부분분수 적분 연습문제 | 빌드라인 스쿨

81.APEX · 6.5절 · 30번대학 수준우리말 번역

연습문제 29–44에서, 주어진 부정적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int \cosh (3x-7)\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 29–44, evaluate the given indefinite integral.

$\displaystyle \int \cosh (3x-7)\ dx$

정답·풀이 보기

$1/3\sinh(3x-7)+C$

원본 교재 풀이(영어)

$1/3\sinh(3x-7)+C$

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# 부분분수 적분계산자동 분류

82.APEX · 6.5절 · 31번대학 수준우리말 번역

연습문제 29–44에서 주어진 부정적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int \sinh x\cosh x\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 29–44, evaluate the given indefinite integral.

$\displaystyle \int \sinh x\cosh x\ dx$

정답·풀이 보기

$1/2\sinh^2x+C$ or $1/2\cosh^2x+C$

원본 교재 풀이(영어)

$1/2\sinh^2x+C$ or $1/2\cosh^2x+C$

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# 부분분수 적분계산자동 분류

83.APEX · 6.5절 · 32번대학 수준우리말 번역

연습문제 29–44에서 주어진 부정적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int x\cosh x\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 29–44, evaluate the given indefinite integral.

$\displaystyle \int x\cosh x\ dx$

정답·풀이 보기

$x \sinh (x)-\cosh (x)+C$

원본 교재 풀이(영어)

$x \sinh (x)-\cosh (x)+C$

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# 부분분수 적분계산자동 분류

84.APEX · 6.5절 · 33번대학 수준우리말 번역

연습문제 29–44에서 주어진 부정적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int x\sinh x\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 29–44, evaluate the given indefinite integral.

$\displaystyle \int x\sinh x\ dx$

정답·풀이 보기

$x \cosh (x)-\sinh (x)+C$

원본 교재 풀이(영어)

$x \cosh (x)-\sinh (x)+C$

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# 부분분수 적분계산자동 분류

85.APEX · 6.5절 · 34번대학 수준우리말 번역

연습문제 29–44에서 주어진 부정적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int \frac1{\sqrt{x^2+1}}\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 29–44, evaluate the given indefinite integral.

$\displaystyle \int \frac1{\sqrt{x^2+1}}\ dx$

정답·풀이 보기

$\sinh^{-1} x +C=\ln\big(x+\sqrt{x^2+1}\big)+C$

원본 교재 풀이(영어)

$\sinh^{-1} x +C=\ln\big(x+\sqrt{x^2+1}\big)+C$

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# 부분분수 적분계산자동 분류

86.APEX · 6.5절 · 35번대학 수준우리말 번역

연습문제 29–44에서 주어진 부정적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int \frac1{\sqrt{x^2-9}}\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 29–44, evaluate the given indefinite integral.

$\displaystyle \int \frac1{\sqrt{x^2-9}}\ dx$

정답·풀이 보기

$\cosh^{-1} x/3 +C=\ln\big(x+\sqrt{x^2-9}\big)+C$

원본 교재 풀이(영어)

$\cosh^{-1} x/3 +C=\ln\big(x+\sqrt{x^2-9}\big)+C$

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# 부분분수 적분계산자동 분류

87.APEX · 6.5절 · 36번대학 수준우리말 번역

연습문제 29–44에서 주어진 부정적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int \frac{1}{9-x^2}\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 29–44, evaluate the given indefinite integral.

$\displaystyle \int \frac{1}{9-x^2}\ dx$

정답·풀이 보기

$\left\{\begin{array}{ccc} \frac13\tanh^{-1}\left(\frac x3\right)+C & & x^2<9 \\ \\ \frac13\coth^{-1}\left(\frac x3\right)+C & & 9<x^2 \end{array}\right. = \frac12\ln |x+1| - \frac12\ln |x-1|+C$

원본 교재 풀이(영어)

$\left\{\begin{array}{ccc} \frac13\tanh^{-1}\left(\frac x3\right)+C & & x^2<9 \\ \\ \frac13\coth^{-1}\left(\frac x3\right)+C & & 9<x^2 \end{array}\right. = \frac12\ln |x+1| - \frac12\ln |x-1|+C$

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# 부분분수 적분계산자동 분류

88.APEX · 6.5절 · 37번대학 수준우리말 번역

연습문제 29–44에서 주어진 부정적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int \frac{2x}{\sqrt{x^4-4}}\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 29–44, evaluate the given indefinite integral.

$\displaystyle \int \frac{2x}{\sqrt{x^4-4}}\ dx$

정답·풀이 보기

$\cosh^{-1} (x^2/2) + C = \ln (x^2+\sqrt{x^4-4})+C$

원본 교재 풀이(영어)

$\cosh^{-1} (x^2/2) + C = \ln (x^2+\sqrt{x^4-4})+C$

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# 부분분수 적분계산자동 분류

89.APEX · 6.5절 · 38번대학 수준우리말 번역

연습문제 29–44에서 주어진 부정적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1+x^3}}\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 29–44, evaluate the given indefinite integral.

$\displaystyle \int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1+x^3}}\ dx$

정답·풀이 보기

$2/3\sinh^{-1} x^{3/2} + C = 2/3\ln (x^{3/2}+\sqrt{x^3+1})+C$

원본 교재 풀이(영어)

$2/3\sinh^{-1} x^{3/2} + C = 2/3\ln (x^{3/2}+\sqrt{x^3+1})+C$

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# 부분분수 적분계산자동 분류

90.APEX · 6.5절 · 39번대학 수준우리말 번역

연습문제 29–44에서 주어진 부정적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int \frac{1}{x^4-16}\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 29–44, evaluate the given indefinite integral.

$\displaystyle \int \frac{1}{x^4-16}\ dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$\frac{1}{16}\tan^{-1}(x/2)+\frac{1}{32}\ln |x-2|+\frac1{32}\ln|x+2|+C$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{16}\tan^{-1}(x/2)+\frac{1}{32}\ln |x-2|+\frac1{32}\ln|x+2|+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.4절 · 6번

# 부분분수 적분계산자동 분류

91.APEX · 6.5절 · 40번대학 수준우리말 번역

연습문제 29–44에서 주어진 부정적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int \frac{1}{x^2+x}\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 29–44, evaluate the given indefinite integral.

$\displaystyle \int \frac{1}{x^2+x}\ dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$\ln x- \ln|x+1|+C$

원본 교재 풀이(영어)

$\ln x- \ln|x+1|+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.4절 · 16번

# 부분분수 적분계산자동 분류

92.APEX · 6.5절 · 41번대학 수준우리말 번역

연습문제 29–44에서 주어진 부정적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int \frac{e^x}{e^{2x}+1}\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 29–44, evaluate the given indefinite integral.

$\displaystyle \int \frac{e^x}{e^{2x}+1}\ dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$\tan^{-1}(e^x)+C$

원본 교재 풀이(영어)

$\tan^{-1}(e^x)+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.4절 · 2번

# 부분분수 적분계산자동 분류

93.APEX · 6.5절 · 42번대학 수준우리말 번역

연습문제 29–44에서 주어진 부정적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int \sinh^{-1}x \ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 29–44, evaluate the given indefinite integral.

$\displaystyle \int \sinh^{-1}x \ dx$

정답·풀이 보기

$x\sinh^{-1}x-\sqrt{x^2+1}+C$

원본 교재 풀이(영어)

$x\sinh^{-1}x-\sqrt{x^2+1}+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.4절 · 12번

# 부분분수 적분계산자동 분류

94.APEX · 6.5절 · 43번대학 수준우리말 번역

연습문제 29–44에서 주어진 부정적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int \tanh^{-1}x \ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 29–44, evaluate the given indefinite integral.

$\displaystyle \int \tanh^{-1}x \ dx$

정답·풀이 보기

$x\tanh^{-1}x+1/2\ln|x^2-1|+C$

원본 교재 풀이(영어)

$x\tanh^{-1}x+1/2\ln|x^2-1|+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.4절 · 10번

# 부분분수 적분계산자동 분류

95.APEX · 6.5절 · 44번대학 수준우리말 번역

연습문제 29–44에서 주어진 부정적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int \operatorname{sech} x \ dx$ (힌트: $\frac{\cosh x}{\cosh x}$ 를 곱하고, $u = \sinh x$ 로 놓으세요.)

영어 원문 보기

In Exercises 29–44, evaluate the given indefinite integral.

$\displaystyle \int \operatorname{sech} x \ dx$ (Hint: multiply by $\frac{\cosh x}{\cosh x}$ ; set $u = \sinh x$ .)

정답·풀이 보기

$\tan^{-1}(\sinh x)+C$

원본 교재 풀이(영어)

$\tan^{-1}(\sinh x)+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.10절 · 16번

# 부분분수 적분계산자동 분류

96.APEX · 6.5절 · 45번대학 수준우리말 번역

연습문제 45–48에서 주어진 정적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int_{-1}^1 \sinh x \ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 45–48, evaluate the given definite integral.

$\displaystyle \int_{-1}^1 \sinh x \ dx$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$0$

원본 교재 풀이(영어)

$0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.4절 · 8번

# 부분분수 적분계산자동 분류

97.APEX · 6.5절 · 46번대학 수준우리말 번역

연습문제 45–48에서 주어진 정적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int_{-\ln 2}^{\ln 2} \cosh x \ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 45–48, evaluate the given definite integral.

$\displaystyle \int_{-\ln 2}^{\ln 2} \cosh x \ dx$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$3/2$

원본 교재 풀이(영어)

$3/2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.4절 · 44번

# 부분분수 적분계산자동 분류

98.APEX · 6.5절 · 47번대학 수준우리말 번역

연습문제 45–48에서 주어진 정적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int_{0}^{1} \tanh^{-1} x \ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 45–48, evaluate the given definite integral.

$\displaystyle \int_{0}^{1} \tanh^{-1} x \ dx$

답 쓰고 채점

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$2$

원본 교재 풀이(영어)

$2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.4절 · 20번

# 부분분수 적분계산자동 분류

99.APEX · 6.5절 · 48번대학 수준우리말 번역

연습문제 45–48에서 주어진 정적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int_0^2 \frac1{\sqrt{x^2+1}}\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 45–48, evaluate the given definite integral.

$\displaystyle \int_0^2 \frac1{\sqrt{x^2+1}}\ dx$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\sinh^{-1} 2 =\ln\big(2+\sqrt{5}\big)\approx 1.444$

원본 교재 풀이(영어)

$\sinh^{-1} 2 =\ln\big(2+\sqrt{5}\big)\approx 1.444$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.4절 · 60번

# 부분분수 적분계산자동 분류

100.CLP-2 · 1.10절 · 1번대학 수준우리말 번역

아래는 서로 다른 네 이차함수의 그래프입니다. 각 이차함수가 (1) 기약인지, (2) 서로 다른 두 일차 인수의 곱인지, (3) 중복된 일차 인수(와 경우에 따라 상수)의 곱인지 판단하세요.

영어 원문 보기

Below are the graphs of four different quadratic functions. For each quadratic function, decide whether it is: (i) irreducible, (ii) the product of two distinct linear factors, or (iii) the product of a repeated linear factor (and possibly a constant).

정답·풀이 보기

이차함수가 어떤 상수 $a,b,c,d$ 에 대해 $(ax+b)(cx+d)$ 로 인수분해되면, 그 근은 $-\frac{b}{a}$ 와 $-\frac{d}{c}$ 이다. 따라서 이차함수가 근을 갖지 않으면 기약이다. 그래프 (d)의 함수가 이 경우이다.

이차함수가 서로 다른 두 근을 가지면, 어떤 상수 $\alpha$ 에 대해서도 $(ax+b) \neq \alpha(cx+d)$ 이다. 즉, 이 이차함수는 서로 다른 일차 인수들의 곱이다. (b)와 (c)에 그려진 함수는 각각 $x$ 축과 만나는 서로 다른 점이 두 개이므로 이 경우이다.

마지막으로, 이차함수가 근을 정확히 하나만 가지면 $\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$ 이므로 다음이 성립한다.

$\begin{aligned} (ax+b)(cx+d)&=a(x+\tfrac{b}{a})(cx+d) = a(x+\tfrac{d}{c})(cx+d) = \tfrac{a}{c}(cx+d)(cx+d) \end{aligned}$

즉, 이 이차함수는 중복된 일차 인수와 상수 $\frac{a}{c}$ (단순히 $\frac{a}{c}=1$ 일 수도 있다)의 곱이다.

원본 교재 풀이(영어)

If a quadratic function can be factored as $(ax+b)(cx+d)$ for some constants $a,b,c,d$ , then it has roots $-\frac{b}{a}$ and $-\frac{d}{c}$ . So, if a quadratic function has no roots, it is irreducible: this is the case for the function in graph (d).

If a quadratic function has two different roots, then $(ax+b) \neq \alpha(cx+d)$ for any constant $\alpha$ . That is, the quadratic function is the product of distinct linear factors. This is the case for the functions graphed in (b) and (c), since these each have two distinct places where they cross the $x$ -axis.

Finally, if a quadratic function has precisely one root, then $\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$ , so:

$\begin{aligned} (ax+b)(cx+d)&=a(x+\tfrac{b}{a})(cx+d) = a(x+\tfrac{d}{c})(cx+d) = \tfrac{a}{c}(cx+d)(cx+d) \end{aligned}$

That is, the quadratic function is the product of a repeated linear factor, and a constant $\frac{a}{c}$ (which might simply be $\frac{a}{c}=1$ ).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.4절 · 50번

# 부분분수 적분그래프·표 해석기본자동 분류