다변수 미분 전체 연습문제

341.OpenStax 3권 · 4.7절 · 32번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 극값과 안장점을 구하세요. 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여 함수의 그래프를 그리세요.

[계산기 사용] $f(x,y)=y{e}^{x}-{e}^{y}$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine the extreme values and the saddle points. Use a CAS to graph the function.

[T] $f(x,y)=y{e}^{x}-{e}^{y}$

정답·풀이 보기

안장점은 $(0,0)$ 에 있다.

(1, 1, 1) 근처에서 시작하여 x축과 y축을 따라 크게 감소하는 복잡한 그래프이다. 특히 y축 방향으로는 너무 크게 감소하여 그래프가 잘려 있다. 그래프의 나머지 부분은 0 근처에 머문다.

원본 교재 풀이(영어)

A saddle point is located at $(0,0).$

A complicated graph that starts near (1, 1, 1), and decreases significantly along the x and y axes, so much so along the y axis that it is cut off. The rest of the graph stays near 0.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.7절 · 34번

# 극값과 안장점그래프·표 해석자동 분류

342.OpenStax 3권 · 4.7절 · 33번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 극값과 안장점을 구하세요. 컴퓨터 대수 체계를 이용하여 함수의 그래프를 그리세요.

[계산기 사용] $f(x,y)=x\,\sin (y)$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine the extreme values and the saddle points. Use a CAS to graph the function.

[T] $f(x,y)=x\,\sin (y)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.9절 · 32번

# 극값과 안장점그래프·표 해석자동 분류

343.OpenStax 3권 · 4.7절 · 34번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 극값과 안장점을 구하세요. 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여 함수의 그래프를 그리세요.

[계산기 사용] $f(x,y)=\sin (x)\sin (y),x\in (0,2\pi ),y\in (0,2\pi )$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine the extreme values and the saddle points. Use a CAS to graph the function.

[T] $f(x,y)=\sin (x)\sin (y),x\in (0,2\pi ),y\in (0,2\pi )$

정답·풀이 보기

$(\pi ,\pi )$ 에 안장점이 있고, $\left(\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)\,\text{및}\,\left(\frac{3\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right)$ 에서 극댓값을 가지며, $\left(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right)\,\text{및}\,\left(\frac{3\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ 에서 극솟값을 가진다.

진폭이 1이며, 언덕과 구덩이가 공간 전체에 걸쳐 번갈아 이어지는 모양.

원본 교재 풀이(영어)

There is a saddle point at $(\pi ,\pi ),$ local maxima at $\left(\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)\,\text{and}\,\left(\frac{3\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right),$ and local minima at $\left(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right)\,\text{and}\,\left(\frac{3\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right).$

A series of hills and holes alternating through a space with amplitude 1.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.7절 · 36번

# 극값과 안장점그래프·표 해석자동 분류

344.OpenStax 3권 · 4.7절 · 35번대학 수준우리말 번역

지정된 닫힌 유계 집합 $R$ 에서 주어진 함수의 절대극값을 구하세요.

$f(x,y)=xy-x-3y;$ $R$ 은 꼭짓점이 $(0,0),(0,4),\,\text{그리고}\,(5,0)$ 인 삼각형 영역이다.

영어 원문 보기

Find the absolute extrema of the given function on the indicated closed and bounded set $R.$

$f(x,y)=xy-x-3y;$ $R$ is the triangular region with vertices $(0,0),(0,4),\,\text{and}\,(5,0).$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.7절 · 36번

# 극값과 안장점계산자동 분류

345.OpenStax 3권 · 4.7절 · 36번대학 수준우리말 번역

영역 $R=\{(x,y)|{x}^{2}+{y}^{2}\le 4\}$ 에서 $f(x,y)={x}^{2}+{y}^{2}-2y+1$ 의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the absolute maximum and minimum values of $f(x,y)={x}^{2}+{y}^{2}-2y+1$ on the region $R=\{(x,y)|{x}^{2}+{y}^{2}\le 4\}.$

정답·풀이 보기

$(0,1,0)$ 은 최솟값이고 $(0,-2,9)$ 는 최댓값이다.

원본 교재 풀이(영어)

$(0,1,0)$ is the absolute minimum and $(0,-2,9)$ is the absolute maximum.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.7절 · 38번

# 극값과 안장점계산자동 분류

346.OpenStax 3권 · 4.7절 · 37번대학 수준우리말 번역

주어진 닫힌 유계 집합 $R$ 에서 주어진 함수의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

$R=\{(x,y):\,-2\le x\le 2,-2\le y\le 2\}$ 에서 $f(x,y)={x}^{3}-3xy-{y}^{3}$

영어 원문 보기

Find the absolute extrema of the given function on the indicated closed and bounded set $R.$

$f(x,y)={x}^{3}-3xy-{y}^{3}$ on $R=\{(x,y):\,-2\le x\le 2,-2\le y\le 2\}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.7절 · 42번

# 극값과 안장점계산자동 분류

347.OpenStax 3권 · 4.7절 · 38번대학 수준우리말 번역

주어진 닫힌 유계 집합 $R$ 에서 주어진 함수의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

$R=\{(x,y):\,{x}^{2}+{y}^{2}\le 4\}$ 에서 $f(x,y)=\frac{-2y}{{x}^{2}+{y}^{2}+1}$

영어 원문 보기

Find the absolute extrema of the given function on the indicated closed and bounded set $R.$

$f(x,y)=\frac{-2y}{{x}^{2}+{y}^{2}+1}$ on $R=\{(x,y):\,{x}^{2}+{y}^{2}\le 4\}$

정답·풀이 보기

$(0,1,-1)$ 에서 최솟값을 갖고 $(0,-1,1)$ 에서 최댓값을 갖는다.

원본 교재 풀이(영어)

There is an absolute minimum at $(0,1,-1)$ and an absolute maximum at $(0,-1,1).$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.7절 · 18번

# 극값과 안장점계산자동 분류

348.OpenStax 3권 · 4.7절 · 39번대학 수준우리말 번역

합이 $27$ 인 세 양수를 찾아, 그 제곱의 합이 가능한 한 가장 작도록 하세요.

영어 원문 보기

Find three positive numbers the sum of which is $27,$ such that the sum of their squares is as small as possible.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.9절 · 18번

# 극값과 안장점계산자동 분류

349.OpenStax 3권 · 4.7절 · 40번대학 수준우리말 번역

곡면 ${x}^{2}-yz=5$ 위의 점 중에서 원점에 가장 가까운 점을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the points on the surface ${x}^{2}-yz=5$ that are closest to the origin.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\left(\sqrt{5},0,0\right),\left(-\sqrt{5},0,0\right)$

원본 교재 풀이(영어)

$\left(\sqrt{5},0,0\right),\left(-\sqrt{5},0,0\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.7절 · 42번

# 극값과 안장점계산자동 분류

350.OpenStax 3권 · 4.7절 · 41번대학 수준우리말 번역

세 면이 좌표평면 위에 있고 한 꼭짓점이 제1팔분공간에 있으면서 평면 $x+y+z=1$ 위에 있는 직육면체의 최대 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the maximum volume of a rectangular box with three faces in the coordinate planes and a vertex in the first octant on the plane $x+y+z=1.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.7절 · 46번

# 극값과 안장점활용자동 분류

351.OpenStax 3권 · 4.7절 · 42번대학 수준우리말 번역

배달 서비스에서 운반하는 소포의 길이와 둘레(단면의 둘레)의 합은 $108$ 인치를 넘을 수 없다. 보낼 수 있는 직육면체 모양의 소포 중 부피가 가장 큰 소포의 치수를 구하세요.

영어 원문 보기

The sum of the length and the girth (perimeter of a cross-section) of a package carried by a delivery service cannot exceed $108$ in. Find the dimensions of the rectangular package of largest volume that can be sent.

정답·풀이 보기

$\text{18 by 36 by 18 in}.$

원본 교재 풀이(영어)

$\text{18 by 36 by 18 in}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.7절 · 48번

# 극값과 안장점계산자동 분류

352.OpenStax 3권 · 4.7절 · 43번대학 수준우리말 번역

부피가 $4$ ft³인 뚜껑 없는 판지 상자를 만들려고 한다. 판지가 가장 적게 드는 상자의 치수를 구하세요.

영어 원문 보기

A cardboard box without a lid is to be made with a volume of $4$ ft³. Find the dimensions of the box that requires the least amount of cardboard.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.9절 · 34번

# 극값과 안장점활용자동 분류

353.OpenStax 3권 · 4.7절 · 44번대학 수준우리말 번역

곡면 $f(x,y)={x}^{2}+{y}^{2}+10$ 위의 점 중에서 평면 $x+2y-z=0$ 에 가장 가까운 점을 구하세요. 평면 위의 대응하는 점을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the point on the surface $f(x,y)={x}^{2}+{y}^{2}+10$ nearest the plane $x+2y-z=0.$ Identify the point on the plane.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\left(\frac{1}{2},1,\frac{45}{4}\right)$

원본 교재 풀이(영어)

$\left(\frac{1}{2},1,\frac{45}{4}\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.7절 · 46번

# 극값과 안장점계산자동 분류

354.OpenStax 3권 · 4.7절 · 45번대학 수준우리말 번역

평면 $2x-y+2z=16$ 위의 점 중에서 원점에 가장 가까운 점을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the point in the plane $2x-y+2z=16$ that is closest to the origin.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.9절 · 30번

# 극값과 안장점계산자동 분류

355.OpenStax 3권 · 4.7절 · 46번대학 수준우리말 번역

한 회사가 조깅화와 크로스트레이너, 두 종류의 운동화를 생산한다. 조깅화 $x$ 켤레와 크로스트레이너 $y$ 켤레에서 얻는 총수입은 $R(x,y)=-5{x}^{2}-8{y}^{2}-2xy+42x+102y$ 로 주어진다. 여기서 $x$ 와 $y$ 의 단위는 천 켤레이다. 총수입이 최대가 되도록 하는 x 와 y 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

A company manufactures two types of athletic shoes: jogging shoes and cross-trainers. The total revenue from $x$ jogging shoes and $y$ cross-trainers is given by $R(x,y)=-5{x}^{2}-8{y}^{2}-2xy+42x+102y,$ where $x$ and $y$ are in thousands of units. Find the values of x and y to maximize the total revenue.

정답·풀이 보기

$x=3$ 그리고 $y=6$

원본 교재 풀이(영어)

$x=3$ and $y=6$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.7절 · 40번

# 극값과 안장점활용자동 분류

356.OpenStax 3권 · 4.7절 · 47번대학 수준우리말 번역

배송 회사는 상자의 길이, 너비, 높이의 합이 $96$ 인치를 넘지 않는 직육면체 모양의 상자만 취급한다. 이 조건을 만족하면서 부피가 가장 큰 상자의 치수를 구하세요.

영어 원문 보기

A shipping company handles rectangular boxes provided the sum of the length, width, and height of the box does not exceed $96$ in. Find the dimensions of the box that meets this condition and has the largest volume.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.7절 · 32번

# 극값과 안장점계산자동 분류

357.OpenStax 3권 · 4.7절 · 48번대학 수준우리말 번역

높이와 원의 둘레의 합이 $120$ cm 인 원기둥 모양 음료수 캔의 최대 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the maximum volume of a cylindrical soda can such that the sum of its height and circumference is $120$ cm.

정답·풀이 보기

$V=\frac{64,000}{\pi }\approx 20,372$ cm³

원본 교재 풀이(영어)

$V=\frac{64,000}{\pi }\approx 20,372$ cm³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.9절 · 1번

# 극값과 안장점활용자동 분류

358.OpenStax 3권 · 4.8절 · 1번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 라그랑주 승수법을 이용하여, 주어진 제약 조건 아래에서 함수의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

$f(x,y)={x}^{2}y;{x}^{2}+2{y}^{2}=6$

영어 원문 보기

For the following exercises, use the method of Lagrange multipliers to find the maximum and minimum values of the function subject to the given constraints.

$f(x,y)={x}^{2}y;{x}^{2}+2{y}^{2}=6$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.8절 · 24번

# 라그랑주 승수법계산자동 분류

359.OpenStax 3권 · 4.8절 · 2번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 라그랑주 승수법을 사용하여, 주어진 조건을 만족하는 함수의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

$f(x,y,z)=xyz,{x}^{2}+2{y}^{2}+3{z}^{2}=6$

영어 원문 보기

For the following exercises, use the method of Lagrange multipliers to find the maximum and minimum values of the function subject to the given constraints.

$f(x,y,z)=xyz,{x}^{2}+2{y}^{2}+3{z}^{2}=6$

정답·풀이 보기

최댓값: $2\frac{\sqrt{3}}{3}$ , 최솟값: $\frac{-2\sqrt{3}}{3}$

원본 교재 풀이(영어)

maximum: $2\frac{\sqrt{3}}{3},$ minimum: $\frac{-2\sqrt{3}}{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.10절 · 30번

# 라그랑주 승수법계산자동 분류

360.OpenStax 3권 · 4.8절 · 3번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 라그랑주 승수법을 사용하여, 주어진 조건을 만족하는 함수의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

$f(x,y)=xy;4{x}^{2}+8{y}^{2}=16$

영어 원문 보기

For the following exercises, use the method of Lagrange multipliers to find the maximum and minimum values of the function subject to the given constraints.

$f(x,y)=xy;4{x}^{2}+8{y}^{2}=16$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.8절 · 30번

# 라그랑주 승수법계산자동 분류

다변수 미분 전체 문제