다중적분 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.OpenStax 3권 · 5장 복습 · 1번대학 수준우리말 번역

단원 복습 문제

참 또는 거짓? 증명이나 반례로 답을 정당화하세요.

$\int_{a}^{b}\,\int_{c}^{d}f(x,y)dy\,dx=\int_{c}^{d}\,\int_{a}^{b}f(x,y)dy\,dx$

영어 원문 보기

Chapter Review Exercises

True or False? Justify your answer with a proof or a counterexample.

$\int_{a}^{b}\,\int_{c}^{d}f(x,y)dy\,dx=\int_{c}^{d}\,\int_{a}^{b}f(x,y)dy\,dx$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5장 복습 · 26번

# 일반 영역의 이중적분개념 확인자동 분류

2.APEX · 13.1절 · 1번대학 수준우리말 번역

$f_x(x,y)$ 를 $x$ 에 대해 적분할 때, 적분상수 $C$ 는 실제로 $C(x)$ 와 $C(y)$ 중 어느 것인가요? 이것은 무엇을 의미하나요?

영어 원문 보기

When integrating $f_x(x,y)$ with respect to $x$ , the constant of integration $C$ is really which: $C(x)$ or $C(y)$ ? What does this mean?

정답·풀이 보기

$C(y)$ 이다. 즉, 수 5와 같은 단순한 상수가 아니라 $y$ 의 함수이며, $x$ 에 대해 미분할 때는 상수처럼 취급된다는 뜻이다.

원본 교재 풀이(영어)

$C(y)$ , meaning that instead of being just a constant, like the number 5, it is a function of $y$ , which acts like a constant when taking derivatives with respect to $x$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 25번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분개념 확인자동 분류

3.APEX · 13.1절 · 2번대학 수준우리말 번역

적분을 다시 적분하는 것을 _____ _____ 라고 한다.

영어 원문 보기

Integrating an integral is called _____ _____.

정답·풀이 보기

반복적분

원본 교재 풀이(영어)

iterated integration

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 11번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분개념 확인자동 분류

4.APEX · 13.1절 · 3번대학 수준우리말 번역

반복적분의 값을 구할 때에는 _____ 에서 _____ 까지 적분한 다음, _____ 에서 _____ 까지 적분한다.

영어 원문 보기

When evaluating an iterated integral, we integrate from _____ to _____, then from _____ to _____.

정답·풀이 보기

곡선에서 곡선까지 적분한 다음, 점에서 점까지 적분한다

원본 교재 풀이(영어)

curve to curve, then from point to point

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 13번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분개념 확인자동 분류

5.APEX · 13.1절 · 4번대학 수준우리말 번역

반복적분의 한 가지 이해는 $\displaystyle \int_a^b\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \ dy\ dx$ 가 평면 영역의 _____ 를 준다는 것이다.

영어 원문 보기

One understanding of an iterated integral is that $\displaystyle \int_a^b\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \ dy\ dx$ gives the _____ of a plane region.

정답·풀이 보기

넓이

원본 교재 풀이(영어)

area

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 9번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분개념 확인자동 분류

6.APEX · 13.2절 · 1번대학 수준우리말 번역

적분은 구간 위의 부호 있는 넓이를 준다고 해석할 수 있다. 이중적분은 영역 위의 부호 있는 _____ 를 준다고 해석할 수 있다.

영어 원문 보기

An integral can be interpreted as giving the signed area over an interval; a double integral can be interpreted as giving the signed _____ over a region.

정답·풀이 보기

부피

원본 교재 풀이(영어)

volume

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.2절 · 4번

# 일반 영역의 이중적분개념 확인자동 분류

7.APEX · 13.2절 · 2번대학 수준우리말 번역

다음 명제가 거짓인 이유를 설명하세요: “푸비니 정리는 $\displaystyle \int_a^b\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\ dy\ dx = \int_a^b\int_{g_1(y)}^{g_2(y)} f(x,y)\ dx\ dy$ 라고 말한다.”

영어 원문 보기

Explain why the following statement is false: “Fubini's Theorem states that $\displaystyle \int_a^b\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\ dy\ dx = \int_a^b\int_{g_1(y)}^{g_2(y)} f(x,y)\ dx\ dy$ .”

정답·풀이 보기

적분 순서를 바꿀 때에는 적분 영역의 경계를 반영하도록 적분의 한계가 바뀌어야 한다. $x$ 와 $y$ 라는 문자를 몇 군데에서 단순히 바꾸는 것만으로는 안 된다.

원본 교재 풀이(영어)

When switching the order of integration, the bounds integrals must change to reflect the bounds of the region of integration. You cannot merely change the letters $x$ and $y$ in a few places.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.2절 · 3번

# 일반 영역의 이중적분개념 확인자동 분류

8.APEX · 13.2절 · 3번대학 수준우리말 번역

영역 $R$ 위에서 $f(x,y)>0$ 이면

$\iint_Rf(x,y)\ dA>0$

인 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Explain why if $f(x,y)>0$ over a region $R$ , then

$\iint_Rf(x,y)\ dA>0$ .

정답·풀이 보기

이중적분은 곡면 아래의 부호 있는 부피를 준다. 곡면이 항상 양의 값을 가지므로 곡면은 언제나 $x$ - $y$ 평면 위쪽에 있고, 따라서 “양”의 부피만 생긴다.

원본 교재 풀이(영어)

The double integral gives the signed volume under the surface. Since the surface is always positive, it is always above the $x$ - $y$ plane and hence produces only “positive” volume.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.2절 · 1번

# 일반 영역의 이중적분개념 확인자동 분류

9.APEX · 13.2절 · 4번대학 수준우리말 번역

$\iint_R f(x,y)\ dA = \iint_R g(x,y)\ dA$ 이면 $f(x,y) = g(x,y)$ 라는 뜻인가요?

영어 원문 보기

If $\iint_R f(x,y)\ dA = \iint_R g(x,y)\ dA$ , does this imply $f(x,y) = g(x,y)$ ?

정답·풀이 보기

아니요. 이것은 $R$ 위에서 $f$ 아래와 $g$ 아래의 부호 있는 부피가 같다는 뜻일 뿐이며, 두 함수는 매우 다를 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

No. It means that there is the same amount of signed volume under $f$ and $g$ over $R$ , but the functions could be very different.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.2절 · 2번

# 일반 영역의 이중적분개념 확인자동 분류

10.APEX · 13.3절 · 1번대학 수준우리말 번역

극좌표를 사용하여 $\iint_R f(x,y)\ dA$ 를 계산할 때, $f(x,y)$ 는 _____ 으로 바뀌고 $dA$ 는 _____ 으로 바뀐다.

영어 원문 보기

When evaluating $\iint_R f(x,y)\ dA$ using polar coordinates, $f(x,y)$ is replaced with _____ and $dA$ is replaced with _____.

정답·풀이 보기

$f\big(r\cos\theta,r\sin\theta\big)$ , $r\ dr\ d\theta$

원본 교재 풀이(영어)

$f\big(r\cos\theta,r\sin\theta\big)$ , $r\ dr\ d\theta$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.3절 · 4번

# 극좌표 이중적분개념 확인자동 분류

11.APEX · 13.3절 · 2번대학 수준우리말 번역

이중적분을 극좌표로 계산하려는 이유는 무엇인가요?

영어 원문 보기

Why would one be interested in evaluating a double integral with polar coordinates?

정답·풀이 보기

$x$ - $y$ 평면의 어떤 영역은 직교좌표보다 극좌표로 나타내기가 더 쉽다. 또한 극좌표로 치환하고 나면 계산이 더 쉬워지는 적분도 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Some regions in the $x$ - $y$ plane are easier to describe using polar coordinates than using rectangular coordinates. Also, some integrals are easier to evaluate one the polar substitutions have been made.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.3절 · 1번

# 극좌표 이중적분개념 확인자동 분류

12.APEX · 13.4절 · 1번대학 수준우리말 번역

"질량"과 "무게"는 서로 다른 양인데도 둘을 바꿔 쓰기 쉬운 이유는 무엇일까요?

영어 원문 보기

Why is it easy to use “mass” and “weight” interchangeably, even though they are different measures?

정답·풀이 보기

둘은 서로의 스칼라 배수이기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

Because they are scalar multiples of each other.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.4절 · 2번

# 다중적분의 응용(질량·질량중심)개념 확인자동 분류

13.APEX · 13.4절 · 2번대학 수준우리말 번역

점 $(x,y)$ 에서 $x$ 의 값은 _____축으로부터의 거리를 나타내는 척도이다.

영어 원문 보기

Given a point $(x,y)$ , the value of $x$ is a measure of distance from the _____-axis.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$y$

원본 교재 풀이(영어)

$y$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.4절 · 3번

# 다중적분의 응용(질량·질량중심)개념 확인자동 분류

14.APEX · 13.4절 · 3번대학 수준우리말 번역

$\iint_R\ dm$ 은 “많은 _____ 을(를) 모두 더한다”는 뜻으로 생각할 수 있다.

영어 원문 보기

We can think of $\iint_R\ dm$ as meaning “sum up lots of _____”

정답·풀이 보기

“작은 질량들”

원본 교재 풀이(영어)

“little masses”

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.6절 · 41번

# 다중적분의 응용(질량·질량중심)개념 확인자동 분류

15.APEX · 13.4절 · 4번대학 수준우리말 번역

“이산 평면계”란 무엇입니까?

영어 원문 보기

What is a “discrete planar system?”

정답·풀이 보기

평면 위에 있는 개별 질량들의 모임이다. 각 질량은 질점, 즉 어떤 영역에 걸쳐 있지 않고 한 점에 위치한 질량이다.

원본 교재 풀이(영어)

A collection of individual masses in the plane. Each mass is a point mass, i.e., mass located at a point, not across a region.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.4절 · 5번

# 다중적분의 응용(질량·질량중심)개념 확인자동 분류

16.APEX · 13.4절 · 5번대학 수준우리말 번역

$M_x$ 에서 $\iint_R x\delta(x,y)\ dA$ 가 아니라 $\iint_R y\delta(x,y)\ dA$ 를 사용하는 이유는 무엇인가요? 즉, 왜 “ $x$ ” 가 아니라 “ $y$ ” 를 쓰나요?

영어 원문 보기

Why does $M_x$ use $\iint_R y\delta(x,y)\ dA$ instead of $\iint_R x\delta(x,y)\ dA$ ; that is, why do we use “ $y$ ” and not “ $x$ ”?

정답·풀이 보기

$M_x$ 는 $x$ 축에 대한 모멘트를 나타내므로, $x$ 축으로부터의 거리를 재야 한다. 이러한 거리는 $y$ 방향으로 재는 값이다.

원본 교재 풀이(영어)

$M_x$ measures the moment about the $x$ -axis, meaning we need to measure distance from the $x$ -axis. Such measurements are measures in the $y$ -direction.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.4절 · 1번

# 다중적분의 응용(질량·질량중심)개념 확인자동 분류

17.APEX · 13.5절 · 1번대학 수준우리말 번역

"겉넓이"는 앞서 배운 어떤 개념과 비슷한가?

영어 원문 보기

“Surface area” is analogous to what previously studied concept?

정답·풀이 보기

곡선의 길이

원본 교재 풀이(영어)

arc length

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 3번

# 곡면의 넓이개념 확인자동 분류

18.APEX · 13.5절 · 2번대학 수준우리말 번역

곡면의 작은 부분의 넓이를 어림하기 위해, 그 부분의 _____ 평면의 넓이를 계산하였다.

영어 원문 보기

To approximate the area of a small portion of a surface, we computed the area of its _____ plane.

정답·풀이 보기

접하는

원본 교재 풀이(영어)

tangent

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.4절 · 10번

# 곡면의 넓이개념 확인자동 분류

19.APEX · 13.5절 · 3번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle \iint_R\ dS$ 를 "작은 _____ _____를 많이 더한 것"으로 해석한다.

영어 원문 보기

We interpret $\displaystyle \iint_R\ dS$ as “sum up lots of little _____ _____.”

정답·풀이 보기

겉넓이

원본 교재 풀이(영어)

surface areas

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 2번

# 곡면의 넓이개념 확인자동 분류

20.APEX · 13.5절 · 4번대학 수준우리말 번역

결과로 얻은 적분을 계산하기 어렵더라도, 겉넓이를 구하는 이중적분을 세우는 방법을 아는 것이 중요한 이유는 무엇인가?

영어 원문 보기

Why is it important to know how to set up a double integral to compute surface area, even if the resulting integral is hard to evaluate?

정답·풀이 보기

정확한 답은 아니더라도, 기술(계산 도구)을 이용하면 좋은 근삿값을 얻을 수 있기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

Technology makes good approximations accessible, if not exact answers.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.5절 · 1번

# 곡면의 넓이개념 확인자동 분류

다중적분 전체 문제