빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 적분 기법

부분분수 적분

유리함수를 부분분수로 나누어 적분한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

104문제 · 4 / 6쪽

61.OpenStax 2권 · 3.4절 · 61번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서는 치환 $\tan \left(\frac{x}{2}\right)=t,$ $dx=\frac{2}{1+{t}^{2}}dt,$ $\sin x=\frac{2t}{1+{t}^{2}}$ , 그리고 $\cos x=\frac{1-{t}^{2}}{1+{t}^{2}}$ 을 사용하세요.

$\tan \left(\frac{x}{2}\right)=t$ 가 주어질 때, 공식 $dx=\frac{2}{1+{t}^{2}}dt,$ $\sin x=\frac{2t}{1+{t}^{2}}$ , 그리고 $\cos x=\frac{1-{t}^{2}}{1+{t}^{2}}$ 을 유도하세요.

영어 원문 보기

For the following problems, use the substitutions $\tan \left(\frac{x}{2}\right)=t,$ $dx=\frac{2}{1+{t}^{2}}dt,$ $\sin x=\frac{2t}{1+{t}^{2}},$ and $\cos x=\frac{1-{t}^{2}}{1+{t}^{2}}.$

Given $\tan \left(\frac{x}{2}\right)=t,$ derive the formulas $dx=\frac{2}{1+{t}^{2}}dt,$ $\sin x=\frac{2t}{1+{t}^{2}},$ and $\cos x=\frac{1-{t}^{2}}{1+{t}^{2}}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.4절 · 32번

# 부분분수 적분계산자동 분류

62.OpenStax 2권 · 3.4절 · 62번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서는 치환 $\tan \left(\frac{x}{2}\right)=t,$ $dx=\frac{2}{1+{t}^{2}}dt,$ $\sin x=\frac{2t}{1+{t}^{2}}$ , 그리고 $\cos x=\frac{1-{t}^{2}}{1+{t}^{2}}$ 을 사용하세요.

$\int \frac{\sqrt[3]{x-8}}{x}dx$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

For the following problems, use the substitutions $\tan \left(\frac{x}{2}\right)=t,$ $dx=\frac{2}{1+{t}^{2}}dt,$ $\sin x=\frac{2t}{1+{t}^{2}},$ and $\cos x=\frac{1-{t}^{2}}{1+{t}^{2}}.$

Evaluate $\int \frac{\sqrt[3]{x-8}}{x}dx.$

정답·풀이 보기

$3{(-8+x)}^{1/3}$ $-2\sqrt{3}\arctan \left[\frac{-1+{(-8+x)}^{1/3}}{\sqrt{3}}\right]$ $-2\ln [2+{(-8+x)}^{1/3}]$ $+\ln [4-2{(-8+x)}^{1/3}+{(-8+x)}^{2/3}]+C$

원본 교재 풀이(영어)

$3{(-8+x)}^{1/3}$ $-2\sqrt{3}\arctan \left[\frac{-1+{(-8+x)}^{1/3}}{\sqrt{3}}\right]$ $-2\ln [2+{(-8+x)}^{1/3}]$ $+\ln [4-2{(-8+x)}^{1/3}+{(-8+x)}^{2/3}]+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.4절 · 32번

# 부분분수 적분계산자동 분류

63.APEX · 6.5절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–22번에서 주어진 함수의 도함수를 구하세요.

$f(x) = \sinh 2x$

영어 원문 보기

In Exercises 11–22, find the derivative of the given function.

$f(x) = \sinh 2x$

정답·풀이 보기

$2\cosh 2x$

원본 교재 풀이(영어)

$2\cosh 2x$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.4절 · 34번

# 부분분수 적분계산자동 분류

64.APEX · 6.5절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–22번에서 주어진 함수의 도함수를 구하세요.

$f(x) = \tanh (x^2)$

영어 원문 보기

In Exercises 11–22, find the derivative of the given function.

$f(x) = \tanh (x^2)$

정답·풀이 보기

$2x\operatorname{sech}^2(x^2)$

원본 교재 풀이(영어)

$2x\operatorname{sech}^2(x^2)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.4절 · 36번

# 부분분수 적분계산자동 분류

65.APEX · 6.5절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–22번에서 주어진 함수의 도함수를 구하세요.

$f(x) = \ln(\sinh x)$

영어 원문 보기

In Exercises 11–22, find the derivative of the given function.

$f(x) = \ln(\sinh x)$

정답·풀이 보기

$\coth x$

원본 교재 풀이(영어)

$\coth x$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.4절 · 30번

# 부분분수 적분계산자동 분류

66.APEX · 6.5절 · 15번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–22번에서 주어진 함수의 도함수를 구하세요.

$f(x) = \sinh x\cosh x$

영어 원문 보기

In Exercises 11–22, find the derivative of the given function.

$f(x) = \sinh x\cosh x$

정답·풀이 보기

$\sinh^2x+\cosh^2x$

원본 교재 풀이(영어)

$\sinh^2x+\cosh^2x$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.4절 · 32번

# 부분분수 적분계산자동 분류

67.APEX · 6.5절 · 16번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–22에서 주어진 함수의 도함수를 구하세요.

$f(x) = x\sinh x-\cosh x$

영어 원문 보기

In Exercises 11–22, find the derivative of the given function.

$f(x) = x\sinh x-\cosh x$

정답·풀이 보기

$x\cosh x$

원본 교재 풀이(영어)

$x\cosh x$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.4절 · 62번

# 부분분수 적분계산자동 분류

68.APEX · 6.5절 · 17번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–22에서 주어진 함수의 도함수를 구하세요.

$f(x) = \operatorname{sech}^{-1} (x^2)$

영어 원문 보기

In Exercises 11–22, find the derivative of the given function.

$f(x) = \operatorname{sech}^{-1} (x^2)$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{-2x}{(x^2)\sqrt{1-x^4}}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{-2x}{(x^2)\sqrt{1-x^4}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.4절 · 28번

# 부분분수 적분계산자동 분류

69.APEX · 6.5절 · 18번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–22에서 주어진 함수의 도함수를 구하세요.

$f(x) = \sinh^{-1} (3x)$

영어 원문 보기

In Exercises 11–22, find the derivative of the given function.

$f(x) = \sinh^{-1} (3x)$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{3}{\sqrt{9x^2+1}}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{3}{\sqrt{9x^2+1}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.4절 · 10번

# 부분분수 적분계산자동 분류

70.APEX · 6.5절 · 19번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–22에서 주어진 함수의 도함수를 구하세요.

$f(x) = \cosh^{-1} (2x^2)$

영어 원문 보기

In Exercises 11–22, find the derivative of the given function.

$f(x) = \cosh^{-1} (2x^2)$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{4x}{\sqrt{4x^4-1}}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{4x}{\sqrt{4x^4-1}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.4절 · 22번

# 부분분수 적분계산자동 분류

71.APEX · 6.5절 · 20번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–22에서 주어진 함수의 도함수를 구하세요.

$f(x) = \tanh^{-1} (x+5)$

영어 원문 보기

In Exercises 11–22, find the derivative of the given function.

$f(x) = \tanh^{-1} (x+5)$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{1}{1-(x+5)^2}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{1-(x+5)^2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.4절 · 48번

# 부분분수 적분계산자동 분류

72.APEX · 6.5절 · 21번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–22에서 주어진 함수의 도함수를 구하세요.

$f(x) = \tanh^{-1} (\cos x)$

영어 원문 보기

In Exercises 11–22, find the derivative of the given function.

$f(x) = \tanh^{-1} (\cos x)$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$-\csc x$

원본 교재 풀이(영어)

$-\csc x$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.4절 · 60번

# 부분분수 적분계산자동 분류

73.APEX · 6.5절 · 22번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–22에서 주어진 함수의 도함수를 구하세요.

$f(x) = \cosh^{-1} (\sec x)$

영어 원문 보기

In Exercises 11–22, find the derivative of the given function.

$f(x) = \cosh^{-1} (\sec x)$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\sec x$

원본 교재 풀이(영어)

$\sec x$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.4절 · 12번

# 부분분수 적분계산자동 분류

74.APEX · 6.5절 · 23번대학 수준우리말 번역

연습문제 23–28에서 주어진 $x$ 값에서 함수에 접하는 직선의 방정식을 구하세요.

$f(x) = \sinh x$ ( $x=0$ 에서)

영어 원문 보기

In Exercises 23–28, find the equation of the line tangent to the function at the given $x$ -value.

$f(x) = \sinh x$ at $x=0$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$y=x$

원본 교재 풀이(영어)

$y=x$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.4절 · 44번

# 부분분수 적분계산자동 분류

75.APEX · 6.5절 · 24번대학 수준우리말 번역

연습문제 23–28에서 주어진 $x$ 값에서 함수에 접하는 직선의 방정식을 구하세요.

$f(x) = \cosh x$ ( $x=\ln 2$ 에서)

영어 원문 보기

In Exercises 23–28, find the equation of the line tangent to the function at the given $x$ -value.

$f(x) = \cosh x$ at $x=\ln 2$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$y=\frac34(x-\ln 2)+\frac54$

원본 교재 풀이(영어)

$y=\frac34(x-\ln 2)+\frac54$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.4절 · 20번

# 부분분수 적분계산자동 분류

76.APEX · 6.5절 · 25번대학 수준우리말 번역

연습문제 23–28에서 주어진 $x$ 값에서 함수에 접하는 직선의 방정식을 구하세요.

$f(x) = \tanh x$ ( $x=-\ln 3$ 일 때)

영어 원문 보기

In Exercises 23–28, find the equation of the line tangent to the function at the given $x$ -value.

$f(x) = \tanh x$ at $x=-\ln 3$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$y=\frac9{25}(x+\ln 3)-\frac45$

원본 교재 풀이(영어)

$y=\frac9{25}(x+\ln 3)-\frac45$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.4절 · 48번

# 부분분수 적분계산자동 분류

77.APEX · 6.5절 · 26번대학 수준우리말 번역

연습문제 23–28에서, 주어진 $x$ 의 값에서 함수에 접하는 직선의 방정식을 구하세요.

$f(x) = \operatorname{sech}^2 x$ ( $x=\ln 3$ 일 때)

영어 원문 보기

In Exercises 23–28, find the equation of the line tangent to the function at the given $x$ -value.

$f(x) = \operatorname{sech}^2 x$ at $x=\ln 3$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$y=-\frac{72}{125}(x-\ln 3)+\frac9{25}$

원본 교재 풀이(영어)

$y=-\frac{72}{125}(x-\ln 3)+\frac9{25}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.4절 · 46번

# 부분분수 적분계산자동 분류

78.APEX · 6.5절 · 27번대학 수준우리말 번역

연습문제 23–28에서, 주어진 $x$ 의 값에서 함수에 접하는 직선의 방정식을 구하세요.

$f(x) = \sinh^{-1} x$ ( $x=0$ 일 때)

영어 원문 보기

In Exercises 23–28, find the equation of the line tangent to the function at the given $x$ -value.

$f(x) = \sinh^{-1} x$ at $x=0$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$y=x$

원본 교재 풀이(영어)

$y=x$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.4절 · 26번

# 부분분수 적분계산자동 분류

79.APEX · 6.5절 · 28번대학 수준우리말 번역

연습문제 23–28에서, 주어진 $x$ 의 값에서 함수에 접하는 직선의 방정식을 구하세요.

$f(x) = \cosh^{-1} x$ ( $x=\sqrt 2$ 일 때)

영어 원문 보기

In Exercises 23–28, find the equation of the line tangent to the function at the given $x$ -value.

$f(x) = \cosh^{-1} x$ at $x=\sqrt 2$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$y=(x-\sqrt{2})+\cosh^{-1}(\sqrt{2}) \approx (x-1.414)+0.881$

원본 교재 풀이(영어)

$y=(x-\sqrt{2})+\cosh^{-1}(\sqrt{2}) \approx (x-1.414)+0.881$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.4절 · 24번

# 부분분수 적분계산자동 분류

80.APEX · 6.5절 · 29번대학 수준우리말 번역

연습문제 29–44에서, 주어진 부정적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int \tanh (2x)\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 29–44, evaluate the given indefinite integral.

$\displaystyle \int \tanh (2x)\ dx$

정답·풀이 보기

$1/2\ln (\cosh(2x))+C$

원본 교재 풀이(영어)

$1/2\ln (\cosh(2x))+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.4절 · 58번

# 부분분수 적분계산자동 분류