빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 미분법

음함수의 미분법

x, y가 섞인 식 그대로 미분해 dy/dx를 구한다

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풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

59문제 · 1 / 3쪽

1.OpenStax 1권 · 3.8절 · 10번우리말 풀이

다음 문제에서 음함수의 미분법을 써서 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

x3y+xy3=−8{x}^{3}y+x{y}^{3}=-8

영어 원문 보기

For the following exercises, use implicit differentiation to find dydx.\frac{dy}{dx}.

x3y+xy3=−8{x}^{3}y+x{y}^{3}=-8

풀이 보기

y 를 x 의 함수로 보고 양변을 x 로 미분한 뒤, dydx\frac{dy}{dx} 가 들어 있는 항만 모아 정리해요.

  1. 1

    왜 이렇게 할까요? 식이 y=⋯y=\cdots 꼴이 아니어서 바로 미분할 수 없어요. 그래서 yy 를 xx 의 함수로 생각하고 양변을 xx 에 대해 미분해요. yy 가 들어간 항은 연쇄법칙 때문에 dydx\frac{dy}{dx} 가 하나씩 붙어요.

  2. 2

    각 항을 곱의 미분법으로 미분해요. x3yx^3y 는 x3x^3 과 yy 의 곱이므로 ddx(x3y)=3x2y+x3dydx\frac{d}{dx}(x^3y)=3x^2y+x^3\frac{dy}{dx} 이고, xy3xy^3 은 ddx(xy3)=y3+x⋅3y2dydx\frac{d}{dx}(xy^3)=y^3+x\cdot 3y^2\frac{dy}{dx} 예요. 우변 −8-8 은 상수이므로 미분하면 00 이에요.

  3. 3

    미분한 식을 합쳐요. 3x2y+x3dydx+y3+3xy2dydx=03x^2y+x^3\frac{dy}{dx}+y^3+3xy^2\frac{dy}{dx}=0

  4. 4

    dydx\frac{dy}{dx} 가 있는 항끼리 모아요. 없는 항은 우변으로 넘겨요. (x3+3xy2)dydx=−3x2y−y3(x^3+3xy^2)\frac{dy}{dx}=-3x^2y-y^3

  5. 5

    양변을 x3+3xy2x^3+3xy^2 으로 나눠요. dydx=−3x2y−y3x3+3xy2\frac{dy}{dx}=\frac{-3x^2y-y^3}{x^3+3xy^2}

답

dydx=−3x2y−y3x3+3xy2\frac{dy}{dx}=\dfrac{-3x^2y-y^3}{x^3+3xy^2}

자주 하는 실수

곱의 미분법을 쓸 때 y3y^3 을 미분하면서 3y23y^2 뒤에 dydx\frac{dy}{dx} 를 붙이는 것을 잊어요.

원본 교재 풀이(영어)

dydx=−3x2y−y3x3+3xy2\frac{dy}{dx}=\frac{-3{x}^{2}y-{y}^{3}}{{x}^{3}+3x{y}^{2}}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.6절 · 1번
# 음함수의 미분법계산보통
2.OpenStax 1권 · 3.8절 · 1번우리말 번역

다음 문제에서 음함수 미분을 이용하여 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

x2−y2=4{x}^{2}-{y}^{2}=4

영어 원문 보기

For the following exercises, use implicit differentiation to find dydx.\frac{dy}{dx}.

x2−y2=4{x}^{2}-{y}^{2}=4

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 2.7절 · 14번
# 음함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
3.OpenStax 1권 · 3.8절 · 2번우리말 번역

다음 문제에서 음함수 미분을 이용하여 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

6x2+3y2=126{x}^{2}+3{y}^{2}=12

영어 원문 보기

For the following exercises, use implicit differentiation to find dydx.\frac{dy}{dx}.

6x2+3y2=126{x}^{2}+3{y}^{2}=12

정답·풀이 보기

dydx=−2xy\frac{dy}{dx}=\frac{-2x}{y}

원본 교재 풀이(영어)

dydx=−2xy\frac{dy}{dx}=\frac{-2x}{y}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.8절 · 8번
# 음함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
4.OpenStax 1권 · 3.8절 · 3번우리말 번역

다음 문제에서 음함수 미분을 이용하여 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

x2y=y−7{x}^{2}y=y-7

영어 원문 보기

For the following exercises, use implicit differentiation to find dydx.\frac{dy}{dx}.

x2y=y−7{x}^{2}y=y-7

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.6절 · 3번
# 음함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
5.OpenStax 1권 · 3.8절 · 4번우리말 번역

다음 문제에서 음함수 미분을 이용하여 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

3x3+9xy2=5x33{x}^{3}+9x{y}^{2}=5{x}^{3}

영어 원문 보기

For the following exercises, use implicit differentiation to find dydx.\frac{dy}{dx}.

3x3+9xy2=5x33{x}^{3}+9x{y}^{2}=5{x}^{3}

정답·풀이 보기

dydx=x3y−y2x\frac{dy}{dx}=\frac{x}{3y}-\frac{y}{2x}

원본 교재 풀이(영어)

dydx=x3y−y2x\frac{dy}{dx}=\frac{x}{3y}-\frac{y}{2x}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.8절 · 2번
# 음함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
6.OpenStax 1권 · 3.8절 · 5번우리말 번역

다음 문제에서 음함수 미분을 이용하여 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

xy−cos⁡(xy)=1xy-\cos (xy)=1

영어 원문 보기

For the following exercises, use implicit differentiation to find dydx.\frac{dy}{dx}.

xy−cos⁡(xy)=1xy-\cos (xy)=1

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.8절 · 28번
# 음함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
7.OpenStax 1권 · 3.8절 · 6번우리말 번역

다음 문제에서 음함수 미분을 이용하여 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

yx+4=xy+8y\sqrt{x+4}=xy+8

영어 원문 보기

For the following exercises, use implicit differentiation to find dydx.\frac{dy}{dx}.

yx+4=xy+8y\sqrt{x+4}=xy+8

정답·풀이 보기

dydx=y−y2x+4x+4−x\frac{dy}{dx}=\frac{y-\frac{y}{2\sqrt{x+4}}}{\sqrt{x+4}-x}

원본 교재 풀이(영어)

dydx=y−y2x+4x+4−x\frac{dy}{dx}=\frac{y-\frac{y}{2\sqrt{x+4}}}{\sqrt{x+4}-x}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.8절 · 4번
# 음함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
8.OpenStax 1권 · 3.8절 · 7번우리말 번역

다음 문제에서 음함수 미분을 이용하여 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

−xy−2=x7-xy-2=\frac{x}{7}

영어 원문 보기

For the following exercises, use implicit differentiation to find dydx.\frac{dy}{dx}.

−xy−2=x7-xy-2=\frac{x}{7}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.8절 · 4번
# 음함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
9.OpenStax 1권 · 3.8절 · 8번우리말 번역

다음 문제에서 음함수 미분을 이용하여 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

ysin⁡(xy)=y2−2y\sin (xy)={y}^{2}-2

영어 원문 보기

For the following exercises, use implicit differentiation to find dydx.\frac{dy}{dx}.

ysin⁡(xy)=y2−2y\sin (xy)={y}^{2}-2

정답·풀이 보기

dydx=y2cos⁡(xy)2y−sin⁡(xy)−xycos⁡(xy)\frac{dy}{dx}=\frac{{y}^{2}\cos (xy)}{2y-\sin (xy)-xy\cos (xy)}

원본 교재 풀이(영어)

dydx=y2cos⁡(xy)2y−sin⁡(xy)−xycos⁡(xy)\frac{dy}{dx}=\frac{{y}^{2}\cos (xy)}{2y-\sin (xy)-xy\cos (xy)}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.8절 · 10번
# 음함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
10.OpenStax 1권 · 3.8절 · 9번우리말 번역

다음 문제들에서 음함수 미분을 이용하여 dydx\frac{dy}{dx} 를 구하세요.

(xy)2+3x=y2{(xy)}^{2}+3x={y}^{2}

영어 원문 보기

For the following exercises, use implicit differentiation to find dydx.\frac{dy}{dx}.

(xy)2+3x=y2{(xy)}^{2}+3x={y}^{2}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.8절 · 8번
# 음함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
11.OpenStax 1권 · 3.8절 · 20번우리말 번역

방정식 x2+xy+y2=7{x}^{2}+xy+{y}^{2}=7 에 대하여 다음을 구하세요.

a. xx절편을 구하세요. b. xx절편에서의 접선의 기울기를 구하세요. c. b에서 구한 값은 접선에 대해 무엇을 나타내는지 설명하세요.

영어 원문 보기

For the equation x2+xy+y2=7,{x}^{2}+xy+{y}^{2}=7,

a. Find the xx-intercept(s). b. Find the slope of the tangent line(s) at the x-intercept(s). c. What does the value(s) in b. indicate about the tangent line(s)?

정답·풀이 보기

a. (±7,0)\left(\pm \sqrt{7},0\right) b. −2-2 c. 두 절편에서 기울기가 같으므로 두 접선은 평행하다.

원본 교재 풀이(영어)

a. (±7,0)\left(\pm \sqrt{7},0\right) b. −2-2 c. They are parallel since the slope is the same at both intercepts.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 2.7절 · 14번
# 음함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
12.OpenStax 1권 · 3.8절 · 24번우리말 번역

[계산기 사용] 제조업체가 노동에 xx 달러, 투자된 자본에 yy 달러를 사용할 때 생산되는 휴대전화의 수는 방정식 60x3/4y1/4=324060{x}^{3/4}{y}^{1/4}=3240 으로 나타낼 수 있다.

a. dydx\frac{dy}{dx} 를 구하고, 점 (81,16)(81,16) 에서의 값을 구하세요. b. a의 결과를 해석하세요.

영어 원문 보기

[T] The number of cell phones produced when xx dollars is spent on labor and yy dollars is spent on capital invested by a manufacturer can be modeled by the equation 60x3/4y1/4=3240.60{x}^{3/4}{y}^{1/4}=3240.

a. Find dydx\frac{dy}{dx} and evaluate at the point (81,16).(81,16). b. Interpret the result of a.

정답·풀이 보기

a. −0.5926-0.5926 b. 노동에 $81, 자본에 $16을 사용할 때, 노동에 $1을 더 사용할 때마다 자본에 사용하는 금액은 $0.5926씩 감소한다.

원본 교재 풀이(영어)

a. −0.5926-0.5926 b. When $81 is spent on labor and $16 is spent on capital, the amount spent on capital is decreasing by $0.5926 per $1 spent on labor.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.8절 · 26번
# 음함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
13.OpenStax 1권 · 3.8절 · 25번우리말 번역

[계산기 사용] 제조업체가 노동에 xx 달러, 자본 투자에 yy 달러를 사용할 때 생산되는 자동차 수는 방정식 30x1/3y2/3=36030{x}^{1/3}{y}^{2/3}=360 으로 모델링할 수 있습니다.

(xx 와 yy 는 모두 천 달러 단위로 나타냅니다.)

a. dydx\frac{dy}{dx} 를 구하고 점 (27,8)(27,8) 에서의 값을 구하세요. b. a의 결과를 해석하세요.

영어 원문 보기

[T] The number of cars produced when xx dollars is spent on labor and yy dollars is spent on capital invested by a manufacturer can be modeled by the equation 30x1/3y2/3=360.30{x}^{1/3}{y}^{2/3}=360.

(Both xx and yy are measured in thousands of dollars.)

a. Find dydx\frac{dy}{dx} and evaluate at the point (27,8).(27,8). b. Interpret the result of a.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 2.7절 · 14번
# 음함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
14.OpenStax 1권 · 3.8절 · 29번우리말 번역

다음 문제에서 음함수 미분을 이용하여 y′{y}^{'} 을 구하세요. 그 답은 앞에서 구한 공식과 일치하나요?

x=sin⁡yx=\sin y

영어 원문 보기

For the following exercises, use implicit differentiation to determine y′.{y}^{'}. Does the answer agree with the formulas we have previously determined?

x=sin⁡yx=\sin y

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.8절 · 28번
# 음함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
15.OpenStax 1권 · 3.8절 · 30번우리말 번역

다음 문제에서 음함수의 미분을 이용하여 y′{y}^{'} 을 구하세요. 그 답이 앞에서 구한 공식과 일치하는지 판단하세요.

x=cos⁡yx=\cos y

영어 원문 보기

For the following exercises, use implicit differentiation to determine y′.{y}^{'}. Does the answer agree with the formulas we have previously determined?

x=cos⁡yx=\cos y

정답·풀이 보기

y′=−11−x2{y}^{'}=-\frac{1}{\sqrt{1-{x}^{2}}}

원본 교재 풀이(영어)

y′=−11−x2{y}^{'}=-\frac{1}{\sqrt{1-{x}^{2}}}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.8절 · 14번
# 음함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
16.OpenStax 1권 · 3.8절 · 31번우리말 번역

다음 문제에서 음함수의 미분을 이용하여 y′{y}^{'} 을 구하세요. 그 답이 앞에서 구한 공식과 일치하는지 판단하세요.

x=tan⁡yx=\tan y

영어 원문 보기

For the following exercises, use implicit differentiation to determine y′.{y}^{'}. Does the answer agree with the formulas we have previously determined?

x=tan⁡yx=\tan y

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.8절 · 6번
# 음함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
17.APEX · 2.6절 · 5번우리말 번역

연습문제 5–12에서, 주어진 함수의 도함수를 구하세요.

f(x)=x+1x\displaystyle f(x) = \sqrt{x} + \frac1{\sqrt{x}}

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, compute the derivative of the given function.

f(x)=x+1x\displaystyle f(x) = \sqrt{x} + \frac1{\sqrt{x}}

정답·풀이 보기

f ′(x)=12x−1/2−12x−3/2=12x−12x3f\,'(x) = \frac12x^{-1/2} - \frac12x^{-3/2} = \frac1{2\sqrt{x}}-\frac1{2\sqrt{x^3}}

원본 교재 풀이(영어)

f ′(x)=12x−1/2−12x−3/2=12x−12x3f\,'(x) = \frac12x^{-1/2} - \frac12x^{-3/2} = \frac1{2\sqrt{x}}-\frac1{2\sqrt{x^3}}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.11절 · 1번
# 음함수의 미분법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
18.APEX · 2.6절 · 6번우리말 번역

연습문제 5–12에서 주어진 함수의 도함수를 구하세요.

f(x)=x3+x2/3\displaystyle f(x) = \sqrt[3]{x} + x^{2/3}

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, compute the derivative of the given function.

f(x)=x3+x2/3\displaystyle f(x) = \sqrt[3]{x} + x^{2/3}

정답·풀이 보기

f ′(x)=13x−2/3+23x−1/3=13x23+23x3f\,'(x) = \frac13x^{-2/3}+\frac23x^{-1/3} = \frac1{3\sqrt[3]{x^2}}+\frac2{3\sqrt[3]{x}}

원본 교재 풀이(영어)

f ′(x)=13x−2/3+23x−1/3=13x23+23x3f\,'(x) = \frac13x^{-2/3}+\frac23x^{-1/3} = \frac1{3\sqrt[3]{x^2}}+\frac2{3\sqrt[3]{x}}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.8절 · 28번
# 음함수의 미분법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
19.APEX · 2.6절 · 7번우리말 번역

연습문제 5–12에서 주어진 함수의 도함수를 구하세요.

f(t)=1−t2f(t) = \sqrt{1-t^2}

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, compute the derivative of the given function.

f(t)=1−t2f(t) = \sqrt{1-t^2}

정답·풀이 보기

f ′(t)=−t1−t2f\,'(t) = \frac{-t}{\sqrt{1-t^2}}

원본 교재 풀이(영어)

f ′(t)=−t1−t2f\,'(t) = \frac{-t}{\sqrt{1-t^2}}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.11절 · 5번
# 음함수의 미분법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
20.APEX · 2.6절 · 8번우리말 번역

연습문제 5–12에서 주어진 함수의 도함수를 구하세요.

g(t)=tsin⁡tg(t) = \sqrt{t}\sin t

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, compute the derivative of the given function.

g(t)=tsin⁡tg(t) = \sqrt{t}\sin t

정답·풀이 보기

g′(t)=tcos⁡t+sin⁡t2tg'(t) = \sqrt{t}\cos t + \frac{\sin t}{2\sqrt{t}}

원본 교재 풀이(영어)

g′(t)=tcos⁡t+sin⁡t2tg'(t) = \sqrt{t}\cos t + \frac{\sin t}{2\sqrt{t}}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 2.7절 · 14번
# 음함수의 미분법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)