다중적분 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

521.APEX · 13.4절 · 28번대학 수준우리말 번역

관성 모멘트 $I$ 는 얇은 판이 어떤 축을 중심으로 회전하는 것에 저항하거나 계속 회전하려는 경향을 나타내는 척도이다. $I_x$ 는 $x$ 축에 대한 관성 모멘트, $I_y$ 는 $x$ 축에 대한 관성 모멘트, $I_O$ 는 원점에 대한 관성 모멘트이다. 이들은 다음과 같이 계산한다:

$\displaystyle I_x = \iint_R y^2\ dm$
$\displaystyle I_y = \iint_R x^2\ dm$
$\displaystyle I_O = \iint_R \big(x^2+y^2\big)\ dm$ 연습문제 27–30에서, 평면 영역 $R$ 에 해당하는 얇은 판의 질량이 16 단위로 주어져 있다. 각각에 대해 $I_x$ , $I_y$ , $I_O$ 를 계산하세요.

$R$ 은 꼭짓점이 $(-4,-1)$ 과 $(4,1)$ 에 있는 $8\times 2$ 직사각형이고 밀도는 $\delta(x,y) = 1$ 이다.

영어 원문 보기

The moment of inertia $I$ is a measure of the tendency of a lamina to resist rotating about an axis or continue to rotate about an axis. $I_x$ is the moment of inertia about the $x$ -axis, $I_y$ is the moment of inertia about the $x$ -axis, and $I_O$ is the moment of inertia about the origin. These are computed as follows:

$\displaystyle I_x = \iint_R y^2\ dm$
$\displaystyle I_y = \iint_R x^2\ dm$
$\displaystyle I_O = \iint_R \big(x^2+y^2\big)\ dm$ In Exercises 27–30, a lamina corresponding to a planar region $R$ is given with a mass of 16 units. For each, compute $I_x$ , $I_y$ and $I_O$ .

$R$ is the $8\times 2$ rectangle with corners at $(-4,-1)$ and $(4,1)$ with density $\delta(x,y) = 1$ .

정답·풀이 보기

$I_x = 16/3$ ; $I_y = 256/3$ ; $I_O = 272/3$

원본 교재 풀이(영어)

$I_x = 16/3$ ; $I_y = 256/3$ ; $I_O = 272/3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.3절 · 7번

# 다중적분의 응용(질량·질량중심)계산자동 분류

522.APEX · 13.4절 · 29번대학 수준우리말 번역

관성 모멘트 $I$ 는 얇은 판이 어떤 축을 중심으로 회전하는 것에 저항하거나 계속 회전하려는 경향을 나타내는 척도이다. $I_x$ 는 $x$ 축에 대한 관성 모멘트, $I_y$ 는 $x$ 축에 대한 관성 모멘트, $I_O$ 는 원점에 대한 관성 모멘트이다. 이들은 다음과 같이 계산한다:

$\displaystyle I_x = \iint_R y^2\ dm$
$\displaystyle I_y = \iint_R x^2\ dm$
$\displaystyle I_O = \iint_R \big(x^2+y^2\big)\ dm$ 연습문제 27–30에서, 평면 영역 $R$ 에 해당하는 얇은 판의 질량이 16 단위로 주어져 있다. 각각에 대해 $I_x$ , $I_y$ , $I_O$ 를 계산하세요.

$R$ 은 꼭짓점이 $(-2,-1)$ 과 $(2,1)$ 에 있는 $4\times 2$ 직사각형이고 밀도는 $\delta(x,y) = 2$ 이다.

영어 원문 보기

The moment of inertia $I$ is a measure of the tendency of a lamina to resist rotating about an axis or continue to rotate about an axis. $I_x$ is the moment of inertia about the $x$ -axis, $I_y$ is the moment of inertia about the $x$ -axis, and $I_O$ is the moment of inertia about the origin. These are computed as follows:

$\displaystyle I_x = \iint_R y^2\ dm$
$\displaystyle I_y = \iint_R x^2\ dm$
$\displaystyle I_O = \iint_R \big(x^2+y^2\big)\ dm$ In Exercises 27–30, a lamina corresponding to a planar region $R$ is given with a mass of 16 units. For each, compute $I_x$ , $I_y$ and $I_O$ .

$R$ is the $4\times 2$ rectangle with corners at $(-2,-1)$ and $(2,1)$ with density $\delta(x,y) = 2$ .

정답·풀이 보기

$I_x = 16/3$ ; $I_y = 64/3$ ; $I_O = 80/3$

원본 교재 풀이(영어)

$I_x = 16/3$ ; $I_y = 64/3$ ; $I_O = 80/3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.4절 · 2번

# 다중적분의 응용(질량·질량중심)계산자동 분류

523.APEX · 13.4절 · 30번대학 수준우리말 번역

관성 모멘트 $I$ 는 얇은 판이 어떤 축을 중심으로 회전하는 것에 저항하거나 계속 회전하려는 경향을 나타내는 척도이다. $I_x$ 는 $x$ 축에 대한 관성 모멘트, $I_y$ 는 $x$ 축에 대한 관성 모멘트, $I_O$ 는 원점에 대한 관성 모멘트이다. 이들은 다음과 같이 계산한다.

$\displaystyle I_x = \iint_R y^2\ dm$
$\displaystyle I_y = \iint_R x^2\ dm$
$\displaystyle I_O = \iint_R \big(x^2+y^2\big)\ dm$ 연습문제 27–30에서 평면 영역 $R$ 에 대응하는 얇은 판이 질량 16 단위로 주어져 있다. 각각에 대해 $I_x$ , $I_y$ , $I_O$ 를 구하세요.

$R$ 은 원점을 중심으로 하고 반지름이 2인 원판이며, 밀도는 $\delta(x,y) = 4/\pi$ 이다.

영어 원문 보기

The moment of inertia $I$ is a measure of the tendency of a lamina to resist rotating about an axis or continue to rotate about an axis. $I_x$ is the moment of inertia about the $x$ -axis, $I_y$ is the moment of inertia about the $x$ -axis, and $I_O$ is the moment of inertia about the origin. These are computed as follows:

$\displaystyle I_x = \iint_R y^2\ dm$
$\displaystyle I_y = \iint_R x^2\ dm$
$\displaystyle I_O = \iint_R \big(x^2+y^2\big)\ dm$ In Exercises 27–30, a lamina corresponding to a planar region $R$ is given with a mass of 16 units. For each, compute $I_x$ , $I_y$ and $I_O$ .

$R$ is the disk with radius 2 centered at the origin with density $\delta(x,y) = 4/\pi$ .

정답·풀이 보기

$I_x = 16$ ; $I_y = 16$ ; $I_O = 32$

원본 교재 풀이(영어)

$I_x = 16$ ; $I_y = 16$ ; $I_O = 32$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.6절 · 5번

# 다중적분의 응용(질량·질량중심)계산자동 분류

524.APEX · 13.5절 · 1번대학 수준우리말 번역

"겉넓이"는 앞서 배운 어떤 개념과 비슷한가?

영어 원문 보기

“Surface area” is analogous to what previously studied concept?

정답·풀이 보기

곡선의 길이

원본 교재 풀이(영어)

arc length

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 3번

# 곡면의 넓이개념 확인자동 분류

525.APEX · 13.5절 · 2번대학 수준우리말 번역

곡면의 작은 부분의 넓이를 어림하기 위해, 그 부분의 _____ 평면의 넓이를 계산하였다.

영어 원문 보기

To approximate the area of a small portion of a surface, we computed the area of its _____ plane.

정답·풀이 보기

접하는

원본 교재 풀이(영어)

tangent

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.4절 · 10번

# 곡면의 넓이개념 확인자동 분류

526.APEX · 13.5절 · 3번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle \iint_R\ dS$ 를 "작은 _____ _____를 많이 더한 것"으로 해석한다.

영어 원문 보기

We interpret $\displaystyle \iint_R\ dS$ as “sum up lots of little _____ _____.”

정답·풀이 보기

겉넓이

원본 교재 풀이(영어)

surface areas

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 2번

# 곡면의 넓이개념 확인자동 분류

527.APEX · 13.5절 · 4번대학 수준우리말 번역

결과로 얻은 적분을 계산하기 어렵더라도, 겉넓이를 구하는 이중적분을 세우는 방법을 아는 것이 중요한 이유는 무엇인가?

영어 원문 보기

Why is it important to know how to set up a double integral to compute surface area, even if the resulting integral is hard to evaluate?

정답·풀이 보기

정확한 답은 아니더라도, 기술(계산 도구)을 이용하면 좋은 근삿값을 얻을 수 있기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

Technology makes good approximations accessible, if not exact answers.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 1번

# 곡면의 넓이개념 확인자동 분류

528.APEX · 13.5절 · 5번대학 수준우리말 번역

어떤 실수 $h$ 에 대해 $z=f(x,y)$ 와 $z=g(x,y)=f(x,y)+h$ 가 영역 $R$ 위에서 같은 겉넓이를 갖는 이유는 무엇인가요?

영어 원문 보기

Why do $z=f(x,y)$ and $z=g(x,y)=f(x,y)+h$ , for some real number $h$ , have the same surface area over a region $R$ ?

정답·풀이 보기

직관적으로, $f$ 에 $h$ 를 더하면 $f$ 가 위로(즉, $z$ 축에 평행하게) 이동할 뿐 모양은 변하지 않는다. 따라서 $R$ 위에서의 겉넓이도 변하지 않는다.

해석적으로, $f_x = g_x$ 이고 $f_y=g_y$ 이므로 두 곡면의 겉넓이는 서로 똑같은 이중적분으로 계산된다.

원본 교재 풀이(영어)

Intuitively, adding $h$ to $f$ only shifts $f$ up (i.e., parallel to the $z$ -axis) and does not change its shape. Therefore it will not change the surface area over $R$ .

Analytically, $f_x = g_x$ and $f_y=g_y$ ; therefore, the surface area of each is computed with identical double integrals.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 6번

# 곡면의 넓이개념 확인자동 분류

529.APEX · 13.5절 · 6번대학 수준우리말 번역

$z=f(x,y)$ 와 $z=g(x,y)=2f(x,y)$ 가 있다고 하자. 영역 $R$ 위에서 $g$ 의 겉넓이가 $R$ 위에서 $f$ 의 겉넓이의 두 배가 아닌 이유는 무엇인가요?

영어 원문 보기

Let $z=f(x,y)$ and $z=g(x,y)=2f(x,y)$ . Why is the surface area of $g$ over a region $R$ not twice the surface area of $f$ over $R$ ?

정답·풀이 보기

해석적으로, $g_x = 2f_x$ 이고 $g_y=2f_y$ 이다. $R$ 위에서 $f$ 의 겉넓이를 계산하는 이중적분은 $\displaystyle \iint_R \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\ dA$ 이고, $R$ 위에서 $g$ 의 겉넓이를 계산하는 이중적분은 $\displaystyle \iint_R\sqrt{1+4f_x^2+4f_y^2}\ dA$ 이며, 이는 $f$ 의 겉넓이를 계산하는 데 쓰인 이중적분의 두 배가 아니다.

원본 교재 풀이(영어)

Analytically, $g_x = 2f_x$ and $g_y=2f_y$ . The double integral to compute the surface area of $f$ over $R$ is $\displaystyle \iint_R \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\ dA$ ; the double integral to compute the surface area of $g$ over $R$ is $\displaystyle \iint_R\sqrt{1+4f_x^2+4f_y^2}\ dA$ , which is not twice the double integral used to calculate the surface area of $f$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 4번

# 곡면의 넓이개념 확인자동 분류

530.APEX · 13.5절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–10에서, 주어진 곡면의 영역 $R$ 위의 겉넓이를 구하는 반복적분을 세우세요.

$f(x,y) = \sin x\cos y$ ; $R$ 은 범위가 $0\leq x\leq 2\pi$ , $0\leq y\leq2\pi$ 인 직사각형이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–10, set up the iterated integral that computes the surface area of the given surface over the region $R$ .

$f(x,y) = \sin x\cos y$ ; $R$ is the rectangle with bounds $0\leq x\leq 2\pi$ , $0\leq y\leq2\pi$ .

정답·풀이 보기

$\displaystyle SA = \int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi} \sqrt{1+ \cos^2x\cos^2y+\sin^2x\sin^2y}\ dx\ dy$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle SA = \int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi} \sqrt{1+ \cos^2x\cos^2y+\sin^2x\sin^2y}\ dx\ dy$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 4번

# 곡면의 넓이그래프·표 해석자동 분류

531.APEX · 13.5절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–10에서, 주어진 곡면의 영역 $R$ 위의 겉넓이를 구하는 반복적분을 세우세요.

$\displaystyle f(x,y) = \frac{1}{x^2+y^2+1}$ ; $R$ 은 원 $x^2+y^2=9$ 로 둘러싸인 영역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–10, set up the iterated integral that computes the surface area of the given surface over the region $R$ .

$\displaystyle f(x,y) = \frac{1}{x^2+y^2+1}$ ; $R$ is bounded by the circle $x^2+y^2=9$ .

정답·풀이 보기

$\displaystyle SA = \int_{-3}^{3}\int_{-\sqrt{9-x^2}}^{\sqrt{9-x^2}} \sqrt{1+ \frac{4x^2+4y^2}{(1+x^2+y^2)^4}}\ dx\ dy$

극좌표를 쓰면 적분 범위가 더 간단하다:

$\displaystyle SA = \int_0^{2\pi}\int_0^3 r\sqrt{1+\frac{4r^2}{(1+r^2)^4}}\ dr\ d\theta$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle SA = \int_{-3}^{3}\int_{-\sqrt{9-x^2}}^{\sqrt{9-x^2}} \sqrt{1+ \frac{4x^2+4y^2}{(1+x^2+y^2)^4}}\ dx\ dy$

Polar offers simpler bounds:

$\displaystyle SA = \int_0^{2\pi}\int_0^3 r\sqrt{1+\frac{4r^2}{(1+r^2)^4}}\ dr\ d\theta$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 1번

# 곡면의 넓이그래프·표 해석자동 분류

532.APEX · 13.5절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–10에서, 주어진 곡면의 영역 $R$ 위의 겉넓이를 구하는 반복적분을 세우세요.

$\displaystyle f(x,y) = x^2-y^2$ ; $R$ 은 마주 보는 꼭짓점이 $(-1,-1)$ 과 $(1,1)$ 인 직사각형이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–10, set up the iterated integral that computes the surface area of the given surface over the region $R$ .

$\displaystyle f(x,y) = x^2-y^2$ ; $R$ is the rectangle with opposite corners $(-1,-1)$ and $(1,1)$ .

정답·풀이 보기

$\displaystyle SA = \int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1} \sqrt{1+ 4x^2+4y^2}\ dx\ dy$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle SA = \int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1} \sqrt{1+ 4x^2+4y^2}\ dx\ dy$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 2번

# 곡면의 넓이그래프·표 해석자동 분류

533.APEX · 13.5절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–10에서, 영역 $R$ 위에 놓인 주어진 곡면의 겉넓이를 계산하는 반복적분을 세우세요.

$\displaystyle f(x,y) = \frac{1}{e^{x^2}+1}$ ; $R$ 은

$-5\leq x\leq 5$ 와 $0\leq y\leq 1$ 로 둘러싸인 직사각형이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–10, set up the iterated integral that computes the surface area of the given surface over the region $R$ .

$\displaystyle f(x,y) = \frac{1}{e^{x^2}+1}$ ; $R$ is the rectangle bounded by

$-5\leq x\leq 5$ and $0\leq y\leq 1$ .

정답·풀이 보기

$\displaystyle SA = \int_{-5}^{5}\int_{0}^{1} \sqrt{1+ \frac{4x^2e^{2x^2}}{\big(1+e^{x^2}\big)^4}}\ dy\ dx$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle SA = \int_{-5}^{5}\int_{0}^{1} \sqrt{1+ \frac{4x^2e^{2x^2}}{\big(1+e^{x^2}\big)^4}}\ dy\ dx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 6번

# 곡면의 넓이그래프·표 해석자동 분류

534.APEX · 13.5절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–19에서, 영역 $R$ 위에 놓인 주어진 곡면의 넓이를 구하세요.

$f(x,y) = 3x-7y+2$ ; $R$ 은 마주 보는 꼭짓점이 $(-1,0)$ 과 $(1,3)$ 인 직사각형이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–19, find the area of the given surface over the region $R$ .

$f(x,y) = 3x-7y+2$ ; $R$ is the rectangle with opposite corners $(-1,0)$ and $(1,3)$ .

정답·풀이 보기

$\displaystyle SA = \int_{0}^{3}\int_{-1}^{1} \sqrt{1+ 9+49}\ dx\ dy = 6\sqrt{59} \approx 46.09$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle SA = \int_{0}^{3}\int_{-1}^{1} \sqrt{1+ 9+49}\ dx\ dy = 6\sqrt{59} \approx 46.09$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 1번

# 곡면의 넓이활용자동 분류

535.APEX · 13.5절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–19에서, 영역 $R$ 위에 놓인 주어진 곡면의 넓이를 구하세요.

$f(x,y) = 2x+2y+2$ ; $R$ 은 꼭짓점이 $(0,0)$ , $(1,0)$ , $(0,1)$ 인 삼각형이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–19, find the area of the given surface over the region $R$ .

$f(x,y) = 2x+2y+2$ ; $R$ is the triangle with corners $(0,0)$ , $(1,0)$ and $(0,1)$ .

정답·풀이 보기

$\displaystyle SA = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x} \sqrt{1+ 4+4}\ dy\ dx = 18$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle SA = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x} \sqrt{1+ 4+4}\ dy\ dx = 18$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 5번

# 곡면의 넓이활용자동 분류

536.APEX · 13.5절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–19에서, 영역 $R$ 위에 놓인 주어진 곡면의 넓이를 구하세요.

$f(x,y) = x^2+y^2+10$ ; $R$ 은 원 $x^2+y^2=16$ 으로 둘러싸인 영역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–19, find the area of the given surface over the region $R$ .

$f(x,y) = x^2+y^2+10$ ; $R$ is bounded by the circle $x^2+y^2=16$ .

정답·풀이 보기

극좌표로 하면 더 쉽다:

$\begin{aligned}SA &= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{4} r\sqrt{1+ 4r^2\cos^2t+4r^2\sin^2t}\ dr\ d\theta\\ &= \int_0^{2\pi}\int_0^4r\sqrt{1+4r^2}\ dr\ d\theta \\ &= \frac{\pi}{6}\big(65\sqrt{65}-1\big) \approx 273.87 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

This is easier in polar:

$\begin{aligned}SA &= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{4} r\sqrt{1+ 4r^2\cos^2t+4r^2\sin^2t}\ dr\ d\theta\\ &= \int_0^{2\pi}\int_0^4r\sqrt{1+4r^2}\ dr\ d\theta \\ &= \frac{\pi}{6}\big(65\sqrt{65}-1\big) \approx 273.87 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 2번

# 곡면의 넓이활용자동 분류

537.APEX · 13.5절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–19에서, 영역 $R$ 위에 놓인 주어진 곡면의 넓이를 구하세요.

$f(x,y) = -2x+4y^2+7$ , $R$ 은 $y=-x$ , $y=x$ , $0\leq y\leq 1$ 로 둘러싸인 삼각형 영역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–19, find the area of the given surface over the region $R$ .

$f(x,y) = -2x+4y^2+7$ over $R$ , the triangle bounded by $y=-x$ , $y=x$ , $0\leq y\leq 1$ .

정답·풀이 보기

$\begin{aligned}SA &= \int_{0}^{1}\int_{-y}^{y} \sqrt{1+ 4+64y^2}\ dx\ dy\\ &= \int_0^{1}\big(2y\sqrt{5+64y^2}\big)\ dy \\ &= \frac1{96}\big(69\sqrt{69}-5\sqrt{5}\big)\approx 5.85 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

$\begin{aligned}SA &= \int_{0}^{1}\int_{-y}^{y} \sqrt{1+ 4+64y^2}\ dx\ dy\\ &= \int_0^{1}\big(2y\sqrt{5+64y^2}\big)\ dy \\ &= \frac1{96}\big(69\sqrt{69}-5\sqrt{5}\big)\approx 5.85 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.4절 · 10번

# 곡면의 넓이활용자동 분류

538.APEX · 13.5절 · 15번대학 수준우리말 번역

11–19번 문제에서, 영역 $R$ 위에 놓인 주어진 곡면의 넓이를 구하세요.

$f(x,y) = x^2+y$ , $R$ 은 $y=2x$ , $y=0$ , $x=2$ 로 둘러싸인 삼각형 영역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–19, find the area of the given surface over the region $R$ .

$f(x,y) = x^2+y$ over $R$ , the triangle bounded by $y=2x$ , $y=0$ and $x=2$ .

정답·풀이 보기

$\begin{aligned}SA &= \int_{0}^{2}\int_{0}^{2x} \sqrt{1+ 1+4x^2}\ dy\ dx\\ &= \int_0^{2}\big(2x\sqrt{2+4x^2}\big)\ dx \\ &= \frac{26}{3}\sqrt{2}\approx 12.26 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

$\begin{aligned}SA &= \int_{0}^{2}\int_{0}^{2x} \sqrt{1+ 1+4x^2}\ dy\ dx\\ &= \int_0^{2}\big(2x\sqrt{2+4x^2}\big)\ dx \\ &= \frac{26}{3}\sqrt{2}\approx 12.26 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 3번

# 곡면의 넓이활용자동 분류

539.APEX · 13.5절 · 16번대학 수준우리말 번역

11–19번 문제에서, 영역 $R$ 위에 놓인 주어진 곡면의 넓이를 구하세요.

$f(x,y) = \frac23x^{3/2}+2y^{3/2}$ , $R$ 은 서로 마주 보는 꼭짓점이 $(0,0)$ 과 $(1,1)$ 인 직사각형이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–19, find the area of the given surface over the region $R$ .

$f(x,y) = \frac23x^{3/2}+2y^{3/2}$ over $R$ , the rectangle with opposite corners $(0,0)$ and $(1,1)$ .

정답·풀이 보기

$\begin{aligned}SA &= \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \sqrt{1+ x+9y}\ dx\ dy\\ &= \int_0^{1}\frac23\Big((9y+2)^{3/2}-(9y+1)^{3/2}\Big)\ dy \\ &= \frac{4}{135}\big(121\sqrt{11}-100\sqrt{10}-4\sqrt{2}+1\big)\approx 2.383 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

$\begin{aligned}SA &= \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \sqrt{1+ x+9y}\ dx\ dy\\ &= \int_0^{1}\frac23\Big((9y+2)^{3/2}-(9y+1)^{3/2}\Big)\ dy \\ &= \frac{4}{135}\big(121\sqrt{11}-100\sqrt{10}-4\sqrt{2}+1\big)\approx 2.383 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 1번

# 곡면의 넓이활용자동 분류

540.APEX · 13.5절 · 17번대학 수준우리말 번역

11–19번 문제에서, 영역 $R$ 위에 놓인 주어진 곡면의 넓이를 구하세요.

$f(x,y) = 10-2\sqrt{x^2+y^2}$ , $R$ 은 원 $x^2+y^2=25$ 로 둘러싸인 영역이다. (이것은 높이가 10이고 밑면의 반지름이 5인 원뿔이다. 구한 결과를 알려진 공식과 반드시 비교하세요.)

영어 원문 보기

In Exercises 11–19, find the area of the given surface over the region $R$ .

$f(x,y) = 10-2\sqrt{x^2+y^2}$ over $R$ , bounded by the circle $x^2+y^2=25$ . (This is the cone with height 10 and base radius 5; be sure to compare your result with the known formula.)

정답·풀이 보기

극좌표로 계산하는 것이 더 쉽다:

$\begin{aligned}SA &= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{5} r\sqrt{1+ \frac{4r^2\cos^2\theta+4r^2\sin^2\theta}{r^2\sin^2\theta+r^2\cos^2\theta}}\ dr\ d\theta\\ &= \int_0^{2\pi}\int_0^5r\sqrt{5}\ dr\ d\theta \\ &= 25\pi\sqrt{5}\approx 175.62 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

This is easier in polar:

$\begin{aligned}SA &= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{5} r\sqrt{1+ \frac{4r^2\cos^2\theta+4r^2\sin^2\theta}{r^2\sin^2\theta+r^2\cos^2\theta}}\ dr\ d\theta\\ &= \int_0^{2\pi}\int_0^5r\sqrt{5}\ dr\ d\theta \\ &= 25\pi\sqrt{5}\approx 175.62 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 3번

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