다중적분 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

561.APEX · 13.6절 · 19번대학 수준우리말 번역

연습문제 17~20에서 삼중적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1}\int_{0}^{z}\big(\sin(yz)\big)\ dx\ dy\ dz$

영어 원문 보기

In Exercises 17–20, evaluate the triple integral.

$\displaystyle \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1}\int_{0}^{z}\big(\sin(yz)\big)\ dx\ dy\ dz$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\pi$

원본 교재 풀이(영어)

$\pi$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.5절 · 20번

# 삼중적분계산자동 분류

562.APEX · 13.6절 · 20번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–20에서 삼중적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int_{\pi}^{\pi^2}\int_{x}^{x^3}\int_{-y^2}^{y^2}\left(z\frac{x^2y+y^2x}{e^{x^2+y^2}}\right)\ dz\ dy\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 17–20, evaluate the triple integral.

$\displaystyle \int_{\pi}^{\pi^2}\int_{x}^{x^3}\int_{-y^2}^{y^2}\left(z\frac{x^2y+y^2x}{e^{x^2+y^2}}\right)\ dz\ dy\ dx$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$0$

원본 교재 풀이(영어)

$0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.4절 · 19번

# 삼중적분계산자동 분류

563.APEX · 13.7절 · 1번대학 수준우리말 번역

원기둥좌표계의 $r$ 와 구면좌표계의 $\rho$ 가 점의 위치를 정하는 데 하는 역할의 차이를 설명하세요.

영어 원문 보기

Explain the difference between the roles $r$ , in cylindrical coordinates, and $\rho$ , in spherical coordinates, play in determining the location of a point.

정답·풀이 보기

원기둥좌표계에서 $r$ 는 $z$ 성분을 고려하기 전에 $x$ - $y$ 평면에서 원점으로부터 얼마나 떨어진 곳까지 가는지를 정한다. 같은 말로, 원기둥좌표계의 점을 $x$ - $y$ 평면에 사영하면 $r$ 는 이 사영된 점과 원점 사이의 거리이다.

구면좌표계에서 $\rho$ 는 원점에서 그 점까지의 거리이다.

원본 교재 풀이(영어)

In cylindrical, $r$ determines how far from the origin one goes in the $x$ - $y$ plane before considering the $z$ -component. Equivalently, if on projects a point in cylindrical coordinates onto the $x$ - $y$ plane, $r$ will be the distance of this projection from the origin.

In spherical, $\rho$ is the distance from the origin to the point.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.7절 · 4번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분개념 확인자동 분류

564.APEX · 13.7절 · 2번대학 수준우리말 번역

원기둥좌표계와 구면좌표계를 사용할 때 $z$ 축 위의 점이 유일하게 정해지지 않는 이유는 무엇인가요?

영어 원문 보기

Why are points on the $z$ -axis not determined uniquely when using cylindrical and spherical coordinates?

정답·풀이 보기

$r=0$ 또는 $\rho=0$ 이면, 어느 좌표계에서든 $\theta$ 의 값에 관계없이 그 점은 $z$ 축 위에 놓인다.

원본 교재 풀이(영어)

If $r=0$ or $\rho=0$ , then the point in each coordinate system lies on the $z$ -axis regardless of the value of $\theta$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.7절 · 1번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분개념 확인자동 분류

565.APEX · 13.7절 · 3번대학 수준우리말 번역

원기둥좌표계를 사용하여 자연스럽게 나타내어지는 곡면은 무엇인가요?

영어 원문 보기

What surfaces are naturally defined using cylindrical coordinates?

정답·풀이 보기

원점을 중심으로 하고 $z$ 축에 평행한 원기둥(관), $z$ 축과 만나면서 $z$ 축에 평행한 평면, $x$ - $y$ 평면에 평행한 평면이다.

원본 교재 풀이(영어)

Cylinders (tubes) centered at the origin, parallel to the $z$ -axis; planes parallel to the $z$ -axis that intersect the $z$ -axis; planes parallel to the $x$ - $y$ plane.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.7절 · 2번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분개념 확인자동 분류

566.APEX · 13.7절 · 4번대학 수준우리말 번역

구면좌표계를 사용하여 자연스럽게 나타내어지는 곡면은 무엇인가요?

영어 원문 보기

What surfaces are naturally defined using spherical coordinates?

정답·풀이 보기

원점을 중심으로 하는 구, $z$ 축과 만나면서 $z$ 축에 평행한 평면, $z$ 축을 축으로 하고 꼭짓점이 원점에 있는 원뿔이다.

원본 교재 풀이(영어)

Spheres centered at the origin; planes parallel to the $z$ -axis that intersect the $z$ -axis; cones centered on the $z$ -axis with point at the origin.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.6절 · 14번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분개념 확인자동 분류

567.APEX · 13.7절 · 5번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–6에서 점들이 직교좌표계, 원기둥좌표계, 구면좌표계 중 하나로 주어져 있습니다. 나머지 좌표계에서의 점의 좌표를 구하세요.

(a) 직교좌표로 주어진 점:

$(2,2,1)$ 과 $(-\sqrt{3},1,0)$ (b) 원기둥좌표로 주어진 점:

$(2,\pi/4,2)$ 과 $(3,3\pi/2,-4)$ (c) 구면좌표로 주어진 점:

$(2,\pi/4,\pi/4)$ 과 $(1,0,0)$

영어 원문 보기

In Exercises 5–6, points are given in either the rectangular, cylindrical or spherical coordinate systems. Find the coordinates of the points in the other systems.

(a) Points in rectangular coordinates:

$(2,2,1)$ and $(-\sqrt{3},1,0)$ (b) Points in cylindrical coordinates:

$(2,\pi/4,2)$ and $(3,3\pi/2,-4)$ (c) Points in spherical coordinates:

$(2,\pi/4,\pi/4)$ and $(1,0,0)$

정답·풀이 보기

(a) 원기둥좌표: $(2\sqrt 2,\pi/4,1)$ 과 $(2,5\pi/6,0)$

구면좌표: $(3,\pi/4,\cos^{-1}(1/3))$ 과 $(2,5\pi/6,\pi/2)$ (b) 직교좌표: $(\sqrt 2,\sqrt 2,2)$ 과 $(0,-3,-4)$

구면좌표: $(2\sqrt 2,\pi/4,\pi/4)$ 과 $(5,3\pi/2,\pi-\tan^{-1}(3/4))$ (c) 직교좌표: $(1,1,\sqrt{2})$ 과 $(0,0,1)$

원기둥좌표: $(\sqrt{2},\pi/4,\sqrt{2})$ 과 $(0,0,1)$

원본 교재 풀이(영어)

(a) Cylindrical: $(2\sqrt 2,\pi/4,1)$ and $(2,5\pi/6,0)$

Spherical: $(3,\pi/4,\cos^{-1}(1/3))$ and $(2,5\pi/6,\pi/2)$ (b) Rectangular: $(\sqrt 2,\sqrt 2,2)$ and $(0,-3,-4)$

Spherical: $(2\sqrt 2,\pi/4,\pi/4)$ and $(5,3\pi/2,\pi-\tan^{-1}(3/4))$ (c) Rectangular: $(1,1,\sqrt{2})$ and $(0,0,1)$

Cylindrical: $(\sqrt{2},\pi/4,\sqrt{2})$ and $(0,0,1)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.7절 · 30번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

568.APEX · 13.7절 · 6번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–6에서 점들이 직교좌표계, 원기둥좌표계, 구면좌표계 중 하나로 주어져 있습니다. 나머지 좌표계에서의 점의 좌표를 구하세요.

(a) 직교좌표로 주어진 점:

$(0,1,1)$ 과 $(-1,0,1)$ (b) 원기둥좌표로 주어진 점:

$(0,\pi,1)$ 과 $(2,4\pi/3,0)$ (c) 구면좌표로 주어진 점:

$(2,\pi/6,\pi/2)$ 과 $(3,\pi,\pi)$

영어 원문 보기

In Exercises 5–6, points are given in either the rectangular, cylindrical or spherical coordinate systems. Find the coordinates of the points in the other systems.

(a) Points in rectangular coordinates:

$(0,1,1)$ and $(-1,0,1)$ (b) Points in cylindrical coordinates:

$(0,\pi,1)$ and $(2,4\pi/3,0)$ (c) Points in spherical coordinates:

$(2,\pi/6,\pi/2)$ and $(3,\pi,\pi)$

정답·풀이 보기

(a) 원기둥좌표: $(1,\pi/2,1)$ 과 $(1,\pi,1)$

구면좌표: $(\sqrt 2,\pi/2,\pi/4)$ 과 $(\sqrt{2}, \pi, \pi/4)$ (b) 직교좌표: $(0,0,1)$ 과 $(-1,-\sqrt 3,0)$

구면좌표: $(1,\pi,0)$ 과 $(2,4\pi/3,\pi/2)$ (c) 직교좌표: $(\sqrt 3,1,0)$ 과 $(0,0,-3)$

원기둥좌표: $(2,\pi/6,0)$ 과 $(0,\pi,-3)$

원본 교재 풀이(영어)

(a) Cylindrical: $(1,\pi/2,1)$ and $(1,\pi,1)$

Spherical: $(\sqrt 2,\pi/2,\pi/4)$ and $(\sqrt{2}, \pi, \pi/4)$ (b) Rectangular: $(0,0,1)$ and $(-1,-\sqrt 3,0)$

Spherical: $(1,\pi,0)$ and $(2,4\pi/3,\pi/2)$ (c) Rectangular: $(\sqrt 3,1,0)$ and $(0,0,-3)$

Cylindrical: $(2,\pi/6,0)$ and $(0,\pi,-3)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.6절 · 12번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

569.APEX · 13.7절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–8에서 주어진 범위로 정해지는 공간의 곡선, 곡면 또는 영역을 설명하세요.

원기둥좌표에서의 범위:

(a) $r=1$ , $0\leq \theta\leq 2\pi$ , $0\leq z\leq 1$ (b) $1\leq r\leq 2$ , $0\leq \theta\leq \pi$ , $0\leq z\leq 1$

구면좌표에서의 범위:

(a) $\rho=3$ , $0\leq \theta\leq2\pi$ , $0\leq\varphi\leq \pi/2$ (b) $2\leq\rho\leq3$ , $0\leq \theta\leq2\pi$ , $0\leq\varphi\leq \pi$

영어 원문 보기

In Exercises 7–8, describe the curve, surface or region in space determined by the given bounds.

Bounds in cylindrical coordinates:

(a) $r=1$ , $0\leq \theta\leq 2\pi$ , $0\leq z\leq 1$ (b) $1\leq r\leq 2$ , $0\leq \theta\leq \pi$ , $0\leq z\leq 1$

Bounds in spherical coordinates:

(a) $\rho=3$ , $0\leq \theta\leq2\pi$ , $0\leq\varphi\leq \pi/2$ (b) $2\leq\rho\leq3$ , $0\leq \theta\leq2\pi$ , $0\leq\varphi\leq \pi$

정답·풀이 보기

(a) $z$ 축을 중심축으로 하는 반지름 1인 원기둥면(관)이며, $x$ - $y$ 평면에서 평면 $z=1$ 까지 뻗어 있다(즉, 관의 길이는 1이다). (b) 공간의 영역으로, 안쪽 반지름이 1이고 바깥쪽 반지름이 2인 "두꺼운" 벽을 가진 관의 절반이다. 이 관은 $z$ 축을 중심축으로 하고 길이가 1이며, $x$ - $z$ 평면의 "아래쪽" 절반은 제거된 것이다. (c) 원점을 중심으로 하는 반지름 3인 구의 위쪽 절반(즉, 위쪽 반구)이다. (d) 공간의 영역으로, 원점을 중심으로 하는 반지름 3인 공에서 원점을 중심으로 하는 반지름 2인 공을 제거한 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) A cylindrical surface or tube, centered along the $z$ -axis of radius 1, extending from the $x$ - $y$ plane up to the plane $z=1$ (i.e., the tube has a length of 1). (b) This is a region of space, being half of a tube with “thick” walls of inner radius 1 and outer radius 2, centered along the $z$ -axis with a length of 1, where the half “below” the $x$ - $z$ plane is removed. (c) This is upper half of the sphere of radius 3 centered at the origin (i.e., the upper hemisphere). (d) This is a region of space, where the ball of radius 2, centered at the origin, is removed from the ball of radius 3, centered at the origin.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.7절 · 29번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

570.APEX · 13.7절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–8에서, 주어진 범위로 정해지는 공간의 곡선, 곡면 또는 영역을 설명하세요.

원통좌표에서의 범위:

(a) $1\leq r\leq 2$ , $\theta= \pi/2$ , $0\leq z\leq 1$ (b) $r= 2$ , $0\leq \theta\leq 2\pi$ , $z=5$

구면좌표에서의 범위:

(a) $0\leq\rho\leq2$ , $0\leq \theta\leq\pi$ , $\varphi = \pi/4$ (b) $\rho=2$ , $0\leq \theta\leq2\pi$ , $\varphi = \pi/6$

영어 원문 보기

In Exercises 7–8, describe the curve, surface or region in space determined by the given bounds.

Bounds in cylindrical coordinates:

(a) $1\leq r\leq 2$ , $\theta= \pi/2$ , $0\leq z\leq 1$ (b) $r= 2$ , $0\leq \theta\leq 2\pi$ , $z=5$

Bounds in spherical coordinates:

(a) $0\leq\rho\leq2$ , $0\leq \theta\leq\pi$ , $\varphi = \pi/4$ (b) $\rho=2$ , $0\leq \theta\leq2\pi$ , $\varphi = \pi/6$

정답·풀이 보기

(a) $y$ - $z$ 평면 위의 정사각형 부분으로, 꼭짓점이 $(0,1,0)$ , $(0,1,1)$ , $(0,2,1)$ , $(0,2,0)$ 이다. (b) 곡선이며, 중심이 $(0,0,5)$ 이고 반지름이 2인 원이다. 이 원은 $x$ - $y$ 평면에 평행하게(즉, 평면 $z=5$ 위에) 놓여 있다. (c) 공간의 영역으로, 윗면이 둥근 속이 찬 원뿔의 절반이다. 둥근 윗면은 원점을 중심으로 하는 반지름 2인 구의 일부이고, 원뿔의 옆면은 $z$ 축의 양의 방향과 $\pi/4$ 의 각을 이룬다. $\theta$ 의 범위는 $x$ - $z$ 평면의 “위쪽” 부분만 남긴다는 뜻이다. (d) 곡선이며, 중심이 $(0,0,\sqrt 3)$ 이고 반지름이 1인 원으로, $x$ - $y$ 평면에 평행하게 놓여 있다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) A square portion of the $y$ - $z$ plane with corners at $(0,1,0)$ , $(0,1,1)$ , $(0,2,1)$ and $(0,2,0)$ . (b) This is a curve, a circle of radius 2, centered at $(0,0,5)$ , lying parallel to the $x$ - $y$ plane (i.e., in the plane $z=5$ ). (c) This is a region of space, a half of a solid cone with rounded top, where the rounded top is a portion of the ball of radius 2 centered at the origin and the sides of the cone make an angle of $\pi/4$ with the positive $z$ -axis. The bounds on $\theta$ mean only the portion “above” the $x$ - $z$ plane are retained. (d) This is a curve, a circle of radius 1 centered at $(0,0,\sqrt 3)$ , lying parallel to the $x$ - $y$ plane.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.6절 · 14번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

571.APEX · 13.7절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–10에는 원통좌표와 구면좌표로 정의되는 공간의 표준 영역이 나타나 있습니다. 주어진 함수를 그래프로 나타낸 영역에서 적분하는 삼중적분을 세우세요.

원통좌표, $h(r,\theta,z)$ 를 적분:

영어 원문 보기

In Exercises 9–10, standard regions in space, as defined by cylindrical and spherical coordinates, are shown. Set up the triple integral that integrates the given function over the graphed region.

Cylindrical coordinates, integrating $h(r,\theta,z)$ :

정답·풀이 보기

$\displaystyle \int_{\theta_1}^{\theta_2}\int_{r_1}^{r_2}\int_{z_1}^{z_2}h(r,\theta,z)r\ dz\ dr\ d\theta$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle \int_{\theta_1}^{\theta_2}\int_{r_1}^{r_2}\int_{z_1}^{z_2}h(r,\theta,z)r\ dz\ dr\ d\theta$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.7절 · 23번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분그래프·표 해석자동 분류

572.APEX · 13.7절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–10에서는 원기둥좌표와 구면좌표로 정의되는 공간의 표준 영역이 그려져 있습니다. 주어진 함수를 그래프로 나타낸 영역 위에서 적분하는 삼중적분을 세우세요.

원기둥좌표, $h(\rho,\theta,\varphi)$ 를 적분하세요:

영어 원문 보기

In Exercises 9–10, standard regions in space, as defined by cylindrical and spherical coordinates, are shown. Set up the triple integral that integrates the given function over the graphed region.

Cylindrical coordinates, integrating $h(\rho,\theta,\varphi)$ :

정답·풀이 보기

$\displaystyle \int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\int_{\theta_1}^{\theta_2}\int_{\rho_1}^{\rho_2}h(\rho,\theta,\varphi)\rho^2\sin(\varphi)\ d\rho\ d\theta\ d\varphi$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle \int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\int_{\theta_1}^{\theta_2}\int_{\rho_1}^{\rho_2}h(\rho,\theta,\varphi)\rho^2\sin(\varphi)\ d\rho\ d\theta\ d\varphi$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.5절 · 1번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분그래프·표 해석자동 분류

573.APEX · 13.7절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–16에는 원통좌표로 나타낸 삼중적분이 주어져 있습니다. 적분의 범위로 정해지는 공간의 영역을 설명하세요.

$\displaystyle \int_0^{\pi/2}\int_0^2\int_0^2 r\ dz\ dr\ d\theta$

영어 원문 보기

In Exercises 11–16, a triple integral in cylindrical coordinates is given. Describe the region in space defined by the bounds of the integral.

$\displaystyle \int_0^{\pi/2}\int_0^2\int_0^2 r\ dz\ dr\ d\theta$

정답·풀이 보기

이 공간의 영역은 평면 $z=0$ 과 $z=2$ 사이에 있고, 원기둥 $x^2+y^2=4$ 의 안쪽에 있으며, 평면 $\theta = 0$ 과 $\theta = \pi/2$ 사이에 있다. 즉 높이가 2이고 반지름이 2인 원기둥의 “쐐기” 모양이며, 쐐기의 각은 $\pi/2$ , 곧 $90^\circ$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The region in space is bounded between the planes $z=0$ and $z=2$ , inside of the cylinder $x^2+y^2=4$ , and the planes $\theta = 0$ and $\theta = \pi/2$ : describes a “wedge” of a cylinder of height 2 and radius 2; the angle of the wedge is $\pi/2$ , or $90^\circ$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.7절 · 6번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

574.APEX · 13.7절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–16에는 원통좌표로 나타낸 삼중적분이 주어져 있습니다. 적분의 범위로 정해지는 공간의 영역을 설명하세요.

$\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_3^4\int_0^5 r\ dz\ dr\ d\theta$

영어 원문 보기

In Exercises 11–16, a triple integral in cylindrical coordinates is given. Describe the region in space defined by the bounds of the integral.

$\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_3^4\int_0^5 r\ dz\ dr\ d\theta$

정답·풀이 보기

평면 $z=0$ 과 $z=5$ 사이에 있고, 원기둥 $x^2+y^2=9$ 와 $x^2+y^2=16$ 사이에 있다. 즉 길이가 5이고 안쪽 반지름이 3, 바깥쪽 반지름이 4인 “파이프” 또는 “관” 모양이다.

원본 교재 풀이(영어)

Bounded between the planes $z=0$ and $z=5$ , between the cylinders $x^2+y^2=9$ and $x^2+y^2=16$ : describes a “pipe” or “tube” of length 5, an inner radius of 3 and outer radius of 4.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.5절 · 3번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

575.APEX · 13.7절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–16에서 원기둥좌표로 나타낸 삼중적분이 주어져 있습니다. 적분 범위로 정의되는 공간의 영역을 설명하세요.

$\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_0^1\int_0^{1-r} r\ dz\ dr\ d\theta$

영어 원문 보기

In Exercises 11–16, a triple integral in cylindrical coordinates is given. Describe the region in space defined by the bounds of the integral.

$\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_0^1\int_0^{1-r} r\ dz\ dr\ d\theta$

정답·풀이 보기

평면 $z=1$ 과 원뿔 $z=1-\sqrt{x^2+y^2}$ 사이에서 유계인 영역이다. 높이가 1이고 꼭짓점이 $(0,0,1)$ 이며 밑면의 반지름이 1인 거꾸로 된 원뿔을 나타낸다.

원본 교재 풀이(영어)

Bounded between the plane $z=1$ and the cone $z=1-\sqrt{x^2+y^2}$ : describes an inverted cone, with height of 1, point at $(0,0,1)$ and base radius of 1.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.7절 · 1번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

576.APEX · 13.7절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–16에서 원기둥좌표로 나타낸 삼중적분이 주어져 있습니다. 적분 범위로 정의되는 공간의 영역을 설명하세요.

$\displaystyle \int_0^{\pi}\int_0^1\int_0^{2-r} r\ dz\ dr\ d\theta$

영어 원문 보기

In Exercises 11–16, a triple integral in cylindrical coordinates is given. Describe the region in space defined by the bounds of the integral.

$\displaystyle \int_0^{\pi}\int_0^1\int_0^{2-r} r\ dz\ dr\ d\theta$

정답·풀이 보기

$y\geq 0$ 이고, 원기둥 $x^2+y^2=1$ 의 안쪽, 평면 $z=0$ 의 위쪽, 원뿔 $z = 2-\sqrt{x^2+y^2}$ 의 아래쪽으로 유계인 영역이다. 높이가 1이고 반지름이 2인 원기둥 모양의 입체 위에, 높이가 1이고 밑면의 반지름이 1이며 꼭짓점이 $(0,0,2)$ 인 거꾸로 된 원뿔을 얹은 모양을 나타낸다.

원본 교재 풀이(영어)

Bounded between $y\geq 0$ , inside the cylinder $x^2+y^2=1$ , above the plane $z=0$ and below the cone $z = 2-\sqrt{x^2+y^2}$ : describes cylindrical solid of height 1 and radius 2, topped with an inverted cone of height 1 and base radius 1 with point at $(0,0,2)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.6절 · 1번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

577.APEX · 13.7절 · 15번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–16에서 원기둥좌표로 나타낸 삼중적분이 주어져 있습니다. 적분 범위로 정의되는 공간의 영역을 설명하세요.

$\displaystyle \int_0^{\pi}\int_0^3\int_0^{\sqrt{9-r^2}} r\ dz\ dr\ d\theta$

영어 원문 보기

In Exercises 11–16, a triple integral in cylindrical coordinates is given. Describe the region in space defined by the bounds of the integral.

$\displaystyle \int_0^{\pi}\int_0^3\int_0^{\sqrt{9-r^2}} r\ dz\ dr\ d\theta$

정답·풀이 보기

원점을 중심으로 하는 반지름 3인 구의 4분의 1을 나타낸다. 이 부분은 $x$ - $y$ 평면의 위쪽과 $x$ - $z$ 평면의 위쪽에 놓여 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Describes a quarter of a ball of radius 3, centered at the origin; the quarter resides above the $x$ - $y$ plane and above the $x$ - $z$ plane.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.7절 · 18번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

578.APEX · 13.7절 · 16번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–16에서 원기둥좌표로 나타낸 삼중적분이 주어져 있습니다. 적분 범위로 정의되는 공간의 영역을 설명하세요.

$\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_0^a\int_0^{\sqrt{a^2-r^2}+b} r\ dz\ dr\ d\theta$

영어 원문 보기

In Exercises 11–16, a triple integral in cylindrical coordinates is given. Describe the region in space defined by the bounds of the integral.

$\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_0^a\int_0^{\sqrt{a^2-r^2}+b} r\ dz\ dr\ d\theta$

정답·풀이 보기

평면 $z=0$ 의 위쪽, 원기둥 $x^2+y^2 = a^2$ 의 안쪽, 그리고 반지름이 $a$ 이고 $(0,0,b)$ 를 중심으로 하는 위쪽 반구 $z= \sqrt{a^2-x^2-y^2}+b$ 의 아래쪽으로 유계인 영역이다. 반지름이 $a$ 이고 높이가 $b$ 인 원기둥 모양의 입체 위에 반지름이 $a$ 인 위쪽 반구를 얹은 모양을 나타낸다.

원본 교재 풀이(영어)

Bounded between the plane $z=0$ , inside the cylinder $x^2+y^2 = a^2$ , and below the upper hemisphere $z= \sqrt{a^2-x^2-y^2}+b$ , with radius $a$ and centered at $(0,0,b)$ : describes a cylindrical solid of radius $a$ and height $b$ , topped with the upper hemisphere of radius $a$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.6절 · 3번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

579.APEX · 13.7절 · 17번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–22에서 구면좌표로 나타낸 삼중적분이 주어져 있습니다. 적분 범위로 정의되는 공간의 영역을 설명하세요.

$\displaystyle \int_0^{\pi/2}\int_0^{\pi}\int_0^{1} \rho^2\sin(\varphi)\ d\rho\ d\theta\ d\varphi$

영어 원문 보기

In Exercises 17–22, a triple integral in spherical coordinates is given. Describe the region in space defined by the bounds of the integral.

$\displaystyle \int_0^{\pi/2}\int_0^{\pi}\int_0^{1} \rho^2\sin(\varphi)\ d\rho\ d\theta\ d\varphi$

정답·풀이 보기

단위구 중 제1팔분공간에 놓여 있는 부분을 나타낸다.

원본 교재 풀이(영어)

Describes the portion of the unit ball that resides in the first octant.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.7절 · 19번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

580.APEX · 13.7절 · 18번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–22에서는 구면좌표계로 나타낸 삼중적분이 주어져 있다. 적분의 범위로 정해지는 공간의 영역을 설명하세요.

$\displaystyle \int_0^{\pi}\int_0^{\pi}\int_1^{1.1} \rho^2\sin(\varphi)\ d\rho\ d\theta\ d\varphi$

영어 원문 보기

In Exercises 17–22, a triple integral in spherical coordinates is given. Describe the region in space defined by the bounds of the integral.

$\displaystyle \int_0^{\pi}\int_0^{\pi}\int_1^{1.1} \rho^2\sin(\varphi)\ d\rho\ d\theta\ d\varphi$

정답·풀이 보기

원점을 중심으로 하고 안쪽 반지름이 $1$ , 바깥쪽 반지름이 $1.1$ 인 구껍질의 절반(즉, $y\geq 0$ 인 부분)을 나타낸다.

원본 교재 풀이(영어)

Describes half of a spherical shell (i.e., $y\geq 0$ ) with inner radius of $1$ and outer radius of $1.1$ centered at the origin.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.6절 · 4번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

다중적분 전체 문제