변수변환과 야코비안 연습문제

1.OpenStax 3권 · 5.7절 · 1번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서, 단위 정사각형으로 둘러싸인 영역 $S=\{(u,v)|0\le u\le 1,0\le v\le 1\}$ 위에서 함수 $T:S\to R,T(u,v)=(x,y)$ 가 주어져 있다. 여기서 $R\subset {\mathbb{R}}^{2}$ 는 $T$ 에 의한 $S$ 의 상이다.

a. 함수 $T$ 가 ${C}^{1}$ 변환임을 설명하세요. b. 단위 정사각형 $S$ 의 꼭짓점들이 함수 $T$ 에 의해 옮겨지는 상을 구하세요. c. 단위 정사각형 $S$ 의 상 $R$ 을 구하고 그래프를 그리세요.

$x=2u,y=3v$

영어 원문 보기

In the following exercises, the function $T:S\to R,T(u,v)=(x,y)$ on the region $S=\{(u,v)|0\le u\le 1,0\le v\le 1\}$ bounded by the unit square is given, where $R\subset {\mathbb{R}}^{2}$ is the image of $S$ under $T.$

a. Justify that the function $T$ is a ${C}^{1}$ transformation. b. Find the images of the vertices of the unit square $S$ through the function $T.$ c. Determine the image $R$ of the unit square $S$ and graph it.

$x=2u,y=3v$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.7절 · 40번

# 변수변환과 야코비안증명·논술자동 분류

2.OpenStax 3권 · 5.7절 · 2번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서, 단위 정사각형으로 둘러싸인 영역 $S=\{(u,v)|0\le u\le 1,0\le v\le 1\}$ 위에서 함수 $T:S\to R,T(u,v)=(x,y)$ 가 주어져 있다. 여기서 $R\subset {\mathbb{R}}^{2}$ 는 $T$ 에 의한 $S$ 의 상이다.

a. 함수 $T$ 가 ${C}^{1}$ 변환임을 설명하세요. b. 단위 정사각형 $S$ 의 꼭짓점들이 함수 $T$ 에 의해 옮겨지는 상을 구하세요. c. 단위 정사각형 $S$ 의 상 $R$ 을 구하고 그래프를 그리세요.

$x=\frac{u}{2},y=\frac{v}{3}$

영어 원문 보기

In the following exercises, the function $T:S\to R,T(u,v)=(x,y)$ on the region $S=\{(u,v)|0\le u\le 1,0\le v\le 1\}$ bounded by the unit square is given, where $R\subset {\mathbb{R}}^{2}$ is the image of $S$ under $T.$

a. Justify that the function $T$ is a ${C}^{1}$ transformation. b. Find the images of the vertices of the unit square $S$ through the function $T.$ c. Determine the image $R$ of the unit square $S$ and graph it.

$x=\frac{u}{2},y=\frac{v}{3}$

정답·풀이 보기

a. $T(u,v)=(g(u,v),h(u,v)),x=g(u,v)=\frac{u}{2}$ 이고 $y=h(u,v)=\frac{v}{3}$ . 함수 $g$ 와 $h$ 는 연속이고 미분가능하며, 편도함수 ${g}_{u}(u,v)=\frac{1}{2},$ ${g}_{v}(u,v)=0,{h}_{u}(u,v)=0\,\text{그리고}\,{h}_{v}(u,v)=\frac{1}{3}$ 은 $S$ 에서 연속이다; b. $T(0,0)=(0,0),$ $T(1,0)=\left(\frac{1}{2},0\right),T(0,1)=\left(0,\frac{1}{3}\right)$ , 그리고 $T(1,1)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right);$ c. $R$ 은 $xy\text{-평면}$ 에서 꼭짓점이 $(0,0),\left(\frac{1}{2},0\right),\left(\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right),\text{그리고}\,\left(0,\frac{1}{3}\right)$ 인 직사각형이다; 다음 그림과 같다.

한 꼭짓점이 원점에 있고, 가로 길이가 0.5, 세로 높이가 0.34인 직사각형.

원본 교재 풀이(영어)

a. $T(u,v)=(g(u,v),h(u,v)),x=g(u,v)=\frac{u}{2}$ and $y=h(u,v)=\frac{v}{3}.$ The functions $g$ and $h$ are continuous and differentiable, and the partial derivatives ${g}_{u}(u,v)=\frac{1}{2},$ ${g}_{v}(u,v)=0,{h}_{u}(u,v)=0\,\text{and}\,{h}_{v}(u,v)=\frac{1}{3}$ are continuous on $S;$ b. $T(0,0)=(0,0),$ $T(1,0)=\left(\frac{1}{2},0\right),T(0,1)=\left(0,\frac{1}{3}\right),$ and $T(1,1)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right);$ c. $R$ is the rectangle of vertices $(0,0),\left(\frac{1}{2},0\right),\left(\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right),\text{and}\,\left(0,\frac{1}{3}\right)$ in the $xy\text{-plane;}$ the following figure.

A rectangle with one corner at the origin, horizontal length 0.5, and vertical height 0.34.

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# 변수변환과 야코비안증명·논술자동 분류

3.OpenStax 3권 · 5.7절 · 3번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서, 단위정사각형으로 둘러싸인 영역 $S=\{(u,v)|0\le u\le 1,0\le v\le 1\}$ 위에서 함수 $T:S\to R,T(u,v)=(x,y)$ 가 주어져 있다. 여기서 $R\subset {\mathbb{R}}^{2}$ 는 $T$ 에 의한 $S$ 의 상이다.

a. 함수 $T$ 가 ${C}^{1}$ 변환임을 설명하세요. b. 함수 $T$ 에 의한 단위정사각형 $S$ 의 꼭짓점들의 상을 구하세요. c. 단위정사각형 $S$ 의 상 $R$ 을 구하고 그 그래프를 그리세요.

$x=u-v,y=u+v$

영어 원문 보기

In the following exercises, the function $T:S\to R,T(u,v)=(x,y)$ on the region $S=\{(u,v)|0\le u\le 1,0\le v\le 1\}$ bounded by the unit square is given, where $R\subset {\mathbb{R}}^{2}$ is the image of $S$ under $T.$

a. Justify that the function $T$ is a ${C}^{1}$ transformation. b. Find the images of the vertices of the unit square $S$ through the function $T.$ c. Determine the image $R$ of the unit square $S$ and graph it.

$x=u-v,y=u+v$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.7절 · 60번

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4.OpenStax 3권 · 5.7절 · 4번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 단위 정사각형으로 둘러싸인 영역 $S=\{(u,v)|0\le u\le 1,0\le v\le 1\}$ 위에서 함수 $T:S\to R,T(u,v)=(x,y)$ 가 주어져 있다. 여기서 $R\subset {\mathbb{R}}^{2}$ 는 $T$ 에 의한 $S$ 의 상이다.

a. 함수 $T$ 가 ${C}^{1}$ 변환임을 보이세요. b. 함수 $T$ 에 의한 단위 정사각형 $S$ 의 꼭짓점들의 상을 구하세요. c. 단위 정사각형 $S$ 의 상 $R$ 을 구하고 그래프를 그리세요.

$x=2u-v,y=u+2v$

영어 원문 보기

In the following exercises, the function $T:S\to R,T(u,v)=(x,y)$ on the region $S=\{(u,v)|0\le u\le 1,0\le v\le 1\}$ bounded by the unit square is given, where $R\subset {\mathbb{R}}^{2}$ is the image of $S$ under $T.$

a. Justify that the function $T$ is a ${C}^{1}$ transformation. b. Find the images of the vertices of the unit square $S$ through the function $T.$ c. Determine the image $R$ of the unit square $S$ and graph it.

$x=2u-v,y=u+2v$

정답·풀이 보기

a. $T(u,v)=(g(u,v),h(u,v)),x=g(u,v)=2u-v$ , 그리고 $y=h(u,v)=u+2v$ . 함수 $g$ 와 $h$ 는 연속이고 미분가능하며, 편도함수 ${g}_{u}(u,v)=2,$ ${g}_{v}(u,v)=-1,$ ${h}_{u}(u,v)=1$ , 그리고 ${h}_{v}(u,v)=2$ 는 $S$ 에서 연속이다; b. $T(0,0)=(0,0),$ $T(1,0)=(2,1),$ $T(0,1)=(-1,2)$ , 그리고 $T(1,1)=(1,3);$ c. $R$ 은 $xy\text{-평면}$ 에서 꼭짓점이 $(0,0),(2,1),(1,3),\text{그리고}\,(-1,2)$ 인 정사각형이다; 다음 그림을 보라.

한 변의 길이가 5의 제곱근인 정사각형으로, 한 꼭짓점은 원점에 있고 다른 한 꼭짓점은 (2, 1)에 있다.

원본 교재 풀이(영어)

a. $T(u,v)=(g(u,v),h(u,v)),x=g(u,v)=2u-v,$ and $y=h(u,v)=u+2v.$ The functions $g$ and $h$ are continuous and differentiable, and the partial derivatives ${g}_{u}(u,v)=2,$ ${g}_{v}(u,v)=-1,$ ${h}_{u}(u,v)=1,$ and ${h}_{v}(u,v)=2$ are continuous on $S;$ b. $T(0,0)=(0,0),$ $T(1,0)=(2,1),$ $T(0,1)=(-1,2),$ and $T(1,1)=(1,3);$ c. $R$ is the sqaure of vertices $(0,0),(2,1),(1,3),\text{and}\,(-1,2)$ in the $xy\text{-plane;}$ see the following figure.

A square of side length square root of 5 with one corner at the origin and another at (2, 1).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.7절 · 6번

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5.OpenStax 3권 · 5.7절 · 5번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서, 단위정사각형으로 둘러싸인 영역 $S=\{(u,v)|0\le u\le 1,0\le v\le 1\}$ 위에서 함수 $T:S\to R,T(u,v)=(x,y)$ 가 주어져 있다. 여기서 $R\subset {\mathbb{R}}^{2}$ 는 $T$ 에 의한 $S$ 의 상이다.

a. 함수 $T$ 가 ${C}^{1}$ 변환임을 설명하세요. b. 함수 $T$ 에 의한 단위정사각형 $S$ 의 꼭짓점들의 상을 구하세요. c. 단위정사각형 $S$ 의 상 $R$ 을 구하고 그 그래프를 그리세요.

$x={u}^{2},y={v}^{2}$

영어 원문 보기

In the following exercises, the function $T:S\to R,T(u,v)=(x,y)$ on the region $S=\{(u,v)|0\le u\le 1,0\le v\le 1\}$ bounded by the unit square is given, where $R\subset {\mathbb{R}}^{2}$ is the image of $S$ under $T.$

a. Justify that the function $T$ is a ${C}^{1}$ transformation. b. Find the images of the vertices of the unit square $S$ through the function $T.$ c. Determine the image $R$ of the unit square $S$ and graph it.

$x={u}^{2},y={v}^{2}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.7절 · 8번

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6.OpenStax 3권 · 5.7절 · 6번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 단위 정사각형으로 유계인 영역 $S=\{(u,v)|0\le u\le 1,0\le v\le 1\}$ 위에서 함수 $T:S\to R,T(u,v)=(x,y)$ 가 주어져 있다. 여기서 $R\subset {\mathbb{R}}^{2}$ 는 $T$ 에 의한 $S$ 의 상이다.

a. 함수 $T$ 가 ${C}^{1}$ 변환임을 설명하세요. b. 단위 정사각형 $S$ 의 각 꼭짓점이 함수 $T$ 에 의해 대응되는 상을 구하세요. c. 단위 정사각형 $S$ 의 상 $R$ 을 구하고 그래프를 그리세요.

$x={u}^{3},y={v}^{3}$

영어 원문 보기

In the following exercises, the function $T:S\to R,T(u,v)=(x,y)$ on the region $S=\{(u,v)|0\le u\le 1,0\le v\le 1\}$ bounded by the unit square is given, where $R\subset {\mathbb{R}}^{2}$ is the image of $S$ under $T.$

a. Justify that the function $T$ is a ${C}^{1}$ transformation. b. Find the images of the vertices of the unit square $S$ through the function $T.$ c. Determine the image $R$ of the unit square $S$ and graph it.

$x={u}^{3},y={v}^{3}$

정답·풀이 보기

a. $T(u,v)=(g(u,v),h(u,v)),x=g(u,v)={u}^{3}$ 이고 $y=h(u,v)={v}^{3}$ 이다. 함수 $g$ 와 $h$ 는 연속이고 미분가능하며, 편도함수 ${g}_{u}(u,v)=3{u}^{2},$ ${g}_{v}(u,v)=0,$ ${h}_{u}(u,v)=0,$ ${h}_{v}(u,v)=3{v}^{2}$ 은 $S$ 에서 연속이다. b. $T(0,0)=(0,0),$ $T(1,0)=(1,0),$ $T(0,1)=(0,1),$ $T(1,1)=(1,1)$ 이다. c. $R$ 은 $xy$ -평면에서의 단위 정사각형이다. 다음 그림을 보라.

가로축(x축)과 세로축(y축)이 모두 0에서 1까지인 직교좌표 그래프로, 데이터나 함수가 전혀 나타나 있지 않은 빈 그래프 영역이 그려져 있다.

원본 교재 풀이(영어)

a. $T(u,v)=(g(u,v),h(u,v)),x=g(u,v)={u}^{3},$ and $y=h(u,v)={v}^{3}.$ The functions $g$ and $h$ are continuous and differentiable, and the partial derivatives ${g}_{u}(u,v)=3{u}^{2},$ ${g}_{v}(u,v)=0,$ ${h}_{u}(u,v)=0,$ and ${h}_{v}(u,v)=3{v}^{2}$ are continuous on $S;$ b. $T(0,0)=(0,0),$ $T(1,0)=(1,0),$ $T(0,1)=(0,1),$ and $T(1,1)=(1,1);$ c. $R$ is the unit square in the $xy\text{-plane;}$ see the following figure.

A Cartesian coordinate graph with axes ranging from 0 to 1 on both x (horizontal) and y (vertical) axes, displaying an empty plot area with no data or functions presented.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.7절 · 8번

# 변수변환과 야코비안증명·논술자동 분류

7.OpenStax 3권 · 5.7절 · 45번대학 수준우리말 번역

$f$ 가 $[0,1]$ 에서 연속인 함수이고 $R$ 이 타원 $5{x}^{2}+3{y}^{2}=15$ 로 둘러싸인 영역일 때, $\iint_{R}f\left(\sqrt{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{3}}\right)dA=2\pi \sqrt{15}\int_{0}^{1}f(\rho )\rho \,d\rho$ , 임을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that $\iint_{R}f\left(\sqrt{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{3}}\right)dA=2\pi \sqrt{15}\int_{0}^{1}f(\rho )\rho \,d\rho ,$ where $f$ is a continuous function on $[0,1]$ and $R$ is the region bounded by the ellipse $5{x}^{2}+3{y}^{2}=15.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.7절 · 4번

# 변수변환과 야코비안증명·논술자동 분류

8.OpenStax 3권 · 5.7절 · 46번대학 수준우리말 번역

$\iiint_{R}f\left(\sqrt{16{x}^{2}+4{y}^{2}+{z}^{2}}\right)dV=\frac{\pi }{2}\int_{0}^{1}f(\rho ){\rho }^{2}d\rho$ , 임을 보이세요. 여기서 $f$ 는 $[0,1]$ 에서 연속인 함수이고 $R$ 은 타원면 $16{x}^{2}+4{y}^{2}+{z}^{2}=1$ 로 둘러싸인 영역입니다.

영어 원문 보기

Show that $\iiint_{R}f\left(\sqrt{16{x}^{2}+4{y}^{2}+{z}^{2}}\right)dV=\frac{\pi }{2}\int_{0}^{1}f(\rho ){\rho }^{2}d\rho ,$ where $f$ is a continuous function on $[0,1]$ and $R$ is the region bounded by the ellipsoid $16{x}^{2}+4{y}^{2}+{z}^{2}=1.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.7절 · 42번

# 변수변환과 야코비안증명·논술자동 분류

9.OpenStax 3권 · 5.7절 · 51번대학 수준우리말 번역

$x=au+bv,y=cu+dv$ , 꼴의 변환 $T:{\mathbb{R}}^{2}\to {\mathbb{R}}^{2},T(u,v)=(x,y)$ 를 선형변환이라고 한다. 여기서 $a,b,c,\text{그리고}\,d$ 는 실수이다. $ad-bc\ne 0$ 인 선형변환은 평행사변형을 평행사변형으로 옮김을 보이세요.

영어 원문 보기

A transformation $T:{\mathbb{R}}^{2}\to {\mathbb{R}}^{2},T(u,v)=(x,y)$ of the form $x=au+bv,y=cu+dv,$ where $a,b,c,\text{and}\,d$ are real numbers, is called linear. Show that a linear transformation for which $ad-bc\ne 0$ maps parallelograms to parallelograms.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.7절 · 34번

# 변수변환과 야코비안증명·논술자동 분류

10.OpenStax 3권 · 5.7절 · 52번대학 수준우리말 번역

변환 ${T}_{\theta }:{\mathbb{R}}^{2}\to {\mathbb{R}}^{2},{T}_{\theta }(u,v)=(x,y)$ 에서 $x=u\,\cos \,\theta -v\,\sin \,\theta ,$ $y=u\,\sin \,\theta +v\,\cos \,\theta$ 일 때, 이 변환을 각 $\theta$ 만큼의 회전이라고 한다. ${T}_{\theta }$ 의 역변환이 ${T}_{\theta }{}^{-1}={T}_{-\theta }$ 를 만족함을 보이세요. 여기서 ${T}_{-\theta }$ 는 각 $-\theta$ 만큼의 회전이다.

영어 원문 보기

The transformation ${T}_{\theta }:{\mathbb{R}}^{2}\to {\mathbb{R}}^{2},{T}_{\theta }(u,v)=(x,y),$ where $x=u\,\cos \,\theta -v\,\sin \,\theta ,$ $y=u\,\sin \,\theta +v\,\cos \,\theta ,$ is called a rotation of angle $\theta .$ Show that the inverse transformation of ${T}_{\theta }$ satisfies ${T}_{\theta }{}^{-1}={T}_{-\theta },$ where ${T}_{-\theta }$ is the rotation of angle $-\theta .$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.7절 · 44번

# 변수변환과 야코비안증명·논술자동 분류

11.OpenStax 3권 · 5.7절 · 57번대학 수준우리말 번역

변환 $x=au,y=av,z=cw$ 와 구면좌표를 이용하여, 회전타원체 $\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{z}^{2}}{{c}^{2}}=1$ 로 둘러싸인 영역의 부피가 $\frac{4\pi {a}^{2}c}{3}$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

Use the transformation, $x=au,y=av,z=cw$ and spherical coordinates to show that the volume of a region bounded by the spheroid $\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{z}^{2}}{{c}^{2}}=1$ is $\frac{4\pi {a}^{2}c}{3}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.7절 · 50번

# 변수변환과 야코비안증명·논술자동 분류