적분법 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

41.OpenStax 1권 · 5.1절 · 25번우리말 번역

다음 끝점 합을 시그마 기호로 나타내되, 값은 구하지 마세요.

L₁₀, $f(x)=\sqrt{4-{x}^{2}}$ , 구간 $[-2,2]$

영어 원문 보기

Express the following endpoint sums in sigma notation but do not evaluate them.

L₁₀ for $f(x)=\sqrt{4-{x}^{2}}$ on $[-2,2]$

정답·풀이 보기

${L}_{10}=\frac{4}{10}\sum_{i=1}^{10}\sqrt{4-(-2+4\frac{(i-1)}{10}{)}^{2}}$

원본 교재 풀이(영어)

${L}_{10}=\frac{4}{10}\sum_{i=1}^{10}\sqrt{4-(-2+4\frac{(i-1)}{10}{)}^{2}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.1절 · 27번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산자동 분류

42.OpenStax 1권 · 5.1절 · 26번우리말 번역

다음 끝점 합을 시그마 기호로 나타내되, 값은 구하지 마세요.

R₂₀, $f(x)=\sin x$ , 구간 $[0,\pi ]$

영어 원문 보기

Express the following endpoint sums in sigma notation but do not evaluate them.

R₂₀ for $f(x)=\sin x$ on $[0,\pi ]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.1절 · 59번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산자동 분류

43.OpenStax 1권 · 5.1절 · 27번우리말 번역

다음 끝점 합을 시그마 기호로 나타내되, 값은 구하지 마세요.

구간 $[1,e]$ 에서 $\ln x$ 에 대한 R₁₀₀

영어 원문 보기

Express the following endpoint sums in sigma notation but do not evaluate them.

R₁₀₀ for $\ln x$ on $[1,e]$

정답·풀이 보기

${R}_{100}=\frac{e-1}{100}\sum_{i=1}^{100}\ln \left(1+(e-1)\frac{i}{100}\right)$

원본 교재 풀이(영어)

${R}_{100}=\frac{e-1}{100}\sum_{i=1}^{100}\ln \left(1+(e-1)\frac{i}{100}\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.1절 · 20번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산자동 분류

44.OpenStax 1권 · 5.1절 · 28번우리말 번역

[계산기 사용] 구간 $[-1,1]$ 에서 $y={x}^{2}-x+3$ 에 대한 L₁₀₀ 과 R₁₀₀

영어 원문 보기

[T] L₁₀₀ and R₁₀₀ for $y={x}^{2}-x+3$ on the interval $[-1,1]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.3절 · 1번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산자동 분류

45.OpenStax 1권 · 5.1절 · 30번우리말 번역

[계산기 사용] 구간 $[2,4]$ 에서 $y=\frac{x+1}{{x}^{2}-1}$ 에 대한 L₅₀ 과 R₅₀

영어 원문 보기

[T] L₅₀ and R₅₀ for $y=\frac{x+1}{{x}^{2}-1}$ on the interval $[2,4]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.1절 · 20번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산자동 분류

46.OpenStax 1권 · 5.1절 · 31번우리말 번역

[계산기 사용] 구간 $[-1,1]$ 에서 $y={x}^{3}+2$ 에 대한 L₁₀₀ 과 R₁₀₀

영어 원문 보기

[T] L₁₀₀ and R₁₀₀ for $y={x}^{3}+2$ on the interval $[-1,1]$

정답·풀이 보기

구간 (-1,1)에서 주어진 함수의 그래프로, 왼쪽 끝점 근삿값을 구하도록 직사각형을 설정한 것이다. 함수가 증가하므로 실제 값보다 작게 어림한 값이다. 알아보기 쉽도록 직사각형 10개를 나타냈지만, 직사각형의 개수가 더 많아져도 이러한 성질은 그대로 유지된다.

${L}_{100}=3.980,{R}_{100}=4.020,{R}_{100}>{L}_{100}$ . 함수가 증가하므로 왼쪽 끝점 합은 실제 값보다 작게 어림한 값이다. 마찬가지로 오른쪽 끝점 근삿값은 실제 값보다 크게 어림한 값이다. 넓이는 왼쪽 끝점 어림값과 오른쪽 끝점 어림값 사이에 있다.

원본 교재 풀이(영어)

A graph of the given function over (-1,1) set up for a left endpoint approximation. It is an underestimate since the function is increasing. Ten rectangles are shown for visual clarity, but this behavior persists for more rectangles.

${L}_{100}=3.980,{R}_{100}=4.020,{R}_{100}>{L}_{100}.$ The left endpoint sum is an underestimate because the function is increasing. Similarly, a right endpoint approximation is an overestimate. The area lies between the left and right endpoint estimates.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.1절 · 21번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산자동 분류

47.OpenStax 1권 · 5.1절 · 32번우리말 번역

[계산기 사용] 구간 $\left[0,\frac{\pi }{4}\right]$ 에서 $y=\tan (x)$ 에 대한 L₅₀ 과 R₅₀

영어 원문 보기

[T] L₅₀ and R₅₀ for $y=\tan (x)$ on the interval $\left[0,\frac{\pi }{4}\right]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.1절 · 57번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산자동 분류

48.OpenStax 1권 · 5.1절 · 33번우리말 번역

[계산기 사용] 구간 $[-1,1]$ 에서 $y={e}^{2x}$ 에 대한 L₁₀₀ 과 R₁₀₀

영어 원문 보기

[T] L₁₀₀ and R₁₀₀ for $y={e}^{2x}$ on the interval $[-1,1]$

정답·풀이 보기

구간 -1에서 1까지 주어진 함수의 그래프로, 왼쪽 끝점 근삿값을 구하도록 직사각형을 설정한 것이다. 함수가 증가하므로 실제 값보다 작게 어림한 값이다. 알아보기 쉽도록 직사각형 10개를 나타냈지만, 직사각형의 개수가 더 많아져도 이러한 성질은 그대로 유지된다.

${L}_{100}=3.555,{R}_{100}=3.670$ 그래프를 보면 함수가 증가하므로 왼쪽 리만 합은 실제 값보다 작게 어림한 값이다. 알아보기 쉽도록 직사각형 10개를 나타냈다. 직사각형의 개수가 더 많아져도 이러한 성질은 그대로 유지된다.

원본 교재 풀이(영어)

A graph of the given function over the interval -1 to 1 set up for a left endpoint approximation. It is an underestimate since the function is increasing. Ten rectangles are shown for isual clarity, but this behavior persists for more rectangles.

${L}_{100}=3.555,{R}_{100}=3.670$ The plot shows that the left Riemann sum is an underestimate because the function is increasing. Ten rectangles are shown for visual clarity. This behavior persists for more rectangles.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.1절 · 31번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산자동 분류

49.OpenStax 1권 · 5.1절 · 34번우리말 번역

t_j 는 테이제이 반 가르테런이 2014년 투르 드 프랑스의 j번째 구간을 달리는 데 걸린 시간을 나타낸다고 하자. 구간이 모두 21개였다면, $\sum_{j=1}^{21}{t}_{j}$ 의 의미를 해석하세요.

영어 원문 보기

Let t_j denote the time that it took Tejay van Garteren to ride the jth stage of the Tour de France in 2014. If there were a total of 21 stages, interpret $\sum_{j=1}^{21}{t}_{j}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.1절 · 41번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산자동 분류

50.OpenStax 1권 · 5.1절 · 35번우리말 번역

${r}_{j}$ 를 2009년 포틀랜드에서 그해 j번째 날의 총 강수량이라 하자. $\sum_{j=1}^{31}{r}_{j}$ 의 의미를 해석하세요.

영어 원문 보기

Let ${r}_{j}$ denote the total rainfall in Portland on the jth day of the year in 2009. Interpret $\sum_{j=1}^{31}{r}_{j}.$

정답·풀이 보기

이 합은 2009년 1월의 누적 강수량을 나타낸다.

원본 교재 풀이(영어)

The sum represents the cumulative rainfall in January 2009.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.1절 · 33번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산자동 분류

51.OpenStax 1권 · 5.1절 · 37번우리말 번역

몸을 만들기 위해 조는 새 러닝화를 산다. 조가 1주차에는 매일 1 mi 를 달리고, 매주 일과에 $\frac{1}{10}$ mi 씩 더해 달린다면, 25주 후 이 러닝화의 총 주행 거리는 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

To help get in shape, Joe gets a new pair of running shoes. If Joe runs 1 mi each day in week 1 and adds $\frac{1}{10}$ mi to his daily routine each week, what is the total mileage on Joe’s shoes after 25 weeks?

정답·풀이 보기

총 주행 거리는 $7\,\times \,\sum_{i=1}^{25}\left(1+\frac{(i-1)}{10}\right)=7\,\times \,25+\frac{7}{10}\,\times \,12\,\times \,25=385\,\text{mi}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The total mileage is $7\,\times \,\sum_{i=1}^{25}\left(1+\frac{(i-1)}{10}\right)=7\,\times \,25+\frac{7}{10}\,\times \,12\,\times \,25=385\,\text{mi}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.1절 · 19번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산자동 분류

52.OpenStax 1권 · 5.1절 · 46번우리말 번역

[계산기 사용] 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여 $[-1,1]$ 에서 $f(x)=\sqrt{1-{x}^{2}}$ 에 대해 $N=10,30,50$ 일 때의 리만 합 ${L}_{N}$ 을 계산하세요.

영어 원문 보기

[T] Use a computer algebra system to compute the Riemann sum, ${L}_{N},$ for $N=10,30,50$ for $f(x)=\sqrt{1-{x}^{2}}$ on $[-1,1].$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.1절 · 31번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산자동 분류

53.OpenStax 1권 · 5.1절 · 47번우리말 번역

[계산기 사용] 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여 $[-1,1]$ 에서 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+{x}^{2}}}$ 에 대해 $N=10,30,50$ 일 때의 리만 합 L_N 을 계산하세요.

영어 원문 보기

[T] Use a computer algebra system to compute the Riemann sum, L_N, for $N=10,30,50$ for $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+{x}^{2}}}$ on $[-1,1].$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

${L}_{10}\approx 1.7604,{L}_{30}\approx 1.7625,{L}_{50}\approx 1.76265$

원본 교재 풀이(영어)

${L}_{10}\approx 1.7604,{L}_{30}\approx 1.7625,{L}_{50}\approx 1.76265$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.1절 · 51번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산자동 분류

54.OpenStax 1권 · 5.1절 · 48번우리말 번역

[계산기 사용] 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여 $[0,2\pi ]$ 에서 $f(x)={\sin }^{2}x$ 에 대해 $N=10,30,50$ 일 때의 리만 합 L_N 을 계산하세요. 이 어림값을 π 와 비교하세요.

영어 원문 보기

[T] Use a computer algebra system to compute the Riemann sum, L_N, for $N=10,30,50$ for $f(x)={\sin }^{2}x$ on $[0,2\pi ].$ Compare these estimates with π.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.3절 · 1번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산자동 분류

55.OpenStax 1권 · 5.1절 · 49번우리말 번역

다음 연습문제에서 계산기나 컴퓨터 프로그램을 사용하여 $N=1,10,100$ 일 때 끝점 합 R_N 과 L_N 의 값을 구하세요. 이 어림값은 기하를 이용하여 구할 수 있는 정확한 답과 어떻게 비교되는지 설명하세요.

[계산기 사용] 구간 $[0,1]$ 에서 $y=\cos (\pi x)$

영어 원문 보기

In the following exercises, use a calculator or a computer program to evaluate the endpoint sums R_N and L_N for $N=1,10,100.$ How do these estimates compare with the exact answers, which you can find via geometry?

[T] $y=\cos (\pi x)$ on the interval $[0,1]$

정답·풀이 보기

${R}_{1}=-1,{L}_{1}=1,{R}_{10}=-0.1,{L}_{10}=0.1,{L}_{100}=0.01$ , 그리고 ${R}_{100}=-0.01$ . 그래프의 대칭성에 의해 정확한 넓이는 0이다.

원본 교재 풀이(영어)

${R}_{1}=-1,{L}_{1}=1,{R}_{10}=-0.1,{L}_{10}=0.1,{L}_{100}=0.01,$ and ${R}_{100}=-0.01.$ By symmetry of the graph, the exact area is zero.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.1절 · 57번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산자동 분류

56.OpenStax 1권 · 5.1절 · 50번우리말 번역

다음 연습문제에서 계산기 또는 컴퓨터 프로그램을 사용하여 $N=1,10,100$ 에 대해 끝점 합 R_N 과 L_N 의 값을 구하세요. 이 어림값은 기하를 이용해 구할 수 있는 정확한 답과 어떻게 비교되는지 설명하세요.

[계산기 사용] 구간 $[3,5]$ 에서 $y=3x+2$

영어 원문 보기

In the following exercises, use a calculator or a computer program to evaluate the endpoint sums R_N and L_N for $N=1,10,100.$ How do these estimates compare with the exact answers, which you can find via geometry?

[T] $y=3x+2$ on the interval $[3,5]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.1절 · 20번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산자동 분류

57.OpenStax 1권 · 5.1절 · 58번우리말 번역

이전 연습문제에서, 정사각형을 넓이가 같은 네 개의 작은 직사각형(칸)로 세분할 때 $L(A)$ 는 더 작아지지 않고 $U(A)$ 는 더 커지지 않는 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

In the previous exercise, explain why $L(A)$ gets no smaller while $U(A)$ gets no larger as the squares are subdivided into four boxes of equal area.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.1절 · 25번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산자동 분류

58.OpenStax 1권 · 5.5절 · 1번우리말 번역

u-치환을 왜 변수 변환이라고 부를까요?

영어 원문 보기

Why is u-substitution referred to as change of variable?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.1절 · 21번

# 치환적분법계산자동 분류

59.OpenStax 1권 · 5.5절 · 2번우리말 번역

$f=g\circ h$ 일 때, 연쇄 법칙 $\frac{d}{dx}(g\circ h)(x)={g}^{'}(h(x)){h}^{'}(x)$ 를 거꾸로 적용하려면 $u=g(x)$ 와 $u=h(x)$ 중 어느 것으로 놓아야 하나요?

영어 원문 보기

If $f=g\circ h,$ when reversing the chain rule, $\frac{d}{dx}(g\circ h)(x)={g}^{'}(h(x)){h}^{'}(x),$ should you take $u=g(x)$ or $u=h(x)?$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$u=h(x)$

원본 교재 풀이(영어)

$u=h(x)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 6.1절 · 2번

# 치환적분법계산자동 분류

60.OpenStax 1권 · 5.5절 · 3번우리말 번역

다음 문제에서 미분을 이용하여 각 등식이 성립함을 확인하세요. 그런 다음 주어진 u-치환을 이용하여 적분이 $\int f(u)du$ 꼴이 되도록 하는 f 를 구하세요.

$\int x\sqrt{x+1}dx=\frac{2}{15}{(x+1)}^{3/2}(3x-2)+C;u=x+1$

영어 원문 보기

In the following exercises, verify each identity using differentiation. Then, using the indicated u-substitution, identify f such that the integral takes the form $\int f(u)du.$

$\int x\sqrt{x+1}dx=\frac{2}{15}{(x+1)}^{3/2}(3x-2)+C;u=x+1$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 4번

# 치환적분법계산자동 분류

적분법 전체 문제