함수의 극한의 뜻 연습문제

21.APEX · 1.1절 · 21번우리말 번역

연습문제 17–24에서 함수 $f$ 와 값 $a$ 가 주어져 있다. $h = \pm 0.1, \pm 0.01$ 을 사용하여 차분몫의 극한 $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 을 어림하세요.

$\displaystyle f(x) = -4x^2+5x-1$ , $a=-3$

영어 원문 보기

In Exercises 17–24, a function $f$ and a value $a$ are given. Approximate the limit of the difference quotient, $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ , using $h = \pm 0.1, \pm 0.01$ .

$\displaystyle f(x) = -4x^2+5x-1$ , $a=-3$

정답·풀이 보기

$\begin{array}{cc}h & \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \\ \hline -0.1 & 29.4 \\ -0.01 & 29.04 \\ 0.01 & 28.96 \\ 0.1 & 28.6\end{array}$ 극한은 약 $29$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$\begin{array}{cc}h & \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \\ \hline -0.1 & 29.4 \\ -0.01 & 29.04 \\ 0.01 & 28.96 \\ 0.1 & 28.6\end{array}$ The limit is approx. $29$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.1절 · 1번

# 함수의 극한의 뜻계산자동 분류

22.APEX · 1.1절 · 22번우리말 번역

연습문제 17–24에서 함수 $f$ 와 값 $a$ 가 주어져 있다. $h = \pm 0.1, \pm 0.01$ 을 사용하여 차분몫의 극한 $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 을 어림하세요.

$\displaystyle f(x) =\ln x$ , $a=5$

영어 원문 보기

In Exercises 17–24, a function $f$ and a value $a$ are given. Approximate the limit of the difference quotient, $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ , using $h = \pm 0.1, \pm 0.01$ .

$\displaystyle f(x) =\ln x$ , $a=5$

정답·풀이 보기

$\begin{array}{cc}h & \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \\ \hline -0.1 & 0.202027 \\ -0.01 & 0.2002 \\ 0.01 & 0.1998 \\ 0.1 & 0.198026\end{array}$ 극한은 약 $0.2$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$\begin{array}{cc}h & \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \\ \hline -0.1 & 0.202027 \\ -0.01 & 0.2002 \\ 0.01 & 0.1998 \\ 0.1 & 0.198026\end{array}$ The limit is approx. $0.2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.2절 · 14번

# 함수의 극한의 뜻계산자동 분류

23.APEX · 1.1절 · 23번우리말 번역

연습문제 17–24에서 함수 $f$ 와 값 $a$ 가 주어져 있다. $h = \pm 0.1, \pm 0.01$ 을 사용하여 차분몫의 극한 $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 을 어림하세요.

$\displaystyle f(x) =\sin x$ , $a=\pi$

영어 원문 보기

In Exercises 17–24, a function $f$ and a value $a$ are given. Approximate the limit of the difference quotient, $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ , using $h = \pm 0.1, \pm 0.01$ .

$\displaystyle f(x) =\sin x$ , $a=\pi$

정답·풀이 보기

$\begin{array}{cc}h & \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \\ \hline -0.1 & -0.998334 \\ -0.01 & -0.999983 \\ 0.01 & -0.999983 \\ 0.1 & -0.998334\end{array}$ 극한은 약 $-1$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$\begin{array}{cc}h & \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \\ \hline -0.1 & -0.998334 \\ -0.01 & -0.999983 \\ 0.01 & -0.999983 \\ 0.1 & -0.998334\end{array}$ The limit is approx. $-1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.3절 · 2번

# 함수의 극한의 뜻계산자동 분류

24.APEX · 1.1절 · 24번우리말 번역

연습문제 17–24에서 함수 $f$ 와 값 $a$ 가 주어져 있다. $h = \pm 0.1, \pm 0.01$ 을 사용하여 차분몫의 극한 $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 을 어림하세요.

$\displaystyle f(x) =\cos x$ , $a=\pi$

영어 원문 보기

In Exercises 17–24, a function $f$ and a value $a$ are given. Approximate the limit of the difference quotient, $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ , using $h = \pm 0.1, \pm 0.01$ .

$\displaystyle f(x) =\cos x$ , $a=\pi$

정답·풀이 보기

$\begin{array}{cc}h & \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \\ \hline -0.1 & -0.0499583 \\ -0.01 & -0.00499996 \\ 0.01 & 0.00499996 \\ 0.1 & 0.0499583\end{array}$ 극한은 약 $0.005$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$\begin{array}{cc}h & \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \\ \hline -0.1 & -0.0499583 \\ -0.01 & -0.00499996 \\ 0.01 & 0.00499996 \\ 0.1 & 0.0499583\end{array}$ The limit is approx. $0.005$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.2절 · 22번

# 함수의 극한의 뜻계산자동 분류

25.CLP-1 · 1.1절 · 3번우리말 번역

$L$ 을 곡선 $y=f(x)$ 의 어떤 점 $P$ 에서의 접선이라고 하자. $L$ 은 곡선 $y=f(x)$ 와 몇 번 만나는지 구하세요.

영어 원문 보기

Let $L$ be the tangent line to a curve $y=f(x)$ at some point $P$ . How many times will $L$ intersect the curve $y=f(x)$ ?

정답·풀이 보기

곡선의 점 $P$ 에서의 접선은 점 $P$ 를 지나므로, 곡선과 접선은 점 $P$ 에서 접한다. 따라서 둘은 적어도 한 번은 만난다. 여러 가지 예를 그려 보면, 곡선에 따라 접선과 정확히 한 번, 정확히 두 번, 정확히 세 번 등으로 접할 수 있음을 알 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Since the tangent line to the curve at point $P$ passes through point $P$ , the curve and the tangent line touch at point $P$ . So, they must intersect at least once. By drawing various examples, we can see that different curves may touch their tangent lines exactly once, exactly twice, exactly three times, etc.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.2절 · 10번

# 함수의 극한의 뜻계산기본자동 분류

26.CLP-1 · 1.3절 · 4번우리말 번역

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}f(x)=f(3)=10$ 인 곡선 $y=f(x)$ 를 그리세요.

영어 원문 보기

Draw a curve $y=f(x)$ with $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}f(x)=f(3)=10$ .

정답·풀이 보기

답은 여러 가지가 가능하다. 다음은 그중 하나이다.

$x$ 가 3에 한없이 가까워질 때 $y$ 는 10에 한없이 가까워진다. 이는 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} f(x)=10$ 임을 나타낸다. 또한 3에서 함수의 값이 10이다. 이는 $f(3)=10$ 임을 나타낸다.

원본 교재 풀이(영어)

Many answers are possible; here is one.

As $x$ gets closer and closer to 3, $y$ gets closer and closer to 10: this shows $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} f(x)=10$ . Also, at 3 itself, the function takes the value 10; this shows $f(3)=10$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.3절 · 16번

# 함수의 극한의 뜻계산기본자동 분류

27.CLP-1 · 1.3절 · 5번우리말 번역

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}f(x)=10$ 이고 $f(3)=0$ 인 곡선 $y=f(x)$ 를 그리세요.

영어 원문 보기

Draw a curve $y=f(x)$ with $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}f(x)=10$ and $f(3)=0$ .

정답·풀이 보기

답은 여러 가지가 가능하다. 다음은 그중 하나이다.

$x$ 가 3 자신을 제외하고 3에 한없이 가까워질 때 $y$ 는 10에 한없이 가까워진다. 이는 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} f(x)=10$ 임을 나타낸다. 그리고 $x=3$ 일 때 함수의 값은 0이다. 이는 $f(3)=0$ 임을 나타낸다.

원본 교재 풀이(영어)

Many answers are possible; here is one.

Note that, as $x$ gets closer and closer to 3 except at 3 itself, $y$ gets closer and closer to 10: this shows $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} f(x)=10$ . Then, when $x=3$ , the function has value 0: this shows $f(3)=0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.3절 · 11번

# 함수의 극한의 뜻계산기본자동 분류

28.CLP-1 · 1.3절 · 8번우리말 번역

$f(x)$ 는 모든 실수에서 정의된 함수이고 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -2} f(x)=16$ 이라 하자. $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -2^-} f(x)$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose $f(x)$ is a function defined on all real numbers, and $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -2} f(x)=16$ . What is $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -2^-} f(x)$ ?

정답·풀이 보기

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow -2^-} f(x)=16$ 이다. 극한 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 2} f(x)$ 가 존재하고 16과 같으려면 좌극한과 우극한이 모두 존재하고 16과 같아야 하기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow -2^-} f(x)=16$ : in order for the limit $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 2} f(x)$ to exist and be equal to 16, both one sided limits must exist and be equal to 16.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.3절 · 12번

# 함수의 극한의 뜻계산기본자동 분류

29.CLP-1 · 1.3절 · 9번우리말 번역

$f(x)$ 는 모든 실수에서 정의된 함수이고 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -2^-} f(x)=16$ 이라 하자. $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -2} f(x)$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose $f(x)$ is a function defined on all real numbers, and $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -2^-} f(x)=16$ . What is $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -2} f(x)$ ?

정답·풀이 보기

주어진 정보만으로는 알 수 없다. $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -2^+} f(x)=16$ 이면 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -2} f(x)=16$ 이다. $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -2^+} f(x)\neq 16$ 이면 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -2} f(x)$ 는 존재하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

Not enough information to say. If $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -2^+} f(x)=16$ , then $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -2} f(x)=16$ . If $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -2^+} f(x)\neq 16$ , then $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -2} f(x)$ does not exist.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.2절 · 18번

# 함수의 극한의 뜻계산기본자동 분류

30.CLP-1 · 1.3절 · 10번우리말 번역

$\displaystyle\lim_{t \rightarrow 0} \sin t$

영어 원문 보기

$\displaystyle\lim_{t \rightarrow 0} \sin t$

정답·풀이 보기

$\displaystyle\lim_{t \rightarrow 0} \sin t=0$ 이다. $t$ 가 0에 가까워질 때 $\sin t$ 도 0에 가까워지기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle\lim_{t \rightarrow 0} \sin t=0$ : as $t$ approaches 0, $\sin t$ approaches 0 as well.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.3절 · 13번

# 함수의 극한의 뜻계산보통자동 분류

31.CLP-1 · 1.3절 · 11번우리말 번역

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^+} \log x$

영어 원문 보기

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^+} \log x$

정답·풀이 보기

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^+} \log x = -\infty$ : $x$ 가 오른쪽에서 0에 가까워질 때, $\log x$ 는 음수이고 그 크기가 점점 커지며 한없이 커진다.

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^+} \log x = -\infty$ : as $x$ approaches 0 from the right, $\log x$ is negative and increasingly large, growing without bound.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.3절 · 10번

# 함수의 극한의 뜻계산보통자동 분류

32.CLP-1 · 1.3절 · 12번우리말 번역

$\displaystyle\lim_{y \rightarrow 3} y^2$

영어 원문 보기

$\displaystyle\lim_{y \rightarrow 3} y^2$

정답·풀이 보기

$\displaystyle\lim_{y \rightarrow 3} y^2=9$ : $y$ 가 3에 점점 더 가까워질 때, $y^2$ 은 $3^2$ 에 점점 더 가까워진다.

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle\lim_{y \rightarrow 3} y^2=9$ : as $y$ gets closer and closer to 3, $y^2$ gets closer and closer to $3^2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.3절 · 9번

# 함수의 극한의 뜻계산보통자동 분류

33.CLP-1 · 1.3절 · 13번우리말 번역

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^-} \dfrac{1}{x}$

영어 원문 보기

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^-} \dfrac{1}{x}$

정답·풀이 보기

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^-} \dfrac{1}{x}=-\infty$ : $x$ 가 왼쪽에서 0에 점점 더 가까워질 때, $\dfrac{1}{x}$ 은 절댓값이 점점 더 큰 음수가 된다.

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^-} \dfrac{1}{x}=-\infty$ : as $x$ gets closer and closer to 0 from the left, $\dfrac{1}{x}$ becomes a larger and larger negative number.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.3절 · 8번

# 함수의 극한의 뜻계산보통자동 분류

34.CLP-1 · 1.3절 · 16번우리말 번역

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{1}{10}$

영어 원문 보기

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{1}{10}$

정답·풀이 보기

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{1}{10}=\dfrac{1}{10}$ : $x$ 가 무엇이든 $\dfrac{1}{10}$ 은 언제나 $\dfrac{1}{10}$ 이다. 특히 $x$ 가 3에 가까워질 때에도 $\dfrac{1}{10}$ 은 $\dfrac{1}{10}$ 그대로 변하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{1}{10}=\dfrac{1}{10}$ : no matter what $x$ is, $\dfrac{1}{10}$ is always $\dfrac{1}{10}$ . In particular, as $x$ approaches 3, $\dfrac{1}{10}$ stays put at $\dfrac{1}{10}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.3절 · 5번

# 함수의 극한의 뜻계산보통자동 분류

35.CLP-1 · 1.3절 · 17번우리말 번역

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} f(x)$ 를 구하세요. 여기서 $f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \sin x&x\leq 2.9\\ x^2&x>2.9 \end{array} \right.$ 이다.

영어 원문 보기

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} f(x)$ , where $f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \sin x&x\leq 2.9\\ x^2&x>2.9 \end{array} \right.$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$x$ 가 3에 아주 가까울 때, $f(x)$ 는 함수 $x^2$ 과 같아 보인다. 따라서: $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} f(x) = \displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} x^2=9$

원본 교재 풀이(영어)

When $x$ is very close to 3, $f(x)$ looks like the function $x^2$ . So: $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} f(x) = \displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} x^2=9$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.3절 · 4번

# 함수의 극한의 뜻계산보통자동 분류