다변수함수의 극한과 연속 연습문제

61.APEX · 12.2절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–10에서 집합 $S$ 가 주어졌습니다.

(a) 가능하다면 $S$ 의 경계점과 내부점을 각각 하나씩 구하세요. (b) $S$ 가 열린집합인지, 닫힌집합인지, 둘 다 아닌지 설명하세요. (c) $S$ 가 유계인지 비유계인지 설명하세요.

$\displaystyle S = \left\{(x,y)\,| \, x^2+y^2=1\right\}$

영어 원문 보기

In Exercises 7–10, a set $S$ is given.

(a) Give one boundary point and one interior point, when possible, of $S$ . (b) State whether $S$ is open, closed, or neither. (c) State whether $S$ is bounded or unbounded.

$\displaystyle S = \left\{(x,y)\,| \, x^2+y^2=1\right\}$

정답·풀이 보기

(a) 답은 여러 가지가 가능하다.

내부점: 없다.

경계점: $(0,-1)$

(b) $S$ 는 경계점으로만 이루어진 닫힌집합이다.

(c) $S$ 는 유계이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Answers will vary.

interior point: none

boundary point: $(0,-1)$

(b) $S$ is a closed set, consisting only of boundary points

(c) $S$ is bounded

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.2절 · 22번

# 다변수함수의 극한과 연속계산자동 분류

62.APEX · 12.2절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–10에서 집합 $S$ 가 주어졌습니다.

(a) 가능하다면 $S$ 의 경계점과 내부점을 각각 하나씩 구하세요. (b) $S$ 가 열린집합인지, 닫힌집합인지, 둘 다 아닌지 설명하세요. (c) $S$ 가 유계인지 비유계인지 설명하세요.

$\displaystyle S=\{ (x,y) | y>\sin x\}$

영어 원문 보기

In Exercises 7–10, a set $S$ is given.

(a) Give one boundary point and one interior point, when possible, of $S$ . (b) State whether $S$ is open, closed, or neither. (c) State whether $S$ is bounded or unbounded.

$\displaystyle S=\{ (x,y) | y>\sin x\}$

정답·풀이 보기

(a) 답은 여러 가지가 가능하다.

내부점: $(0,1)$

경계점: $(0,0)$

(b) $S$ 는 경계점을 모두 포함하는 닫힌집합이다.

(c) $S$ 는 유계가 아니다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Answers will vary.

Interior point: $(0,1)$

Boundary point: $(0,0)$

(b) $S$ is a closed set, containing all of its boundary points.

(c) $S$ is unbounded.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.2절 · 12번

# 다변수함수의 극한과 연속계산자동 분류

63.APEX · 12.2절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서 다음 물음에 답하세요.

(a) 주어진 함수의 정의역 $D$ 를 구하세요. (b) $D$ 가 열린집합인지 닫힌집합인지 설명하세요. (c) $D$ 가 유계인지 비유계인지 설명하세요.

$\displaystyle f(x,y) = \sqrt{9-x^2-y^2}$

영어 원문 보기

In Exercises 11–14:

(a) Find the domain $D$ of the given function. (b) State whether $D$ is an open or closed set. (c) State whether $D$ is bounded or unbounded.

$\displaystyle f(x,y) = \sqrt{9-x^2-y^2}$

정답·풀이 보기

(a) $D = \left\{(x,y)\, |\, 9-x^2-y^2\geq 0\right\}$ 이다. (b) $D$ 는 닫힌집합이다. (c) $D$ 는 유계이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $D = \left\{(x,y)\, |\, 9-x^2-y^2\geq 0\right\}$ . (b) $D$ is a closed set. (c) $D$ is bounded.

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# 다변수함수의 극한과 연속계산자동 분류

64.APEX · 12.2절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서 다음 물음에 답하세요.

(a) 주어진 함수의 정의역 $D$ 를 구하세요. (b) $D$ 가 열린집합인지 닫힌집합인지 답하세요. (c) $D$ 가 유계인지 비유계인지 설명하세요.

$\displaystyle f(x,y) = \sqrt{y-x^2}$

영어 원문 보기

In Exercises 11–14:

(a) Find the domain $D$ of the given function. (b) State whether $D$ is an open or closed set. (c) State whether $D$ is bounded or unbounded.

$\displaystyle f(x,y) = \sqrt{y-x^2}$

정답·풀이 보기

(a) $D = \left\{(x,y)\, |\, y\geq x^2\right\}$ 이다. (b) $D$ 는 닫힌집합이다. (c) $D$ 는 유계가 아니다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $D = \left\{(x,y)\, |\, y\geq x^2\right\}$ . (b) $D$ is a closed set. (c) $D$ is unbounded.

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# 다변수함수의 극한과 연속계산자동 분류

65.APEX · 12.2절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서 다음을 하세요.

(a) 주어진 함수의 정의역 $D$ 를 구하세요. (b) $D$ 가 열린집합인지 닫힌집합인지 말하세요. (c) $D$ 가 유계인지 비유계인지 말하세요.

$\displaystyle f(x,y) = \frac{1}{\sqrt{y-x^2}}$

영어 원문 보기

In Exercises 11–14:

(a) Find the domain $D$ of the given function. (b) State whether $D$ is an open or closed set. (c) State whether $D$ is bounded or unbounded.

$\displaystyle f(x,y) = \frac{1}{\sqrt{y-x^2}}$

정답·풀이 보기

(a) $D = \left\{(x,y)\, |\, y> x^2\right\}$ 이다. (b) $D$ 는 열린집합이다. (c) $D$ 는 비유계이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $D = \left\{(x,y)\, |\, y> x^2\right\}$ . (b) $D$ is an open set. (c) $D$ is unbounded.

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# 다변수함수의 극한과 연속계산자동 분류

66.APEX · 12.2절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서 다음을 하세요.

(a) 주어진 함수의 정의역 $D$ 를 구하세요. (b) $D$ 가 열린집합인지 닫힌집합인지 말하세요. (c) $D$ 가 유계인지 비유계인지 말하세요.

$\displaystyle f(x,y) = \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$

영어 원문 보기

In Exercises 11–14:

(a) Find the domain $D$ of the given function. (b) State whether $D$ is an open or closed set. (c) State whether $D$ is bounded or unbounded.

$\displaystyle f(x,y) = \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$

정답·풀이 보기

(a) $D = \left\{(x,y)\, |\, (x,y)\neq (0,0) \right\}$ 이다. (b) $D$ 는 열린집합이다. (c) $D$ 는 비유계이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $D = \left\{(x,y)\, |\, (x,y)\neq (0,0) \right\}$ . (b) $D$ is an open set. (c) $D$ is unbounded.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.2절 · 22번

# 다변수함수의 극한과 연속계산자동 분류

67.APEX · 12.2절 · 15번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–20에서 극한이 주어져 있다. 주어진 경로를 따라 극한값을 구한 다음, 이 결과가 왜 주어진 극한이 존재하지 않음을 보여 주는지 말하세요.

$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$

(a) 경로 $y=0$ 을 따라. (b) 경로 $x=0$ 을 따라.

영어 원문 보기

In Exercises 15–20, a limit is given. Evaluate the limit along the paths given, then state why these results show the given limit does not exist.

$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$

(a) Along the path $y=0$ . (b) Along the path $x=0$ .

정답·풀이 보기

(a) $y=0$ 을 따라 극한은 1이다. (b) $x=0$ 을 따라 극한은 $-1$ 이다.

위의 극한이 서로 같지 않으므로 극한은 존재하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Along $y=0$ , the limit is 1. (b) Along $x=0$ , the limit is $-1$ .

Since the above limits are not equal, the limit does not exist.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.2절 · 4번

# 다변수함수의 극한과 연속계산자동 분류

68.APEX · 12.2절 · 16번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–20에서 극한이 주어져 있다. 주어진 경로를 따라 극한값을 구한 다음, 이 결과가 왜 주어진 극한이 존재하지 않음을 보여 주는지 말하세요.

$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x+y}{x-y}$

(a) 경로 $y=mx$ 를 따라.

영어 원문 보기

In Exercises 15–20, a limit is given. Evaluate the limit along the paths given, then state why these results show the given limit does not exist.

$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x+y}{x-y}$

(a) Along the path $y=mx$ .

정답·풀이 보기

(a) $y=mx$ 를 따라 극한은 $\frac{m+1}{m-1}$ 이다.

위의 극한은 어떤 $m$ 을 사용하느냐에 따라 달라지므로 각 극한이 서로 다르고, 따라서 전체 극한은 존재하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Along $y=mx$ , the limit is $\frac{m+1}{m-1}$ .

Since the above limit varies according to what $m$ is used, each limit is different, meaning the overall limit does not exist.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.2절 · 46번

# 다변수함수의 극한과 연속계산자동 분류

69.APEX · 12.2절 · 17번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–20에서 극한이 주어져 있다. 주어진 경로를 따라 극한값을 구한 다음, 이 결과가 왜 주어진 극한이 존재하지 않음을 보여 주는지 말하세요.

$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy-y^2}{y^2+x}$

(a) 경로 $y=mx$ 를 따라. (b) 경로 $x=0$ 을 따라.

영어 원문 보기

In Exercises 15–20, a limit is given. Evaluate the limit along the paths given, then state why these results show the given limit does not exist.

$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy-y^2}{y^2+x}$

(a) Along the path $y=mx$ . (b) Along the path $x=0$ .

정답·풀이 보기

(a) $y=mx$ 를 따라 극한은 모든 $m$ 에 대해 $\displaystyle \frac{mx(1-m)}{m^2x+1}=0$ 이다. (b) $x=0$ 을 따라 극한은 $-1$ 이다.

위의 극한이 서로 같지 않으므로 극한은 존재하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Along $y=mx$ , the limit is $\displaystyle \frac{mx(1-m)}{m^2x+1}=0$ for all $m$ . (b) Along $x=0$ , the limit is $-1$ .

Since the above limits are not equal, the limit does not exist.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.2절 · 8번

# 다변수함수의 극한과 연속계산자동 분류

70.APEX · 12.2절 · 18번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–20에서 극한이 주어져 있습니다. 주어진 경로를 따라 극한을 구한 다음, 이 결과로부터 주어진 극한이 존재하지 않는 이유를 설명하세요.

$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sin(x^2)}{y}$

(a) 경로 $y=mx$ 를 따라. (b) 경로 $y=x^2$ 을 따라.

영어 원문 보기

In Exercises 15–20, a limit is given. Evaluate the limit along the paths given, then state why these results show the given limit does not exist.

$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sin(x^2)}{y}$

(a) Along the path $y=mx$ . (b) Along the path $y=x^2$ .

정답·풀이 보기

(a) $y=mx$ 를 따라 극한은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sin(x^2)}{y} & = \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x^2)}{mx} \\ \text{로피탈의 정리를 적용한다} \\ &= \lim_{x\to 0} \frac{2x\cos(x^2)}{m}\\ &= 0. \end{aligned}$ (b) $x=0$ 을 따라 극한은 다음과 같다. $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sin(x^2)}{y} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x^2)}{x^2}.$ 이 극한은 로피탈의 정리 또는 알려진 극한으로 구할 수 있으며, 그 값은 1이다.

직선 $y=mx$ 를 따른 극한이 $y=x^2$ 을 따른 극한과 같지 않으므로, 전체 극한은 존재하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Along $y=mx$ , the limit is:

$\begin{aligned} \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sin(x^2)}{y} & = \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x^2)}{mx} \\ \text{apply L'H\^opital's Rule} \\ &= \lim_{x\to 0} \frac{2x\cos(x^2)}{m}\\ &= 0. \end{aligned}$ (b) Along $x=0$ , the limit is: $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sin(x^2)}{y} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x^2)}{x^2}.$ This can be evaluated with L'Hopital's Rule or from known limits; it is 1.

Since the limits along the lines $y=mx$ are not the same as the limit along $y=x^2$ , the overall limit does not exist.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.1절 · 1번

# 다변수함수의 극한과 연속계산자동 분류

71.APEX · 12.2절 · 19번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–20에서 극한이 주어져 있습니다. 주어진 경로를 따라 극한을 구한 다음, 이 결과로부터 주어진 극한이 존재하지 않는 이유를 설명하세요.

$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(1,2)} \frac{x+y-3}{x^2-1}$

(a) 경로 $y=2$ 를 따라. (b) 경로 $y=x+1$ 을 따라.

영어 원문 보기

In Exercises 15–20, a limit is given. Evaluate the limit along the paths given, then state why these results show the given limit does not exist.

$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(1,2)} \frac{x+y-3}{x^2-1}$

(a) Along the path $y=2$ . (b) Along the path $y=x+1$ .

정답·풀이 보기

(a) $y=2$ 를 따라 극한은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \lim_{(x,y)\to(1,2)} \frac{x+y-3}{x^2-1} & = \lim_{x\to 1} \frac{x-1}{x^2-1}\\ &= \lim_{x\to 1} \frac{1}{x+1}\\ &= 1/2. \end{aligned}$ (b) $y=x+1$ 을 따라 극한은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \lim_{(x,y)\to(1,2)} \frac{x+y-3}{x^2-1} & = \lim_{x\to 1} \frac{2(x-1)}{x^2-1}\\ &= \lim_{x\to 1} \frac{2}{x+1}\\ &= 1. \end{aligned}$

직선 $y=2$ 와 $y=x+1$ 을 따른 극한이 서로 다르므로, 전체 극한은 존재하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Along $y=2$ , the limit is:

$\begin{aligned} \lim_{(x,y)\to(1,2)} \frac{x+y-3}{x^2-1} & = \lim_{x\to 1} \frac{x-1}{x^2-1}\\ &= \lim_{x\to 1} \frac{1}{x+1}\\ &= 1/2. \end{aligned}$ (b) Along $y=x+1$ , the limit is:

$\begin{aligned} \lim_{(x,y)\to(1,2)} \frac{x+y-3}{x^2-1} & = \lim_{x\to 1} \frac{2(x-1)}{x^2-1}\\ &= \lim_{x\to 1} \frac{2}{x+1}\\ &= 1. \end{aligned}$

Since the limits along the lines $y=2$ and $y=x+1$ differ, the overall limit does not exist.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.2절 · 14번

# 다변수함수의 극한과 연속계산자동 분류

72.APEX · 12.2절 · 20번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–20에서 극한이 주어져 있습니다. 주어진 경로를 따라 극한을 구한 다음, 이 결과로부터 주어진 극한이 존재하지 않는 이유를 설명하세요.

$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(\pi,\pi/2)} \frac{\sin x}{\cos y}$

(a) 경로 $x=\pi$ 를 따라. (b) 경로 $y=x-\pi/2$ 를 따라.

영어 원문 보기

In Exercises 15–20, a limit is given. Evaluate the limit along the paths given, then state why these results show the given limit does not exist.

$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(\pi,\pi/2)} \frac{\sin x}{\cos y}$

(a) Along the path $x=\pi$ . (b) Along the path $y=x-\pi/2$ .

정답·풀이 보기

(a) $x=\pi$ 를 따라 극한은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \lim_{(x,y)\to(\pi,\pi/2)} \frac{\sin x}{\cos y} & = \lim_{y\to \pi/2} \frac{0}{\cos y}\\ &= 0. \end{aligned}$ (b) $y=x-\pi/2$ 를 따라 극한은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \lim_{(x,y)\to(\pi,\pi/2)} \frac{\sin x}{\cos y} & = \lim_{x\to \pi} \frac{\sin x}{\cos(x-\pi/2)}\\ \text{로피탈의 정리를 적용한다:} \\ &= \lim_{x\to \pi} \frac{\cos x}{-\sin(x-\pi/2)}\\ &= 1. \end{aligned}$

직선 $x=\pi$ 와 $y=x-\pi$ 를 따른 극한이 서로 다르므로, 전체 극한은 존재하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Along $x=\pi$ , the limit is:

$\begin{aligned} \lim_{(x,y)\to(\pi,\pi/2)} \frac{\sin x}{\cos y} & = \lim_{y\to \pi/2} \frac{0}{\cos y}\\ &= 0. \end{aligned}$ (b) Along $y=x-\pi/2$ , the limit is:

$\begin{aligned} \lim_{(x,y)\to(\pi,\pi/2)} \frac{\sin x}{\cos y} & = \lim_{x\to \pi} \frac{\sin x}{\cos(x-\pi/2)}\\ \text{Apply L'H\^opital's Rule:} \\ &= \lim_{x\to \pi} \frac{\cos x}{-\sin(x-\pi/2)}\\ &= 1. \end{aligned}$

Since the limits along the lines $x=\pi$ and $y=x-\pi$ differ, the overall limit does not exist.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.2절 · 6번

# 다변수함수의 극한과 연속계산자동 분류

73.CLP-3 · 2.1절 · 1번대학 수준우리말 번역

$f(x,y)$ 가 다음을 만족시키는 함수라고 하자. $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=10$ .

참 또는 거짓: $|f(0.1,0.1)-10|<|f(0.2,0.2)-10|$

영어 원문 보기

Suppose $f(x,y)$ is a function such that $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=10$ .

True or false: $|f(0.1,0.1)-10|<|f(0.2,0.2)-10|$

정답·풀이 보기

일반적으로 이 명제는 거짓이다. $f(x,y)=12-(1-10x)^2-(1-10y)^2$ 을 생각하자.

$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=12-1-1=10$ (이 함수는 연속이다)
$f(0.1,0.1)=12-(1-1)^2-(1-1)^2=12$
$f(0.2,0.2)=12-(1-2)^2-(1-2)^2=10$

우리는 흔히 (다소 안이하게) 극한 “ $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=10$ " 을 $(x,y)$ 가 원점에 가까워질수록 $f(x,y)$ 가 10 에 점점 가까워진다는 뜻으로 해석한다. 그러나 극한의 정의가 뜻하는 바는 정확히 이것이 아니다. 정의가 말해 주는 것은, $(x,y)$ 를 $(0,0)$ 에 충분히 가깝게 택하면 $f(x,y)$ 가 10 에 매우 가깝도록 보장할 수 있다는 것이다.

$(0,0)$ 에 가깝지 않은 어떤 $(x,y)$ 에 대해서도 $f(x,y)$ 가 10 에 매우 가까울 수 있다. 게다가 $f(x,y)$ 가 10 에 “매우 가까워지려면" $(0,0)$ 에 얼마나 가까이 가야 하는지는 알 수 없다.

원본 교재 풀이(영어)

In general, this is false. Consider $f(x,y)=12-(1-10x)^2-(1-10y)^2$ .

$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=12-1-1=10$ (the function is continuous)
$f(0.1,0.1)=12-(1-1)^2-(1-1)^2=12$
$f(0.2,0.2)=12-(1-2)^2-(1-2)^2=10$

We often (somewhat lazily) interpret the limit “ $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=10$ " to mean that, as $(x,y)$ gets closer and closer to the origin, $f(x,y)$ gets closer and closer to 10. This isn't exactly what the definition means, though. The definition tells us that, we can guarantee that $f(x,y)$ be very close to 10 by choosing $(x,y)$ very close to $(0,0)$ .

The function $f(x,y)$ can also be very close to 10 for some $(x,y)$ 's that are not close to $(0,0)$ . Moreover, we don't know how close to $(0,0)$ we have to be in order for $f(x,y)$ to be “very close" to 10.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.1절 · 3번

# 다변수함수의 극한과 연속개념 확인기본자동 분류

74.CLP-3 · 2.1절 · 3번대학 수준우리말 번역

$f(x,y)=\dfrac{x^2}{x^2+y^2}$ 이라 하자.

(a) 원점에 접근하는 반직선 중 그 위에서 $f(x,y)=1$ 인 것을 구하세요. (b) 원점에 접근하는 반직선 중 그 위에서 $f(x,y)=0$ 인 것을 구하세요. (c) 위의 결과는 $f(x,y)$ 의 극한에 대해 무엇을 보여 주는지 설명하세요.

영어 원문 보기

Let $f(x,y)=\dfrac{x^2}{x^2+y^2}$ .

(a) Find a ray approaching the origin along which $f(x,y)=1$ . (b) Find a ray approaching the origin along which $f(x,y)=0$ . (c) What does the above work show about a limit of $f(x,y)$ ?

정답·풀이 보기

(a) 살펴보면, $y=0$ 일 때 $x \neq 0$ 이기만 하면 $f(x,y)=1$ 이다. 따라서 $x$ 축을 따라 원점으로 접근하면 이 경로 위에서 $f(x,y)=1$ 이다. (b) 마찬가지로 살펴보면, $x=0$ 일 때 $y \neq 0$ 이기만 하면 $f(x,y)=0$ 이다. 따라서 $y$ 축을 따라 원점으로 접근하면 이 경로 위에서 $f(x,y)=0$ 이다. (c) 원점에 접근하는 서로 다른 두 방향이 서로 다른 값을 주므로 $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$ 는 존재하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) By inspection, when $y=0$ , then $f(x,y)=1$ as long as $x \neq 0$ . So, if we follow the $x$ -axis in towards the origin, $f(x,y)=1$ along this route. (b) Also by inspection, when $x=0$ , then $f(x,y)=0$ as long as $y \neq 0$ . So, if we follow the $y$ -axis in towards the origin, $f(x,y)=0$ along this route. (c) Since two different directions give us different values as we approach the origin, $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$ does not exist.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.1절 · 7번

# 다변수함수의 극한과 연속계산기본자동 분류

75.CLP-3 · 2.1절 · 6번대학 수준우리말 번역

가능하다면 다음 극한값을 구하세요.

(a) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(2,-1)}\ \big(xy+x^2\big)$ (b) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x}{x^2+y^2}$ (c) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x^2}{x^2+y^2}$ (d) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x^3}{x^2+y^2}$ (e) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x^2y^2}{x^2+y^4}$ (f) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\ \frac{(\sin x)\left(e^y-1\right)}{xy}$

영어 원문 보기

Evaluate, if possible,

(a) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(2,-1)}\ \big(xy+x^2\big)$ (b) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x}{x^2+y^2}$ (c) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x^2}{x^2+y^2}$ (d) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x^3}{x^2+y^2}$ (e) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x^2y^2}{x^2+y^4}$ (f) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\ \frac{(\sin x)\left(e^y-1\right)}{xy}$

정답·풀이 보기

(a) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(2,-1)}\ \big(xy+x^2\big)=2(-1)+2^2=2$

(b) 극좌표로 바꾸면,

$\begin{aligned} \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x}{x^2+y^2} &=\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{0\le\theta<2\pi}}\ \frac{r\cos\theta}{r^2} =\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{0\le\theta<2\pi}}\ \frac{\cos\theta}{r} \end{aligned}$

이 극한은 존재하지 않는다. 예를 들어,

$\theta=0$ 이면,

$\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{\theta=0}}\ \frac{\cos\theta}{r} =\lim_{r\rightarrow0^+}\ \frac{1}{r} =+\infty$

반면 $\theta=\pi$ 이면,

$\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{\theta=\pi}}\ \frac{\cos\theta}{r} =\lim_{r\rightarrow0^+}\ \frac{-1}{r} =-\infty$

이기 때문이다.

(c) 극좌표로 바꾸면,

$\begin{aligned} \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x^2}{x^2+y^2} &=\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{0\le\theta<2\pi}}\ \frac{r^2\cos^2\theta}{r^2} =\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{0\le\theta<2\pi}}\ \cos^2\theta \end{aligned}$

이 극한은 존재하지 않는다. 예를 들어,

$\theta=0$ 이면,

$\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{\theta=0}}\ \cos^2\theta =\lim_{r\rightarrow0^+}\ 1 = 1$

반면 $\theta=\frac{\pi}{2}$ 이면,

$\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{\theta=\pi/2}}\ \cos^2\theta =\lim_{r\rightarrow0^+}\ 0 =0$

이기 때문이다.

(d) 극좌표로 바꾸면,

$\begin{aligned} \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x^3}{x^2+y^2} &=\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{0\le\theta<2\pi}}\ \frac{r^3\cos^3\theta}{r^2} =\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{0\le\theta<2\pi}}\ r\cos^3\theta =0 \end{aligned}$

모든 $\theta$ 에 대해 $|\cos\theta|\le 1$ 이기 때문이다.

(e) 극좌표로 바꾸면,

$\begin{aligned} \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x^2y^2}{x^2+y^4} &=\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{0\le\theta<2\pi}}\ \frac{r^2\cos^2\theta\ r^2\sin^2\theta} {r^2\cos^2\theta+r^4\sin^4\theta} =\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{0\le\theta<2\pi}}\ r^2\sin^2\theta \frac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta+r^2\sin^4\theta} \\ &= 0 \end{aligned}$

여기서 모든 $r>0$ 에 대해 다음이 성립함을 이용하였다.

$\left|\sin^2\theta\frac{\cos^2\theta} {\cos^2\theta+r^2\sin^4\theta}\right| \le \frac{\cos^2\theta} {\cos^2\theta+r^2\sin^4\theta} \le \left.\begin{cases} \frac{\cos^2\theta} {\cos^2\theta}&\text{(}\cos\theta\ne 0\text{ 일 때)}\\ 0 &\text{(}\cos\theta =0\text{ 일 때)}\end{cases} \right\} \le 1$

(f) 먼저 다음을 관찰하자.

$\begin{aligned} \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\ \frac{(\sin x)\left(e^y-1\right)}{xy} =\left[\lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{\sin x}{x}\right] \left[\lim_{y\rightarrow 0}\ \frac{e^y-1}{y}\right] \end{aligned}$

$\displaystyle \left[\lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{\sin x}{x}\right]$ 은 로피탈 법칙 또는 미분계수의 정의를 이용하여 구할 수 있으며, 다음과 같다.

$\lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{\sin x}{x} =\lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{\sin x-\sin 0}{x-0} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin x\bigg|_{x=0} =\cos x\Big|_{x=0}=1$

마찬가지로 $\displaystyle \left[\lim_{y\rightarrow 0}\ \frac{e^y-1}{y}\right]$ 도 로피탈 법칙 또는 미분계수의 정의를 이용하여 구할 수 있으며, 다음과 같다.

$\lim_{y\rightarrow 0}\ \frac{e^y-1}{y} =\lim_{y\rightarrow 0}\ \frac{e^y-e^0}{y-0} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}e^y\bigg|_{y=0} =e^y\Big|_{y=0}=1$

따라서 모두 합하면

$\begin{aligned} \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\ \frac{(\sin x)\left(e^y-1\right)}{xy} =\left[\lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{\sin x}{x}\right] \left[\lim_{y\rightarrow 0}\ \frac{e^y-1}{y}\right] =[1]\ [1]=1 \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(2,-1)}\ \big(xy+x^2\big)=2(-1)+2^2=2$

(b) Switching to polar coordinates,

$\begin{aligned} \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x}{x^2+y^2} &=\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{0\le\theta<2\pi}}\ \frac{r\cos\theta}{r^2} =\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{0\le\theta<2\pi}}\ \frac{\cos\theta}{r} \end{aligned}$

which does not exist, since, for example,

if $\theta=0$ , then

$\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{\theta=0}}\ \frac{\cos\theta}{r} =\lim_{r\rightarrow0^+}\ \frac{1}{r} =+\infty$

while if $\theta=\pi$ , then

$\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{\theta=\pi}}\ \frac{\cos\theta}{r} =\lim_{r\rightarrow0^+}\ \frac{-1}{r} =-\infty$

(c) Switching to polar coordinates,

$\begin{aligned} \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x^2}{x^2+y^2} &=\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{0\le\theta<2\pi}}\ \frac{r^2\cos^2\theta}{r^2} =\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{0\le\theta<2\pi}}\ \cos^2\theta \end{aligned}$

which does not exist, since, for example,

if $\theta=0$ , then

$\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{\theta=0}}\ \cos^2\theta =\lim_{r\rightarrow0^+}\ 1 = 1$

while if $\theta=\frac{\pi}{2}$ , then

$\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{\theta=\pi/2}}\ \cos^2\theta =\lim_{r\rightarrow0^+}\ 0 =0$

(d) Switching to polar coordinates,

$\begin{aligned} \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x^3}{x^2+y^2} &=\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{0\le\theta<2\pi}}\ \frac{r^3\cos^3\theta}{r^2} =\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{0\le\theta<2\pi}}\ r\cos^3\theta =0 \end{aligned}$

since $|\cos\theta|\le 1$ for all $\theta$ .

(e) Switching to polar coordinates,

$\begin{aligned} \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x^2y^2}{x^2+y^4} &=\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{0\le\theta<2\pi}}\ \frac{r^2\cos^2\theta\ r^2\sin^2\theta} {r^2\cos^2\theta+r^4\sin^4\theta} =\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{0\le\theta<2\pi}}\ r^2\sin^2\theta \frac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta+r^2\sin^4\theta} \\ &= 0 \end{aligned}$

Here, we used that

$\left|\sin^2\theta\frac{\cos^2\theta} {\cos^2\theta+r^2\sin^4\theta}\right| \le \frac{\cos^2\theta} {\cos^2\theta+r^2\sin^4\theta} \le \left.\begin{cases} \frac{\cos^2\theta} {\cos^2\theta}&\text{ if }\cos\theta\ne 0 \\ 0 &\text { if }\cos\theta =0 \end{cases} \right\} \le 1$

for all $r>0$ .

(f) To start, observe that

$\begin{aligned} \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\ \frac{(\sin x)\left(e^y-1\right)}{xy} =\left[\lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{\sin x}{x}\right] \left[\lim_{y\rightarrow 0}\ \frac{e^y-1}{y}\right] \end{aligned}$

We may evaluate $\displaystyle \left[\lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{\sin x}{x}\right]$ by l'Hopital's rule or by using the definition of the derivative to give

$\lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{\sin x}{x} =\lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{\sin x-\sin 0}{x-0} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin x\bigg|_{x=0} =\cos x\Big|_{x=0}=1$

Similarly, we may evaluate $\displaystyle \left[\lim_{y\rightarrow 0}\ \frac{e^y-1}{y}\right]$ by l'Hopital's rule or by using the definition of the derivative to give

$\lim_{y\rightarrow 0}\ \frac{e^y-1}{y} =\lim_{y\rightarrow 0}\ \frac{e^y-e^0}{y-0} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}e^y\bigg|_{y=0} =e^y\Big|_{y=0}=1$

So all together

$\begin{aligned} \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\ \frac{(\sin x)\left(e^y-1\right)}{xy} =\left[\lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{\sin x}{x}\right] \left[\lim_{y\rightarrow 0}\ \frac{e^y-1}{y}\right] =[1]\ [1]=1 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.2절 · 10번

# 다변수함수의 극한과 연속계산보통자동 분류

76.CLP-3 · 2.1절 · 7번대학 수준우리말 번역

(a) 극한을 구하세요: $\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^8+y^8}{x^4+y^4}$ . (b) 다음 극한이 존재하지 않음을 증명하세요: $\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy^5}{x^8+y^{10}}$ .

영어 원문 보기

(a) Find the limit: $\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^8+y^8}{x^4+y^4}$ . (b) Prove that the following limit does not exist: $\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy^5}{x^8+y^{10}}$ .

정답·풀이 보기

(a) 극좌표에서 $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ 이므로

$\begin{aligned} \frac{x^8+y^8}{x^4+y^4} &=\frac{r^8\cos^8\theta+r^8\sin^8\theta}{r^4\cos^4\theta+r^4\sin^4\theta} =r^4\frac{\cos^8\theta+\sin^8\theta}{\cos^4\theta+\sin^4\theta} \end{aligned}$

이때

$\begin{aligned} \frac{\cos^8\theta+\sin^8\theta}{\cos^4\theta+\sin^4\theta} &\le \frac{\cos^8\theta+2\cos^4\theta\sin^4\theta+\sin^8\theta} {\cos^4\theta+\sin^4\theta} =\frac{\big(\cos^4\theta+\sin^4\theta\big)^2}{\cos^4\theta+\sin^4\theta} \\ &=\cos^4\theta+\sin^4\theta \le 2 \end{aligned}$

이므로

$0\le \frac{x^8+y^8}{x^4+y^4}\le 2r^4$

이다. $\displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,0)}2r^4=0$ 이므로 조임 정리에 의해 $\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^8+y^8}{x^4+y^4}=0$ 이다.

(b) 극좌표에서

$\begin{aligned} \frac{xy^5}{x^8+y^{10}} &=\frac{r^6\cos\theta\,\sin^5\theta}{r^8\cos^8\theta+r^{10}\sin^{10}\theta} =\frac{1}{r^2}\frac{\cos\theta\,\sin^5\theta}{\cos^8\theta+r^2\sin^{10}\theta} \end{aligned}$

이다. $(x,y)\to (0,0)$ 일 때 첫째 분수 $\frac{1}{r^2}\to\infty$ 이지만, 둘째 인수는 여러 가지 다른 값을 가질 수 있다. 예를 들어 $(x,y)$ 를 $y$ 축을 따라, 즉 $\theta=\pm\frac{\pi}{2}$ 로 원점에 가까이 보내면

$\begin{aligned} \lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{(x,y)\to(0,0)}{x=0}}\frac{xy^5}{x^8+y^{10}} =\lim_{y\to 0} \frac{0}{y^{10}}=0 \end{aligned}$

이다. 그러나 $(x,y)$ 를 직선 $y=x$ 를 따라, 즉 $\theta=\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}$ 로 원점에 가까이 보내면

$\begin{aligned} \lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{(x,y)\to(0,0)}{y=x} }\frac{xy^5}{x^8+y^{10}} =\lim_{x\to 0} \frac{x^6}{x^8+x^{10}} =\lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2}\frac{1}{1+x^2} =+\infty \end{aligned}$

이고, $(x,y)$ 를 직선 $y=-x$ 를 따라, 즉 $\theta=-\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}$ 로 원점에 가까이 보내면

$\begin{aligned} \lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{(x,y)\to(0,0)}{y=-x} }\frac{xy^5}{x^8+y^{10}} =\lim_{x\to 0} \frac{-x^6}{x^8+x^{10}} =\lim_{x\to 0}- \frac{1}{x^2}\frac{1}{1+x^2} =-\infty \end{aligned}$

이다. 따라서 $(x,y)\to(0,0)$ 일 때 $\frac{xy^5}{x^8+y^{10}}$ 은 하나의 값에 가까워지지 않으므로 극한은 존재하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) In polar coordinates, $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ , so that

$\begin{aligned} \frac{x^8+y^8}{x^4+y^4} &=\frac{r^8\cos^8\theta+r^8\sin^8\theta}{r^4\cos^4\theta+r^4\sin^4\theta} =r^4\frac{\cos^8\theta+\sin^8\theta}{\cos^4\theta+\sin^4\theta} \end{aligned}$

As

$\begin{aligned} \frac{\cos^8\theta+\sin^8\theta}{\cos^4\theta+\sin^4\theta} &\le \frac{\cos^8\theta+2\cos^4\theta\sin^4\theta+\sin^8\theta} {\cos^4\theta+\sin^4\theta} =\frac{\big(\cos^4\theta+\sin^4\theta\big)^2}{\cos^4\theta+\sin^4\theta} \\ &=\cos^4\theta+\sin^4\theta \le 2 \end{aligned}$

we have

$0\le \frac{x^8+y^8}{x^4+y^4}\le 2r^4$

As $\displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,0)}2r^4=0$ , the squeeze theorem yields $\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^8+y^8}{x^4+y^4}=0$ .

(b) In polar coordinates

$\begin{aligned} \frac{xy^5}{x^8+y^{10}} &=\frac{r^6\cos\theta\,\sin^5\theta}{r^8\cos^8\theta+r^{10}\sin^{10}\theta} =\frac{1}{r^2}\frac{\cos\theta\,\sin^5\theta}{\cos^8\theta+r^2\sin^{10}\theta} \end{aligned}$

As $(x,y)\to (0,0)$ the first fraction $\frac{1}{r^2}\to\infty$ but the second factor can take many different values. For example, if we send $(x,y)$ towards the origin along the $y$ –axis, i.e. with $\theta=\pm\frac{\pi}{2}$ ,

$\begin{aligned} \lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{(x,y)\to(0,0)}{x=0}}\frac{xy^5}{x^8+y^{10}} =\lim_{y\to 0} \frac{0}{y^{10}}=0 \end{aligned}$

but if we send $(x,y)$ towards the origin along the line $y=x$ , i.e. with $\theta=\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}$ ,

$\begin{aligned} \lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{(x,y)\to(0,0)}{y=x} }\frac{xy^5}{x^8+y^{10}} =\lim_{x\to 0} \frac{x^6}{x^8+x^{10}} =\lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2}\frac{1}{1+x^2} =+\infty \end{aligned}$

and if we send $(x,y)$ towards the origin along the line $y=-x$ , i.e. with $\theta=-\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}$ ,

$\begin{aligned} \lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{(x,y)\to(0,0)}{y=-x} }\frac{xy^5}{x^8+y^{10}} =\lim_{x\to 0} \frac{-x^6}{x^8+x^{10}} =\lim_{x\to 0}- \frac{1}{x^2}\frac{1}{1+x^2} =-\infty \end{aligned}$

So $\frac{xy^5}{x^8+y^{10}}$ does not approach a single value as $(x,y)\to(0,0)$ and the limit does not exist.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.1절 · 6번

# 다변수함수의 극한과 연속증명·논술보통자동 분류

77.CLP-3 · 2.1절 · 8번대학 수준우리말 번역

다음 각 극한의 값을 구하거나 극한이 존재하지 않음을 보이세요.

(a) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}$ (b) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^2-y^4}{x^2+y^4}$

영어 원문 보기

Evaluate each of the following limits or show that it does not exist.

(a) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}$ (b) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^2-y^4}{x^2+y^4}$

정답·풀이 보기

(a) 극좌표로 나타내면

$\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}=\frac{r^3\cos^3\theta-r^3\sin^3\theta}{r^2} =r\cos^3\theta-r\sin^3\theta$

이다.

$\big|r\cos^3\theta-r\sin^3\theta\big|\le 2r$

이고 $r\rightarrow 0$ 일 때 $2r\rightarrow 0$ 이므로, 극한이 존재하고 그 값은 $0$ 이다.

(b) $x$ 축을 따라 $(0,0)$ 에 접근할 때의 극한은

$\begin{aligned} \lim_{t\rightarrow 0}\frac{x^2-y^4}{x^2+y^4}\bigg|_{(x,y)=(t,0)} =\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t^2-0^4}{t^2+0^4} =1 \end{aligned}$

이다. 한편 $y$ 축을 따라 $(0,0)$ 에 접근할 때의 극한은

$\begin{aligned} \lim_{t\rightarrow 0}\frac{x^2-y^4}{x^2+y^4}\bigg|_{(x,y)=(0,t)} =\lim_{t\rightarrow 0}\frac{0^2-t^4}{0^2+t^4} =-1 \end{aligned}$

이다. 두 값이 서로 다르므로 $(x,y)\rightarrow 0$ 일 때의 극한은 존재하지 않는다.

극좌표로 바꾸면 원점 근처에서 $\frac{x^2-y^4}{x^2+y^4}$ 의 거동을 더 자세히 이해할 수 있다.

$\frac{x^2-y^4}{x^2+y^4} =\frac{r^2\cos^2\theta-r^4\sin^4\theta}{r^2\cos^2\theta+r^4\sin^4\theta} =\frac{\cos^2\theta-r^2\sin^4\theta}{\cos^2\theta+r^2\sin^4\theta}$

이제 $\theta$ 를 임의로 고정하고 $r\rightarrow 0$ 이라 하자(즉 양의 $x$ 축과 이루는 각이 $\theta$ 인 반직선을 따라 원점에 접근한다). $\cos\theta\ne 0$ 이면(즉 그 반직선이 $y$ 축의 일부가 아니면)

$\begin{aligned} \lim_{r\rightarrow 0} \frac{\cos^2\theta-r^2\sin^4\theta}{\cos^2\theta+r^2\sin^4\theta} =\frac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta} =1 \end{aligned}$

이다. 그러나 $\cos\theta= 0$ 이면(즉 그 반직선이 $y$ 축의 일부이면)

$\begin{aligned} \lim_{r\rightarrow 0} \frac{\cos^2\theta-r^2\sin^4\theta}{\cos^2\theta+r^2\sin^4\theta} =\lim_{r\rightarrow 0} \frac{-r^2\sin^4\theta}{r^2\sin^4\theta} =\frac{-\sin^4\theta}{\sin^4\theta} =-1 \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) In polar coordinates

$\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}=\frac{r^3\cos^3\theta-r^3\sin^3\theta}{r^2} =r\cos^3\theta-r\sin^3\theta$

Since

$\big|r\cos^3\theta-r\sin^3\theta\big|\le 2r$

and $2r\rightarrow 0$ as $r\rightarrow 0$ , the limit exists and is $0$ .

(b) The limit as we approach $(0,0)$ along the $x$ -axis is

$\begin{aligned} \lim_{t\rightarrow 0}\frac{x^2-y^4}{x^2+y^4}\bigg|_{(x,y)=(t,0)} =\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t^2-0^4}{t^2+0^4} =1 \end{aligned}$

On the other hand the limit as we approach $(0,0)$ along the $y$ -axis is

$\begin{aligned} \lim_{t\rightarrow 0}\frac{x^2-y^4}{x^2+y^4}\bigg|_{(x,y)=(0,t)} =\lim_{t\rightarrow 0}\frac{0^2-t^4}{0^2+t^4} =-1 \end{aligned}$

These are different, so the limit as $(x,y)\rightarrow 0$ does not exist.

We can gain a more detailed understanding of the behaviour of $\frac{x^2-y^4}{x^2+y^4}$ near the origin by switching to polar coordinates.

$\frac{x^2-y^4}{x^2+y^4} =\frac{r^2\cos^2\theta-r^4\sin^4\theta}{r^2\cos^2\theta+r^4\sin^4\theta} =\frac{\cos^2\theta-r^2\sin^4\theta}{\cos^2\theta+r^2\sin^4\theta}$

Now fix any $\theta$ and let $r\rightarrow 0$ (so that we are approaching the origin along the ray that makes an angle $\theta$ with the positive $x$ -axis). If $\cos\theta\ne 0$ (i.e. the ray is not part of the $y$ -axis)

$\begin{aligned} \lim_{r\rightarrow 0} \frac{\cos^2\theta-r^2\sin^4\theta}{\cos^2\theta+r^2\sin^4\theta} =\frac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta} =1 \end{aligned}$

But if $\cos\theta= 0$ (i.e. the ray is part of the $y$ -axis)

$\begin{aligned} \lim_{r\rightarrow 0} \frac{\cos^2\theta-r^2\sin^4\theta}{\cos^2\theta+r^2\sin^4\theta} =\lim_{r\rightarrow 0} \frac{-r^2\sin^4\theta}{r^2\sin^4\theta} =\frac{-\sin^4\theta}{\sin^4\theta} =-1 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.2절 · 42번

# 다변수함수의 극한과 연속증명·논술보통자동 분류

78.CLP-3 · 2.1절 · 9번대학 수준우리말 번역

다음 각 극한의 값을 구하거나, 극한이 존재하지 않음을 보이세요.

(a) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{2x^2 + x^2y - y^2x + 2y^2}{x^2 + y^2}$ (b) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,1)} \frac{x^2y^2 -2 x^2y + x^2} {(x^2 + y^2-2y+1)^2}$

영어 원문 보기

Evaluate each of the following limits or show that it does not exist.

(a) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{2x^2 + x^2y - y^2x + 2y^2}{x^2 + y^2}$ (b) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,1)} \frac{x^2y^2 -2 x^2y + x^2} {(x^2 + y^2-2y+1)^2}$

정답·풀이 보기

(a) 극좌표 $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ 에서

$\begin{aligned} \frac{2x^2 + x^2y - y^2x + 2y^2}{x^2 + y^2} &=\frac{2r^2\cos^2\theta + r^3\cos^2\theta\sin\theta - r^3\cos\theta\sin^2\theta + 2r^2\sin^2\theta}{r^2} \\ &=2+ r\big[\cos^2\theta\sin\theta - \sin^2\theta\cos\theta \big] \end{aligned}$

이고

$r\big|\cos^2\theta\sin\theta - \sin^2\theta\cos\theta \big| \le 2r \rightarrow 0\text{ 이때 }r\rightarrow 0$

이므로

$\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \frac{2x^2 + x^2y - y^2x + 2y^2}{x^2 + y^2}=2$

이다.

(b) $\begin{aligned} \frac{x^2y^2 -2 x^2y + x^2} {(x^2 + y^2-2y+1)^2} =\frac{x^2(y-1)^2} {\big[x^2 + (y-1)^2\big]^2} \end{aligned}$

이고, $(0,1)$ 을 중심으로 하는 극좌표 $x=r\cos\theta$ , $y=1+r\sin\theta$ 에서

$\frac{x^2(y-1)^2} {\big[x^2 + (y-1)^2\big]^2} =\frac{r^4\cos^2\theta\sin^2\theta}{r^4} =\cos^2\theta\sin^2\theta$

이므로 극한은 존재하지 않는다. 예를 들어 $(x,y)$ 를 직선 $y=1$ 을 따라 $(0,1)$ 로 보내면 $\theta=0$ 이므로 극한은 $0$ 이고, $(x,y)$ 를 직선 $y=x+1$ 을 따라 $(0,1)$ 로 보내면 $\theta=\frac{\pi}{4}$ 이므로 극한은 $\frac{1}{4}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) In polar coordinates $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$

$\begin{aligned} \frac{2x^2 + x^2y - y^2x + 2y^2}{x^2 + y^2} &=\frac{2r^2\cos^2\theta + r^3\cos^2\theta\sin\theta - r^3\cos\theta\sin^2\theta + 2r^2\sin^2\theta}{r^2} \\ &=2+ r\big[\cos^2\theta\sin\theta - \sin^2\theta\cos\theta \big] \end{aligned}$

As

$r\big|\cos^2\theta\sin\theta - \sin^2\theta\cos\theta \big| \le 2r \rightarrow 0\text{ as }r\rightarrow 0$

we have

$\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \frac{2x^2 + x^2y - y^2x + 2y^2}{x^2 + y^2}=2$

(b) Since

$\begin{aligned} \frac{x^2y^2 -2 x^2y + x^2} {(x^2 + y^2-2y+1)^2} =\frac{x^2(y-1)^2} {\big[x^2 + (y-1)^2\big]^2} \end{aligned}$

and, in polar coordinates centred on $(0,1)$ , $x=r\cos\theta$ , $y=1+r\sin\theta$ ,

$\frac{x^2(y-1)^2} {\big[x^2 + (y-1)^2\big]^2} =\frac{r^4\cos^2\theta\sin^2\theta}{r^4} =\cos^2\theta\sin^2\theta$

we have that the limit does not exist. For example, if we send $(x,y)$ to $(0,1)$ along the line $y=1$ , so that $\theta=0$ , we get the limit $0$ , while if we send $(x,y)$ to $(0,1)$ along the line $y=x+1$ , so that $\theta=\frac{\pi}{4}$ , we get the limit $\frac{1}{4}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.1절 · 8번

# 다변수함수의 극한과 연속증명·논술도전자동 분류

79.CLP-3 · 2.1절 · 11번대학 수준우리말 번역

다음 극한을 구하거나, 존재하지 않는 이유를 설명하세요.

(a) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}$ (b) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{\sin(xy)}{x^2+y^2}$ (c) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(-1,1)}\frac{x^2+2xy^2+y^4}{1+y^4}$ (d) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}|y|^x$

영어 원문 보기

Compute the following limits or explain why they do not exist.

(a) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}$ (b) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{\sin(xy)}{x^2+y^2}$ (c) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(-1,1)}\frac{x^2+2xy^2+y^4}{1+y^4}$ (d) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}|y|^x$

정답·풀이 보기

(a) 극좌표에서

$\frac{xy}{x^2+y^2}=\frac{r^2\cos\theta\sin\theta}{r^2} =\cos\theta\sin\theta$

이므로 극한은 존재하지 않는다. 예를 들어,

$(x,y)$ 를 양의 $x$ 축을 따라 $(0,0)$ 으로 보내면 $\theta=0$ 이므로 극한 $\sin\theta\cos\theta\big|_{\theta=0}=0$ 을 얻고,
제1사분면에서 직선 $y=x$ 를 따라 $(x,y)$ 를 $(0,0)$ 으로 보내면 $\theta=\frac{\pi}{4}$ 이므로 극한 $\sin\theta\cos\theta\big|_{\theta=\pi/4}=\frac{1}{2}$ 을 얻는다.

(b) 이 극한이 존재한다고 하면 극한

$\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2} =\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{xy}{\sin(xy)}\ \frac{\sin(xy)}{x^2+y^2} =\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{xy}{\sin(xy)}\ \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{\sin(xy)}{x^2+y^2}$

도 존재해야 하므로 이 극한은 존재하지 않는다. ( $\displaystyle \lim_{t\rightarrow 0}\tfrac{\sin t}{t} =1$ 임을 떠올리세요.)

(c)

$\begin{aligned} \lim_{(x,y)\rightarrow(-1,1)}\big[x^2+2xy^2+y^4\big] &=(-1)^2+2(-1)(1)^2+(1)^4=0 \\ \lim_{(x,y)\rightarrow(-1,1)}\big[1+y^4\big] &=1+(1)^4=2 \end{aligned}$

이고 두 번째 극한이 0이 아니므로

$\lim_{(x,y)\rightarrow(-1,1)}\frac{x^2+2xy^2+y^4}{1+y^4}=\frac{0}{2}=0$

이다.

(d) 양의 $x$ 축을 따른 극한

$\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{t\rightarrow 0}{t>0}}|y|^x\Big|_{(x,y)=(t,0)} =\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{t\rightarrow 0}{t>0}}0^t =\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{t\rightarrow 0}{t>0}}0 =0$

과 $y$ 축을 따른 극한

$\lim_{t\rightarrow 0}|y|^x\Big|_{(x,y)=(0,t)} =\lim_{t\rightarrow 0}|t|^0 =\lim_{t\rightarrow 0}1 =1$

이 서로 다르므로 $(x,y)\rightarrow 0$ 일 때의 극한은 존재하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since, in polar coordinates,

$\frac{xy}{x^2+y^2}=\frac{r^2\cos\theta\sin\theta}{r^2} =\cos\theta\sin\theta$

we have that the limit does not exist. For example,

if we send $(x,y)$ to $(0,0)$ along the positive $x$ -axis, so that $\theta=0$ , we get the limit $\sin\theta\cos\theta\big|_{\theta=0}=0$ ,
while if we send $(x,y)$ to $(0,0)$ along the line $y=x$ in the first quadrant, so that $\theta=\frac{\pi}{4}$ , we get the limit $\sin\theta\cos\theta\big|_{\theta=\pi/4}=\frac{1}{2}$ .

(b) This limit does not exist, since if it were to exist the limit

$\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2} =\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{xy}{\sin(xy)}\ \frac{\sin(xy)}{x^2+y^2} =\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{xy}{\sin(xy)}\ \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{\sin(xy)}{x^2+y^2}$

would also exist. (Recall that $\displaystyle \lim_{t\rightarrow 0}\tfrac{\sin t}{t} =1$ .)

(c) Since

$\begin{aligned} \lim_{(x,y)\rightarrow(-1,1)}\big[x^2+2xy^2+y^4\big] &=(-1)^2+2(-1)(1)^2+(1)^4=0 \\ \lim_{(x,y)\rightarrow(-1,1)}\big[1+y^4\big] &=1+(1)^4=2 \end{aligned}$

and the second limit is nonzero,

$\lim_{(x,y)\rightarrow(-1,1)}\frac{x^2+2xy^2+y^4}{1+y^4}=\frac{0}{2}=0$

(d) Since the limit along the positive $x$ -axis

$\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{t\rightarrow 0}{t>0}}|y|^x\Big|_{(x,y)=(t,0)} =\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{t\rightarrow 0}{t>0}}0^t =\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{t\rightarrow 0}{t>0}}0 =0$

and the limit along the $y$ -axis

$\lim_{t\rightarrow 0}|y|^x\Big|_{(x,y)=(0,t)} =\lim_{t\rightarrow 0}|t|^0 =\lim_{t\rightarrow 0}1 =1$

are different, the limit as $(x,y)\rightarrow 0$ does not exist.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.2절 · 1번

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