음함수의 미분법 연습문제

1.OpenStax 1권 · 3.8절 · 11번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 방정식의 그래프 위의 주어진 점에서의 접선의 방정식을 구하세요. 계산기나 컴퓨터 소프트웨어를 사용하여 함수와 접선의 그래프를 그리세요.

[계산기 사용] ${x}^{4}y-x{y}^{3}=-2,(-1,-1)$

영어 원문 보기

For the following exercises, find an equation of the tangent line to the graph of the given equation at the indicated point. Use a calculator or computer software to graph the function and the tangent line.

[T] ${x}^{4}y-x{y}^{3}=-2,(-1,-1)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.8절 · 10번

# 음함수의 미분법그래프·표 해석자동 분류

2.OpenStax 1권 · 3.8절 · 12번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 방정식의 그래프 위의 주어진 점에서의 접선의 방정식을 구하세요. 계산기나 컴퓨터 소프트웨어를 사용하여 함수와 접선의 그래프를 그리세요.

[계산기 사용] ${x}^{2}{y}^{2}+5xy=14,(2,1)$

영어 원문 보기

For the following exercises, find an equation of the tangent line to the graph of the given equation at the indicated point. Use a calculator or computer software to graph the function and the tangent line.

[T] ${x}^{2}{y}^{2}+5xy=14,(2,1)$

정답·풀이 보기

그래프는 네 개의 사분면 각각에 초승달 모양의 곡선이 하나씩 있다. T(x)라고 표시된 직선이 있으며, 기울기는 −1/2이고 y절편은 2이다.

$y=\frac{-1}{2}x+2$

원본 교재 풀이(영어)

The graph has a crescent in each of the four quadrants. There is a straight line marked T(x) with slope −1/2 and y intercept 2.

$y=\frac{-1}{2}x+2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.8절 · 18번

# 음함수의 미분법그래프·표 해석자동 분류

3.OpenStax 1권 · 3.8절 · 13번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 방정식의 그래프 위의 주어진 점에서의 접선의 방정식을 구하세요. 계산기나 컴퓨터 소프트웨어를 사용하여 함수와 접선의 그래프를 그리세요.

[계산기 사용] $\tan (xy)=y,\left(\frac{\pi }{4},1\right)$

영어 원문 보기

For the following exercises, find an equation of the tangent line to the graph of the given equation at the indicated point. Use a calculator or computer software to graph the function and the tangent line.

[T] $\tan (xy)=y,\left(\frac{\pi }{4},1\right)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.8절 · 24번

# 음함수의 미분법그래프·표 해석자동 분류

4.OpenStax 1권 · 3.8절 · 14번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 방정식의 그래프 위의 주어진 점에서의 접선의 방정식을 구하세요. 계산기나 컴퓨터 소프트웨어를 사용하여 함수와 접선의 그래프를 그리세요.

[계산기 사용] $x{y}^{2}+\sin (\pi y)-2{x}^{2}=10,(2,-3)$

영어 원문 보기

For the following exercises, find an equation of the tangent line to the graph of the given equation at the indicated point. Use a calculator or computer software to graph the function and the tangent line.

[T] $x{y}^{2}+\sin (\pi y)-2{x}^{2}=10,(2,-3)$

정답·풀이 보기

그래프는 두 개의 곡선으로 이루어져 있으며, 하나는 제1사분면에, 다른 하나는 제4사분면에 있다. 두 곡선은 x축에 대하여 대칭이다. 제1사분면에 있는 곡선은 (0.3, 5)에서 (1.5, 3.5)를 지나 (5, 4)로 이어진다. T(x)라고 표시된 직선이 있으며, 기울기는 1/(π + 12)이고 y절편은 −(3π + 38)/(π + 12)이다.

$y=\frac{1}{\pi +12}x-\frac{3\pi +38}{\pi +12}$

원본 교재 풀이(영어)

The graph has two curves, one in the first quadrant and one in the fourth quadrant. They are symmetric about the x axis. The curve in the first quadrant goes from (0.3, 5) to (1.5, 3.5) to (5, 4). There is a straight line marked T(x) with slope 1/(π + 12) and y intercept −(3π + 38)/(π + 12).

$y=\frac{1}{\pi +12}x-\frac{3\pi +38}{\pi +12}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.8절 · 16번

# 음함수의 미분법그래프·표 해석자동 분류

5.OpenStax 1권 · 3.8절 · 15번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 방정식의 그래프 위의 주어진 점에서의 접선의 방정식을 구하세요. 계산기나 컴퓨터 소프트웨어를 사용하여 함수와 접선의 그래프를 그리세요.

[계산기 사용] $\frac{x}{y}+5x-7=-\frac{3}{4}y,(1,2)$

영어 원문 보기

For the following exercises, find an equation of the tangent line to the graph of the given equation at the indicated point. Use a calculator or computer software to graph the function and the tangent line.

[T] $\frac{x}{y}+5x-7=-\frac{3}{4}y,(1,2)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.8절 · 12번

# 음함수의 미분법그래프·표 해석자동 분류

6.OpenStax 1권 · 3.8절 · 16번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 방정식의 그래프 위의 주어진 점에서의 접선의 방정식을 구하세요. 계산기나 컴퓨터 소프트웨어를 사용하여 함수와 접선의 그래프를 그리세요.

[계산기 사용] $xy+\sin (x)=1,\left(\frac{\pi }{2},0\right)$

영어 원문 보기

For the following exercises, find an equation of the tangent line to the graph of the given equation at the indicated point. Use a calculator or computer software to graph the function and the tangent line.

[T] $xy+\sin (x)=1,\left(\frac{\pi }{2},0\right)$

정답·풀이 보기

그래프는 제3사분면에서 (−5, 0) 근처에서 시작하여 x = −4가 될 때까지 0 근처에 머물다가, 그 지점부터 감소하여 (0, −5) 근처에 이른다. x = 0에 점근선이 있다. 그래프는 (0, 5) 근처에서 다시 시작하여 (1, 0)까지 감소한 뒤, 조금 증가했다가 다시 감소하여 (5, 0) 근처에 이른다. T(x)라고 표시된 직선이 있는데, 이 직선은 y = 0과 일치한다.

$y=0$

원본 교재 풀이(영어)

The graph starts in the third quadrant near (−5, 0), remains near 0 until x = −4, at which point it decreases until it reaches near (0, −5). There is an asymptote at x = 0. The graph begins again near (0, 5) decreases to (1, 0) and then increases a little bit before decreasing to be near (5, 0). There is a straight line marked T(x) that coincides with y = 0.

$y=0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.8절 · 12번

# 음함수의 미분법그래프·표 해석자동 분류

7.OpenStax 1권 · 3.8절 · 17번우리말 번역

[계산기 사용] 방정식 $2{x}^{3}+2{y}^{3}-9xy=0$ 인 데카르트의 엽선의 그래프가 다음 그래프에 주어져 있습니다.

방정식 2x3 + 2y3 – 9xy = 0 을 갖는 엽선의 그래프이다. 이 곡선은 (0, 0)에서 스스로 교차한다.

a. 점 $(2,1)$ 에서의 접선의 방정식을 구하세요. 이 접선을 엽선과 함께 그래프로 그리세요. b. a의 접선에 대하여 점 $(2,1)$ 에서의 법선의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] The graph of a folium of Descartes with equation $2{x}^{3}+2{y}^{3}-9xy=0$ is given in the following graph.

A folium is graphed which has equation 2x3 + 2y3 – 9xy = 0. It crosses over itself at (0, 0).

a. Find an equation of the tangent line at the point $(2,1).$ Graph the tangent line along with the folium. b. Find an equation of the normal line to the tangent line in a. at the point $(2,1).$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.11절 · 6번

# 음함수의 미분법그래프·표 해석자동 분류

8.OpenStax 1권 · 3.8절 · 18번우리말 번역

방정식 ${x}^{2}+2xy-3{y}^{2}=0$ 에 대하여 다음을 구하세요.

a. 점 $(1,1)$ 에서의 접선에 대한 법선의 방정식을 구하세요. b. a의 법선은 이 방정식의 그래프와 다른 어느 점에서 만나는지 구하세요.

영어 원문 보기

For the equation ${x}^{2}+2xy-3{y}^{2}=0,$

a. Find an equation of the normal to the tangent line at the point $(1,1).$ b. At what other point does the normal line in a. intersect the graph of the equation?

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

a. $y=-x+2$ b. $(3,-1)$

원본 교재 풀이(영어)

a. $y=-x+2$ b. $(3,-1)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.8절 · 6번

# 음함수의 미분법그래프·표 해석자동 분류

9.OpenStax 1권 · 3.8절 · 19번우리말 번역

${y}^{3}-27y={x}^{2}-90$ 의 그래프 위의 점 중에서 접선이 수직인 점을 모두 구하세요.

영어 원문 보기

Find all points on the graph of ${y}^{3}-27y={x}^{2}-90$ at which the tangent line is vertical.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.11절 · 4번

# 음함수의 미분법그래프·표 해석자동 분류

10.OpenStax 1권 · 3.8절 · 21번우리말 번역

방정식 ${\sin }^{-1}x+{\sin }^{-1}y=\frac{\pi }{6}$ 의 그래프 위의 점 $\left(0,\frac{1}{2}\right)$ 에서의 접선의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find an equation of the tangent line to the graph of the equation ${\sin }^{-1}x+{\sin }^{-1}y=\frac{\pi }{6}$ at the point $\left(0,\frac{1}{2}\right).$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.8절 · 16번

# 음함수의 미분법그래프·표 해석자동 분류

11.OpenStax 1권 · 3.8절 · 22번우리말 번역

방정식 ${\tan }^{-1}(x+y)={x}^{2}+\frac{\pi }{4}$ 의 그래프 위의 점 $(0,1)$ 에서의 접선의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find an equation of the tangent line to the graph of the equation ${\tan }^{-1}(x+y)={x}^{2}+\frac{\pi }{4}$ at the point $(0,1).$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$y=-x+1$

원본 교재 풀이(영어)

$y=-x+1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 2.7절 · 12번

# 음함수의 미분법그래프·표 해석자동 분류

12.OpenStax 1권 · 3.8절 · 23번우리말 번역

다음 문제에서, 주어진 방정식의 그래프 위의 주어진 점에서의 접선의 방정식을 구하세요. 계산기나 컴퓨터 소프트웨어를 사용하여 함수와 접선의 그래프를 그리세요.

${x}^{2}+6xy-2{y}^{2}=3$ 에 대하여 ${y}^{'}$ 과 ${y}^{''}$ 을 구하세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, find an equation of the tangent line to the graph of the given equation at the indicated point. Use a calculator or computer software to graph the function and the tangent line.

Find ${y}^{'}$ and ${y}^{''}$ for ${x}^{2}+6xy-2{y}^{2}=3.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.11절 · 11번

# 음함수의 미분법그래프·표 해석자동 분류

13.APEX · 2.6절 · 27번우리말 번역

연습문제 27–32에서, 음함수로 정의된 함수의 그래프에 대해 주어진 점에서의 접선의 방정식을 구하세요. 시각적 도움을 위해 각 함수의 그래프를 그려 두었습니다.

$x^{2/5}+y^{2/5} = 1$

(a) $(1,0)$ 에서. (b) $(0.1,0.281)$ 에서 (이 점은 곡선 위에 정확히 놓여 있지는 않지만 매우 가깝습니다).

영어 원문 보기

In Exercises 27–32, find the equation of the tangent line to the graph of the implicitly defined function at the indicated points. As a visual aid, each function is graphed.

$x^{2/5}+y^{2/5} = 1$

(a) At $(1,0)$ . (b) At $(0.1,0.281)$ (which does not exactly lie on the curve, but is very close).

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) $y=0$ (b) $y = -1.859(x-0.1)+0.281$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $y=0$ (b) $y = -1.859(x-0.1)+0.281$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 2.7절 · 14번

# 음함수의 미분법그래프·표 해석자동 분류

14.APEX · 2.6절 · 28번우리말 번역

연습문제 27–32에서, 음함수로 정의된 함수의 그래프에 대해 주어진 점에서의 접선의 방정식을 구하세요. 시각적 도움을 위해 각 함수의 그래프를 그려 두었습니다.

$x^{4}+y^{4} = 1$

(a) $(1,0)$ 에서. (b) $(\sqrt{0.6},\sqrt{0.8})$ 에서. (c) $(0,1)$ 에서.

영어 원문 보기

In Exercises 27–32, find the equation of the tangent line to the graph of the implicitly defined function at the indicated points. As a visual aid, each function is graphed.

$x^{4}+y^{4} = 1$

(a) At $(1,0)$ . (b) At $(\sqrt{0.6},\sqrt{0.8})$ . (c) At $(0,1)$ .

답 쓰고 채점

(a)

(b)

(c)

정답·풀이 보기

(a) $x=1$ (b) $y = -\frac{3\sqrt{3}}{8}(x-\sqrt{.6})+\sqrt{.8} \approx -0.65(x-0.775)+0.894$ (c) $y=1$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $x=1$ (b) $y = -\frac{3\sqrt{3}}{8}(x-\sqrt{.6})+\sqrt{.8} \approx -0.65(x-0.775)+0.894$ (c) $y=1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.8절 · 14번

# 음함수의 미분법그래프·표 해석자동 분류

15.APEX · 2.6절 · 29번우리말 번역

연습문제 27–32에서, 음함수로 정의된 함수의 그래프에 대해 주어진 점에서의 접선의 방정식을 구하세요. 시각적 도움을 위해 각 함수의 그래프를 그려 두었습니다.

$(x^2+y^2-4)^3 = 108y^2$

(a) $(0,4)$ 에서. (b) $(2,-\sqrt[4]{108})$ 에서.

영어 원문 보기

In Exercises 27–32, find the equation of the tangent line to the graph of the implicitly defined function at the indicated points. As a visual aid, each function is graphed.

$(x^2+y^2-4)^3 = 108y^2$

(a) At $(0,4)$ . (b) At $(2,-\sqrt[4]{108})$ .

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) $y=4$ (b) $y = 0.93(x-2)-\sqrt[4]{108}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $y=4$ (b) $y = 0.93(x-2)-\sqrt[4]{108}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.6절 · 3번

# 음함수의 미분법그래프·표 해석자동 분류

16.APEX · 2.6절 · 30번우리말 번역

연습문제 27–32에서, 음함수로 정의된 함수의 그래프에 대해 주어진 점에서의 접선의 방정식을 구하세요. 참고용으로 각 함수의 그래프를 함께 제시했습니다.

$(x^2+y^2+x)^2 = x^2+y^2$

(a) $(0,1)$ 에서. (b) $\displaystyle \left(-\frac34, \frac{3 \sqrt{3}}{4}\right)$ 에서.

영어 원문 보기

In Exercises 27–32, find the equation of the tangent line to the graph of the implicitly defined function at the indicated points. As a visual aid, each function is graphed.

$(x^2+y^2+x)^2 = x^2+y^2$

(a) At $(0,1)$ . (b) At $\displaystyle \left(-\frac34, \frac{3 \sqrt{3}}{4}\right)$ .

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) $y=-1/3x+1$ (b) $y = 3\sqrt{3}/4$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $y=-1/3x+1$ (b) $y = 3\sqrt{3}/4$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.11절 · 1번

# 음함수의 미분법그래프·표 해석자동 분류

17.APEX · 2.6절 · 31번우리말 번역

연습문제 27–32에서, 음함수로 정의된 함수의 그래프에 대하여 주어진 점에서의 접선의 방정식을 구하세요. 시각적 도움을 위해 각 함수의 그래프가 그려져 있습니다.

$(x-2)^2+(y-3)^2=9$

(a) $\displaystyle \left(\frac72,\frac{6+3\sqrt{3}}{2}\right)$ 에서. (b) $\displaystyle \left(\frac{4+3\sqrt{3}}{2}, \frac32\right)$ 에서.

영어 원문 보기

In Exercises 27–32, find the equation of the tangent line to the graph of the implicitly defined function at the indicated points. As a visual aid, each function is graphed.

$(x-2)^2+(y-3)^2=9$

(a) At $\displaystyle \left(\frac72,\frac{6+3\sqrt{3}}{2}\right)$ . (b) At $\displaystyle \left(\frac{4+3\sqrt{3}}{2}, \frac32\right)$ .

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) $y=-\frac{1}{\sqrt{3}}(x-\frac72)+\frac{6+3\sqrt{3}}{2}$ (b) $y = \sqrt{3}(x-\frac{4+3\sqrt{3}}2)+\frac32$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $y=-\frac{1}{\sqrt{3}}(x-\frac72)+\frac{6+3\sqrt{3}}{2}$ (b) $y = \sqrt{3}(x-\frac{4+3\sqrt{3}}2)+\frac32$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.8절 · 28번

# 음함수의 미분법그래프·표 해석자동 분류

18.APEX · 2.6절 · 32번우리말 번역

연습문제 27–32에서, 음함수로 정의된 함수의 그래프에 대하여 주어진 점에서의 접선의 방정식을 구하세요. 시각적 도움을 위해 각 함수의 그래프가 그려져 있습니다.

$x^2+y^3+2xy=0$

(a) $\displaystyle \left(-1,1\right)$ 에서. (b) $\displaystyle \left(-1,\frac12(-1+\sqrt{5})\right)$ 에서. (c) $\displaystyle \left(-1,\frac12(-1-\sqrt{5})\right)$ 에서.

영어 원문 보기

In Exercises 27–32, find the equation of the tangent line to the graph of the implicitly defined function at the indicated points. As a visual aid, each function is graphed.

$x^2+y^3+2xy=0$

(a) At $\displaystyle \left(-1,1\right)$ . (b) At $\displaystyle \left(-1,\frac12(-1+\sqrt{5})\right)$ . (c) At $\displaystyle \left(-1,\frac12(-1-\sqrt{5})\right)$ .

답 쓰고 채점

(a)

(b)

(c)

정답·풀이 보기

(a) $y=1$ (b) $y =-\frac{2}{\sqrt{5}}(x+1)+\frac12(-1+\sqrt{5})$ (c) $y =\frac{2}{\sqrt{5}}(x+1)+\frac12(-1-\sqrt{5})$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $y=1$ (b) $y =-\frac{2}{\sqrt{5}}(x+1)+\frac12(-1+\sqrt{5})$ (c) $y =\frac{2}{\sqrt{5}}(x+1)+\frac12(-1-\sqrt{5})$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.11절 · 13번

# 음함수의 미분법그래프·표 해석자동 분류

19.CLP-1 · 2.11절 · 2번우리말 번역

아래 그림을 이용하여, 곡선이 $y$ 축과 만나는 세 점에서 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 의 값을 어림하세요.

참고: 이 곡선에서는 하나의 $x$ 의 값에 여러 개의 $y$ 의 값이 대응할 수 있다. 따라서 이 곡선은 어떤 함수 $x$ 에 대해서도 $y=f(x)$ 로 나타낼 수 없다. 이는 음함수 미분을 사용할 수 있는 대표적인 경우 중 하나이다.

영어 원문 보기

Using the picture below, estimate $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ at the three points where the curve crosses the $y$ -axis.

Remark: for this curve, one value of $x$ may correspond to multiple values of $y$ . So, we cannot express this curve as $y=f(x)$ for any function $x$ . This is one typical situation where we might use implicit differentiation.

정답·풀이 보기

$(0,4)$ 와 $(0,-4)$ 에서는 곡선을 확대해 보면 수평으로 보이므로, 이 점에서의 접선의 미분계수는 0이다. 원점에서는 접선이 수직으로 보이므로 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 는 존재하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

At $(0,4)$ and $(0,-4)$ , the curve looks to be horizontal, if you zoom in: a tangent line here would have derivative zero. At the origin, the curve looks like its tangent line is vertical, so $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ does not exist.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.11절 · 3번

# 음함수의 미분법그래프·표 해석기본자동 분류

20.CLP-1 · 2.11절 · 3번우리말 번역

$x^2+y^2=1$ 을 만족하는 모든 점 $(x,y)$ 로 이루어진 단위원을 생각합니다.

(a) $y=f(x)$ 가 단위원을 완전히 나타내도록 하는 함수 $f(x)$ 가 있나요? 즉, 등식 $y=f(x)$ 를 참이 되게 하는 점 $(x,y)$ 가 등식 $x^2+y^2=1$ 을 참이 되게 하는 점과 정확히 같도록 하는 함수가 있나요? (b) $y=f'(x)$ 가 단위원의 기울기를 완전히 나타내도록 하는 함수 $f'(x)$ 가 있나요? 즉, 단위원 위의 모든 점 $(x,y)$ 에 대하여 그 점에서 원에 그은 접선의 기울기가 $f'(x)$ 로 주어지도록 하는 함수가 있나요? (c) 음함수 미분을 이용하여 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 에 대한 식을 구하세요. 그 식이 ( $y$ 는 포함하지 않고) $x$ 만의 함수가 될 때까지 간단히 하거나, 그것이 불가능한 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Consider the unit circle, formed by all points $(x,y)$ that satisfy $x^2+y^2=1$ .

(a) Is there a function $f(x)$ so that $y=f(x)$ completely describes the unit circle? That is, so that the points $(x,y)$ that make the equation $y=f(x)$ true are exactly the same points that make the equation $x^2+y^2=1$ true? (b) Is there a function $f'(x)$ so that $y=f'(x)$ completely describes the slope of the unit circle? That is, so that for every point $(x,y)$ on the unit circle, the slope of the tangent line to the circle at that point is given by $f'(x)$ ? (c) Use implicit differentiation to find an expression for $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ . Simplify until the expression is a function in terms of $x$ only (not $y$ ), or explain why this is impossible.

정답·풀이 보기

(a) 아니요. 함수는 수직선 판정법을 통과해야 한다. 즉, 하나의 입력에서 두 개(또는 그 이상)의 출력이 나올 수 없다. 하나의 $x$ 값이 때때로 두 개의 $y$ 값에 대응하므로(예를 들어 $x=\pi/4$ 일 때 $y$ 는 $\pm 1/\sqrt{2}$ 이다), $y=f(x)$ 가 원 위의 모든 점을 나타내도록 하는 함수 $f(x)$ 는 없다.

참고: $y=\pm\sqrt{1-x^2}$ 은 단위원 위의 모든 점을 나타낸다. 그러나 하나의 입력 $x$ 가 때때로 두 개의 출력 $y$ 를 내므로 이 식은 함수가 아니다.

(b) 아니요, (a)와 같은 이유이다. $f'(x)$ 가 함수라면 하나의 $x$ 값에 대응하는 기울기를 많아야 하나만 줄 수 있다. 하나의 $x$ 값이 기울기가 서로 다른 원 위의 두 점에 대응할 수 있으므로, $f'(x)$ 는 원 위의 모든 점의 기울기를 줄 수 없다. 예를 들어 $0<a<1$ 인 임의의 $a$ 를 잡자. $x$ 좌표가 $a$ 인 원 위의 점은 두 개 있다. 위쪽 점에서는 기울기가 엄격히 음수이고, 아래쪽 점에서는 기울기가 엄격히 양수이다.

(c) 미분하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} 2x+2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=0 \\ \text{그리고 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 에 대해 푼다} \\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=-\frac{x}{y} \end{aligned}$

그런데 이 등식의 우변에는 $y$ 가 있고, 이를 없앨 방법이 분명하지 않다. (b)의 답에 따르면, 우변이 $x$ 의 함수가 되도록 하려면 사실 $y$ 를 없앨 수 없다. 하나의 $x$ 값이 원 위의 여러 점에 대응하므로 도함수는 $x$ 의 함수로 나타낼 수 없다.

참고: $y=\pm\sqrt{1-x^2}$ 이므로 다음과 같이 쓰려고 할 수 있다. $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{x}{y}=\pm\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ 그러나 이것은 $x$ 의 함수가 아니다. 다시 말하지만, 함수에서는 하나의 입력이 많아야 하나의 출력을 내지만, 여기서는 대개 하나의 $x$ 값이 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 의 두 값을 낸다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) No. A function must pass the vertical line test: one input cannot result in two (or more) outputs. Since one value of $x$ sometimes corresponds to two values of $y$ (for example, when $x=\pi/4$ , $y$ is $\pm 1/\sqrt{2}$ ), there is no function $f(x)$ so that $y=f(x)$ captures every point on the circle.

Remark: $y=\pm\sqrt{1-x^2}$ does capture every point on the unit circle. However, since one input $x$ sometimes results in two outputs $y$ , this expression is not a function.

(b) No, for the same reasons as (a). If $f'(x)$ is a function, then it can give at most one slope corresponding to one value of $x$ . Since one value of $x$ can correspond to two points on the circle with different slopes, $f'(x)$ cannot give the slope of every point on the circle. For example, fix any $0<a<1$ . There are two points on the circle with $x$ -coordinate equal to $a$ . At the upper one, the slope is strictly negative. At the lower one, the slope is strictly positive.

(c) We differentiate:

$\begin{aligned} 2x+2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=0 \\ \text{and solve for $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$} \\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=-\frac{x}{y} \end{aligned}$

But there is a $y$ in the right-hand side of this equation, and it's not clear how to get it out. Our answer in (b) tells us that, actually, we can't get it out, if we want the right-hand side to be a function of $x$ . The derivative cannot be expressed as a function of $x$ , because one value of $x$ corresponds to multiple points on the circle.

Remark: since $y=\pm\sqrt{1-x^2}$ , we could try writing $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{x}{y}=\pm\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ but this is not a function of $x$ . Again, in a function, one input leads to at most one output, but here one value of $x$ will usually lead to two values of $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.11절 · 13번

# 음함수의 미분법그래프·표 해석기본자동 분류