by dropping a rock and listening for it to hit the bottom. What is the propagated error if the time measurement is accurate to $2/10^{\text{ths}}$ of a second and the measured time is:

(a) 2 seconds? (b) 5 seconds?

정답·풀이 보기

(a) $\pm$ 12.8 피트 (b) $\pm$ 32 피트

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\pm$ 12.8 feet (b) $\pm$ 32 feet

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.2절 · 24번

# 선형근사와 미분소활용자동 분류

11.APEX · 4.4절 · 33번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–34는 미분을 이용하여 전파 오차를 어림하는 문제입니다.

원형 통나무의 지름을 $15''$ 로 측정했고 정확도가 $1/4''$ 일 때, 통나무의 단면의 넓이를 측정할 때 생기는 전파 오차는 얼마인가요?

영어 원문 보기

Exercises 31–34 use differentials to approximate propagated error.

What is the propagated error in the measurement of the cross sectional area of a circular log if the diameter is measured at $15''$ , accurate to $1/4''$ ?

정답·풀이 보기

$\pm15\pi/8 \approx \pm5.89$ in $^2$

원본 교재 풀이(영어)

$\pm15\pi/8 \approx \pm5.89$ in $^2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.2절 · 38번

# 선형근사와 미분소활용자동 분류

12.CLP-1 · 3.4절 · 2번대학 수준우리말 번역

이 책의 이 부분까지는 숙제 문제 하나를 푸는 데 모두 약 5분이 걸립니다. 이 절에서 배운 용어를 사용하여 다음 질문에 답하세요. 15분을 더 쓰면 숙제 문제를 몇 개 더 끝낼 수 있습니까?

영어 원문 보기

At this point in the book, every homework problem takes you about 5 minutes. Use the terms you learned in this section to answer the question: if you spend 15 minutes more, how many more homework problems will you finish?

정답·풀이 보기

$f(x)$ 를 $x$ 분 동안 공부했을 때 끝낸 문제의 수라 하자. 문제에서 $5\Delta y \approx \Delta x$ 임을 알 수 있다. 따라서 $\Delta x = 15$ 이면 $\Delta y \approx 3$ 이다. 즉, 15분을 더 쓰면 약 3문제를 더 끝낼 것이다.

참고: 이 문제에 쓰인 수학은 일부러 쉽게 만든 것이다. $\Delta y$ 나 $f\left(x+\Delta x\right)$ 같은 기호는 헷갈릴 수 있지만, 기본 개념은 꽤 간단하다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $f(x)$ be the number of problems finished after $x$ minutes of work. The question tells us that $5\Delta y \approx \Delta x$ . So, if $\Delta x = 15$ , $\Delta y \approx 3$ . That is, in 15 minutes more, you will finish about 3 more problems.

Remark: the math behind this problem is intended to be easy! Looking at symbols like $\Delta y$ and $f\left(x+\Delta x\right)$ can be confusing, but the basic idea is pretty simple.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 1번

# 선형근사와 미분소활용기본자동 분류

13.CLP-1 · 3.4절 · 4번대학 수준우리말 번역

높이 $x$ 미터의 절벽에서 물로 뛰어내릴 때, 물에 닿는 순간의 속력은 다음과 같이 주어진다. $s(x)=\sqrt{19.6x}~~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{sec}}$ 마지막 다이빙은 높이 4 미터에서 한 것이었다.

(a) $\Delta y$ 의 선형 근사를 이용하여, 높이 5 미터에서 뛰어내릴 때 물에 닿는 순간 얼마나 더 빠르게 떨어질지 어림하세요. (b) 한 다이버가 세 번 뛰어내린다. 첫 번째는 $x$ 미터에서, 두 번째는 $x+\Delta x$ 미터에서, 세 번째는 $x+2\Delta x$ 미터에서 뛰어내리며, $x$ 와 $\Delta x$ 는 고정된 양수이다. 첫 번째 점프에서 두 번째 점프로 갈 때의 종단 속력의 증가량과, 두 번째 점프에서 세 번째 점프로 갈 때의 종단 속력의 증가량 중 어느 쪽이 더 큰지 구하세요.

영어 원문 보기

When diving off a cliff from $x$ metres above the water, your speed as you hit the water is given by $s(x)=\sqrt{19.6x}~~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{sec}}$ Your last dive was from a height of 4 metres.

(a) Use a linear approximation of $\Delta y$ to estimate how much faster you will be falling when you hit the water if you jump from a height of 5 metres. (b) A diver makes three jumps: the first is from $x$ metres, the second from $x+\Delta x$ metres, and the third from $x+2\Delta x$ metres, for some fixed positive values of $x$ and $\Delta x$ . Which is bigger: the increase in terminal speed from the first to the second jump, or the increase in terminal speed from the second to the third jump?

정답·풀이 보기

(a)

$x$ 가 4 근처일 때, $\Delta y$ 의 선형 근사는

$\begin{aligned} \Delta y &\approx s'(4)\Delta x \\ \text{문제에서 $\Delta x= 5-4=1$ 이다. 미분하면,} \\ s'(t)&=\sqrt{19.6}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\sqrt{\frac{4.9}{x}},\text{ 이므로 }\\ s'(4)&=\sqrt{\frac{4.9}{4}} \\ \text{선형 근사에 의하여} \\ \Delta y& \approx \sqrt{\frac{4.9}{4}}(1)\approx1.1 \end{aligned}$

따라서 4 미터에서 5 미터로 높이를 올리면 물에 닿는 순간의 속력은 약 1.1 미터/초 증가한다.

(b) 이번에도 선형 근사를 이용하면

$\begin{aligned} \Delta y &\approx s'(a)\Delta x\\ &=\sqrt{\frac{4.9}{a}}\cdot\Delta x \end{aligned}$

첫 두 점프 사이와 마지막 두 점프 사이의 높이 차이는 $\Delta x$ 로 같다. 첫 번째 점프의 처음 높이는 두 번째 점프의 처음 높이보다 낮다. 그러므로 $a$ 에 해당하는 값은 첫 번째 점프에서가 두 번째 점프에서보다 작다. 따라서 $\Delta y$ 는 첫 두 점프 사이에서가 마지막 두 점프 사이에서보다 크다. 즉, 첫 번째 점프에서 두 번째 점프로 갈 때의 속력 증가량이 두 번째 점프에서 세 번째 점프로 갈 때의 속력 증가량보다 크다.

이를 식으로 더 나타내면, 첫 두 점프 사이의 종단 속력의 변화는

$\begin{aligned} \Delta y &\approx \sqrt{\frac{4.9}{x}}\cdot\Delta x \\ \text{한편 다음 두 점프 사이의 종단 속력의 변화는} \\ \Delta y &\approx \sqrt{\frac{4.9}{x+\Delta x}}\cdot\Delta x \end{aligned}$

$x$ 와 $\Delta x$ 가 양수일 때 $\sqrt{\dfrac{4.9}{x}}\cdot\Delta x> \sqrt{\dfrac{4.9}{x+\Delta x}}\cdot\Delta x$ 이므로, 종단 속력의 변화는 첫 두 점프 사이에서가 다음 두 점프 사이에서보다 크다.

원본 교재 풀이(영어)

(a)

When $x$ is near 4, the linear approximation of $\Delta y$ is

$\begin{aligned} \Delta y &\approx s'(4)\Delta x \\ \text{From the problem, $\Delta x= 5-4=1$. Differentiating,} \\ s'(t)&=\sqrt{19.6}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\sqrt{\frac{4.9}{x}},\text{ so }\\ s'(4)&=\sqrt{\frac{4.9}{4}} \\ \text{The linear approximation gives us} \\ \Delta y& \approx \sqrt{\frac{4.9}{4}}(1)\approx1.1 \end{aligned}$

So moving from 4 metres to 5 metres increases the speed with which you hit the water by about 1.1 metres per second.

(b) Again, we'll use the linear approximation

$\begin{aligned} \Delta y &\approx s'(a)\Delta x\\ &=\sqrt{\frac{4.9}{a}}\cdot\Delta x \end{aligned}$

The difference in height between the first two jumps and between the last two jumps is the same, $\Delta x$ . The initial height of the first jump is smaller than the initial height of the second jump. So, the value corresponding to $a$ is smaller for the first jump than for the second. Therefore, $\Delta y$ is larger between the first two jumps than it is between the last two jumps. So, the increase in speed from the first jump to the second is larger than the increase in speed from the second jump to the third.

To put that more symbolically, the change in terminal speed between the first two jumps is

$\begin{aligned} \Delta y &\approx \sqrt{\frac{4.9}{x}}\cdot\Delta x \\ \text{while the change in terminal speed between the next two jumps is} \\ \Delta y &\approx \sqrt{\frac{4.9}{x+\Delta x}}\cdot\Delta x \end{aligned}$

Since $\sqrt{\dfrac{4.9}{x}}\cdot\Delta x> \sqrt{\dfrac{4.9}{x+\Delta x}}\cdot\Delta x$ (when $x$ and $\Delta x$ are positive), the change in terminal speed is greater between the first two jumps than between the next two jumps.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.2절 · 8번

# 선형근사와 미분소활용보통자동 분류

14.Active Calculus · 1.8절 · 9번대학 수준우리말 번역

직선 경로를 따라 움직이는 물체의 위치 함수 $y = s(t)$ 는 미분가능하고, $s(t)$ 는 시각 $t$ 에서 원점에 대한 물체의 위치를 나타낸다. 시각 $t = 9$ 초일 때 물체의 위치는 $s(9) = 4$ 피트(즉, 원점의 오른쪽 4피트)라고 알려져 있다. 또한 $t = 9$ 에서 물체의 순간 속도는 초당 $-1.2$ 피트이고, 같은 순간의 가속도는 초당 $0.08$ 피트씩 변하는 속도, 즉 $0.08$ 피트/초²이다.

(a) 국소선형성을 이용하여 $t = 9.34$ 에서 물체의 위치를 어림하세요. (b) 어림한 값이 실제보다 클 가능성이 높은가요, 작을 가능성이 높은가요? 그 이유는 무엇인가요? (c) $t = 9$ 에서 움직이는 물체의 운동 양상을 일상 언어로 설명하세요. 물체는 원점을 향해 움직이고 있나요, 원점에서 멀어지고 있나요? 속도는 증가하고 있나요, 감소하고 있나요?

영어 원문 보기

An object moving along a straight line path has a differentiable position function $y = s(t)$ ; $s(t)$ measures the object's position relative to the origin at time $t$ . It is known that at time $t = 9$ seconds, the object's position is $s(9) = 4$ feet (i.e., 4 feet to the right of the origin). Furthermore, the object's instantaneous velocity at $t = 9$ is $-1.2$ feet per second, and its acceleration at the same instant is $0.08$ feet per second per second.

(a) Use local linearity to estimate the position of the object at $t = 9.34$ . (b) Is your estimate likely too large or too small? Why? (c) In everyday language, describe the behavior of the moving object at $t = 9$ . Is it moving toward the origin or away from it? Is its velocity increasing or decreasing?

정답·풀이 보기

(a) $t=a$ 에서 $s$ 의 선형근사 $L$ 은 $L(t) = s(a) + s'(a)(t-a)$ 이다. 주어진 정보인 $s(9) = 4$ 와 $s'(9) = -1.2$ 를 이용하면 $t=9$ 에서 $s$ 의 선형근사를 구할 수 있다. 따라서 $t=9$ 에서 $s$ 의 선형근사는 $L(t) = 4 - 1.2(t-9)$ 이다. 선형근사의 한 가지 쓰임은, $t$ 가 $9$ 에 가까울 때 $L(t)$ 가 $s(t)$ 의 좋은 근삿값이 된다는 것이다. 그러므로 $s(9.34) \approx L(9.34) = 4-1.2(0.34) = 3.592\,.$ (b) $s''(4) = 0.08$ 이 양수이므로 $s$ 의 그래프는 $t=4$ 에서 아래로 볼록임을 알 수 있다. 이는 $t=4$ 에서 $s$ 의 선형근사가 $s$ 의 그래프보다 아래쪽에 놓인다는 뜻이고, 따라서 $L(9.34)$ 는 $s(9.34)$ 보다 작게 어림한 값이다. (c) $s'(4)$ 가 음수이므로 물체는 원래 위치를 향해 되돌아가고 있다. $s''(4)$ 가 양수라는 것은 $t=4$ 에서 물체의 속도가 증가하고 있다는 뜻이다. 이는 물체가 $t=4$ 에서 출발 위치를 향해 움직이면서 실제로는 느려지고 있음을 뜻한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The linearization $L$ of $s$ at $t=a$ is $L(t) = s(a) + s'(a)(t-a)$ . With the information we have we can find the linearization of $s$ at $t=9$ , using the facts that $s(9) = 4$ and $s'(9) = -1.2$ . Thus, the linearization of $s$ at $t=9$ is $L(t) = 4 - 1.2(t-9)$ . One use of the linearization is that for $t$ close to $9$ , $L(t)$ can provide a good approximation to $s(t)$ . So $s(9.34) \approx L(9.34) = 4-1.2(0.34) = 3.592\,.$ (b) Since $s''(4) = 0.08$ is positive, we know that the graph of $s$ is concave up at $t=4$ . This means that the linearization of $s$ at $t=4$ lies below the graph of $s$ and so $L(9.34)$ is an underestimate to $s(9.34)$ . (c) Given that $s'(4)$ is negative, the object is moving back toward its original position. The fact that $s''(4)$ is positive means that the velocity of the object is increasing at $t=4$ . This means that the object is actually slowing down as it moves toward toward its starting position at $t=4$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 1.8절 · 7번

# 선형근사와 미분소활용자동 분류

극한·미분 심화 전체 문제