다변수 미분 전체 연습문제

381.OpenStax 3권 · 4.8절 · 24번대학 수준우리말 번역

$12$ ft² 의 판지로 뚜껑이 없는 직육면체 모양의 상자를 만들려고 합니다. 이러한 상자의 부피의 최댓값을 구하세요.

영어 원문 보기

A rectangular box without a top (a topless box) is to be made from $12$ ft² of cardboard. Find the maximum volume of such a box.

정답·풀이 보기

부피의 최댓값은 $4$ ft³ 이다. 각 모서리의 길이는 $1\,\times \,2\,\times \,2$ ft 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The maximum volume is $4$ ft³. The dimensions are $1\,\times \,2\,\times \,2$ ft.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.8절 · 22번

# 라그랑주 승수법활용자동 분류

382.OpenStax 3권 · 4.8절 · 25번대학 수준우리말 번역

타원 ${x}^{2}+xy+2{y}^{2}=1$ 과 원점 사이의 거리의 최솟값과 최댓값을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the minimum and maximum distances between the ellipse ${x}^{2}+xy+2{y}^{2}=1$ and the origin.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.8절 · 8번

# 라그랑주 승수법계산자동 분류

383.OpenStax 3권 · 4.8절 · 26번대학 수준우리말 번역

곡면 ${x}^{2}-2xy+{y}^{2}-x+y=0$ 위의 점 중에서 점 $(1,2,-3)$ 에 가장 가까운 점을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the point on the surface ${x}^{2}-2xy+{y}^{2}-x+y=0$ closest to the point $(1,2,-3).$

정답·풀이 보기

곡면 ${x}^{2}-2xy+{y}^{2}-x+y=0$ 위의 점 중에서 점 $(1,2,-3)$ 에 가장 가까운 점은 $\left( \frac{3}{2},\frac{3}{2},-3 \right)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The point on the surface ${x}^{2}-2xy+{y}^{2}-x+y=0$ closest to the point $(1,2,-3)$ is $\left( \frac{3}{2},\frac{3}{2},-3 \right)$ .

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# 라그랑주 승수법계산자동 분류

384.OpenStax 3권 · 4.8절 · 27번대학 수준우리말 번역

반지름이 $R$ 인 원에 내접하는 모든 삼각형 중에서 정삼각형의 둘레가 가장 큼을 보이세요(그림 참조).

원 안에 정삼각형이 그려져 있고, 삼각형의 각 꼭짓점이 원에 닿아 있다.

영어 원문 보기

Show that, of all the triangles inscribed in a circle of radius $R$ (see diagram), the equilateral triangle has the largest perimeter.

A circle with an equilateral triangle drawn inside of it such that each vertex of the triangle touches the circle.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.8절 · 22번

# 라그랑주 승수법증명·논술자동 분류

385.OpenStax 3권 · 4.8절 · 28번대학 수준우리말 번역

점 $(0,1)$ 에서 포물선 ${x}^{2}=4y$ 까지의 최소 거리를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the minimum distance from point $(0,1)$ to the parabola ${x}^{2}=4y.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$1.0$

원본 교재 풀이(영어)

$1.0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.8절 · 8번

# 라그랑주 승수법계산자동 분류

386.OpenStax 3권 · 4.8절 · 29번대학 수준우리말 번역

포물선 $y={x}^{2}$ 에서 점 $(0,3)$ 까지의 최소 거리를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the minimum distance from the parabola $y={x}^{2}$ to point $(0,3).$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.8절 · 28번

# 라그랑주 승수법계산자동 분류

387.OpenStax 3권 · 4.8절 · 30번대학 수준우리말 번역

평면 $x+y+z=1$ 에서 점 $(2,1,1)$ 까지의 최소 거리를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the minimum distance from the plane $x+y+z=1$ to point $(2,1,1).$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\sqrt{3}$

원본 교재 풀이(영어)

$\sqrt{3}$

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# 라그랑주 승수법계산자동 분류

388.OpenStax 3권 · 4.8절 · 31번대학 수준우리말 번역

직육면체 모양의 큰 용기의 부피가 $480$ m³ 이어야 한다. 용기의 바닥은 만드는 데 1 m² 당 $5 가 들고, 윗면과 옆면은 1 m² 당 $3 가 든다. 라그랑주 승수법을 이용하여, 이 크기의 용기 중 비용이 최소가 되는 용기의 치수를 구하세요.

영어 원문 보기

A large container in the shape of a rectangular solid must have a volume of $480$ m³. The bottom of the container costs $5/m² to construct whereas the top and sides cost $3/m² to construct. Use Lagrange multipliers to find the dimensions of the container of this size that has the minimum cost.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.8절 · 2번

# 라그랑주 승수법활용자동 분류

389.OpenStax 3권 · 4.8절 · 32번대학 수준우리말 번역

직선 $y=2x+3$ 위의 점 중에서 점 $(4,2)$ 에 가장 가까운 점을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the point on the line $y=2x+3$ that is closest to point $(4,2).$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\left(\frac{2}{5},\frac{19}{5}\right)$

원본 교재 풀이(영어)

$\left(\frac{2}{5},\frac{19}{5}\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.8절 · 24번

# 라그랑주 승수법계산자동 분류

390.OpenStax 3권 · 4.8절 · 33번대학 수준우리말 번역

평면 $4x+3y+z=2$ 위의 점 중에서 점 $(1,-1,1)$ 에 가장 가까운 점을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the point on the plane $4x+3y+z=2$ that is closest to the point $(1,-1,1).$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.8절 · 12번

# 라그랑주 승수법계산자동 분류

391.OpenStax 3권 · 4.8절 · 34번대학 수준우리말 번역

$f(x,y)=\sin \,x\,\sin \,y$ 의 최댓값을 구하세요. 여기서 $x\,\text{와}\,y$ 는 직각삼각형의 두 예각을 나타냅니다. 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여 이 함수의 등고선을 그리세요.

영어 원문 보기

Find the maximum value of $f(x,y)=\sin \,x\,\sin \,y,$ where $x\,\text{and}\,y$ denote the acute angles of a right triangle. Draw the contours of the function using a CAS.

정답·풀이 보기

$\frac{1}{2}$

진폭이 1인 언덕과 구덩이가 번갈아 나타나는 모양이 삼차원 공간 전체에 걸쳐 펼쳐져 있다.

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{2}$

An alternating series of hills and holes of amplitude 1 across xyz space.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.8절 · 30번

# 라그랑주 승수법계산자동 분류

392.OpenStax 3권 · 4.8절 · 35번대학 수준우리말 번역

직육면체가 꼭짓점이 $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$ , 그리고 원점인 사면체 안에 들어 있습니다. 이 상자의 밑면의 가로, 세로 길이는 $x,y$ 이고, 상자의 높이는 $z$ 입니다. $x,y,\,\text{그리고}\,z$ 의 합이 1.0일 때, 직육면체의 부피가 최대가 되는 각 변의 길이를 구하세요.

영어 원문 보기

A rectangular solid is contained within a tetrahedron with vertices at

$(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),$ and the origin. The base of the box has dimensions $x,y,$ and the height of the box is $z.$ If the sum of $x,y,\,\text{and}\,z$ is 1.0, find the dimensions that maximizes the volume of the rectangular solid.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.8절 · 22번

# 라그랑주 승수법활용자동 분류

393.OpenStax 3권 · 4장 복습 · 1번대학 수준우리말 번역

함수 $f(x,y)={x}^{3}{\sin }^{-1}(y)$ 의 정의역은 $x=$ 모든 실수, $-\pi \le y\le \pi$ 이다.

영어 원문 보기

The domain of $f(x,y)={x}^{3}{\sin }^{-1}(y)$ is $x=$ all real numbers, and $-\pi \le y\le \pi .$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.2절 · 7번

# 편도함수계산자동 분류

394.OpenStax 3권 · 4장 복습 · 2번대학 수준우리말 번역

함수 $f(x,y)$ 와 그 모든 이계도함수가 모든 점에서 연속이면 ${f}_{xy}={f}_{yx}$ 이다.

영어 원문 보기

If the function $f(x,y)$ and all its second derivatives are continuous everywhere, then ${f}_{xy}={f}_{yx}.$

정답·풀이 보기

참, 클레로의 정리에 의해

원본 교재 풀이(영어)

True, by Clairaut’s theorem

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4장 복습 · 8번

# 편도함수활용자동 분류

395.OpenStax 3권 · 4장 복습 · 3번대학 수준우리말 번역

함수 $f(x,y)=5{x}^{2}+x\,\tan (y)$ 의 $(2,\pi )$ 에서의 선형 근사는 $L(x,y)=22+21(x-2)+(y-\pi )$ 이다.

영어 원문 보기

The linear approximation to the function of $f(x,y)=5{x}^{2}+x\,\tan (y)$ at $(2,\pi )$ is given by $L(x,y)=22+21(x-2)+(y-\pi ).$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4장 복습 · 24번

# 편도함수계산자동 분류

396.OpenStax 3권 · 4장 복습 · 4번대학 수준우리말 번역

단원 복습 문제

다음 문제에서 주어진 명제가 참인지 거짓인지 판단하세요. 증명이나 반례로 답을 뒷받침하세요.

$\left(\frac{3}{4},\frac{9}{16}\right)$ 는 $g(x,y)=4{x}^{3}-2{x}^{2}y+{y}^{2}-2$ 의 임계점이다.

영어 원문 보기

Chapter Review Exercises

For the following exercises, determine whether the statement is true or false. Justify your answer with a proof or a counterexample.

$\left(\frac{3}{4},\frac{9}{16}\right)$ is a critical point of $g(x,y)=4{x}^{3}-2{x}^{2}y+{y}^{2}-2.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

거짓

원본 교재 풀이(영어)

False

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4장 복습 · 6번

# 편도함수개념 확인자동 분류

397.OpenStax 3권 · 4장 복습 · 5번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 함수의 그래프를 하나의 그림에 그리고, 다른 그림에 여러 등위선(등고선)을 그리세요.

$f(x,y)={e}^{-({x}^{2}+2{y}^{2})}.$

영어 원문 보기

For the following exercises, sketch the function in one graph and, in a second, sketch several level curves.

$f(x,y)={e}^{-({x}^{2}+2{y}^{2})}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.3절 · 36번

# 편도함수그래프·표 해석자동 분류

398.OpenStax 3권 · 4장 복습 · 6번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 함수의 그래프를 하나의 그림에 그리고, 다른 그림에 여러 등위선(등고선)을 그리세요.

$f(x,y)=x+4{y}^{2}.$

영어 원문 보기

For the following exercises, sketch the function in one graph and, in a second, sketch several level curves.

$f(x,y)=x+4{y}^{2}.$

정답·풀이 보기

답은 다양할 수 있다

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4장 복습 · 2번

# 편도함수그래프·표 해석자동 분류

399.OpenStax 3권 · 4장 복습 · 7번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 극한이 존재하면 그 값을 구하세요. 존재하지 않으면 그것을 증명하세요.

$\lim_{(x,y)\to (1,1)}\frac{4xy}{x-2{y}^{2}}$

영어 원문 보기

For the following exercises, evaluate the following limits, if they exist. If they do not exist, prove it.

$\lim_{(x,y)\to (1,1)}\frac{4xy}{x-2{y}^{2}}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.3절 · 18번

# 편도함수증명·논술자동 분류

400.OpenStax 3권 · 4장 복습 · 8번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 극한이 존재하면 그 값을 구하세요. 존재하지 않으면 그것을 증명하세요.

$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{4xy}{x-2{y}^{2}}$

영어 원문 보기

For the following exercises, evaluate the following limits, if they exist. If they do not exist, prove it.

$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{4xy}{x-2{y}^{2}}$

정답·풀이 보기

존재하지 않는다

원본 교재 풀이(영어)

Does not exist

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.3절 · 1번

# 편도함수증명·논술자동 분류

다변수 미분 전체 문제