다중적분 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

481.APEX · 13.2절 · 17번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–18에서:

(a) 문제에서 주어진 영역 $R$ 을 그리세요. (b) 주어진 이중적분을 설명된 영역 $R$ 에 대해 계산하는 반복적분을 두 가지 순서로 모두 세우세요. (c) 반복적분 중 하나를 계산하여 영역 $R$ 위에서 곡면 $z=f(x,y)$ 아래의 부호가 있는 부피를 구하세요.

$\displaystyle \iint_R \big(x^3y-x\big)\ dA$ , 여기서 $R$ 은 원 $x^2+y^2=9$ 의 제1사분면과 제2사분면에 있는 절반이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–18:

(a) Sketch the region $R$ given by the problem. (b) Set up the iterated integrals, in both orders, that evaluate the given double integral for the described region $R$ . (c) Evaluate one of the iterated integrals to find the signed volume under the surface $z=f(x,y)$ over the region $R$ .

$\displaystyle \iint_R \big(x^3y-x\big)\ dA$ , where $R$ is the half of the circle $x^2+y^2=9$ in the first and second quadrants.

정답·풀이 보기

(a)

(b) $\displaystyle \int_{-3}^3\int_{0}^{\sqrt{9-x^2}}\big(x^3y-x\big)\ dy\ dx = \int_{0}^3\int_{-\sqrt{9-y^2}}^{\sqrt{9-y^2}}\big(x^3y-x\big)\ dx\ dy$ . (c) 0

원본 교재 풀이(영어)

(a)

(b) $\displaystyle \int_{-3}^3\int_{0}^{\sqrt{9-x^2}}\big(x^3y-x\big)\ dy\ dx = \int_{0}^3\int_{-\sqrt{9-y^2}}^{\sqrt{9-y^2}}\big(x^3y-x\big)\ dx\ dy$ . (c) 0

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# 일반 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

482.APEX · 13.2절 · 18번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–18에서:

(a) 문제에서 주어진 영역 $R$ 을 그리세요. (b) 주어진 이중적분을 설명된 영역 $R$ 에 대해 계산하는 반복적분을 두 가지 순서로 모두 세우세요. (c) 반복적분 중 하나를 계산하여 영역 $R$ 위에서 곡면 $z=f(x,y)$ 아래의 부호가 있는 부피를 구하세요.

$\displaystyle \iint_R \big(4-3y\big)\ dA$ , 여기서 $R$ 은 $y=0$ , $y=x/e$ , $y=\ln x$ 로 둘러싸인 영역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–18:

(a) Sketch the region $R$ given by the problem. (b) Set up the iterated integrals, in both orders, that evaluate the given double integral for the described region $R$ . (c) Evaluate one of the iterated integrals to find the signed volume under the surface $z=f(x,y)$ over the region $R$ .

$\displaystyle \iint_R \big(4-3y\big)\ dA$ , where $R$ is bounded by $y=0$ , $y=x/e$ and $y=\ln x$ .

정답·풀이 보기

(a)

(b) $\displaystyle \int_{0}^1\int_{ey}^{e^y}\big(4-3y\big)\ dx\ dy = \int_{0}^1\int_{0}^{x/e}\big(4-3y\big)\ dy\ dx+\int_{1}^e\int_{\ln x}^{x/e}\big(4-3y\big)\ dy\ dx$ . (c) $3e-7$

원본 교재 풀이(영어)

(a)

(b) $\displaystyle \int_{0}^1\int_{ey}^{e^y}\big(4-3y\big)\ dx\ dy = \int_{0}^1\int_{0}^{x/e}\big(4-3y\big)\ dy\ dx+\int_{1}^e\int_{\ln x}^{x/e}\big(4-3y\big)\ dy\ dx$ . (c) $3e-7$

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# 일반 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

483.APEX · 13.2절 · 19번대학 수준우리말 번역

연습문제 19–22에서, 주어진 적분 순서로 반복적분을 계산하기 어려운 이유(또는 불가능한 이유)를 설명하세요. 적분 순서를 바꾸고 새로운 반복적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int_0^4\int_{y/2}^2 e^{x^2}\ dx\ dy$

영어 원문 보기

In Exercises 19–22, state why it is difficult/impossible to integrate the iterated integral in the given order of integration. Change the order of integration and evaluate the new iterated integral.

$\displaystyle \int_0^4\int_{y/2}^2 e^{x^2}\ dx\ dy$

정답·풀이 보기

$e^{x^2}$ 을 $x$ 에 대해 적분하는 것은 초등함수로 나타낼 수 없다. $\displaystyle \int_0^2\int_0^{2x}e^{x^2}\ dy\ dx = e^4-1$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Integrating $e^{x^2}$ with respect to $x$ is not possible in terms of elementary functions. $\displaystyle \int_0^2\int_0^{2x}e^{x^2}\ dy\ dx = e^4-1$ .

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# 일반 영역의 이중적분계산자동 분류

484.APEX · 13.2절 · 20번대학 수준우리말 번역

연습문제 19–22에서, 주어진 적분 순서로는 반복적분을 계산하기 어렵거나 불가능한 이유를 설명하세요. 적분 순서를 바꾸고 새로운 반복적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int_0^{\sqrt{\pi/2}}\int_{x}^{\sqrt{\pi/2}} \cos\big(y^2\big)\ dy\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 19–22, state why it is difficult/impossible to integrate the iterated integral in the given order of integration. Change the order of integration and evaluate the new iterated integral.

$\displaystyle \int_0^{\sqrt{\pi/2}}\int_{x}^{\sqrt{\pi/2}} \cos\big(y^2\big)\ dy\ dx$

정답·풀이 보기

$\cos(y^2)$ 을 $y$ 에 대해 적분하는 것은 초등함수로 나타낼 수 없다. $\displaystyle \int_0^{\sqrt{\pi/2}}\int_0^{y}\cos(y^2)\ dx\ dy = \frac12$ .

원본 교재 풀이(영어)

Integrating $\cos(y^2)$ with respect to $y$ is not possible in terms of elementary functions. $\displaystyle \int_0^{\sqrt{\pi/2}}\int_0^{y}\cos(y^2)\ dx\ dy = \frac12$ .

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# 일반 영역의 이중적분계산자동 분류

485.APEX · 13.2절 · 21번대학 수준우리말 번역

연습문제 19–22에서, 주어진 적분 순서로는 반복적분을 계산하기 어렵거나 불가능한 이유를 설명하세요. 적분 순서를 바꾸고 새로운 반복적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int_0^{1}\int_y^{1} \frac{2y}{x^2+y^2}\ dx\ dy$

영어 원문 보기

In Exercises 19–22, state why it is difficult/impossible to integrate the iterated integral in the given order of integration. Change the order of integration and evaluate the new iterated integral.

$\displaystyle \int_0^{1}\int_y^{1} \frac{2y}{x^2+y^2}\ dx\ dy$

정답·풀이 보기

$\displaystyle \int_y^{1}\frac{2y}{x^2+y^2}\ dx$ 를 적분하면 $\tan^{-1}(1/y)-\pi/4$ 이고, $\tan^{-1}(1/y)$ 를 적분하기는 어렵다.

$\displaystyle \int_0^1\int_0^x\frac{2y}{x^2+y^2}\ dy \ dx = \ln 2$ .

원본 교재 풀이(영어)

Integrating $\displaystyle \int_y^{1}\frac{2y}{x^2+y^2}\ dx$ gives $\tan^{-1}(1/y)-\pi/4$ ; integrating $\tan^{-1}(1/y)$ is hard.

$\displaystyle \int_0^1\int_0^x\frac{2y}{x^2+y^2}\ dy \ dx = \ln 2$ .

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# 일반 영역의 이중적분계산자동 분류

486.APEX · 13.2절 · 22번대학 수준우리말 번역

연습문제 19–22에서, 주어진 적분 순서로는 반복적분을 계산하기 어렵거나 불가능한 이유를 설명하세요. 적분 순서를 바꾸고 새로운 반복적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int_{-1}^{1}\int_1^{2} \frac{x\tan^2y}{1+\ln y}\ dy\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 19–22, state why it is difficult/impossible to integrate the iterated integral in the given order of integration. Change the order of integration and evaluate the new iterated integral.

$\displaystyle \int_{-1}^{1}\int_1^{2} \frac{x\tan^2y}{1+\ln y}\ dy\ dx$

정답·풀이 보기

주어진 순서로 적분하기는 어렵거나 불가능하다. 적분 순서를 바꾸면 $\displaystyle \int_{1}^{2}\int_{-1}^{1} \frac{x\tan^2y}{1+\ln y}\ dx\ dy = 0$ 이다. 피적분함수가 $x$ 에 대해 기함수이기 때문이다. 따라서 이 반복적분의 값은 0이다.

원본 교재 풀이(영어)

Integrating in the order shown is hard/impossible. By changing the order of integration, we have $\displaystyle \int_{1}^{2}\int_{-1}^{1} \frac{x\tan^2y}{1+\ln y}\ dx\ dy = 0$ , since the integrand is an odd function with respect to $x$ . Thus the iterated integral evaluates to 0.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.2절 · 22번

# 일반 영역의 이중적분계산자동 분류

487.APEX · 13.3절 · 1번대학 수준우리말 번역

극좌표를 사용하여 $\iint_R f(x,y)\ dA$ 를 계산할 때, $f(x,y)$ 는 _____ 으로 바뀌고 $dA$ 는 _____ 으로 바뀐다.

영어 원문 보기

When evaluating $\iint_R f(x,y)\ dA$ using polar coordinates, $f(x,y)$ is replaced with _____ and $dA$ is replaced with _____.

정답·풀이 보기

$f\big(r\cos\theta,r\sin\theta\big)$ , $r\ dr\ d\theta$

원본 교재 풀이(영어)

$f\big(r\cos\theta,r\sin\theta\big)$ , $r\ dr\ d\theta$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.3절 · 4번

# 극좌표 이중적분개념 확인자동 분류

488.APEX · 13.3절 · 2번대학 수준우리말 번역

이중적분을 극좌표로 계산하려는 이유는 무엇인가요?

영어 원문 보기

Why would one be interested in evaluating a double integral with polar coordinates?

정답·풀이 보기

$x$ - $y$ 평면의 어떤 영역은 직교좌표보다 극좌표로 나타내기가 더 쉽다. 또한 극좌표로 치환하고 나면 계산이 더 쉬워지는 적분도 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Some regions in the $x$ - $y$ plane are easier to describe using polar coordinates than using rectangular coordinates. Also, some integrals are easier to evaluate one the polar substitutions have been made.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.3절 · 1번

# 극좌표 이중적분개념 확인자동 분류

489.APEX · 13.3절 · 3번대학 수준우리말 번역

연습문제 3–10에서 함수 $f(x,y)$ 와 $x$ - $y$ 평면의 영역 $R$ 이 주어져 있다. 극좌표를 이용하여 $\iint_Rf(x,y)\ dA$ 를 세우고 값을 구하세요.

$f(x,y) = 3x-y+4$ ; $R$ 은 원 $x^2+y^2=1$ 로 둘러싸인 영역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, a function $f(x,y)$ is given and a region $R$ of the $x$ - $y$ plane is described. Set up and evaluate $\iint_Rf(x,y)\ dA$ using polar coordinates.

$f(x,y) = 3x-y+4$ ; $R$ is the region enclosed by the circle $x^2+y^2=1$ .

정답·풀이 보기

$\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_0^1 \big(3r\cos\theta-r\sin\theta+4\big)r\ dr\ d\theta = 4\pi$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_0^1 \big(3r\cos\theta-r\sin\theta+4\big)r\ dr\ d\theta = 4\pi$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.2절 · 1번

# 극좌표 이중적분계산자동 분류

490.APEX · 13.3절 · 4번대학 수준우리말 번역

연습문제 3–10에서 함수 $f(x,y)$ 와 $x$ - $y$ 평면의 영역 $R$ 이 주어져 있다. 극좌표를 이용하여 $\iint_Rf(x,y)\ dA$ 를 세우고 값을 구하세요.

$f(x,y) = 4x+4y$ ; $R$ 은 원 $x^2+y^2=4$ 로 둘러싸인 영역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, a function $f(x,y)$ is given and a region $R$ of the $x$ - $y$ plane is described. Set up and evaluate $\iint_Rf(x,y)\ dA$ using polar coordinates.

$f(x,y) = 4x+4y$ ; $R$ is the region enclosed by the circle $x^2+y^2=4$ .

정답·풀이 보기

$\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_0^2 \big(4r\cos\theta+4r\sin\theta\big)r\ dr\ d\theta = 0$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_0^2 \big(4r\cos\theta+4r\sin\theta\big)r\ dr\ d\theta = 0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.2절 · 22번

# 극좌표 이중적분계산자동 분류

491.APEX · 13.3절 · 5번대학 수준우리말 번역

연습문제 3–10에서 함수 $f(x,y)$ 와 $x$ - $y$ 평면의 영역 $R$ 이 주어져 있다. 극좌표를 이용하여 $\iint_Rf(x,y)\ dA$ 를 세우고 값을 구하세요.

$f(x,y) = 8-y$ ; $R$ 은 극방정식이 $r=\cos\theta$ 와 $r=3\cos\theta$ 인 두 원으로 둘러싸인 영역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, a function $f(x,y)$ is given and a region $R$ of the $x$ - $y$ plane is described. Set up and evaluate $\iint_Rf(x,y)\ dA$ using polar coordinates.

$f(x,y) = 8-y$ ; $R$ is the region enclosed by the circles with polar equations $r=\cos\theta$ and $r=3\cos\theta$ .

정답·풀이 보기

$\displaystyle \int_0^{\pi}\int_{\cos\theta}^{3\cos\theta} \big(8-r\sin\theta\big)r\ dr\ d\theta = 16\pi$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle \int_0^{\pi}\int_{\cos\theta}^{3\cos\theta} \big(8-r\sin\theta\big)r\ dr\ d\theta = 16\pi$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.3절 · 38번

# 극좌표 이중적분계산자동 분류

492.APEX · 13.3절 · 6번대학 수준우리말 번역

연습문제 3–10에서 함수 $f(x,y)$ 와 $x$ - $y$ 평면의 영역 $R$ 이 주어져 있다. 극좌표를 이용하여 $\iint_Rf(x,y)\ dA$ 를 세우고 값을 구하세요.

$f(x,y) = 4$ ; $R$ 은 제1사분면에 있는 장미 곡선 $r=\sin(2\theta)$ 의 꽃잎으로 둘러싸인 영역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, a function $f(x,y)$ is given and a region $R$ of the $x$ - $y$ plane is described. Set up and evaluate $\iint_Rf(x,y)\ dA$ using polar coordinates.

$f(x,y) = 4$ ; $R$ is the region enclosed by the petal of the rose curve $r=\sin(2\theta)$ in the first quadrant.

정답·풀이 보기

$\displaystyle \int_0^{\pi/2}\int_{0}^{\sin(2\theta)} \big(4\big)r\ dr\ d\theta = \pi/2$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle \int_0^{\pi/2}\int_{0}^{\sin(2\theta)} \big(4\big)r\ dr\ d\theta = \pi/2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.2절 · 8번

# 극좌표 이중적분계산자동 분류

493.APEX · 13.3절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 3–10에서 함수 $f(x,y)$ 와 $x$ - $y$ 평면의 영역 $R$ 이 주어져 있다. 극좌표를 이용하여 $\iint_Rf(x,y)\ dA$ 를 세우고 값을 구하세요.

$f(x,y) = \ln\big(x^2+y^2)$ ; $R$ 은 원 $x^2+y^2=1$ 과 $x^2+y^2=4$ 로 둘러싸인 고리 모양의 영역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, a function $f(x,y)$ is given and a region $R$ of the $x$ - $y$ plane is described. Set up and evaluate $\iint_Rf(x,y)\ dA$ using polar coordinates.

$f(x,y) = \ln\big(x^2+y^2)$ ; $R$ is the annulus enclosed by the circles $x^2+y^2=1$ and $x^2+y^2=4$ .

정답·풀이 보기

$\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_{1}^{2} \big(\ln(r^2)\big)r\ dr\ d\theta = 2\pi\big(\ln16-3/2\big)$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_{1}^{2} \big(\ln(r^2)\big)r\ dr\ d\theta = 2\pi\big(\ln16-3/2\big)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.2절 · 4번

# 극좌표 이중적분계산자동 분류

494.APEX · 13.3절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 3–10에서 함수 $f(x,y)$ 와 $x$ - $y$ 평면의 영역 $R$ 이 주어져 있다. 극좌표를 사용하여 $\iint_Rf(x,y)\ dA$ 를 세우고 값을 구하세요.

$f(x,y) = 1-x^2-y^2$ ; $R$ 는 원 $x^2+y^2=1$ 로 둘러싸인 영역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, a function $f(x,y)$ is given and a region $R$ of the $x$ - $y$ plane is described. Set up and evaluate $\iint_Rf(x,y)\ dA$ using polar coordinates.

$f(x,y) = 1-x^2-y^2$ ; $R$ is the region enclosed by the circle $x^2+y^2=1$ .

정답·풀이 보기

$\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_{0}^{1} \big(1-r^2\big)r\ dr\ d\theta = \pi/2$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_{0}^{1} \big(1-r^2\big)r\ dr\ d\theta = \pi/2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.2절 · 16번

# 극좌표 이중적분계산자동 분류

495.APEX · 13.3절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 3–10에서 함수 $f(x,y)$ 와 $x$ - $y$ 평면의 영역 $R$ 이 주어져 있다. 극좌표를 사용하여 $\iint_Rf(x,y)\ dA$ 를 세우고 값을 구하세요.

$f(x,y) = x^2-y^2$ ; $R$ 는 원 $x^2+y^2=36$ 으로 둘러싸인 영역 중 제1사분면과 제4사분면에 있는 부분이다.

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, a function $f(x,y)$ is given and a region $R$ of the $x$ - $y$ plane is described. Set up and evaluate $\iint_Rf(x,y)\ dA$ using polar coordinates.

$f(x,y) = x^2-y^2$ ; $R$ is the region enclosed by the circle $x^2+y^2=36$ in the first and fourth quadrants.

정답·풀이 보기

$\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_{0}^{6} \big(r^2\cos^2\theta-r^2\sin^2\theta\big)r\ dr\ d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_{0}^{6} \big(r^2\cos(2\theta)\big)r\ dr\ d\theta= 0$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_{0}^{6} \big(r^2\cos^2\theta-r^2\sin^2\theta\big)r\ dr\ d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_{0}^{6} \big(r^2\cos(2\theta)\big)r\ dr\ d\theta= 0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.2절 · 24번

# 극좌표 이중적분계산자동 분류

496.APEX · 13.3절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 3–10에서 함수 $f(x,y)$ 와 $x$ - $y$ 평면의 영역 $R$ 이 주어져 있다. 극좌표를 사용하여 $\iint_Rf(x,y)\ dA$ 를 세우고 값을 구하세요.

$f(x,y) = (x-y)/(x+y)$ ; $R$ 는 직선 $y=x$ , $y=0$ 과 원 $x^2+y^2=1$ 로 둘러싸인 영역 중 제1사분면에 있는 부분이다.

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, a function $f(x,y)$ is given and a region $R$ of the $x$ - $y$ plane is described. Set up and evaluate $\iint_Rf(x,y)\ dA$ using polar coordinates.

$f(x,y) = (x-y)/(x+y)$ ; $R$ is the region enclosed by the lines $y=x$ , $y=0$ and the circle $x^2+y^2=1$ in the first quadrant.

정답·풀이 보기

$\displaystyle \int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{1} \left(\frac{\cos\theta-\sin\theta}{\cos\theta+\sin\theta}\right)r\ dr\ d\theta = \ln 2$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle \int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{1} \left(\frac{\cos\theta-\sin\theta}{\cos\theta+\sin\theta}\right)r\ dr\ d\theta = \ln 2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.2절 · 1번

# 극좌표 이중적분계산자동 분류

497.APEX · 13.3절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서 직교좌표로 나타낸 반복적분이 주어져 있다. 극좌표를 사용하여 적분을 다시 쓰고, 새로 얻은 이중적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int_{0}^{5}\int_{-\sqrt{25-x^2}}^{\sqrt{25-x^2}} \sqrt{x^2+y^2}\ dy\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 11–14, an iterated integral in rectangular coordinates is given. Rewrite the integral using polar coordinates and evaluate the new double integral.

$\displaystyle \int_{0}^{5}\int_{-\sqrt{25-x^2}}^{\sqrt{25-x^2}} \sqrt{x^2+y^2}\ dy\ dx$

정답·풀이 보기

$\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_{0}^{5} \big(r^2\big)\ dr\ d\theta=125\pi/3$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_{0}^{5} \big(r^2\big)\ dr\ d\theta=125\pi/3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.3절 · 8번

# 극좌표 이중적분계산자동 분류

498.APEX · 13.3절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서 직교좌표로 나타낸 반복적분이 주어져 있다. 극좌표를 사용하여 적분을 다시 쓰고, 새로 얻은 이중적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int_{-4}^{4}\int_{-\sqrt{16-y^2}}^{0} \big(2y-x\big)\ dx\ dy$

영어 원문 보기

In Exercises 11–14, an iterated integral in rectangular coordinates is given. Rewrite the integral using polar coordinates and evaluate the new double integral.

$\displaystyle \int_{-4}^{4}\int_{-\sqrt{16-y^2}}^{0} \big(2y-x\big)\ dx\ dy$

정답·풀이 보기

$\displaystyle \int_{\pi/2}^{3\pi/2}\int_{0}^{4} \big(2r\sin\theta-r\cos\theta\big)r\ dr\ d\theta=128/3$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle \int_{\pi/2}^{3\pi/2}\int_{0}^{4} \big(2r\sin\theta-r\cos\theta\big)r\ dr\ d\theta=128/3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.3절 · 46번

# 극좌표 이중적분계산자동 분류

499.APEX · 13.3절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서는 직교좌표로 나타낸 반복적분이 주어져 있습니다. 극좌표를 사용하여 적분을 다시 쓰고, 새로 얻은 이중적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int_{0}^{2}\int_{y}^{\sqrt{8-y^2}} \big(x+y\big)\ dx\ dy$

영어 원문 보기

In Exercises 11–14, an iterated integral in rectangular coordinates is given. Rewrite the integral using polar coordinates and evaluate the new double integral.

$\displaystyle \int_{0}^{2}\int_{y}^{\sqrt{8-y^2}} \big(x+y\big)\ dx\ dy$

정답·풀이 보기

$\displaystyle \int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{\sqrt8} \big(r\cos\theta+r\sin\theta\big)r\ dr\ d\theta=16\sqrt2/3$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle \int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{\sqrt8} \big(r\cos\theta+r\sin\theta\big)r\ dr\ d\theta=16\sqrt2/3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.3절 · 12번

# 극좌표 이중적분계산자동 분류

500.APEX · 13.3절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서는 직교좌표로 나타낸 반복적분이 주어져 있습니다. 극좌표를 사용하여 적분을 다시 쓰고, 새로 얻은 이중적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int_{-2}^{-1}\int_{0}^{\sqrt{4-x^2}} \big(x+5\big)\ dy\ dx+\int_{-1}^{1}\int_{\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}} \big(x+5\big)\ dy\ dx +\int_{1}^{2}\int_{0}^{\sqrt{4-x^2}} \big(x+5\big)\ dy\ dx$

힌트: 각 적분의 영역을 주의 깊게 그리고, 이 영역들이 어떻게 모두 이어지는지 살펴보세요.

영어 원문 보기

In Exercises 11–14, an iterated integral in rectangular coordinates is given. Rewrite the integral using polar coordinates and evaluate the new double integral.

$\displaystyle \int_{-2}^{-1}\int_{0}^{\sqrt{4-x^2}} \big(x+5\big)\ dy\ dx+\int_{-1}^{1}\int_{\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}} \big(x+5\big)\ dy\ dx +\int_{1}^{2}\int_{0}^{\sqrt{4-x^2}} \big(x+5\big)\ dy\ dx$

Hint: draw the region of each integral carefully and see how they all connect.

정답·풀이 보기

$\displaystyle \int_{0}^{\pi}\int_{1}^{2} \big(r\cos\theta+5\big)r\ dr\ d\theta=15\pi/2$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle \int_{0}^{\pi}\int_{1}^{2} \big(r\cos\theta+5\big)r\ dr\ d\theta=15\pi/2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.2절 · 4번

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