변수변환과 야코비안 연습문제

1.OpenStax 3권 · 5.7절 · 33번대학 수준우리말 번역

꼭짓점이 $(0,0),(1,1),\text{그리고}\,(1,2)$ 인 삼각형 영역 $R$ 이 다음 그림에 나타나 있다.

원점, (1, 1), (1, 2)를 꼭짓점으로 하는 삼각형.

a. $a,b,c$ , 그리고 $d$ 가 $ad-bc\ne 0$ 인 실수이고 ${T}^{-1}(0,0)=(0,0),{T}^{-1}(1,1)=(1,0)$ , 그리고 ${T}^{-1}(1,2)=(0,1)$ 이 되도록 하는 변환 $T:S\to R,$ $T(u,v)=(x,y)=(au+bv,cu+dv)$ 를 구하세요. b. 변환 $T$ 를 이용하여 영역 $R$ 의 넓이 $A(R)$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

The triangular region $R$ with the vertices $(0,0),(1,1),\text{and}\,(1,2)$ is shown in the following figure.

A triangle with corners at the origin, (1, 1), and (1, 2).

a. Find a transformation $T:S\to R,$ $T(u,v)=(x,y)=(au+bv,cu+dv),$ where $a,b,c,$ and $d$ are real numbers with $ad-bc\ne 0$ such that ${T}^{-1}(0,0)=(0,0),{T}^{-1}(1,1)=(1,0),$ and ${T}^{-1}(1,2)=(0,1).$ b. Use the transformation $T$ to find the area $A(R)$ of the region $R.$

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# 변수변환과 야코비안그래프·표 해석자동 분류

2.OpenStax 3권 · 5.7절 · 34번대학 수준우리말 번역

꼭짓점이 $(0,0),(2,0),\text{그리고}\,(1,3)$ 인 삼각형 모양의 영역 $R$ 이 다음 그림에 나타나 있습니다.

원점, (2, 0), (1, 3)에 꼭짓점이 있는 삼각형.

a. ${T}^{-1}(0,0)=(0,0),$ ${T}^{-1}(2,0)=(1,0),$ ${T}^{-1}(1,3)=(0,1)$ 을 만족시키는 변환 $T:S\to R,$ $T(u,v)=(x,y)=(au+bv,cu+dv)$ 를 구하세요. 여기서 $a,b,c$ 그리고 $d$ 는 $ad-bc\ne 0$ 인 실수입니다. b. 변환 $T$ 를 이용하여 영역 $R$ 의 넓이 $A(R)$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

The triangular region $R$ with the vertices $(0,0),(2,0),\text{and}\,(1,3)$ is shown in the following figure.

A triangle with corners at the origin, (2, 0), and (1, 3).

a. Find a transformation $T:S\to R,$ $T(u,v)=(x,y)=(au+bv,cu+dv),$ where $a,b,c$ and $d$ are real numbers with $ad-bc\ne 0$ such that ${T}^{-1}(0,0)=(0,0),$ ${T}^{-1}(2,0)=(1,0),$ and ${T}^{-1}(1,3)=(0,1).$ b. Use the transformation $T$ to find the area $A(R)$ of the region $R.$

정답·풀이 보기

a. $T(u,v)=(2u+v,3v);$ b. $R$ 의 넓이는 $A(R)=\int_{0}^{3}\,\int_{y/3}^{(6-y)/3}dx\,dy=\int_{0}^{1}\,\int_{0}^{1-u}|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}|dv\,du=\int_{0}^{1}\,\int_{0}^{1-u}6dv\,du=3$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

a. $T(u,v)=(2u+v,3v);$ b. The area of $R$ is $A(R)=\int_{0}^{3}\,\int_{y/3}^{(6-y)/3}dx\,dy=\int_{0}^{1}\,\int_{0}^{1-u}|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}|dv\,du=\int_{0}^{1}\,\int_{0}^{1-u}6dv\,du=3.$

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# 변수변환과 야코비안그래프·표 해석자동 분류

3.OpenStax 3권 · 5.7절 · 35번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 변환 $u=y-x,v=y$ 를 사용하여, 다음 그림에 나타낸 꼭짓점이 $(0,0),(1,0),(2,1),\text{그리고}\,(1,1)$ 인 평행사변형 $R$ 위에서 적분의 값을 구하세요.

$\iint_{R}(y-x)dA$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the transformation $u=y-x,v=y,$ to evaluate the integrals on the parallelogram $R$ of vertices $(0,0),(1,0),(2,1),\text{and}\,(1,1)$ shown in the following figure.

$\iint_{R}(y-x)dA$

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4.OpenStax 3권 · 5.7절 · 36번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 변환 $u=y-x,v=y$ 를 이용하여 그림과 같이 꼭짓점이 $(0,0),(1,0),(2,1),\text{및}\,(1,1)$ 인 평행사변형 $R$ 위에서 적분의 값을 구하세요.

$\iint_{R}({y}^{2}-xy)dA$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the transformation $u=y-x,v=y,$ to evaluate the integrals on the parallelogram $R$ of vertices $(0,0),(1,0),(2,1),\text{and}\,(1,1)$ shown in the following figure.

$\iint_{R}({y}^{2}-xy)dA$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$-\frac{1}{4}$

원본 교재 풀이(영어)

$-\frac{1}{4}$

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5.OpenStax 3권 · 5.7절 · 37번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 변환 $y-x=u,x+y=v$ 를 이용하여 그림과 같이 직선 $y=x,y=-x+2,y=x+2$ , 그리고 $y=-x$ 로 정해지는 정사각형 $R$ 위에서 적분의 값을 구하세요.

$\iint_{R}{e}^{x+y}dA$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the transformation $y-x=u,x+y=v$ to evaluate the integrals on the square $R$ determined by the lines $y=x,y=-x+2,y=x+2,$ and $y=-x$ shown in the following figure.

$\iint_{R}{e}^{x+y}dA$

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6.OpenStax 3권 · 5.7절 · 38번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 변환 $y-x=u,x+y=v$ 를 이용하여 그림과 같이 직선 $y=x,y=-x+2,y=x+2$ , 그리고 $y=-x$ 로 정해지는 정사각형 $R$ 위에서 적분의 값을 구하세요.

$\iint_{R}\sin (x-y)dA$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the transformation $y-x=u,x+y=v$ to evaluate the integrals on the square $R$ determined by the lines $y=x,y=-x+2,y=x+2,$ and $y=-x$ shown in the following figure.

$\iint_{R}\sin (x-y)dA$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$-1+\cos \,2$

원본 교재 풀이(영어)

$-1+\cos \,2$

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# 변수변환과 야코비안그래프·표 해석자동 분류

7.OpenStax 3권 · 5.7절 · 39번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 변환 $x=u,5y=v$ 를 이용하여 그림과 같이 타원 ${x}^{2}+25{y}^{2}=1$ 로 둘러싸인 영역 $R$ 위에서 적분의 값을 구하세요.

$\iint_{R}\sqrt{{x}^{2}+25{y}^{2}}\,dA$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the transformation $x=u,5y=v$ to evaluate the integrals on the region $R$ bounded by the ellipse ${x}^{2}+25{y}^{2}=1$ shown in the following figure.

$\iint_{R}\sqrt{{x}^{2}+25{y}^{2}}\,dA$

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# 변수변환과 야코비안그래프·표 해석자동 분류

8.OpenStax 3권 · 5.7절 · 40번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 변환 $x=u,5y=v$ 를 이용하여 그림과 같이 타원 ${x}^{2}+25{y}^{2}=1$ 로 둘러싸인 영역 $R$ 위에서 적분의 값을 구하세요.

${\iint_{R}({x}^{2}+25{y}^{2})}^{2}dA$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the transformation $x=u,5y=v$ to evaluate the integrals on the region $R$ bounded by the ellipse ${x}^{2}+25{y}^{2}=1$ shown in the following figure.

${\iint_{R}({x}^{2}+25{y}^{2})}^{2}dA$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{\pi }{15}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{\pi }{15}$

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# 변수변환과 야코비안그래프·표 해석자동 분류

9.OpenStax 3권 · 5.7절 · 41번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 변환 $u=x+y,v=x-y$ 를 이용하여 다음 그림과 같이 네 점 $(1,0),(2,0),(0,2),\text{그리고}\,(0,1)$ 로 정해지는 사다리꼴 영역 $R$ 에서 적분의 값을 구하세요.

$\iint_{R}({x}^{2}-2xy+{y}^{2}){e}^{x+y}dA$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the transformation $u=x+y,v=x-y$ to evaluate the integrals on the trapezoidal region $R$ determined by the points $(1,0),(2,0),(0,2),\text{and}\,(0,1)$ shown in the following figure.

$\iint_{R}({x}^{2}-2xy+{y}^{2}){e}^{x+y}dA$

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# 변수변환과 야코비안그래프·표 해석자동 분류

10.OpenStax 3권 · 5.7절 · 42번대학 수준우리말 번역

다음 연습 문제에서, 변환 $u=x+y,v=x-y$ 를 이용하여 다음 그림에 나타낸, 점 $(1,0),(2,0),(0,2),\text{그리고}\,(0,1)$ 로 정해지는 사다리꼴 영역 $R$ 에서 적분의 값을 구하세요.

$\iint_{R}({x}^{3}+3{x}^{2}y+3x{y}^{2}+{y}^{3})dA$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the transformation $u=x+y,v=x-y$ to evaluate the integrals on the trapezoidal region $R$ determined by the points $(1,0),(2,0),(0,2),\text{and}\,(0,1)$ shown in the following figure.

$\iint_{R}({x}^{3}+3{x}^{2}y+3x{y}^{2}+{y}^{3})dA$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{31}{5}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{31}{5}$

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11.OpenStax 3권 · 5.7절 · 43번대학 수준우리말 번역

원 $4{x}^{2}+4{y}^{2}=1$ 과 $9{x}^{2}+9{y}^{2}=64$ , 직선 $x=y\sqrt{3}$ , 그리고 $y\text{축}$ 으로 둘러싸인 원형 고리 부채꼴 영역 $R$ 이 다음 그림에 나타나 있다. $r\theta \text{-평면}$ 의 직사각형 영역 $S$ 에서 $xy\text{-평면}$ 의 영역 $R$ 로 가는 변환 $T$ 를 구하세요. $S$ 의 그래프를 그리세요.

제1사분면에 고리 모양(원환)의 일부가 있다. 이 고리는 안쪽 반지름이 0.5, 바깥쪽 반지름이 2.5보다 약간 크며, 중심은 원점이다. 이 고리를 나누는 직선이 있는데, 이 직선은 약 30도 각도에서 뻗어 나온다. 60도에 해당하는 부분이 색칠되어 있다.

영어 원문 보기

The circular annulus sector $R$ bounded by the circles $4{x}^{2}+4{y}^{2}=1$ and $9{x}^{2}+9{y}^{2}=64,$ the line $x=y\sqrt{3},$ and the $y\text{-axis}$ is shown in the following figure. Find a transformation $T$ from a rectangular region $S$ in the $r\theta \text{-plane}$ to the region $R$ in the $xy\text{-plane.}$ Graph $S.$

In the first quadrant, a section of an annulus described by an inner radius of 0.5, outer radius slightly more than 2.5, and center the origin. There is a line dividing this annulus that comes from approximately a 30 degree angle. The portion corresponding to 60 degrees is shaded.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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12.OpenStax 3권 · 5.7절 · 44번대학 수준우리말 번역

원기둥 ${x}^{2}+{y}^{2}=9$ 와 평면 $z=0,z=1,$ $x=0,\text{그리고}\,y=0$ 으로 둘러싸인 유계인 입체 $R$ 가 다음 그림에 나타나 있습니다. $r\theta z\text{-공간}$ 의 원기둥 모양 상자 $S$ 에서 $xyz\text{-공간}$ 의 입체 $R$ 로 가는 변환 $T$ 를 구하세요.

높이가 1이고 반지름이 3인 원기둥의 4분의 1 조각이다. 중심축은 z축이다.

영어 원문 보기

The solid $R$ bounded by the circular cylinder ${x}^{2}+{y}^{2}=9$ and the planes $z=0,z=1,$ $x=0,\text{and}\,y=0$ is shown in the following figure. Find a transformation $T$ from a cylindrical box $S$ in $r\theta z\text{-space}$ to the solid $R$ in $xyz\text{-space}.$

A quarter of a cylinder with height 1 and radius 3. The center axis is the z axis.

정답·풀이 보기

$T(r,\theta ,z)=(r\,\cos \,\theta ,r\,\sin \,\theta ,z);S=[0,3]\,\times \,\left[0,\frac{\pi }{2}\right]\,\times \,[0,1]$ ( $r\theta z\text{-공간}$ 에서)

원본 교재 풀이(영어)

$T(r,\theta ,z)=(r\,\cos \,\theta ,r\,\sin \,\theta ,z);S=[0,3]\,\times \,\left[0,\frac{\pi }{2}\right]\,\times \,[0,1]$ in the $r\theta z\text{-space}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.7절 · 42번

# 변수변환과 야코비안그래프·표 해석자동 분류

13.OpenStax 3권 · 5.7절 · 47번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 변환 $u=xy$ 와 $v=\frac{y}{x}$ 를 이용하여 네 곡선 $xy=1,xy=3,y=2x$ , 그리고 $y=3x$ 로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하세요. 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여 영역 $R$ 의 경계 곡선을 그래프로 그리세요.

영어 원문 보기

[T] Find the area of the region bounded by the curves $xy=1,xy=3,y=2x,$ and $y=3x$ by using the transformation $u=xy$ and $v=\frac{y}{x}.$ Use a computer algebra system (CAS) to graph the boundary curves of the region $R.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 변수변환과 야코비안그래프·표 해석자동 분류

14.OpenStax 3권 · 5.7절 · 53번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 앞선 연습문제의 결과를 이용하여, 각 $\frac{\pi }{4}$ 만큼의 회전에 의한 상이 타원 ${x}^{2}+4{y}^{2}=1$ 로 둘러싸인 영역 $R$ 이 되는 $uv\text{-plane}$ 위의 영역 $S$ 를 구하세요. 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여 다음 물음에 답하세요.

a. 영역 $S$ 의 그래프를 그리세요. b. 적분 $\iint_{S}{e}^{-2uv}du\,dv$ 의 값을 구하세요. 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내세요.

영어 원문 보기

[T] Use the results of the previous exercise to find the region $S$ in the $uv\text{-plane}$ whose image through a rotation of angle $\frac{\pi }{4}$ is the region $R$ enclosed by the ellipse ${x}^{2}+4{y}^{2}=1.$ Use a CAS to answer the following questions.

a. Graph the region $S.$ b. Evaluate the integral $\iint_{S}{e}^{-2uv}du\,dv.$ Round your answer to two decimal places.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.7절 · 2번

# 변수변환과 야코비안그래프·표 해석자동 분류

15.OpenStax 3권 · 5.7절 · 54번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] ${T}_{i}:{\mathbb{R}}^{2}\to {\mathbb{R}}^{2},$ $i=1,\ldots ,\,4$ 로 정의된 변환 ${T}_{1}(u,v)=(u,-v),$ ${T}_{2}(u,v)=(-u,v),{T}_{3}(u,v)=(-u,-v)$ , 그리고 ${T}_{4}(u,v)=(v,u)$ 를 각각 $x\text{축},y\text{축}$ , 원점, 직선 $y=x$ 에 대한 대칭이동이라 한다.

a. 변환 ${T}_{1}\circ {T}_{2}\circ {T}_{3}\circ {T}_{4}$ 에 의한 영역 $S=\{(u,v)|{u}^{2}+{v}^{2}-2u-4v+1\le 0\}$ 의 $xy\text{평면}$ 위의 상을 구하세요. b. CAS를 사용하여 $S$ 의 상의 그래프를 그리세요. c. CAS를 사용하여 적분 $\iint_{S}\sin ({u}^{2})du\,dv$ 의 값을 구하세요. 답은 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내세요.

영어 원문 보기

[T] The transformations ${T}_{i}:{\mathbb{R}}^{2}\to {\mathbb{R}}^{2},$ $i=1,\ldots ,\,4,$ defined by ${T}_{1}(u,v)=(u,-v),$ ${T}_{2}(u,v)=(-u,v),{T}_{3}(u,v)=(-u,-v),$ and ${T}_{4}(u,v)=(v,u)$ are called reflections about the $x\text{-axis},y\text{-axis},$ origin, and the line $y=x,$ respectively.

a. Find the image of the region $S=\{(u,v)|{u}^{2}+{v}^{2}-2u-4v+1\le 0\}$ in the $xy\text{-plane}$ through the transformation ${T}_{1}\circ {T}_{2}\circ {T}_{3}\circ {T}_{4}.$ b. Use a CAS to graph the image of $S.$ c. Evaluate the integral $\iint_{S}\sin ({u}^{2})du\,dv$ by using a CAS. Round your answer to two decimal places.

정답·풀이 보기

a. $R=\{(x,y)|{y}^{2}+{x}^{2}-2y-4x+1\le 0\};$ b. $R$ 의 그래프는 다음 그림과 같다;

반지름이 2이고 중심이 (2, 1)인 원.

c. $3.16$

원본 교재 풀이(영어)

a. $R=\{(x,y)|{y}^{2}+{x}^{2}-2y-4x+1\le 0\};$ b. $R$ is graphed in the following figure;

A circle with radius 2 and center (2, 1).

c. $3.16$

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# 변수변환과 야코비안그래프·표 해석자동 분류

16.OpenStax 3권 · 5.7절 · 56번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 변환 ${T}_{a,0}:{\mathbb{R}}^{2}\to {\mathbb{R}}^{2},{T}_{a,0}(u,v)=(u+av,v)$ (단, $a\ne 0$ 은 실수)를 $x$ 방향 전단변환이라고 합니다. 변환 ${T}_{0,b}:{\mathbb{R}}^{2}\to {\mathbb{R}}^{2},{T}_{0,b}(u,v)=(u,bu+v)$ (단, $b\ne 0$ 은 실수)를 $y$ 방향 전단변환이라고 합니다.

a. 변환 ${T}_{0,2}\circ {T}_{3,0}$ 을 구하세요. b. $u=0,v=0,v=1$ , 그리고 $v=2-u$ 로 둘러싸인 사다리꼴 영역 $S$ 의 변환 ${T}_{0,2}\circ {T}_{3,0}$ 에 의한 상 $R$ 을 구하세요. c. CAS를 사용하여 상 $R$ 의 그래프를 $xy$ 평면에 그리세요. d. 영역 $S$ 의 넓이를 이용하여 영역 $R$ 의 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

[T] The transformation ${T}_{a,0}:{\mathbb{R}}^{2}\to {\mathbb{R}}^{2},{T}_{a,0}(u,v)=(u+av,v),$ where $a\ne 0$ is a real number, is called a shear in the $x\text{-direction}.$ The transformation, ${T}_{0,b}:{\mathbb{R}}^{2}\to {\mathbb{R}}^{2},{T}_{0,b}(u,v)=(u,bu+v),$ where $b\ne 0$ is a real number, is called a shear in the $y\text{-direction}.$

a. Find transformations ${T}_{0,2}\circ {T}_{3,0}.$ b. Find the image $R$ of the trapezoidal region $S$ bounded by $u=0,v=0,v=1,$ and $v=2-u$ through the transformation ${T}_{0,2}\circ {T}_{3,0}.$ c. Use a CAS to graph the image $R$ in the $xy\text{-plane}.$ d. Find the area of the region $R$ by using the area of region $S.$

정답·풀이 보기

a. ${T}_{0,2}\circ {T}_{3,0}(u,v)=(u+3v,2u+7v)$ 이다. b. 상 $R$ 은 꼭짓점이 $(0,0),(3,7),(2,4),\text{그리고}\,(4,9)$ 인 사각형이다. c. $S$ 의 그래프는 다음 그림과 같다.

원점, (2, 4), (4, 9), (3, 7)을 꼭짓점으로 하는 사각형.

d. $\frac{3}{2}$

원본 교재 풀이(영어)

a. ${T}_{0,2}\circ {T}_{3,0}(u,v)=(u+3v,2u+7v);$ b. The image $R$ is the quadrilateral of vertices $(0,0),(3,7),(2,4),\text{and}\,(4,9);$ c. $S$ is graphed in the following figure;

A four-sided figure with points the origin, (2, 4), (4, 9), and (3, 7).

d. $\frac{3}{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.7절 · 48번

# 변수변환과 야코비안그래프·표 해석자동 분류

17.OpenStax 3권 · 5.7절 · 59번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 라메 타원(또는 초타원)은 방정식 ${\left(\frac{x}{a}\right)}^{n}+{\left(\frac{y}{b}\right)}^{n}=1$ 으로 나타내어지는 평면곡선입니다. 여기서 a, b, n 은 양의 실수입니다.

a. CAS를 사용하여 $a=1,b=2,n=4$ 일 때와 $n=6$ 일 때 각각의 라메 타원으로 둘러싸인 영역 $R$ 의 그래프를 그리세요. b. 다음 그림과 같이 스쿼클이라고도 하는 라메 타원 ${x}^{4}+{y}^{4}=1$ 로 둘러싸인 영역 $R$ 을 단위원판으로 보내는 변환을 구하세요. 모서리가 둥글게 처리된, 한 변의 길이가 2인 정사각형. c. CAS를 사용하여 ${x}^{4}+{y}^{4}=1$ 로 둘러싸인 영역 $R$ 의 넓이 $A(R)$ 의 근삿값을 구하세요. 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내세요.

영어 원문 보기

[T] Lamé ovals (or superellipses) are plane curves of equations ${\left(\frac{x}{a}\right)}^{n}+{\left(\frac{y}{b}\right)}^{n}=1,$ where a, b, and n are positive real numbers.

a. Use a CAS to graph the regions $R$ bounded by Lamé ovals for $a=1,b=2,n=4$ and $n=6,$ respectively. b. Find the transformations that map the region $R$ bounded by the Lamé oval ${x}^{4}+{y}^{4}=1,$ also called a squircle and graphed in the following figure, into the unit disk. A square of side length 2 with rounded corners. c. Use a CAS to find an approximation of the area $A(R)$ of the region $R$ bounded by ${x}^{4}+{y}^{4}=1.$ Round your answer to two decimal places.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.7절 · 56번

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