다중적분 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.CLP-3 · 3.1절 · 2번대학 수준우리말 번역

$f(x,y)= 12 x^2y^3$ 이라 하자. 다음 값을 구하세요.

(a) $\displaystyle \int_0^3 f(x,y)\,\mathrm{d}x$ (b) $\displaystyle \int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}y$ (c) $\displaystyle \int_0^2\int_0^3 f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ (d) $\displaystyle \int_0^3\int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x$ (e) $\displaystyle \int_0^3\int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$

영어 원문 보기

Let $f(x,y)= 12 x^2y^3$ . Evaluate

(a) $\displaystyle \int_0^3 f(x,y)\,\mathrm{d}x$ (b) $\displaystyle \int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}y$ (c) $\displaystyle \int_0^2\int_0^3 f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ (d) $\displaystyle \int_0^3\int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x$ (e) $\displaystyle \int_0^3\int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$

정답·풀이 보기

(a) $x$ 에 대한 적분에서는 $y$ 를 상수로 취급한다. 따라서

$\begin{aligned} \int_0^3 f(x,y)\,\mathrm{d}x &= \int_0^3 12 x^2y^3\,\mathrm{d}x = \Big[4x^3y^3\Big]_{x=0}^{x=3} = 108 y^3 \end{aligned}$

(b) $y$ 에 대한 적분에서는 $x$ 를 상수로 취급한다. 따라서

$\begin{aligned} \int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}y &= \int_0^2 12 x^2y^3\,\mathrm{d}y = \Big[3x^2y^4\Big]_{y=0}^{y=2} = 48x^2 \end{aligned}$

(c) (a)에 의해

$\begin{aligned} \int_0^2\int_0^3 f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y &=\int_0^2\left[\int_0^3 f(x,y)\,\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y =\int_0^2 108y^3\,\mathrm{d}y =\Big[27y^4\Big]_{y=0}^{y=2} \\ &=27\times 16 = 432 \end{aligned}$

(d) (b)에 의해

$\begin{aligned} \int_0^3\int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x &=\int_0^3\left[\int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}y\right]\mathrm{d}x =\int_0^3 48x^2\,\mathrm{d}y =\Big[16x^3\Big]_{x=0}^{x=3} \\ &=16\times 27 = 432 \end{aligned}$

(e) 이번에는

$\begin{aligned} \int_0^3\int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y &=\int_0^3\left[\int_0^2 12 x^2y^3\,\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y =\int_0^3\left[4 x^3y^3\right]_0^2\mathrm{d}y =\int_0^3 32 y^3\mathrm{d}y \\ & =\Big[8y^4\Big]_0^3 =8\times 81 = 648 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) The integral with respect to $x$ treats $y$ as a constant. So

$\begin{aligned} \int_0^3 f(x,y)\,\mathrm{d}x &= \int_0^3 12 x^2y^3\,\mathrm{d}x = \Big[4x^3y^3\Big]_{x=0}^{x=3} = 108 y^3 \end{aligned}$

(b) The integral with respect to $y$ treats $x$ as a constant. So

$\begin{aligned} \int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}y &= \int_0^2 12 x^2y^3\,\mathrm{d}y = \Big[3x^2y^4\Big]_{y=0}^{y=2} = 48x^2 \end{aligned}$

(c) By part (a)

$\begin{aligned} \int_0^2\int_0^3 f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y &=\int_0^2\left[\int_0^3 f(x,y)\,\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y =\int_0^2 108y^3\,\mathrm{d}y =\Big[27y^4\Big]_{y=0}^{y=2} \\ &=27\times 16 = 432 \end{aligned}$

(d) By part (b)

$\begin{aligned} \int_0^3\int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x &=\int_0^3\left[\int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}y\right]\mathrm{d}x =\int_0^3 48x^2\,\mathrm{d}y =\Big[16x^3\Big]_{x=0}^{x=3} \\ &=16\times 27 = 432 \end{aligned}$

(e) This time

$\begin{aligned} \int_0^3\int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y &=\int_0^3\left[\int_0^2 12 x^2y^3\,\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y =\int_0^3\left[4 x^3y^3\right]_0^2\mathrm{d}y =\int_0^3 32 y^3\mathrm{d}y \\ & =\Big[8y^4\Big]_0^3 =8\times 81 = 648 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.2절 · 4번

# 일반 영역의 이중적분계산기본자동 분류

2.CLP-3 · 3.2절 · 1번대학 수준우리말 번역

다음 점들을 생각하세요.

$\begin{aligned} (x_1,y_1) &= (3,0) & (x_2,y_2) &= (1,1) & (x_3,y_3) &= (0,1) \\ (x_4,y_4) &= (-1,1) & (x_5,y_5) &= (-2,0) \end{aligned}$

각 $1\le i\le 5$ 에 대해,

$xy$ 평면에 점 $(x_i,y_i)$ 를 그리고
점 $(x_i,y_i)$ 의 극좌표 $r_i$ 와 $\theta_i$ 를 구하세요. 단, $r_i>0$ 이고 $0\le\theta_i<2\pi$ 이다.

영어 원문 보기

Consider the points

$\begin{aligned} (x_1,y_1) &= (3,0) & (x_2,y_2) &= (1,1) & (x_3,y_3) &= (0,1) \\ (x_4,y_4) &= (-1,1) & (x_5,y_5) &= (-2,0) \end{aligned}$

For each $1\le i\le 5$ ,

sketch, in the $xy$ -plane, the point $(x_i,y_i)$ and
find polar coordinates $r_i$ and $\theta_i$ , with $r_i>0$ and $0\le\theta_i<2\pi$ , for the point $(x_i,y_i)$ .

정답·풀이 보기

아래 왼쪽 그림에는 좌표축 위에 있는 점 $(x_1,y_1)$ , $(x_3,y_3)$ , $(x_5,y_5)$ 가 있다. 아래 오른쪽 그림에는 좌표축 위에 있지 않은 점 $(x_2,y_2)$ , $(x_4,y_4)$ 가 있다.

극좌표 $r$ , $\theta$ 와 직교좌표 $x$ , $y$ 사이에는 $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ 인 관계가 있다. 따라서 $r=\sqrt{x^2+y^2}$ 이고 $\tan\theta=\frac{y}{x}$ ( $x\ne 0$ 이고 $r>0$ 이라 가정)이며

$\begin{aligned} (x_1,y_1) &= (3,0) &&\implies &r_1=3,\ \tan\theta_1=0 &&\implies \theta_1&=0 \text{ $(x_1,y_1)$ 은 양의 $x$축 위에 있으므로} \\ (x_2,y_2) &= (1,1) &&\implies &r_2=\sqrt{2},\ \tan\theta_2=1 &&\implies \theta_2&=\frac{\pi}{4} \text{ $(x_2,y_2)$ 는 제1팔분면에 있으므로} \\ (x_3,y_3) &= (0,1) &&\implies &r_3=1,\ \cos\theta_3=0 &&\implies \theta_3&=\frac{\pi}{2} \text{ $(x_3,y_3)$ 은 양의 $y$축 위에 있으므로} \\ (x_4,y_4) &= (-1,1) &&\implies &r_4=\sqrt{2},\ \tan\theta_4=-1 &&\implies \theta_4&=\frac{3\pi}{4} \text{ $(x_4,y_4)$ 는 제3팔분면에 있으므로} \\ (x_5,y_5) &= (-2,0) &&\implies &r_5=2,\ \tan\theta_5=0 &&\implies \theta_5&=\pi \text{ $(x_5,y_5)$ 는 음의 $x$축 위에 있으므로} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The left hand sketch below contains the points, $(x_1,y_1)$ , $(x_3,y_3)$ , $(x_5,y_5)$ , that are on the axes. The right hand sketch below contains the points, $(x_2,y_2)$ , $(x_4,y_4)$ , that are not on the axes.

Recall that the polar coordinates $r$ , $\theta$ are related to the cartesian coordinates $x$ , $y$ , by $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ . So $r=\sqrt{x^2+y^2}$ and $\tan\theta=\frac{y}{x}$ (assuming that $x\ne 0$ and $r>0$ ) and

$\begin{aligned} (x_1,y_1) &= (3,0) &&\implies &r_1=3,\ \tan\theta_1=0 &&\implies \theta_1&=0 \text{ as $(x_1,y_1)$ is on the positive $x$-axis} \\ (x_2,y_2) &= (1,1) &&\implies &r_2=\sqrt{2},\ \tan\theta_2=1 &&\implies \theta_2&=\frac{\pi}{4} \text{ as $(x_2,y_2)$ is in the first octant} \\ (x_3,y_3) &= (0,1) &&\implies &r_3=1,\ \cos\theta_3=0 &&\implies \theta_3&=\frac{\pi}{2} \text{ as $(x_3,y_3)$ is on the positive $y$-axis} \\ (x_4,y_4) &= (-1,1) &&\implies &r_4=\sqrt{2},\ \tan\theta_4=-1 &&\implies \theta_4&=\frac{3\pi}{4} \text{ as $(x_4,y_4)$ is in the third octant} \\ (x_5,y_5) &= (-2,0) &&\implies &r_5=2,\ \tan\theta_5=0 &&\implies \theta_5&=\pi \text{ as $(x_5,y_5)$ is on the negative $x$-axis} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.2절 · 16번

# 극좌표 이중적분그래프·표 해석기본자동 분류

3.CLP-3 · 3.2절 · 2번대학 수준우리말 번역

다음 각 점 $(x_i,y_i)$ 에 대해,

$(x_i,y_i) = \big(r_i\cos\theta_i\,,\,r_i\sin\theta_i\big)$ 를 만족하는 순서쌍 $(r_i,\theta_i)$ 를 모두 구하세요.
특히, $r_i<0$ 이고 $0\le\theta_i<2\pi$ 이면서 $(x_i,y_i) = \big(r_i\cos\theta_i\,,\,r_i\sin\theta_i\big)$ 를 만족하는 순서쌍 $(r_i,\theta_i)$ 를 하나 구하세요.

(a) $(x_1,y_1) = (-2,0)$ (b) $(x_2,y_2) = (1,1)$ (c) $(x_3,y_3) = (-1,-1)$ (d) $(x_4,y_4) = (3,0)$ (e) $(x_5,y_5) = (0,1)$

영어 원문 보기

For each of the following points $(x_i,y_i)$ ,

find all pairs $(r_i,\theta_i)$ such that $(x_i,y_i) = \big(r_i\cos\theta_i\,,\,r_i\sin\theta_i\big)$ , and
in particular, find a pair $(r_i,\theta_i)$ with $r_i<0$ and $0\le\theta_i<2\pi$ such that $(x_i,y_i) = \big(r_i\cos\theta_i\,,\,r_i\sin\theta_i\big)$

(a) $(x_1,y_1) = (-2,0)$ (b) $(x_2,y_2) = (1,1)$ (c) $(x_3,y_3) = (-1,-1)$ (d) $(x_4,y_4) = (3,0)$ (e) $(x_5,y_5) = (0,1)$

정답·풀이 보기

이 풀이에서는 아래 첨자를 생략한다. 즉, $r_i$ 대신 $r$ 로, $\theta_i$ 대신 $\theta$ 로 쓴다. 점 $\big(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\big)$ 에서 원점까지의 거리는 다음과 같다.

$\sqrt{r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta} =\sqrt{r^2} =|r|$

따라서 $r$ 은 원점까지의 거리이거나, 원점까지의 거리에 음의 부호를 붙인 값이다.

(a) $(-2,0)$ 에서 원점까지의 거리는 $2$ 이다. 따라서 $r=2$ 또는 $r=-2$ 이다.

$r=2$ 이면, $\theta$ 는 다음을 만족해야 한다.

$\begin{aligned} (-2,0) = \big(2\cos\theta\,,\,2\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=0,\ \cos\theta=-1 \\ &\iff \theta= n\pi,\ n\text{ 정수 },\ \cos\theta=-1 \\ &\iff \theta= n\pi,\ n\text{ 홀수인 정수 } \end{aligned}$

$r=-2$ 이면, $\theta$ 는 다음을 만족해야 한다.

$\begin{aligned} (-2,0) = \big(-2\cos\theta\,,\,-2\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=0,\ \cos\theta=1 \\ &\iff \theta= n\pi,\ n\text{ 정수 },\ \cos\theta=1 \\ &\iff \theta= n\pi,\ n\text{ 짝수인 정수 } \end{aligned}$

특히 $\big(r=-2\,,\,\theta= 0\big)$ 은 $r<0$ 이고 $0\le\theta<2\pi$ 이다.

아래 왼쪽 그림에서 파란색 반직선은 극좌표가 $\theta=\pi$ , $r>0$ 인 모든 점의 집합이고, 주황색 반직선은 극좌표가 $\theta=\pi$ , $r<0$ 인 모든 점의 집합이다. 아래 오른쪽 그림에서 파란색 반직선은 극좌표가 $\theta=0$ , $r>0$ 인 모든 점의 집합이고, 주황색 반직선은 극좌표가 $\theta=0$ , $r<0$ 인 모든 점의 집합이다.

(b) $(1,1)$ 에서 원점까지의 거리는 $\sqrt{2}$ 이다. 따라서 $r=\sqrt{2}$ 또는 $r=-\sqrt{2}$ 이다.

$r=\sqrt{2}$ 이면, $\theta$ 는 다음을 만족해야 한다.

$\begin{aligned} (1,1) = \big(\sqrt{2}\,\cos\theta\,,\,\sqrt{2}\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=\cos\theta={1}/{\sqrt{2}} \\ &\iff \theta= {\pi}/{4} + 2n\pi,\ n\text{ 정수 } \end{aligned}$

$r=-\sqrt{2}$ 이면, $\theta$ 는 다음을 만족해야 한다.

$\begin{aligned} (1,1) = \big(-\sqrt{2}\,\cos\theta\,,\,-\sqrt{2}\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=\cos\theta=-{1}/{\sqrt{2}} \\ &\iff \theta= {5\pi}/{4} + 2n\pi,\ n\text{ 정수 } \end{aligned}$

특히 $\big(r=-\sqrt{2}\,,\, \theta= {5\pi}/{4}\big)$ 는 $r<0$ 이고 $0\le\theta<2\pi$ 이다.

아래 왼쪽 그림에서 파란색 반직선은 극좌표가 $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $r>0$ 인 모든 점의 집합이고, 주황색 반직선은 극좌표가 $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $r<0$ 인 모든 점의 집합이다. 아래 오른쪽 그림에서 파란색 반직선은 극좌표가 $\theta=\frac{5\pi}{4}$ , $r>0$ 인 모든 점의 집합이고, 주황색 반직선은 극좌표가 $\theta=\frac{5\pi}{4}$ , $r<0$ 인 모든 점의 집합이다.

(c) $(-1,-1)$ 에서 원점까지의 거리는 $\sqrt{2}$ 이다. 따라서 $r=\sqrt{2}$ 또는 $r=-\sqrt{2}$ 이다.

$r=\sqrt{2}$ 이면, $\theta$ 는 다음을 만족해야 한다.

$\begin{aligned} (-1,-1) = \big(\sqrt{2}\,\cos\theta\,,\,\sqrt{2}\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=\cos\theta=-{1}/{\sqrt{2}} \\ &\iff \theta= {5\pi}/{4} + 2n\pi,\ n\text{ 정수 } \end{aligned}$

$r=-\sqrt{2}$ 이면, $\theta$ 는 다음을 만족해야 한다.

$\begin{aligned} (-1,-1) = \big(-\sqrt{2}\,\cos\theta\,,\,-\sqrt{2}\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=\cos\theta={1}/{\sqrt{2}} \\ &\iff \theta= {\pi}/{4} + 2n\pi,\ n\text{ 정수 } \end{aligned}$

특히 $\big(r=-\sqrt{2}\,,\, \theta= {\pi}/{4}\big)$ 는 $r<0$ 이고 $0\le\theta<2\pi$ 이다.

아래 왼쪽 그림에서 파란색 반직선은 극좌표가 $\theta=\frac{5\pi}{4}$ , $r>0$ 인 모든 점의 집합이고, 주황색 반직선은 극좌표가 $\theta=\frac{5\pi}{4}$ , $r<0$ 인 모든 점의 집합이다. 아래 오른쪽 그림에서 파란색 반직선은 극좌표가 $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $r>0$ 인 모든 점의 집합이고, 주황색 반직선은 극좌표가 $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $r<0$ 인 모든 점의 집합이다.

(d) $(3,0)$ 에서 원점까지의 거리는 $3$ 이다. 따라서 $r=3$ 또는 $r=-3$ 이다.

$r=3$ 이면, $\theta$ 는 다음을 만족해야 한다.

$\begin{aligned} (3,0) = \big(3\,\cos\theta\,,\,3\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=0,\ \cos\theta=1 \\ &\iff \theta= 0 + 2n\pi,\ n\text{ 정수 } \end{aligned}$

$r=-3$ 이면, $\theta$ 는 다음을 만족해야 한다.

$\begin{aligned} (3,0) = \big(-3\,\cos\theta\,,\,-3\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=0,\ \cos\theta=-1 \\ &\iff \theta= \pi + 2n\pi,\ n\text{ 정수 } \end{aligned}$

특히 $\big(r=-3\,,\, \theta= \pi\big)$ 는 $r<0$ 이고 $0\le\theta<2\pi$ 이다.

아래 왼쪽 그림에서 파란색 반직선은 극좌표가 $\theta=\pi$ , $r>0$ 인 모든 점의 집합이고, 주황색 반직선은 극좌표가 $\theta=\pi$ , $r<0$ 인 모든 점의 집합이다. 아래 오른쪽 그림에서 파란색 반직선은 극좌표가 $\theta=0$ , $r>0$ 인 모든 점의 집합이고, 주황색 반직선은 극좌표가 $\theta=0$ , $r<0$ 인 모든 점의 집합이다.

(e) $(0,1)$ 에서 원점까지의 거리는 $1$ 이다. 따라서 $r=1$ 또는 $r=-1$ 이다.

$r=1$ 이면, $\theta$ 는 다음을 만족해야 한다.

$\begin{aligned} (0,1) = \big(\cos\theta\,,\,\sin\theta\big) &\iff \cos\theta=0,\ \sin\theta=1 \\ &\iff \theta= {\pi}/{2} + 2n\pi,\ n\text{ 정수 } \end{aligned}$

$r=-1$ 이면, $\theta$ 는 다음을 만족해야 한다.

$\begin{aligned} (0,1) = \big(-\cos\theta\,,\,-\sin\theta\big) &\iff \cos\theta=0,\ \sin\theta=-1 \\ &\iff \theta= {3\pi}/{2} + 2n\pi,\ n\text{ 정수 } \end{aligned}$

특히 $\big(r=-1\,,\, \theta= {3\pi}/{2}\big)$ 는 $r<0$ 이고 $0\le\theta<2\pi$ 이다.

아래 왼쪽 그림에서 파란색 반직선은 극좌표가 $\theta=\frac{3\pi}{2}$ , $r>0$ 인 모든 점의 집합이고, 주황색 반직선은 극좌표가 $\theta=\frac{3\pi}{2}$ , $r<0$ 인 모든 점의 집합이다. 아래 오른쪽 그림에서 파란색 반직선은 극좌표가 $\theta=\frac{\pi}{2}$ , $r>0$ 인 모든 점의 집합이고, 주황색 반직선은 극좌표가 $\theta=\frac{\pi}{2}$ , $r<0$ 인 모든 점의 집합이다.

원본 교재 풀이(영어)

In this solution, we'll supress the subscripts. That is, we'll write $r$ in place of $r_i$ and $\theta$ in place of $\theta_i$ . Note that the distance from the point $\big(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\big)$ to the origin is

$\sqrt{r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta} =\sqrt{r^2} =|r|$

Thus $r$ can be either the distance to the origin or minus the distance to the origin.

(a) The distance from $(-2,0)$ to the origin is $2$ . So either $r=2$ or $r=-2$ .

If $r=2$ , then $\theta$ must obey

$\begin{aligned} (-2,0) = \big(2\cos\theta\,,\,2\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=0,\ \cos\theta=-1 \\ &\iff \theta= n\pi,\ n\text{ integer },\ \cos\theta=-1 \\ &\iff \theta= n\pi,\ n\text{ odd integer } \end{aligned}$

If $r=-2$ , then $\theta$ must obey

$\begin{aligned} (-2,0) = \big(-2\cos\theta\,,\,-2\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=0,\ \cos\theta=1 \\ &\iff \theta= n\pi,\ n\text{ integer },\ \cos\theta=1 \\ &\iff \theta= n\pi,\ n\text{ even integer } \end{aligned}$

In particular, $\big(r=-2\,,\,\theta= 0\big)$ has $r<0$ and $0\le\theta<2\pi$ .

In the figure on the left below, the blue half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\pi$ , $r>0$ and the orange half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\pi$ , $r<0$ . In the figure on the right below, the blue half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=0$ , $r>0$ and the orange half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=0$ , $r<0$ .

(b) The distance from $(1,1)$ to the origin is $\sqrt{2}$ . So either $r=\sqrt{2}$ or $r=-\sqrt{2}$ .

If $r=\sqrt{2}$ , then $\theta$ must obey

$\begin{aligned} (1,1) = \big(\sqrt{2}\,\cos\theta\,,\,\sqrt{2}\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=\cos\theta={1}/{\sqrt{2}} \\ &\iff \theta= {\pi}/{4} + 2n\pi,\ n\text{ integer } \end{aligned}$

If $r=-\sqrt{2}$ , then $\theta$ must obey

$\begin{aligned} (1,1) = \big(-\sqrt{2}\,\cos\theta\,,\,-\sqrt{2}\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=\cos\theta=-{1}/{\sqrt{2}} \\ &\iff \theta= {5\pi}/{4} + 2n\pi,\ n\text{ integer } \end{aligned}$

In particular, $\big(r=-\sqrt{2}\,,\, \theta= {5\pi}/{4}\big)$ has $r<0$ and $0\le\theta<2\pi$ .

In the figure on the left below, the blue half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $r>0$ and the orange half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $r<0$ . In the figure on the right below, the blue half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\frac{5\pi}{4}$ , $r>0$ and the orange half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\frac{5\pi}{4}$ , $r<0$ .

(c) The distance from $(-1,-1)$ to the origin is $\sqrt{2}$ . So either $r=\sqrt{2}$ or $r=-\sqrt{2}$ .

If $r=\sqrt{2}$ , then $\theta$ must obey

$\begin{aligned} (-1,-1) = \big(\sqrt{2}\,\cos\theta\,,\,\sqrt{2}\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=\cos\theta=-{1}/{\sqrt{2}} \\ &\iff \theta= {5\pi}/{4} + 2n\pi,\ n\text{ integer } \end{aligned}$

If $r=-\sqrt{2}$ , then $\theta$ must obey

$\begin{aligned} (-1,-1) = \big(-\sqrt{2}\,\cos\theta\,,\,-\sqrt{2}\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=\cos\theta={1}/{\sqrt{2}} \\ &\iff \theta= {\pi}/{4} + 2n\pi,\ n\text{ integer } \end{aligned}$

In particular, $\big(r=-\sqrt{2}\,,\, \theta= {\pi}/{4}\big)$ has $r<0$ and $0\le\theta<2\pi$ .

In the figure on the left below, the blue half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\frac{5\pi}{4}$ , $r>0$ and the orange half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\frac{5\pi}{4}$ , $r<0$ . In the figure on the right below, the blue half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $r>0$ and the orange half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $r<0$ .

(d) The distance from $(3,0)$ to the origin is $3$ . So either $r=3$ or $r=-3$ .

If $r=3$ , then $\theta$ must obey

$\begin{aligned} (3,0) = \big(3\,\cos\theta\,,\,3\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=0,\ \cos\theta=1 \\ &\iff \theta= 0 + 2n\pi,\ n\text{ integer } \end{aligned}$

If $r=-3$ , then $\theta$ must obey

$\begin{aligned} (3,0) = \big(-3\,\cos\theta\,,\,-3\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=0,\ \cos\theta=-1 \\ &\iff \theta= \pi + 2n\pi,\ n\text{ integer } \end{aligned}$

In particular, $\big(r=-3\,,\, \theta= \pi\big)$ has $r<0$ and $0\le\theta<2\pi$ .

In the figure on the left below, the blue half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\pi$ , $r>0$ and the orange half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\pi$ , $r<0$ . In the figure on the right below, the blue half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=0$ , $r>0$ and the orange half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=0$ , $r<0$ .

(e) The distance from $(0,1)$ to the origin is $1$ . So either $r=1$ or $r=-1$ .

If $r=1$ , then $\theta$ must obey

$\begin{aligned} (0,1) = \big(\cos\theta\,,\,\sin\theta\big) &\iff \cos\theta=0,\ \sin\theta=1 \\ &\iff \theta= {\pi}/{2} + 2n\pi,\ n\text{ integer } \end{aligned}$

If $r=-1$ , then $\theta$ must obey

$\begin{aligned} (0,1) = \big(-\cos\theta\,,\,-\sin\theta\big) &\iff \cos\theta=0,\ \sin\theta=-1 \\ &\iff \theta= {3\pi}/{2} + 2n\pi,\ n\text{ integer } \end{aligned}$

In particular, $\big(r=-1\,,\, \theta= {3\pi}/{2}\big)$ has $r<0$ and $0\le\theta<2\pi$ .

In the figure on the left below, the blue half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\frac{3\pi}{2}$ , $r>0$ and the orange half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\frac{3\pi}{2}$ , $r<0$ . In the figure on the right below, the blue half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\frac{\pi}{2}$ , $r>0$ and the orange half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\frac{\pi}{2}$ , $r<0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.2절 · 15번

# 극좌표 이중적분계산기본자동 분류

4.CLP-3 · 3.2절 · 3번대학 수준우리말 번역

다음 점들을 생각하세요.

$\begin{aligned} (x_1,y_1) &= (3,0) & (x_2,y_2) &= (1,1) & (x_3,y_3) &= (0,1) \\ (x_4,y_4) &= (-1,1) & (x_5,y_5) &= (-2,0) \end{aligned}$

또한 각 $\theta$ 에 대해 벡터를 다음과 같이 정의하세요.

$\begin{aligned} \hat{\mathbf{e}}_r(\theta)=\cos\theta\ \hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin\theta\ \hat{\boldsymbol{\jmath}}\qquad \hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) = -\sin\theta\ \hat{\boldsymbol{\imath}} + \cos\theta\ \hat{\boldsymbol{\jmath}} \end{aligned}$

(a) 각 각 $\theta$ 에 대해 벡터 $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ 와 $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ 의 길이, 그리고 두 벡터 $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ 와 $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ 가 이루는 각을 구하세요. $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)\times\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ 의 값을 구하세요 ( $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ 와 $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ 를 $\hat{\mathbf{k}}$ 성분이 0인 3차원 벡터로 보세요). (b) $1\le i\le 5$ 인 각 $i$ 에 대해, $xy$ 평면에 점 $(x_i,y_i)= \big(r_i\cos\theta_i\,,\,r_i\sin\theta_i\big)$ 와 벡터 $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta_i)$ , $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta_i)$ 를 그리세요. 벡터를 그릴 때 벡터 $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta_i)$ 와 $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta_i)$ 의 시점을 $(x_i,y_i)$ 에 놓으세요.

영어 원문 보기

Consider the points

$\begin{aligned} (x_1,y_1) &= (3,0) & (x_2,y_2) &= (1,1) & (x_3,y_3) &= (0,1) \\ (x_4,y_4) &= (-1,1) & (x_5,y_5) &= (-2,0) \end{aligned}$

Also define, for each angle $\theta$ , the vectors

$\begin{aligned} \hat{\mathbf{e}}_r(\theta)=\cos\theta\ \hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin\theta\ \hat{\boldsymbol{\jmath}}\qquad \hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) = -\sin\theta\ \hat{\boldsymbol{\imath}} + \cos\theta\ \hat{\boldsymbol{\jmath}} \end{aligned}$

(a) Determine, for each angle $\theta$ , the lengths of the vectors $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ and $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ and the angle between the vectors $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ and $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ . Compute $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)\times\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ (viewing $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ and $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ as vectors in three dimensions with zero $\hat{\mathbf{k}}$ components). (b) For each $1\le i\le 5$ , sketch, in the $xy$ -plane, the point $(x_i,y_i)= \big(r_i\cos\theta_i\,,\,r_i\sin\theta_i\big)$ and the vectors $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta_i)$ and $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta_i)$ . In your sketch of the vectors, place the tails of the vectors $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta_i)$ and $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta_i)$ at $(x_i,y_i)$ .

정답·풀이 보기

(a) 길이는 다음과 같다.

$\begin{aligned} |\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)| &= \sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta} = 1 \\ |\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)| &= \sqrt{(-\sin\theta)^2+\cos^2\theta} = 1 \end{aligned}$

$\hat{\mathbf{e}}_r(\theta) \cdot \hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) = (\cos\theta)(-\sin\theta) +(\sin\theta)(\cos\theta)=0$

이므로 두 벡터는 수직이고 두 벡터가 이루는 각은 $\frac{\pi}{2}$ 이다. 외적은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \hat{\mathbf{e}}_r(\theta) \times \hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \end{matrix}\right] =\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

(b) $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ 로 정해지는 $\theta$ 에 대해 다음에 주목한다.

벡터 $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ 는 $(0,0)$ 에서 $(x,y)$ 로 향하는 벡터와 방향이 같은 단위벡터이다.
벡터 $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ 는 $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ 에 수직인 단위벡터이다.
$\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ 의 $y$ 성분은 $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ 의 $x$ 성분과 부호가 같다. $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ 의 $x$ 성분은 $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ 의 $y$ 성분과 부호가 반대이다.

다음은 $i =1,3,5$ (축 위의 점)에 대한 $(x_i,y_i)$ , $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta_i)$ , $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta_i)$ 의 그림이다.

다음은 $i =2,4$ (축 위에 있지 않은 점)에 대한 $(x_i,y_i)$ , $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta_i)$ , $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta_i)$ 의 그림이다(축척은 다르다).

원본 교재 풀이(영어)

(a) The lengths are

$\begin{aligned} |\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)| &= \sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta} = 1 \\ |\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)| &= \sqrt{(-\sin\theta)^2+\cos^2\theta} = 1 \end{aligned}$

As

$\hat{\mathbf{e}}_r(\theta) \cdot \hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) = (\cos\theta)(-\sin\theta) +(\sin\theta)(\cos\theta)=0$

the two vectors are perpendicular and the angle between them is $\frac{\pi}{2}$ . The cross product is

$\begin{aligned} \hat{\mathbf{e}}_r(\theta) \times \hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \end{matrix}\right] =\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

(b) Note that for $\theta$ determined by $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ ,

the vector $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ is a unit vector in the same direction as the vector from $(0,0)$ to $(x,y)$ and
the vector $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ is a unit vector that is perpendicular to $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ .
The $y$ -component of $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ has the same sign as the $x$ -component of $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ . The $x$ -component of $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ has opposite sign to that of the $y$ -component of $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ .

Here is a sketch of $(x_i,y_i)$ , $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta_i)$ , $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta_i)$ for $i =1,3,5$ (the points on the axes)

and here is a sketch (to a different scale) of $(x_i,y_i)$ , $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta_i)$ , $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta_i)$ for $i =2,4$ (the points off the axes).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.2절 · 14번

# 극좌표 이중적분그래프·표 해석기본자동 분류

5.CLP-3 · 3.2절 · 4번대학 수준우리말 번역

$\left< a, b\right>$ 를 벡터라 하자. $r$ 를 $\left< a, b\right>$ 의 길이, $\theta$ 를 $\left< a, b\right>$ 와 $x$ 축 사이의 각이라 하자.

(a) $a$ 와 $b$ 를 $r$ 과 $\theta$ 로 나타내세요. (b) $\left< A, B\right>$ 를 $\left< a, b\right>$ 를 시점을 중심으로 각 $\varphi$ 만큼 회전하여 얻은 벡터라 하자. $A$ 와 $B$ 를 $a$ , $b$ , $\varphi$ 로 나타내세요.

영어 원문 보기

Let $\left< a, b\right>$ be a vector. Let $r$ be the length of $\left< a, b\right>$ and $\theta$ be the angle between $\left< a, b\right>$ and the $x$ -axis.

(a) Express $a$ and $b$ in terms of $r$ and $\theta$ . (b) Let $\left< A, B\right>$ be the vector gotten by rotating $\left< a, b\right>$ by an angle $\varphi$ about its tail. Express $A$ and $B$ in terms of $a$ , $b$ and $\varphi$ .

정답·풀이 보기

다음은 $\left< a, b\right>$ 와 $\left< A, B\right>$ 의 개략도이다.

(a) 그림에서

$\begin{aligned} a&=r\cos\theta\\ b&=r\sin\theta \end{aligned}$

(b) 벡터 $\left< A, B\right>$ 의 길이는 이번에도 $r$ 이고 $\left< A, B\right>$ 와 $x$ 축 사이의 각은 $\theta +\varphi$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} A&=r\cos(\theta+\varphi) &&=r\cos\theta\cos\varphi-r\sin\theta\sin\varphi &&=a\cos\varphi-b\sin\varphi\\ B&=r\sin(\theta+\varphi) &&=r\sin\theta\cos\varphi+r\cos\theta\sin\varphi &&=b\cos\varphi+a\sin\varphi \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Here is a sketch of $\left< a, b\right>$ and $\left< A, B\right>$ .

(a) From the sketch,

$\begin{aligned} a&=r\cos\theta\\ b&=r\sin\theta \end{aligned}$

(b) The length of the vector $\left< A, B\right>$ is again $r$ and the angle between $\left< A, B\right>$ and the $x$ -axis is $\theta +\varphi$ . So

$\begin{aligned} A&=r\cos(\theta+\varphi) &&=r\cos\theta\cos\varphi-r\sin\theta\sin\varphi &&=a\cos\varphi-b\sin\varphi\\ B&=r\sin(\theta+\varphi) &&=r\sin\theta\cos\varphi+r\cos\theta\sin\varphi &&=b\cos\varphi+a\sin\varphi \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.3절 · 18번

# 극좌표 이중적분계산기본자동 분류

6.CLP-3 · 3.2절 · 6번대학 수준우리말 번역

다음 각 극좌표 적분에 대하여 적분 영역을 $xy$ -평면에 그리세요.

(a) $\displaystyle \int_1^2\mathrm{d}r \int_{-{\pi}/{4}}^{{\pi}/{4}}\mathrm{d}\theta \ r\ f(r\cos\theta,r\sin\theta)$ (b) $\displaystyle \int_0^{{\pi}/{4}}\mathrm{d}\theta \int_0^{\frac{2}{\sin\theta+\cos\theta}}\mathrm{d}r \ r\ f(r\cos\theta,r\sin\theta)$ (c) $\displaystyle \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^{\frac{3}{\sqrt{\cos^2\theta+9\sin^2\theta}}}\mathrm{d}r \ r\ f(r\cos\theta,r\sin\theta)$

영어 원문 보기

Sketch the domain of integration in the $xy$ -plane for each of the following polar coordinate integrals.

(a) $\displaystyle \int_1^2\mathrm{d}r \int_{-{\pi}/{4}}^{{\pi}/{4}}\mathrm{d}\theta \ r\ f(r\cos\theta,r\sin\theta)$ (b) $\displaystyle \int_0^{{\pi}/{4}}\mathrm{d}\theta \int_0^{\frac{2}{\sin\theta+\cos\theta}}\mathrm{d}r \ r\ f(r\cos\theta,r\sin\theta)$ (c) $\displaystyle \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^{\frac{3}{\sqrt{\cos^2\theta+9\sin^2\theta}}}\mathrm{d}r \ r\ f(r\cos\theta,r\sin\theta)$

정답·풀이 보기

(a) 적분 영역을 $D$ 라 하자. 기호 $\displaystyle \int_1^2\mathrm{d}r \int_{-{\pi}/{4}}^{{\pi}/{4}}\mathrm{d}\theta$ 는 $D$ 에서 다음이 성립함을 나타낸다.

$r$ 는 $1$ 에서 $2$ 까지 변하고,
그 범위의 각 $r$ 에 대하여 $\theta$ 는 $-\frac{\pi}{4}$ 에서 $\frac{\pi}{4}$ 까지 변한다.

직교좌표로 나타내면

$r=1$ 은 원 $x^2+y^2=1$ 이고,
$r=2$ 는 원 $x^2+y^2=4$ 이고,
$\theta=\frac{\pi}{4}$ 는 반직선 $y=x$ , $x\ge 0$ 이고,
$\theta=-\frac{\pi}{4}$ 는 반직선 $y=-x$ , $x\ge 0$ 이다.

따라서

$\begin{aligned} D=\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 1\le x^2+y^2\le 4,\ -x\le y\le x,\ x\ge 0\ \big\} \end{aligned}$

두 개의 그림이 있다. $D$ 는 오른쪽 그림에서 색칠한 영역이다.

(b) 적분 영역을 $D$ 라 하자. 기호 $\int_0^{{\pi}/{4}}\mathrm{d}\theta \int_0^{\frac{2}{\sin\theta+\cos\theta}}\mathrm{d}r$ 는 $D$ 에서 다음이 성립함을 나타낸다.

$\theta$ 는 $0$ 에서 ${\pi}/{4}$ 까지 변하고,
그 범위의 각 $\theta$ 에 대하여 $r$ 는 $0$ 에서 $\frac{2}{\sin\theta+\cos\theta}$ 까지 변한다.

직교좌표로 나타내면

$\theta=0$ 은 양의 $x$ 축이고,
$\theta={\pi}/{4}$ 는 반직선 $y=x$ , $x\ge 0$ 이고,
$r=\frac{2}{\sin\theta+\cos\theta}$ , 즉 $r\cos\theta+r\sin\theta=2$ 는 직선 $x+y=2$ 이다.

아래 왼쪽 그림을 보면, 직선 $y=x$ 와 $x+y=2$ 가 $(1,1)$ 에서 만나므로

$\begin{aligned} D=\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le y\le 1,\ y\le x\le 2-y\ \big\} \end{aligned}$

$D$ 는 오른쪽 그림에서 색칠한 영역이다.

(c) 적분 영역을 $D$ 라 하자. 기호 $\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^{\frac{3}{\sqrt{\cos^2\theta+9\sin^2\theta}}}\mathrm{d}r$ 는 $D$ 에서 다음이 성립함을 나타낸다.

$\theta$ 는 $0$ 에서 $2\pi$ 까지 한 바퀴 변하고,
각 $\theta$ 에 대하여 $r$ 는 $0$ 에서 $\frac{3}{\sqrt{\cos^2\theta+9\sin^2\theta}}$ 까지 변한다.

직교좌표로 나타내면

$r=\frac{3}{\sqrt{\cos^2\theta+9\sin^2\theta}}$ , 즉 $r^2\cos^2\theta+9r^2\sin^2\theta=9$ 는 타원 $x^2+9y^2=9$ 이다.

따라서 $D$ 는 타원 $x^2+9y^2=9$ 의 내부이고, $D$ 는 오른쪽 그림에서 색칠한 영역이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Let $D$ denote the domain of integration. The symbols $\displaystyle \int_1^2\mathrm{d}r \int_{-{\pi}/{4}}^{{\pi}/{4}}\mathrm{d}\theta$ say that, on $D$ ,

$r$ runs from $1$ to $2$ and
for each $r$ in that range, $\theta$ runs from $-\frac{\pi}{4}$ to $\frac{\pi}{4}$ .

In Cartesian coordinates

$r=1$ is the circle $x^2+y^2=1$ and
$r=2$ is the circle $x^2+y^2=4$ and
$\theta=\frac{\pi}{4}$ is the ray $y=x$ , $x\ge 0$ and
$\theta=-\frac{\pi}{4}$ is the ray $y=-x$ , $x\ge 0$ .

So

$\begin{aligned} D=\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 1\le x^2+y^2\le 4,\ -x\le y\le x,\ x\ge 0\ \big\} \end{aligned}$

Here are two sketches. $D$ is the shaded region in the sketch on the right.

(b) Let $D$ denote the domain of integration. The symbols $\int_0^{{\pi}/{4}}\mathrm{d}\theta \int_0^{\frac{2}{\sin\theta+\cos\theta}}\mathrm{d}r$ say that, on $D$ ,

$\theta$ runs from $0$ to ${\pi}/{4}$ and
for each $\theta$ in that range, $r$ runs from $0$ to $\frac{2}{\sin\theta+\cos\theta}$ .

In Cartesian coordinates

$\theta=0$ is the positive $x$ -axis and
$\theta={\pi}/{4}$ is the ray $y=x$ , $x\ge 0$ and
$r=\frac{2}{\sin\theta+\cos\theta}$ , or equivalently $r\cos\theta+r\sin\theta=2$ , is the line $x+y=2$ .

Looking at the sketch on the left below, we see that, since the lines $y=x$ and $x+y=2$ cross at $(1,1)$ ,

$\begin{aligned} D=\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le y\le 1,\ y\le x\le 2-y\ \big\} \end{aligned}$

$D$ is the shaded region in the sketch on the right.

(c) Let $D$ denote the domain of integration. The symbols $\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^{\frac{3}{\sqrt{\cos^2\theta+9\sin^2\theta}}}\mathrm{d}r$ say that, on $D$ ,

$\theta$ runs all the way from $0$ to $2\pi$ and
for each $\theta$ , $r$ runs from $0$ to $\frac{3}{\sqrt{\cos^2\theta+9\sin^2\theta}}$ .

In Cartesian coordinates

$r=\frac{3}{\sqrt{\cos^2\theta+9\sin^2\theta}}$ , or equivalently $r^2\cos^2\theta+9r^2\sin^2\theta=9$ , is the ellipse $x^2+9y^2=9$ .

So $D$ is the interior of the ellipse $x^2+9y^2=9$ and $D$ is the shaded region in the sketch on the right.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.2절 · 4번

# 극좌표 이중적분그래프·표 해석기본자동 분류

7.CLP-3 · 3.3절 · 1번대학 수준우리말 번역

다음 각각에 대하여 주어진 이중적분의 값을 반복적분을 사용하지 않고 구하세요. 대신 예를 들어 넓이나 평균값의 관점에서 적분을 해석하세요.

(a) $\iint _D(x+3)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ , 여기서 $D$ 는 반원판 $0\le y\le \sqrt{4-x^2}$ 입니다. (b) $\iint _R (x+y)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ , 여기서 $R$ 은 직사각형 $0\le x\le a,\ 0\le y\le b$ 입니다.

영어 원문 보기

For each of the following, evaluate the given double integral without using iteration. Instead, interpret the integral in terms of, for example, areas or average values.

(a) $\iint _D(x+3)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ , where $D$ is the half disc $0\le y\le \sqrt{4-x^2}$ (b) $\iint _R (x+y)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ where $R$ is the rectangle $0\le x\le a,\ 0\le y\le b$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) $x$ 는 $x\rightarrow-x$ 에 대해, 즉 $y$ 축에 대한 대칭이동에 대해 기함수이고 적분 영역은 $y$ 축에 대해 대칭이므로 $\iint _D x\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=0$ 이다. $\iint _D 3\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ 는 반지름이 $2$ 인 반원판 넓이의 3배이다. 따라서 $\iint _D(x+3)\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=3\times \tfrac{1}{2}\times\pi 2^2=6\pi$ .

(s) $\iint _R x\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y/\iint _R \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ 는 직사각형 $R$ 에서 $x$ 의 평균값이며, 그 값은 $\frac{a}{2}$ 이다. 마찬가지로 $\iint _R y\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y/\iint _R \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ 는 직사각형 $R$ 에서 $y$ 의 평균값이며, 그 값은 $\frac{b}{2}$ 이다. $\iint _R \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ 는 직사각형 $R$ 의 넓이이며, 그 값은 $ab$ 이다. 따라서

$\iint _R x\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\frac{a}{2} \iint _R \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\frac{a}{2} ab$ 이고
$\iint _R y\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\frac{b}{2} \iint _R \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\frac{b}{2} ab$

이며 $\iint _R (x+y)\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\tfrac{1}{2} ab (a+b)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\iint _D x\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=0$ because $x$ is odd under $x\rightarrow-x$ , i.e. under reflection about the $y$ –axis, while the domain of integration is symmetric about the $y$ –axis. $\iint _D 3\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ is the three times the area of a half disc of radius $2$ . So, $\iint _D(x+3)\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=3\times \tfrac{1}{2}\times\pi 2^2=6\pi$ .

(s) $\iint _R x\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y/\iint _R \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ is the average value of $x$ in the rectangle $R$ , namely $\frac{a}{2}$ . Similarly, $\iint _R y\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y/\iint _R \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ is the average value of $y$ in the rectangle $R$ , namely $\frac{b}{2}$ . $\iint _R \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ is area of the rectangle $R$ , namely $ab$ . So,

$\iint _R x\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\frac{a}{2} \iint _R \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\frac{a}{2} ab$ and
$\iint _R y\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\frac{b}{2} \iint _R \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\frac{b}{2} ab$

and $\iint _R (x+y)\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\tfrac{1}{2} ab (a+b)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.6절 · 5번

# 다중적분의 응용(질량·질량중심)계산기본자동 분류

8.CLP-3 · 3.5절 · 1번대학 수준우리말 번역

다음 적분의 값을 구하세요.

$\text{$\iint _R \sqrt{b^2-y^2}\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$\ \ 여기서 $R$ 은 직사각형 $0\le x\le a,\ 0\le y\le b$}$

반복적분을 사용하지 말고, 대신 이 적분을 기하학적으로 해석하세요.

영어 원문 보기

Evaluate the integral

$\text{$\iint _R \sqrt{b^2-y^2}\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$\ \ where $R$ is the rectangle $0\le x\le a,\ 0\le y\le b$}$

without using iteration. Instead, interpret the integral geometrically.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\iint _R \sqrt{b^2-y^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\iiint _V \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z$ 이고, 여기서

$\begin{aligned} V&=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le z\le\sqrt{b^2-y^2},\ 0\le x\le a,\ 0\le y\le b\ \big\} \\ &=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ y^2+z^2\le b^2,\ 0\le x\le a,\ y\ge 0,\ z\ge 0\ \big\} \end{aligned}$

이다.

이제 $y^2+z^2\le b^2$ 은 $x$ 축을 중심축으로 하는 반지름 $b$ 인 원기둥이고, $y^2+z^2\le b^2$ 중에서 $y\ge0,\ z\ge0$ 인 부분은 이 원기둥의 4분의 1이다. 이 부분의 단면의 넓이는 $\frac{1}{4}\pi b^2$ 이다. $V$ 는 이 4분의 1 원기둥 중에서 $0\le x\le a$ 인 부분이다. 길이는 $a$ 이고 단면의 넓이는 $\frac{1}{4}\pi b^2$ 이다. 따라서 $\iint _R \sqrt{b^2-y^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\frac{1}{4}\pi ab^2$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$\iint _R \sqrt{b^2-y^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\iiint _V \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z$ , where

$\begin{aligned} V&=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le z\le\sqrt{b^2-y^2},\ 0\le x\le a,\ 0\le y\le b\ \big\} \\ &=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ y^2+z^2\le b^2,\ 0\le x\le a,\ y\ge 0,\ z\ge 0\ \big\} \end{aligned}$

Now $y^2+z^2\le b^2$ is a cylinder of radius $b$ centered on the $x$ –axis and the part of $y^2+z^2\le b^2$ , with $y\ge0,\ z\ge0$ is one quarter of this cylinder. It has cross–sectional area $\frac{1}{4}\pi b^2$ . $V$ is the part of this quarter–cylinder with $0\le x\le a$ . It has length $a$ and cross–sectional area $\frac{1}{4}\pi b^2$ . So, $\iint _R \sqrt{b^2-y^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\frac{1}{4}\pi ab^2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.5절 · 15번

# 삼중적분계산기본자동 분류

9.CLP-3 · 3.5절 · 2번대학 수준우리말 번역

밀도함수 $h(x, y, z) = x$ 를 갖는 직육면체 상자 $[0, 1] \times [0, 2] \times [0, 3]$ (즉, 부등식 $0 \le x \le 1$ , $0 \le y \le 2$ , $0 \le z \le 3$ 으로 정의되는 상자)의 전체 질량을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the total mass of the rectangular box $[0, 1] \times [0, 2] \times [0, 3]$ (that is, the box defined by the inequalities $0 \le x \le 1$ , $0 \le y \le 2$ , $0 \le z \le 3$ ), with density function $h(x, y, z) = x$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

질량은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \int_0^1\mathrm{d}x \int_0^2\mathrm{d}y\int_0^3\mathrm{d}z\ x &= 6\int_0^1 \mathrm{d}x\ x =3 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The mass is

$\begin{aligned} \int_0^1\mathrm{d}x \int_0^2\mathrm{d}y\int_0^3\mathrm{d}z\ x &= 6\int_0^1 \mathrm{d}x\ x =3 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.5절 · 14번

# 삼중적분계산기본자동 분류

10.CLP-3 · 3.6절 · 1번대학 수준우리말 번역

$(r,\theta,z)$ 는 원기둥좌표를 나타낸다고 하자.

(a) $r=0$ 의 그래프를 그리세요. (b) $r=1$ 의 그래프를 그리세요. (c) $\theta=0$ 의 그래프를 그리세요. (d) $\theta={\pi}/{4}$ 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Use $(r,\theta,z)$ to denote cylindrical coordinates.

(a) Draw $r=0$ . (b) Draw $r=1$ . (c) Draw $\theta=0$ . (d) Draw $\theta={\pi}/{4}$ .

정답·풀이 보기

(a), (b) 점 $(x,y,z)$ 의 원기둥좌표 $r(x,y,z)$ 는 $(x,y,z)$ 에서 $z$ 축까지의 거리 $\sqrt{x^2+y^2}$ 이므로, 집합

$\begin{aligned} \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ r(x,y,z)=0\ \big\} &=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2=0\ \big\} =\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x=y=0\ \big\} \\ &=\text{$z$축} \\ \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ r(x,y,z)=1\ \big\} &=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2=1\ \big\} \\ &=\text{$z$축을 중심으로 하는 반지름이 $1$인 원기둥} \end{aligned}$

이다.

(c), (d) 점 $(x,y,z)$ 의 원기둥좌표 $\theta(x,y,z)$ 는 양의 $x$ 축과 $(0,0,0)$ 에서 $(x,y,0)$ 까지의 직선이 이루는 각이므로, 집합

$\begin{aligned} \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ \theta(x,y,z)=0\ \big\} &=\text{$xz$평면에서 $x>0$ 인 쪽 반평면} \\ \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ \theta(x,y,z)={\pi}/{4}\ \big\} &=\text{평면 $y=x$ 에서 $x>0$ 인 쪽 반평면} \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a), (b) Since the cylindrical coordinate $r(x,y,z)$ of a point $(x,y,z)$ is the distance, $\sqrt{x^2+y^2}$ , from $(x,y,z)$ to the $z$ -axis, the sets

$\begin{aligned} \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ r(x,y,z)=0\ \big\} &=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2=0\ \big\} =\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x=y=0\ \big\} \\ &=\text{the $z$-axis} \\ \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ r(x,y,z)=1\ \big\} &=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2=1\ \big\} \\ &=\text{the cylinder of radius $1$ centred on the $z$-axis} \end{aligned}$

(c), (d) Since the cylindrical coordinate $\theta(x,y,z)$ of a point $(x,y,z)$ is the angle between the positive $x$ -axis and the line from $(0,0,0)$ to $(x,y,0)$ , the sets

$\begin{aligned} \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ \theta(x,y,z)=0\ \big\} &=\text{the half of the $xz$-plane with $x>0$} \\ \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ \theta(x,y,z)={\pi}/{4}\ \big\} &=\text{the half of the plane $y=x$ with $x>0$} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.5절 · 5번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산기본자동 분류

11.CLP-3 · 3.6절 · 2번대학 수준우리말 번역

다음과 같이 주어진 원기둥좌표를 갖는 점들을 그리세요.

(a) $r=1$ , $\theta=0$ , $z=0$ (b) $r=1$ , $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $z=0$ (c) $r=1$ , $\theta=\frac{\pi}{2}$ , $z=0$ (d) $r=0$ , $\theta=\pi$ , $z=1$ (e) $r=1$ , $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $z=1$

영어 원문 보기

Sketch the points with the specified cylindrical coordinates.

(a) $r=1$ , $\theta=0$ , $z=0$ (b) $r=1$ , $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $z=0$ (c) $r=1$ , $\theta=\frac{\pi}{2}$ , $z=0$ (d) $r=0$ , $\theta=\pi$ , $z=1$ (e) $r=1$ , $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $z=1$

정답·풀이 보기

그림은 아래와 같다. 이 그림을 그리는 데 도움이 되도록 다음 사실들을 떠올려 보자.

원기둥좌표 $r$ 은 점에서 $z$ 축까지의 거리이다. 특히 $r=0$ 인 모든 점은 ( $\theta$ 의 값에 관계없이) $z$ 축 위에 있다.
원기둥좌표 $z$ 는 점에서 $xy$ 평면까지의 거리이다. 특히 $z=0$ 인 모든 점은 $xy$ 평면 위에 있다.

원본 교재 풀이(영어)

The sketch is below. To help build up this sketch, it is useful to recall the following facts.

The cylindrical coordinate $r$ is the distance of the point from the $z$ -axis. In particular all points with $r=0$ lie on the $z$ -axis (for all values of $\theta$ ).
The cylindrical coordinate $z$ is the distance of the point from the $xy$ -plane. In particular all points with $z=0$ lie on the $xy$ -plane.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.6절 · 1번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분그래프·표 해석기본자동 분류

12.CLP-3 · 3.6절 · 3번대학 수준우리말 번역

원기둥좌표를 직교좌표로 바꾸세요.

(a) $r=1$ , $\theta=0$ , $z=0$ (b) $r=1$ , $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $z=0$ (c) $r=1$ , $\theta=\frac{\pi}{2}$ , $z=0$ (d) $r=0$ , $\theta=\pi$ , $z=1$ (e) $r=1$ , $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $z=1$

영어 원문 보기

Convert from cylindrical to Cartesian coordinates.

(a) $r=1$ , $\theta=0$ , $z=0$ (b) $r=1$ , $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $z=0$ (c) $r=1$ , $\theta=\frac{\pi}{2}$ , $z=0$ (d) $r=0$ , $\theta=\pi$ , $z=1$ (e) $r=1$ , $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $z=1$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

정답·풀이 보기

(a) $\theta=0$ 일 때 $\sin\theta=0$ 이고 $\cos\theta=1$ 이므로, 극좌표 $r=1$ , $\theta=0$ , $z=0$ 은 다음 직교좌표에 대응한다.

$(x,y,z) = (r\cos\theta,r\sin\theta,z) = (1\times\cos 0,\ 1\times\sin 0,\ 0) =(1,0,0)$

(b) $\theta=\frac{\pi}{4}$ 일 때 $\sin\theta=\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}$ 이므로, 극좌표 $r=1$ , $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $z=0$ 은 다음 직교좌표에 대응한다.

$(x,y,z) = (r\cos\theta,r\sin\theta,z) = \left(1\times\cos \frac{\pi}{4},\ 1\times\sin \frac{\pi}{4},\ 0\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0\right)$

(c) $\theta=\frac{\pi}{2}$ 일 때 $\sin\theta=1$ 이고 $\cos\theta=0$ 이므로, 극좌표 $r=1$ , $\theta=\frac{\pi}{2}$ , $z=0$ 은 다음 직교좌표에 대응한다.

$(x,y,z) = (r\cos\theta,r\sin\theta,z) = \left(1\times\cos \frac{\pi}{2},\ 1\times\sin \frac{\pi}{2},\ 0\right) = (0,1,0)$

(d) $\theta=\pi$ 일 때 $\sin\theta=0$ 이고 $\cos\theta=-1$ 이므로, 극좌표 $r=0$ , $\theta=\pi$ , $z=1$ 은 다음 직교좌표에 대응한다.

$(x,y,z) = (r\cos\theta,r\sin\theta,z) = \left(0\times\cos\pi,\ 0\times\sin\pi,\ 1\right) = (0,0,1)$

(e) $\theta=\frac{\pi}{4}$ 일 때 $\sin\theta=\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}$ 이므로, 극좌표 $r=1$ , $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $z=1$ 은 다음 직교좌표에 대응한다.

$(x,y,z) = (r\cos\theta,r\sin\theta,z) = \left(1\times\cos \frac{\pi}{4},\ 1\times\sin \frac{\pi}{4},\ 1\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},1\right)$

원본 교재 풀이(영어)

(a) When $\theta=0$ , $\sin\theta=0$ and $\cos\theta=1$ , so that the polar coordinates $r=1$ , $\theta=0$ , $z=0$ correspond to the Cartesian coordinates

$(x,y,z) = (r\cos\theta,r\sin\theta,z) = (1\times\cos 0,\ 1\times\sin 0,\ 0) =(1,0,0)$

(b) When $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $\sin\theta=\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}$ , so that the polar coordinates $r=1$ , $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $z=0$ correspond to the Cartesian coordinates

$(x,y,z) = (r\cos\theta,r\sin\theta,z) = \left(1\times\cos \frac{\pi}{4},\ 1\times\sin \frac{\pi}{4},\ 0\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0\right)$

(c) When $\theta=\frac{\pi}{2}$ , $\sin\theta=1$ and $\cos\theta=0$ , so that the polar coordinates $r=1$ , $\theta=\frac{\pi}{2}$ , $z=0$ correspond to the Cartesian coordinates

$(x,y,z) = (r\cos\theta,r\sin\theta,z) = \left(1\times\cos \frac{\pi}{2},\ 1\times\sin \frac{\pi}{2},\ 0\right) = (0,1,0)$

(d) When $\theta=\pi$ , $\sin\theta=0$ and $\cos\theta=-1$ , so that the polar coordinates $r=0$ , $\theta=\pi$ , $z=1$ correspond to the Cartesian coordinates

$(x,y,z) = (r\cos\theta,r\sin\theta,z) = \left(0\times\cos\pi,\ 0\times\sin\pi,\ 1\right) = (0,0,1)$

(e) When $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $\sin\theta=\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}$ , so that the polar coordinates $r=1$ , $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $z=1$ correspond to the Cartesian coordinates

$(x,y,z) = (r\cos\theta,r\sin\theta,z) = \left(1\times\cos \frac{\pi}{4},\ 1\times\sin \frac{\pi}{4},\ 1\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},1\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.6절 · 2번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산기본자동 분류

13.CLP-3 · 3.6절 · 4번대학 수준우리말 번역

직교좌표를 원기둥좌표로 변환하세요.

(a) $(1,1,2)$ (b) $(-1,-1,2)$ (c) $(-1,\sqrt{3}, 0)$ (d) $(0,0,1)$

영어 원문 보기

Convert from Cartesian to cylindrical coordinates.

(a) $(1,1,2)$ (b) $(-1,-1,2)$ (c) $(-1,\sqrt{3}, 0)$ (d) $(0,0,1)$

정답·풀이 보기

(a) 원기둥좌표는 다음을 만족해야 한다.

$1=x=r\cos\theta\qquad 1=y=r\sin\theta\qquad 2=z$

따라서 $z=2$ , $r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ 이고 $\tan\theta=\frac{y}{x} =\frac{1}{1}=1$ 이다. 모든 정수 $k$ 에 대해 $\tan\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)=1$ 임을 기억하자. $(x,y)=(1,1)$ 은 제1사분면에 있으므로 $0\le\theta\le\frac{\pi}{2}$ 이다. 따라서 $\theta=\frac{\pi}{4}$ 이다 (여기에 $2\pi$ 의 정수 배수를 더한 값도 가능하다).

(b) 원기둥좌표는 다음을 만족해야 한다.

$-1=x=r\cos\theta\qquad -1=y=r\sin\theta\qquad 2=z$

따라서 $z=2$ , $r=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$ 이고 $\tan\theta=\frac{y}{x} =\frac{-1}{-1}=1$ 이다. 모든 정수 $k$ 에 대해 $\tan\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)=1$ 임을 기억하자. $(x,y)=(-1,-1)$ 은 제3사분면에 있으므로 $\pi\le\theta\le\frac{3\pi}{2}$ 이다. 따라서 $\theta=\frac{5\pi}{4}$ 이다 (여기에 $2\pi$ 의 정수 배수를 더한 값도 가능하다).

(c) 원기둥좌표는 다음을 만족해야 한다.

$-1=x=r\cos\theta\qquad \sqrt{3}=y=r\sin\theta\qquad 0=z$

따라서 $z=0$ , $r=\sqrt{(-1)^2+\big(\sqrt{3}\big)^2}=2$ 이고 $\tan\theta=\frac{y}{x} =\frac{\sqrt{3}}{-1}=-\sqrt{3}$ 이다. 모든 정수 $k$ 에 대해 $\tan\left(\frac{2\pi}{3}+k\pi\right)=-\sqrt{3}$ 임을 기억하자. $(x,y)=(-1,\sqrt{3})$ 은 제2사분면에 있으므로 $\frac{\pi}{2}\le\theta\le\pi$ 이다. 따라서 $\theta=\frac{2\pi}{3}$ 이다 (여기에 $2\pi$ 의 정수 배수를 더한 값도 가능하다).

(d) 원기둥좌표는 다음을 만족해야 한다.

$0=x=r\cos\theta\qquad 0=y=r\sin\theta\qquad 1=z$

따라서 $z=1$ , $r=\sqrt{0^2+0^2}=0$ 이고 $\theta$ 는 완전히 임의의 값이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The cylindrical coordinates must obey

$1=x=r\cos\theta\qquad 1=y=r\sin\theta\qquad 2=z$

So $z=2$ , $r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ and $\tan\theta=\frac{y}{x} =\frac{1}{1}=1$ . Recall that $\tan\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)=1$ for all integers $k$ . As $(x,y)=(1,1)$ lies in the first quadrant, $0\le\theta\le\frac{\pi}{2}$ . So $\theta=\frac{\pi}{4}$ (plus possibly any integer multiple of $2\pi$ ).

(b) The cylindrical coordinates must obey

$-1=x=r\cos\theta\qquad -1=y=r\sin\theta\qquad 2=z$

So $z=2$ , $r=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$ and $\tan\theta=\frac{y}{x} =\frac{-1}{-1}=1$ . Recall that $\tan\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)=1$ for all integers $k$ . As $(x,y)=(-1,-1)$ lies in the third quadrant, $\pi\le\theta\le\frac{3\pi}{2}$ . So $\theta=\frac{5\pi}{4}$ (plus possibly any integer multiple of $2\pi$ ).

(c) The cylindrical coordinates must obey

$-1=x=r\cos\theta\qquad \sqrt{3}=y=r\sin\theta\qquad 0=z$

So $z=0$ , $r=\sqrt{(-1)^2+\big(\sqrt{3}\big)^2}=2$ and $\tan\theta=\frac{y}{x} =\frac{\sqrt{3}}{-1}=-\sqrt{3}$ . Recall that $\tan\left(\frac{2\pi}{3}+k\pi\right)=-\sqrt{3}$ for all integers $k$ . As $(x,y)=(-1,\sqrt{3})$ lies in the second quadrant, $\frac{\pi}{2}\le\theta\le\pi$ . So $\theta=\frac{2\pi}{3}$ (plus possibly any integer multiple of $2\pi$ ).

(d) The cylindrical coordinates must obey

$0=x=r\cos\theta\qquad 0=y=r\sin\theta\qquad 1=z$

So $z=1$ , $r=\sqrt{0^2+0^2}=0$ and $\theta$ is completely arbitrary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.6절 · 13번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산기본자동 분류

14.CLP-3 · 3.6절 · 5번대학 수준우리말 번역

다음 방정식을 원기둥좌표로 나타내세요.

(a) $z=2xy$ (b) $x^2+y^2+z^2=1$ (c) $(x-1)^2 + y^2 =1$

영어 원문 보기

Rewrite the following equations in cylindrical coordinates.

(a) $z=2xy$ (b) $x^2+y^2+z^2=1$ (c) $(x-1)^2 + y^2 =1$

정답·풀이 보기

(a) $x=r\cos\theta$ 이고 $y=r\sin\theta$ 이므로,

$z=2xy \iff z=2r^2\cos\theta\sin\theta = r^2\sin(2\theta)$

(b) $x=r\cos\theta$ 이고 $y=r\sin\theta$ 이므로,

$x^2+y^2+z^2=1 \iff r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta + z^2 =1 \iff r^2+z^2=1$

(c) $x=r\cos\theta$ 이고 $y=r\sin\theta$ 이므로,

$\begin{aligned} (x-1)^2 + y^2 =1 &\iff (r\cos\theta-1)^2 + (r\sin\theta)^2 =1 \\ &\iff r^2\cos^2\theta -2r\cos\theta +1 + r^2\sin^2\theta = 1 \\ &\iff r^2=2r\cos\theta \iff r=2\cos\theta\text{ 또는 }r=0 \\ &\iff r=2\cos\theta \end{aligned}$

해 $r=0$ 은 $r=2\cos\theta$ 에 포함된다. $\theta=\frac{\pi}{2}$ 로 택하면 된다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) As $x=r\cos\theta$ and $y=r\sin\theta$ ,

$z=2xy \iff z=2r^2\cos\theta\sin\theta = r^2\sin(2\theta)$

(b) As $x=r\cos\theta$ and $y=r\sin\theta$ ,

$x^2+y^2+z^2=1 \iff r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta + z^2 =1 \iff r^2+z^2=1$

(c) As $x=r\cos\theta$ and $y=r\sin\theta$ ,

$\begin{aligned} (x-1)^2 + y^2 =1 &\iff (r\cos\theta-1)^2 + (r\sin\theta)^2 =1 \\ &\iff r^2\cos^2\theta -2r\cos\theta +1 + r^2\sin^2\theta = 1 \\ &\iff r^2=2r\cos\theta \iff r=2\cos\theta\text{ or }r=0 \\ &\iff r=2\cos\theta \end{aligned}$

Note that the solution $r=0$ is included in $r=2\cos\theta$ — just choose $\theta=\frac{\pi}{2}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.6절 · 12번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산기본자동 분류

15.CLP-3 · 3.7절 · 1번대학 수준우리말 번역

$(\rho,\theta,\varphi)$ 를 구면좌표를 나타내는 것으로 하자.

(a) $\varphi=0$ 의 그래프를 그리세요. (b) $\varphi={\pi}/{4}$ 의 그래프를 그리세요. (c) $\varphi={\pi}/{2}$ 의 그래프를 그리세요. (d) $\varphi={3\pi}/{4}$ 의 그래프를 그리세요. (e) $\varphi=\pi$ 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Use $(\rho,\theta,\varphi)$ to denote spherical coordinates.

(a) Draw $\varphi=0$ . (b) Draw $\varphi={\pi}/{4}$ . (c) Draw $\varphi={\pi}/{2}$ . (d) Draw $\varphi={3\pi}/{4}$ . (e) Draw $\varphi=\pi$ .

정답·풀이 보기

점 $(x,y,z)$ 의 구면좌표 $\varphi(x,y,z)$ 는 양의 $z$ 축과 $(0,0,0)$ 에서 $(x,y,z)$ 로 향하는 반지름 벡터가 이루는 각이므로, 다음 집합들이 성립한다.

$\begin{aligned} \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ \varphi(x,y,z)=0\ \big\} &=\text{양의 $z$축} \\ \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ \varphi(x,y,z)={\pi}/{2}\ \big\} &=\text{$xy$평면} \\ \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ \varphi(x,y,z)=\pi\ \big\} &=\text{음의 $z$축} \end{aligned}$

다른 방법으로, $\tan\varphi(x,y,z)=\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 이므로, 모든 $0<\Phi<\pi$ 에 대해

$\begin{aligned} \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ \varphi(x,y,z)=\Phi\ \big\} &=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ z=\tan\Phi\sqrt{x^2+y^2}\ \big\} \\ &=\text{양의 $z$축과 이루는 각이 $\Phi$ 인 원뿔} \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since the spherical coordinate $\varphi(x,y,z)$ of a point $(x,y,z)$ is the angle between the positive $z$ -axis and the radius vector from $(0,0,0)$ to $(x,y,z)$ , the sets

$\begin{aligned} \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ \varphi(x,y,z)=0\ \big\} &=\text{the positive $z$-axis} \\ \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ \varphi(x,y,z)={\pi}/{2}\ \big\} &=\text{the $xy$-plane} \\ \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ \varphi(x,y,z)=\pi\ \big\} &=\text{the negative $z$-axis} \end{aligned}$

Alternatively, $\tan\varphi(x,y,z)=\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}}$ , so that, for any $0<\Phi<\pi$ ,

$\begin{aligned} \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ \varphi(x,y,z)=\Phi\ \big\} &=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ z=\tan\Phi\sqrt{x^2+y^2}\ \big\} \\ &=\text{the cone that makes the angle $\Phi$ with the positive $z$-axis} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.7절 · 15번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산기본자동 분류

16.CLP-3 · 3.7절 · 2번대학 수준우리말 번역

주어진 구면좌표에 해당하는 점을 그리세요.

(a) $\rho=0$ , $\theta=0.1\pi$ , $\varphi=0.7\pi$ (b) $\rho=1$ , $\theta=0.3\pi$ , $\varphi=0$ (c) $\rho=1$ , $\theta=0$ , $\varphi=\frac{\pi}{2}$ (d) $\rho=1$ , $\theta=\frac{\pi}{3}$ , $\varphi=\frac{\pi}{2}$ (e) $\rho=1$ , $\theta=\frac{\pi}{2}$ , $\varphi=\frac{\pi}{2}$ (f) $\rho=1$ , $\theta=\frac{\pi}{3}$ , $\varphi=\frac{\pi}{6}$

영어 원문 보기

Sketch the point with the specified spherical coordinates.

(a) $\rho=0$ , $\theta=0.1\pi$ , $\varphi=0.7\pi$ (b) $\rho=1$ , $\theta=0.3\pi$ , $\varphi=0$ (c) $\rho=1$ , $\theta=0$ , $\varphi=\frac{\pi}{2}$ (d) $\rho=1$ , $\theta=\frac{\pi}{3}$ , $\varphi=\frac{\pi}{2}$ (e) $\rho=1$ , $\theta=\frac{\pi}{2}$ , $\varphi=\frac{\pi}{2}$ (f) $\rho=1$ , $\theta=\frac{\pi}{3}$ , $\varphi=\frac{\pi}{6}$

정답·풀이 보기

그림은 아래와 같다. 이 그림을 그리는 데에는 다음 사실들을 떠올리면 도움이 된다.

구면좌표 $\rho$ 는 원점 $(0,0,0)$ 에서 그 점까지의 거리이다. 특히 $\rho=0$ 이면 $\theta$ 와 $\varphi$ 의 값에 관계없이 그 점은 원점이다. $\rho=1$ 이면 그 점은 원점을 중심으로 하는 반지름 $1$ 인 구 위에 있다.
구면좌표 $\varphi$ 는 양의 $z$ 축과 원점에서 $(x,y,z)$ 까지의 선분 사이의 각이다. 특히 $\varphi=0$ 인 모든 점은 $\theta$ 의 값에 관계없이 양의 $z$ 축 위에 있다. $\varphi=\frac{\pi}{2}$ 인 모든 점은 $xy$ 평면 위에 있다.

원본 교재 풀이(영어)

The sketch is below. To help build up this sketch, it is useful to recall the following facts.

The spherical coordinate $\rho$ is the distance of the point from the origin $(0,0,0)$ . In particular if $\rho=0$ , then the point is the origin (regardless of the values of $\theta$ and $\varphi$ ). If $\rho=1$ then the point lies on the sphere of radius $1$ centred on the origin.
The spherical coordinate $\varphi$ is the angle between the positive $z$ -axis and the radial line segment from the origin to $(x,y,z)$ . In particular, all points with $\varphi=0$ lie on the positive $z$ –axis (regardless of the value of $\theta$ ). All points with $\varphi=\frac{\pi}{2}$ lie in the $xy$ -plane.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.7절 · 18번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분그래프·표 해석기본자동 분류

17.CLP-3 · 3.7절 · 3번대학 수준우리말 번역

직교좌표를 구면좌표로 변환하세요.

(a) $(-2,0,0)$ (b) $(0,3,0)$ (c) $(0,0,-4)$ (d) $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},\sqrt{3}\right)$

영어 원문 보기

Convert from Cartesian to spherical coordinates.

(a) $(-2,0,0)$ (b) $(0,3,0)$ (c) $(0,0,-4)$ (d) $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},\sqrt{3}\right)$

정답·풀이 보기

(a) 점 $(-2,0,0)$ 은

$xy$ 평면 위에 있으므로(즉 $z=\rho\cos\varphi=0$ 이므로) $\varphi=\frac{\pi}{2}$ 이고
음의 $x$ 축 위에 있으므로 $\theta=\pi$ 이고
원점으로부터의 거리가 $2$ 이므로 $\rho=2$ 이다.

(b) 점 $(0,3,0)$ 은

$xy$ 평면 위에 있으므로(즉 $z=\rho\cos\varphi=0$ 이므로) $\varphi=\frac{\pi}{2}$ 이고
양의 $y$ 축 위에 있으므로 $\theta=\frac{\pi}{2}$ 이고
원점으로부터의 거리가 $3$ 이므로 $\rho=3$ 이다.

(c) 점 $(0,0,-4)$ 는

음의 $z$ 축 위에 있으므로 $\varphi=\pi$ 이고 $\theta$ 는 임의의 값이며 그리고
원점으로부터의 거리가 $4$ 이므로 $\rho=4$ 이다.

(d) 점 $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},\sqrt{3}\right)$ 은

$\rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2} =\sqrt{\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 +\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 +\left(\sqrt{3}\right)^2}=\sqrt{4}=2$ 이고
$\sqrt{3}=z=\rho\cos\varphi = 2\cos\varphi$ 이므로 $\cos\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 이고 $\varphi=\frac{\pi}{6}$ 이고
$-\frac{1}{\sqrt{2}}=x=\rho\sin\varphi\cos\theta = 2\big(\frac{1}{2}\big)\cos\theta$ 이므로 $\cos\theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ 이다. $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ 이 제2사분면에 있으므로 $\frac{\pi}{2}\le\theta\le\pi$ 이고, 따라서 $\theta=\frac{3\pi}{4}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The point $(-2,0,0)$

lies in the $xy$ -plane (i.e. has $z=\rho\cos\varphi=0$ ) and so has $\varphi=\frac{\pi}{2}$ and
lies on the negative $x$ -axis and so has $\theta=\pi$ and
is a distance $2$ from the origin and so has $\rho=2$ .

(b) The point $(0,3,0)$

lies in the $xy$ -plane (i.e. has $z=\rho\cos\varphi=0$ ) and so has $\varphi=\frac{\pi}{2}$ and
lies on the positive $y$ -axis and so has $\theta=\frac{\pi}{2}$ and
is a distance $3$ from the origin and so has $\rho=3$ .

(c) The point $(0,0,-4)$

lies on the negative $z$ -axis and so has $\varphi=\pi$ and $\theta$ arbitrary and
is a distance $4$ from the origin and so has $\rho=4$ .

(d) The point $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},\sqrt{3}\right)$

has $\rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2} =\sqrt{\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 +\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 +\left(\sqrt{3}\right)^2}=\sqrt{4}=2$ and
has $\sqrt{3}=z=\rho\cos\varphi = 2\cos\varphi$ so that $\cos\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$ and $\varphi=\frac{\pi}{6}$ and
has $-\frac{1}{\sqrt{2}}=x=\rho\sin\varphi\cos\theta = 2\big(\frac{1}{2}\big)\cos\theta$ so that $\cos\theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ . As $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ is in the second quadrant, we have $\frac{\pi}{2}\le\theta\le\pi$ and so $\theta=\frac{3\pi}{4}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.7절 · 1번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산기본자동 분류

18.CLP-3 · 3.7절 · 4번대학 수준우리말 번역

구면좌표를 직교좌표로 변환하세요.

(a) $\rho=1$ , $\theta=\frac{\pi}{3}$ , $\varphi=\frac{\pi}{6}$ (b) $\rho=2$ , $\theta=\frac{\pi}{2}$ , $\varphi=\frac{\pi}{2}$

영어 원문 보기

Convert from spherical to Cartesian coordinates.

(a) $\rho=1$ , $\theta=\frac{\pi}{3}$ , $\varphi=\frac{\pi}{6}$ (b) $\rho=2$ , $\theta=\frac{\pi}{2}$ , $\varphi=\frac{\pi}{2}$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) $\rho=1$ , $\theta=\frac{\pi}{3}$ , $\varphi=\frac{\pi}{6}$ 에 대응하는 직교좌표는 다음과 같다.

$\begin{aligned} x&=\rho\sin\varphi\cos\theta =\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3} =\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) =\frac{1}{4} \\ y&=\rho\sin\varphi\sin\theta =\sin\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3} =\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) =\frac{\sqrt{3}}{4} \\ z&=\rho\cos\varphi =\cos\frac{\pi}{6} =\frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}$

(b) $\rho=2$ , $\theta=\frac{\pi}{2}$ , $\varphi=\frac{\pi}{2}$ 에 대응하는 직교좌표는 다음과 같다.

$\begin{aligned} x&=\rho\sin\varphi\cos\theta =2\sin\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2} =0 \\ y&=\rho\sin\varphi\sin\theta =2\sin\frac{\pi}{2}\sin\frac{\pi}{2} =2 \\ z&=\rho\cos\varphi =2\cos\frac{\pi}{2} =0 \end{aligned}$

다음과 같이 관찰하여 구할 수도 있다.

$\varphi=\frac{\pi}{2}$ 이므로 점은 $xy$ 평면 위에 있고, 따라서 $z=0$ 이다.
$\rho=2$ , $\theta=\frac{\pi}{2}$ 이므로 점은 양의 $y$ 축 위에 있고 원점으로부터의 거리가 $2$ 이므로 $(0,2,0)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The Cartesian coordinates corresponding to $\rho=1$ , $\theta=\frac{\pi}{3}$ , $\varphi=\frac{\pi}{6}$ are

$\begin{aligned} x&=\rho\sin\varphi\cos\theta =\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3} =\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) =\frac{1}{4} \\ y&=\rho\sin\varphi\sin\theta =\sin\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{3} =\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) =\frac{\sqrt{3}}{4} \\ z&=\rho\cos\varphi =\cos\frac{\pi}{6} =\frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}$

(b) The Cartesian coordinates corresponding to $\rho=2$ , $\theta=\frac{\pi}{2}$ , $\varphi=\frac{\pi}{2}$ are

$\begin{aligned} x&=\rho\sin\varphi\cos\theta =2\sin\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2} =0 \\ y&=\rho\sin\varphi\sin\theta =2\sin\frac{\pi}{2}\sin\frac{\pi}{2} =2 \\ z&=\rho\cos\varphi =2\cos\frac{\pi}{2} =0 \end{aligned}$

Alternatively, we could just observe that

as $\varphi=\frac{\pi}{2}$ the point lies in the $xy$ -plane and so has $z=0$ and
as $\rho=2$ , $\theta=\frac{\pi}{2}$ the point lies on the positive $y$ -axis and is a distance $2$ from the origin and so is $(0,2,0)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.7절 · 16번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산기본자동 분류

19.CLP-3 · 3.7절 · 5번대학 수준우리말 번역

다음 방정식을 구면좌표로 다시 나타내세요.

(a) $z^2=3x^2+3y^2$ (b) $x^2+y^2+(z-1)^2=1$ (c) $x^2+y^2=4$

영어 원문 보기

Rewrite the following equations in spherical coordinates.

(a) $z^2=3x^2+3y^2$ (b) $x^2+y^2+(z-1)^2=1$ (c) $x^2+y^2=4$

정답·풀이 보기

(a) 구면좌표에서

$\begin{aligned} z^2=3x^2+3y^2 &\iff \rho^2\cos^2\varphi = 3\rho^2\sin^2\varphi\cos^2\theta +3\rho^2\sin^2\varphi\sin^2\theta =3\rho^2\sin^2\varphi \\ &\iff \tan^2\varphi=\frac{1}{3} \iff \tan\varphi=\pm\frac{1}{\sqrt{3}} \\ &\iff \varphi=\frac{\pi}{6}\text{ 또는 }\frac{5\pi}{6} \end{aligned}$

곡면 $z^2=3x^2+3y^2$ 은 원뿔이다. 원뿔의 위쪽 절반, 즉 $z\ge 0$ 인 부분은 $\varphi=\frac{\pi}{6}$ 이다. 원뿔의 아래쪽 절반, 즉 $z\le 0$ 인 부분은 $\varphi=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$ 이다.

(b) 구면좌표에서

$\begin{aligned} x^2+y^2+(z-1)^2=1 &\iff \rho^2\sin^2\varphi\cos^2\theta +\rho^2\sin^2\varphi\sin^2\theta +\big(\rho\cos\varphi-1\big)^2 =1 \\ &\iff \rho^2\sin^2\varphi +\rho^2\cos^2\varphi-2\rho\cos\varphi =0 \\ &\iff \rho^2-2\rho\cos\varphi =0 \\ &\iff \rho=2\cos\varphi \end{aligned}$

(c) 구면좌표에서

$\begin{aligned} x^2+y^2=4 &\iff \rho^2\sin^2\varphi\cos^2\theta +\rho^2\sin^2\varphi\sin^2\theta =4 \\ &\iff \rho^2\sin^2\varphi =4 \\ &\iff \rho\sin\varphi=2 \end{aligned}$

$\rho\ge 0$ 이고 $0\le\varphi\le\pi$ 이므로 $\sin\varphi\ge 0$ 이기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) In spherical coordinates

$\begin{aligned} z^2=3x^2+3y^2 &\iff \rho^2\cos^2\varphi = 3\rho^2\sin^2\varphi\cos^2\theta +3\rho^2\sin^2\varphi\sin^2\theta =3\rho^2\sin^2\varphi \\ &\iff \tan^2\varphi=\frac{1}{3} \iff \tan\varphi=\pm\frac{1}{\sqrt{3}} \\ &\iff \varphi=\frac{\pi}{6}\text{ or }\frac{5\pi}{6} \end{aligned}$

The surface $z^2=3x^2+3y^2$ is a cone. The upper half of the cone, i.e. the part with $z\ge 0$ , is $\varphi=\frac{\pi}{6}$ . The lower half of the cone, i.e. the part with $z\le 0$ , is $\varphi=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$ .

(b) In spherical coordinates

$\begin{aligned} x^2+y^2+(z-1)^2=1 &\iff \rho^2\sin^2\varphi\cos^2\theta +\rho^2\sin^2\varphi\sin^2\theta +\big(\rho\cos\varphi-1\big)^2 =1 \\ &\iff \rho^2\sin^2\varphi +\rho^2\cos^2\varphi-2\rho\cos\varphi =0 \\ &\iff \rho^2-2\rho\cos\varphi =0 \\ &\iff \rho=2\cos\varphi \end{aligned}$

(c) In spherical coordinates

$\begin{aligned} x^2+y^2=4 &\iff \rho^2\sin^2\varphi\cos^2\theta +\rho^2\sin^2\varphi\sin^2\theta =4 \\ &\iff \rho^2\sin^2\varphi =4 \\ &\iff \rho\sin\varphi=2 \end{aligned}$

since $\rho\ge 0$ and $0\le\varphi\le\pi$ so that $\sin\varphi\ge 0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.7절 · 11번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산기본자동 분류

20.CLP-3 · 3.7절 · 6번대학 수준우리말 번역

구면좌표와 적분을 이용하여, 원점을 중심으로 하고 반지름이 $1$ 인 구의 부피가 $4\pi/3$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

Using spherical coordinates and integration, show that the volume of the sphere of radius $1$ centred at the origin is $4\pi/3$ .

정답·풀이 보기

구면좌표에서 이 구는 다음과 같다.

$\begin{aligned} B =\big\{ \ (\rho\sin\varphi\cos\theta\,,\,\rho\sin\varphi\sin\theta\,,\, \rho\cos\varphi)\ \big|\ 0\le\rho\le 1\,,\,0\le\varphi\le\pi\,,\, 0\le\theta\le 2\pi\ \big\} \end{aligned}$

$\mathrm{d}V =\rho^2\sin\varphi\ \mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta$ 이므로

$\begin{aligned} \text{Volume}(S) =\iiint _B\mathrm{d}V &=\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^{\pi}\mathrm{d}\varphi\int_0^1\mathrm{d}\rho\ \rho^2\sin\varphi \\ &=\left[\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\right] \left[\int_0^{\pi}\mathrm{d}\varphi\ \sin\varphi\right] \left[\int_0^1\mathrm{d}\rho\ \rho^2\right] \\ &= 2\pi\Big[-\cos\varphi\Big]_0^\pi \left[\frac{\rho^3}{3}\right]_0^1 =(2\pi)(2)\left(\frac{1}{3}\right) \\ &=\frac{4\pi}{3} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

In spherical coordinates, the sphere in question is

$\begin{aligned} B =\big\{ \ (\rho\sin\varphi\cos\theta\,,\,\rho\sin\varphi\sin\theta\,,\, \rho\cos\varphi)\ \big|\ 0\le\rho\le 1\,,\,0\le\varphi\le\pi\,,\, 0\le\theta\le 2\pi\ \big\} \end{aligned}$

As $\mathrm{d}V =\rho^2\sin\varphi\ \mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta$ ,

$\begin{aligned} \text{Volume}(S) =\iiint _B\mathrm{d}V &=\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^{\pi}\mathrm{d}\varphi\int_0^1\mathrm{d}\rho\ \rho^2\sin\varphi \\ &=\left[\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\right] \left[\int_0^{\pi}\mathrm{d}\varphi\ \sin\varphi\right] \left[\int_0^1\mathrm{d}\rho\ \rho^2\right] \\ &= 2\pi\Big[-\cos\varphi\Big]_0^\pi \left[\frac{\rho^3}{3}\right]_0^1 =(2\pi)(2)\left(\frac{1}{3}\right) \\ &=\frac{4\pi}{3} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.7절 · 14번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분증명·논술기본자동 분류

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