문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 적분법

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131문제 · 2 / 7쪽

21.OpenStax 1권 · 5.5절 · 50번우리말 번역

다음 연습문제에서 u 치환을 이용하여 상수 $C=0$ 일 때의 부정적분 $\int f(x)dx$ 의 값을 구하세요. 그런 다음 주어진 구간에서 함수와 부정적분의 그래프를 그리세요. 가능하면, 부정적분이 정적분 $F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt$ 와 같아지도록 부정적분에 더해야 하는 C 의 값을 어림하세요. 여기서 a 는 주어진 구간의 왼쪽 끝점이다.

[계산기 사용] $[0,1]$ 에서 $\int 3{x}^{2}\sqrt{2{x}^{3}+1}dx$

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate the indefinite integral $\int f(x)dx$ with constant $C=0$ using u-substitution. Then, graph the function and the antiderivative over the indicated interval. If possible, estimate a value of C that would need to be added to the antiderivative to make it equal to the definite integral $F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt,$ with a the left endpoint of the given interval.

[T] $\int 3{x}^{2}\sqrt{2{x}^{3}+1}dx$ over $[0,1]$

정답·풀이 보기

그래프 두 개이다. 첫 번째 그래프는 함수 f(x) = 3x^2 * √(2x^3 + 1) 을 나타낸다. 원점에서 시작하여 증가하며 아래로 볼록한 곡선이다. 두 번째 그래프는 함수 f(x) = 1/3 * (2x^3 + 1)^(1/3) 을 나타낸다. 약 0.3에서 시작하여 증가하며 아래로 볼록한 곡선이다.

부정적분은 $y=\frac{1}{3}{(2{x}^{3}+1)}^{3/2}$ 이다. $C=-\frac{1}{3}$ 로 잡아야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

Two graphs. The first shows the function f(x) = 3x^2 * sqrt(2x^3 + 1). It is an increasing concave up curve starting at the origin. The second shows the function f(x) = 1/3 * (2x^3 + 1)^(1/3). It is an increasing concave up curve starting at about 0.3.

The antiderivative is $y=\frac{1}{3}{(2{x}^{3}+1)}^{3/2}.$ One should take $C=-\frac{1}{3}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 52번

# 치환적분법그래프·표 해석자동 분류

22.OpenStax 1권 · 5.5절 · 61번우리말 번역

$a>0$ 이고 $a\ne 1$ 인 고정된 상수 $a$ 에 대해, $t=0$ 과 $t=x$ 사이에서 $f(t)=\frac{t}{{(1+{t}^{2})}^{a}}$ 의 그래프 아래의 넓이를 구하고, $x\to \infty$ 일 때의 극한값을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the area under the graph of $f(t)=\frac{t}{{(1+{t}^{2})}^{a}}$ between $t=0$ and $t=x$ where $a>0$ and $a\ne 1$ is fixed, and evaluate the limit as $x\to \infty .$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.4절 · 15번

# 치환적분법그래프·표 해석자동 분류

23.OpenStax 1권 · 5.5절 · 62번우리말 번역

$g(t)=\frac{t}{{(1-{t}^{2})}^{a}}$ 의 그래프 아래에서 $t=0$ 과 $t=x$ 사이의 넓이를 구하세요. 단, $0<x<1$ 이고 $a>0$ 은 고정된 상수입니다. $x\to 1$ 일 때의 극한값을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the area under the graph of $g(t)=\frac{t}{{(1-{t}^{2})}^{a}}$ between $t=0$ and $t=x,$ where $0<x<1$ and $a>0$ is fixed. Evaluate the limit as $x\to 1.$

정답·풀이 보기

${\int }_{0}^{x}g(t)dt=\frac{1}{2}{\int }_{u=1-{x}^{2}}^{1}\frac{du}{{u}^{a}}=\frac{1}{2(1-a)}{u}^{1-a}{|}_{u=1-{x}^{2}}^{1}=\frac{1}{2(1-a)}(1-{(1-{x}^{2})}^{1-a}).$ $x\to 1$ 일 때 극한은 $a<1$ 이면 $\frac{1}{2(1-a)}$ 이고, $a\ge 1$ 이면 극한은 +∞ 로 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{0}^{x}g(t)dt=\frac{1}{2}{\int }_{u=1-{x}^{2}}^{1}\frac{du}{{u}^{a}}=\frac{1}{2(1-a)}{u}^{1-a}{|}_{u=1-{x}^{2}}^{1}=\frac{1}{2(1-a)}(1-{(1-{x}^{2})}^{1-a}).$ As $x\to 1$ the limit is $\frac{1}{2(1-a)}$ if $a<1,$ and the limit diverges to +∞ if $a\ge 1.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 14번

# 치환적분법그래프·표 해석자동 분류

24.OpenStax 1권 · 5.5절 · 65번우리말 번역

[계산기 사용] 다음 그래프는 $f(t)=a\sin (nt)+b\sin (mt)$ 꼴의 함수의 그래프입니다. 계수 a 와 b, 그리고 진동수 매개변수 n 과 m 을 어림하세요. 이 어림값을 이용하여 ${\int }_{0}^{\pi }f(t)dt$ 의 값을 근삿값으로 구하세요.

주어진 꼴의 함수의 그래프로, 구간 (0, 2pi)에서 꺾이는 점(극값을 갖는 점)이 여섯 개 있다. 이 점들은 pi/4 직전, pi/2 직후, 3pi/4와 pi 사이, pi와 5pi/4 사이, 3pi/2 직전, 7pi/4 직후에 있으며, 값은 각각 약 3, -2, 1, -1, 2, -3이다. 그래프는 원점에서 시작하여 (2pi, 0)에서 끝난다. x축과는 pi/4와 pi/2 사이, 3pi/4 직전, pi, 5pi/4 직후, 3pi/2와 4pi/4 사이에서 만난다.

영어 원문 보기

[T] The following graph is of a function of the form $f(t)=a\sin (nt)+b\sin (mt).$ Estimate the coefficients a and b, and the frequency parameters n and m. Use these estimates to approximate ${\int }_{0}^{\pi }f(t)dt.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 32번

# 치환적분법그래프·표 해석자동 분류

25.OpenStax 1권 · 5.5절 · 66번우리말 번역

[계산기 사용] 다음 그래프는 $f(x)=a\cos (nt)+b\cos (mt)$ 꼴의 함수의 그래프입니다. 계수 a 와 b, 그리고 진동수 매개변수 n 과 m 을 어림하세요. 이 어림값을 이용하여 ${\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}f(t)dt$ 의 값을 근삿값으로 구하세요.

주어진 꼴의 함수의 그래프로, 구간 (0, 2pi)에서 그려져 있다. 그래프는 (0,1)에서 시작하여 (2pi, 1)에서 끝난다. 극점(극값을 갖는 점)이 다섯 개 있으며, pi/4 직후, pi/2와 3pi/4 사이, pi, 5pi/4와 3pi/2 사이, 7pi/4 직전에 있고, 값은 각각 약 -1.5, 2.5, -3, 2.5, -1이다. x축과는 0과 pi/4 사이, pi/2 직전, 3pi/4 직후, 5pi/4 직전, 3pi/2 직후, 7pi/4와 2pi 사이에서 만난다.

영어 원문 보기

[T] The following graph is of a function of the form $f(x)=a\cos (nt)+b\cos (mt).$ Estimate the coefficients a and b and the frequency parameters n and m. Use these estimates to approximate ${\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}f(t)dt.$

정답·풀이 보기

$f(t)=2\cos (3t)-\cos (2t);{\int }_{0}^{\pi }(2\cos (3t)-\cos (2t))dt=0$

원본 교재 풀이(영어)

$f(t)=2\cos (3t)-\cos (2t);{\int }_{0}^{\pi }(2\cos (3t)-\cos (2t))dt=0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 10번

# 치환적분법그래프·표 해석자동 분류

26.OpenStax 1권 · 5.6절 · 27번우리말 번역

$t=1$ 부터 e^x 까지 $y=\frac{1}{t}$ 의 그래프 아래의 넓이를 나타내는 적분을 쓰고, 그 적분의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Write an integral to express the area under the graph of $y=\frac{1}{t}$ from $t=1$ to e^x and evaluate the integral.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.6절 · 44번

# 여러 가지 함수의 적분그래프·표 해석자동 분류

27.OpenStax 1권 · 5.6절 · 28번우리말 번역

$t=0$ 과 $t=\ln x$ 사이에서 $y={e}^{t}$ 의 그래프 아래의 넓이를 나타내는 적분을 쓰고, 그 적분의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Write an integral to express the area under the graph of $y={e}^{t}$ between $t=0$ and $t=\ln x,$ and evaluate the integral.

정답·풀이 보기

${\int }_{0}^{\ln x}{e}^{t}dt={e}^{t}{|}_{0}^{\ln x}={e}^{\ln x}-{e}^{0}=x-1$

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{0}^{\ln x}{e}^{t}dt={e}^{t}{|}_{0}^{\ln x}={e}^{\ln x}-{e}^{0}=x-1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.6절 · 50번

# 여러 가지 함수의 적분그래프·표 해석자동 분류

28.OpenStax 1권 · 5.6절 · 53번우리말 번역

다음 연습문제에서 $a\le x\le b$ 일 때 $f(x)\ge 0$ 이다. 적분하여 주어진 값 a 와 b 사이에서 $f(x)$ 의 그래프 아래의 넓이를 구하세요.

$f(x)=\frac{{\log }_{10}(x)}{x};a=10,b=100$

영어 원문 보기

In the following exercises, $f(x)\ge 0$ for $a\le x\le b.$ Find the area under the graph of $f(x)$ between the given values a and b by integrating.

$f(x)=\frac{{\log }_{10}(x)}{x};a=10,b=100$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.6절 · 18번

# 여러 가지 함수의 적분그래프·표 해석자동 분류

29.OpenStax 1권 · 5.6절 · 54번우리말 번역

다음 연습문제에서 $a\le x\le b$ 일 때 $f(x)\ge 0$ 이다. 적분하여 주어진 값 a 와 b 사이에서 $f(x)$ 의 그래프 아래의 넓이를 구하세요.

$f(x)=\frac{{\log }_{2}(x)}{x};a=32,b=64$

영어 원문 보기

In the following exercises, $f(x)\ge 0$ for $a\le x\le b.$ Find the area under the graph of $f(x)$ between the given values a and b by integrating.

$f(x)=\frac{{\log }_{2}(x)}{x};a=32,b=64$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{11}{2}\ln 2$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{11}{2}\ln 2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.6절 · 26번

# 여러 가지 함수의 적분그래프·표 해석자동 분류

30.OpenStax 1권 · 5.6절 · 55번우리말 번역

다음 연습문제에서 $a\le x\le b$ 일 때 $f(x)\ge 0$ 이다. 적분하여 주어진 값 a 와 b 사이에서 $f(x)$ 의 그래프 아래의 넓이를 구하세요.

$f(x)={2}^{-x};a=1,b=2$

영어 원문 보기

In the following exercises, $f(x)\ge 0$ for $a\le x\le b.$ Find the area under the graph of $f(x)$ between the given values a and b by integrating.

$f(x)={2}^{-x};a=1,b=2$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.6절 · 10번

# 여러 가지 함수의 적분그래프·표 해석자동 분류

31.OpenStax 1권 · 5.6절 · 57번우리말 번역

$x=0$ 과 $x=5$ 사이에서 함수 $f(x)=x{e}^{-{x}^{2}}$ 의 그래프 아래 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the area under the graph of the function $f(x)=x{e}^{-{x}^{2}}$ between $x=0$ and $x=5.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.6절 · 16번

# 여러 가지 함수의 적분그래프·표 해석자동 분류

32.OpenStax 1권 · 5.6절 · 58번우리말 번역

$f(x)=x{e}^{-{x}^{2}}$ 의 적분을 계산하고, $x=N$ 과 $x=N+1$ 사이에서 그래프 $f(x)=x{e}^{-{x}^{2}}$ 아래 넓이가 0.01 이하가 되도록 하는 N 의 최솟값을 구하세요.

영어 원문 보기

Compute the integral of $f(x)=x{e}^{-{x}^{2}}$ and find the smallest value of N such that the area under the graph $f(x)=x{e}^{-{x}^{2}}$ between $x=N$ and $x=N+1$ is, at most, 0.01.

정답·풀이 보기

${\int }_{N}^{N+1}x{e}^{-{x}^{2}}dx=\frac{1}{2}({e}^{-{N}^{2}}-{e}^{-{(N+1)}^{2}})$ 이 값은 $N=2$ 일 때 0.01 보다 작다.

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{N}^{N+1}x{e}^{-{x}^{2}}dx=\frac{1}{2}({e}^{-{N}^{2}}-{e}^{-{(N+1)}^{2}}).$ The quantity is less than 0.01 when $N=2.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.6절 · 28번

# 여러 가지 함수의 적분그래프·표 해석자동 분류

33.OpenStax 1권 · 5.6절 · 59번우리말 번역

N 이 무한대로 갈 때, $x=0$ 과 $x=N$ 사이에서 $f(x)=x{e}^{-{x}^{2}}$ 의 그래프 아래 넓이의 극한을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the limit, as N tends to infinity, of the area under the graph of $f(x)=x{e}^{-{x}^{2}}$ between $x=0$ and $x=N.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.6절 · 26번

# 여러 가지 함수의 적분그래프·표 해석자동 분류

34.OpenStax 1권 · 6.1절 · 1번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 그림에서 두 곡선 사이의 영역의 넓이를 $x\text{축}$ 을 따라 적분하여 구하세요.

$y={x}^{2}-3\,\text{그리고}\,y=1$

이 그림에는 두 개의 그래프가 있다. 두 그래프는 함수 f(x) = x^2-3 과 g(x)=1 이다. 이 그래프들 사이에 색칠된 영역이 있으며, 이 영역은 위쪽은 g(x), 아래쪽은 f(x)로 둘러싸여 있다. 색칠된 부분은 x=-2 와 x=2 사이에 있다.

영어 원문 보기

For the following exercises, determine the area of the region between the two curves in the given figure by integrating over the $x\text{-axis}.$

$y={x}^{2}-3\,\text{and}\,y=1$

This figure is has two graphs. They are the functions f(x) = x^2-3and g(x)=1. In between these graphs is a shaded region, bounded above by g(x) and below by f(x). The shaded area is between x=-2 and x=2.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{32}{3}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{32}{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6장 복습 · 1번

# 넓이(여러 가지 함수)그래프·표 해석자동 분류

35.OpenStax 1권 · 6.1절 · 2번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 그림에서 두 곡선 사이의 영역의 넓이를 $x\text{축}$ 방향으로 적분하여 구하세요.

$y={x}^{2}\,\text{그리고}\,y=3x+4$

이 그림에는 두 그래프가 있다. 두 그래프는 함수 f(x) = x^2 과 g(x)= 3x+4 이다. 이 그래프들 사이에는 색칠된 영역이 있으며, 이 영역은 위로는 g(x) 로, 아래로는 g(x) 로 둘러싸여 있다.

영어 원문 보기

For the following exercises, determine the area of the region between the two curves in the given figure by integrating over the $x\text{-axis}.$

$y={x}^{2}\,\text{and}\,y=3x+4$

This figure is has two graphs. They are the functions f(x) = x^2 and g(x)= 3x+4. In between these graphs is a shaded region, bounded above by g(x) and below by g(x).

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.5절 · 14번

# 넓이(여러 가지 함수)그래프·표 해석자동 분류

36.OpenStax 1권 · 6.1절 · 3번우리말 번역

다음 연습 문제에서, 두 곡선 사이의 영역을 두 개의 더 작은 영역으로 나눈 다음, $x\text{축}$ 을 따라 적분하여 넓이를 구하세요. 풀어야 할 적분이 두 개임에 유의하세요.

$y={x}^{3}$ 와 $y={x}^{2}+x$

이 그림에는 두 그래프가 있다. 두 그래프는 함수 f(x) = x^3 과 g(x)= x^2+x 의 그래프이다. 이 그래프들은 두 번 만난다. 교점 사이의 영역이 색칠되어 있다. 첫 번째 영역은 f(x)에 의해 위로 유계이고 g(x)에 의해 아래로 유계이다. 두 번째 영역은 g(x)에 의해 위로 유계이고 f(x)에 의해 아래로 유계이다.

영어 원문 보기

For the following exercises, split the region between the two curves into two smaller regions, then determine the area by integrating over the $x\text{-axis}.$ Note that you will have two integrals to solve.

$y={x}^{3}$ and $y={x}^{2}+x$

This figure is has two graphs. They are the functions f(x) = x^3 and g(x)= x^2+x. These graphs intersect twice. The regions between the intersections are shaded. The first region is bounded above by f(x) and below by g(x). The second region is bounded above by g(x) and below by f(x).

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{13}{12}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{13}{12}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.5절 · 2번

# 넓이(여러 가지 함수)그래프·표 해석자동 분류

37.OpenStax 1권 · 6.1절 · 4번우리말 번역

다음 연습문제에서, 두 곡선 사이의 영역을 두 개의 더 작은 영역으로 나누고, $x\text{축}$ 을 따라 적분하여 넓이를 구하세요. 풀어야 할 적분이 두 개임에 유의하세요.

$y=\cos \,\theta$ 와 $y=0.5$ , $0\le \theta \le \pi$

이 그림에는 두 개의 그래프가 있다. 두 그래프는 함수 f(세타) = cos(세타)와 g(세타) = 0.5이다. 이 그래프들은 두 번 만난다. 두 교점 사이의 영역에 색이 칠해져 있다. 첫 번째 영역은 위쪽이 f(세타)로, 아래쪽이 g(세타)로 유계이다. 두 번째 영역은 위쪽이 g(세타)로, 아래쪽이 f(세타)로 유계이다.

영어 원문 보기

For the following exercises, split the region between the two curves into two smaller regions, then determine the area by integrating over the $x\text{-axis}.$ Note that you will have two integrals to solve.

$y=\cos \,\theta$ and $y=0.5,$ for $0\le \theta \le \pi$

This figure is has two graphs. They are the functions f(theta) = cos(theta) and g(theta)= 0.5. These graphs intersect twice. The regions between the intersections are shaded. The first region is bounded above by f(theta) and below by g(theta). The second region is bounded above by g(theta) and below by f(theta).

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6장 복습 · 15번

# 넓이(여러 가지 함수)그래프·표 해석자동 분류

38.OpenStax 1권 · 6.1절 · 6번우리말 번역

다음 연습 문제에서, $y\text{축}$ 에 대해 적분하여 두 곡선 사이 영역의 넓이를 구하세요.

$y=x\,\text{그리고}\,x={y}^{2}$

이 그림에는 두 그래프가 있다. 두 그래프는 방정식 y=x 와 x=y^2 의 그래프이다. 두 그래프 사이의 영역이 색칠되어 있으며, 위쪽은 x=y^2 으로, 아래쪽은 y=x 로 둘러싸여 있다.

영어 원문 보기

For the following exercises, determine the area of the region between the two curves by integrating over the $y\text{-axis}.$

$y=x\,\text{and}\,x={y}^{2}$

This figure is has two graphs. They are the equations y=x and x=y^2. The region between the graphs is shaded, bounded above by x=y^2 and below by y=x.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 6.1절 · 12번

# 넓이(여러 가지 함수)그래프·표 해석자동 분류

39.OpenStax 1권 · 6.1절 · 7번우리말 번역

다음 연습문제에서 방정식의 그래프를 그리고 곡선 사이의 영역을 색칠하세요. $x\text{축}$ 방향으로 적분하여 그 넓이를 구하세요.

$y={x}^{2}\,\text{그리고}\,y=-{x}^{2}+18x$

영어 원문 보기

For the following exercises, graph the equations and shade the area of the region between the curves. Determine its area by integrating over the $x\text{-axis}.$

$y={x}^{2}\,\text{and}\,y=-{x}^{2}+18x$

정답·풀이 보기

이 그림에는 그래프가 두 개 있다. 두 그래프는 함수 f(x)=x^2 과 g(x)=-x^2+18x 이다. 두 그래프 사이의 영역은 색칠되어 있으며, 위로는 g(x) 로, 아래로는 f(x) 로 둘러싸여 있다. 이 영역은 제1사분면에 있다.

243 제곱단위

원본 교재 풀이(영어)

This figure is has two graphs. They are the functions f(x)=x^2 and g(x)=-x^2+18x. The region between the graphs is shaded, bounded above by g(x) and below by f(x). It is in the first quadrant.

243 square units

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.1절 · 17번

# 넓이(여러 가지 함수)그래프·표 해석자동 분류

40.OpenStax 1권 · 6.1절 · 8번우리말 번역

다음 연습문제에서 방정식의 그래프를 그리고 곡선 사이의 영역에 음영을 칠하세요. $x\text{축}$ 방향으로 적분하여 그 넓이를 구하세요.

$y=\frac{1}{x},y=\frac{1}{{x}^{2}},\,\text{그리고}\,x=3$

영어 원문 보기

For the following exercises, graph the equations and shade the area of the region between the curves. Determine its area by integrating over the $x\text{-axis}.$

$y=\frac{1}{x},y=\frac{1}{{x}^{2}},\,\text{and}\,x=3$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6장 복습 · 11번

# 넓이(여러 가지 함수)그래프·표 해석자동 분류