극좌표에서의 넓이와 길이 연습문제

41.OpenStax 2권 · 7.4절 · 58번대학 수준우리말 번역

심장형 곡선 $r=1+\sin \,\theta$ 에 대하여 $\theta =\frac{\pi }{3}$ 일 때 접선의 기울기를 구하세요.

영어 원문 보기

For the cardioid $r=1+\sin \,\theta ,$ find the slope of the tangent line when $\theta =\frac{\pi }{3}.$

정답·풀이 보기

기울기 = −1.

원본 교재 풀이(영어)

Slope = −1.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 20번

# 극좌표에서의 넓이와 길이계산자동 분류

42.OpenStax 2권 · 7.4절 · 59번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 $\theta$ 의 값에 해당하는 점에서 주어진 극곡선에 대한 접선의 기울기를 구하세요.

$r=3\,\cos \,\theta ,\theta =\frac{\pi }{3}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the slope of the tangent line to the given polar curve at the point given by the value of $\theta .$

$r=3\,\cos \,\theta ,\theta =\frac{\pi }{3}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 56번

# 극좌표에서의 넓이와 길이계산자동 분류

43.OpenStax 2권 · 7.4절 · 60번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 극곡선 위의 점 중 $\theta$ 의 값으로 주어지는 점에서 접선의 기울기를 구하세요.

$r=\theta ,$ $\theta =\frac{\pi }{2}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the slope of the tangent line to the given polar curve at the point given by the value of $\theta .$

$r=\theta ,$ $\theta =\frac{\pi }{2}$

정답·풀이 보기

기울기는 $\frac{-2}{\pi }$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Slope is $\frac{-2}{\pi }.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 62번

# 극좌표에서의 넓이와 길이계산자동 분류

44.OpenStax 2권 · 7.4절 · 61번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 극곡선 위의 점 중 $\theta$ 의 값으로 주어지는 점에서 접선의 기울기를 구하세요.

$r=\ln \,\theta ,$ $\theta =e$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the slope of the tangent line to the given polar curve at the point given by the value of $\theta .$

$r=\ln \,\theta ,$ $\theta =e$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 24번

# 극좌표에서의 넓이와 길이계산자동 분류

45.OpenStax 2권 · 7.4절 · 62번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $\theta$ 의 값으로 주어진 점에서 주어진 극곡선의 접선의 기울기를 구하세요.

[계산기 사용] 공학 도구를 사용하세요: $\theta =\frac{\pi }{6}$ 일 때 $r=2+4\,\cos \,\theta$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the slope of the tangent line to the given polar curve at the point given by the value of $\theta .$

[T] Use technology: $r=2+4\,\cos \,\theta$ at $\theta =\frac{\pi }{6}$

정답·풀이 보기

계산기로 구한 답: −0.836.

원본 교재 풀이(영어)

Calculator answer: −0.836.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 48번

# 극좌표에서의 넓이와 길이계산자동 분류

46.OpenStax 2권 · 7.4절 · 63번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 다음 극곡선이 수평 또는 수직인 접선을 갖는 점을 구하세요.

$r=4\,\cos \,\theta$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the points at which the following polar curves have a horizontal or vertical tangent line.

$r=4\,\cos \,\theta$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 50번

# 극좌표에서의 넓이와 길이계산자동 분류

47.OpenStax 2권 · 7.4절 · 64번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 다음 극곡선이 수평 또는 수직인 접선을 갖는 점을 구하세요.

${r}^{2}=4\,\cos (2\theta )$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the points at which the following polar curves have a horizontal or vertical tangent line.

${r}^{2}=4\,\cos (2\theta )$

정답·풀이 보기

수평 접선은 $\left(\pm \sqrt{2},\frac{\pi }{6}\right),$ $\left(\pm \sqrt{2},-\frac{\pi }{6}\right)$ 에서 갖는다.

원본 교재 풀이(영어)

Horizontal tangent at $\left(\pm \sqrt{2},\frac{\pi }{6}\right),$ $\left(\pm \sqrt{2},-\frac{\pi }{6}\right).$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 18번

# 극좌표에서의 넓이와 길이계산자동 분류

48.OpenStax 2권 · 7.4절 · 65번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 극곡선이 수평 또는 수직인 접선을 갖는 점을 구하세요.

$r=2\,\sin (2\theta )$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the points at which the following polar curves have a horizontal or vertical tangent line.

$r=2\,\sin (2\theta )$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 30번

# 극좌표에서의 넓이와 길이계산자동 분류

49.OpenStax 2권 · 7.4절 · 66번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 극곡선이 수평 또는 수직인 접선을 갖는 점을 구하세요.

심장형 곡선 $r=1+\sin \,\theta$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the points at which the following polar curves have a horizontal or vertical tangent line.

The cardioid $r=1+\sin \,\theta$

정답·풀이 보기

수평 접선은 $\frac{\pi }{2},\frac{7\pi }{6},\frac{11\pi }{6}$ 에서 갖는다. 수직 접선은 $\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}$ 에서 갖고, 극점 $(0,0)$ 에서도 갖는다.

원본 교재 풀이(영어)

Horizontal tangents at $\frac{\pi }{2},\frac{7\pi }{6},\frac{11\pi }{6}.$ Vertical tangents at $\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}$ and also at the pole $(0,0).$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 60번

# 극좌표에서의 넓이와 길이계산자동 분류

50.APEX · 9.5절 · 3번대학 수준우리말 번역

연습문제 3~10에서 다음을 구하세요.

(a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ (b) 주어진 $\theta$ 값에서 곡선의 접선과 법선의 방정식

$r=1$ ; $\theta = \pi/4$

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, find:

(a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ (b) the equation of the tangent and normal lines to the curve at the indicated $\theta$ –value.

$r=1$ ; $\theta = \pi/4$

정답·풀이 보기

(a) $\frac{dy}{dx} = -\cot\theta$ (b) 접선: $y=-(x-\sqrt{2}/2)+\sqrt{2}/2$ ; 법선: $y=x$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\frac{dy}{dx} = -\cot\theta$ (b) tangent line: $y=-(x-\sqrt{2}/2)+\sqrt{2}/2$ ; normal line: $y=x$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 50번

# 극좌표에서의 넓이와 길이계산자동 분류

51.APEX · 9.5절 · 4번대학 수준우리말 번역

연습문제 3–10에서 다음을 구하세요.

(a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ (b) 주어진 $\theta$ 값에서 곡선의 접선과 법선의 방정식

$r=\cos\theta$ ; $\theta = \pi/4$

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, find:

(a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ (b) the equation of the tangent and normal lines to the curve at the indicated $\theta$ –value.

$r=\cos\theta$ ; $\theta = \pi/4$

정답·풀이 보기

(a) $\frac{dy}{dx} = 1/2(\tan \theta-\cot\theta)$ (b) 접선: $y=1/2$ ; 법선: $x=1/2$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\frac{dy}{dx} = 1/2(\tan \theta-\cot\theta)$ (b) tangent line: $y=1/2$ ; normal line: $x=1/2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 28번

# 극좌표에서의 넓이와 길이계산자동 분류

52.APEX · 9.5절 · 5번대학 수준우리말 번역

연습문제 3–10에서 다음을 구하세요.

(a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ (b) 주어진 $\theta$ 값에서 곡선의 접선과 법선의 방정식

$r=1+\sin\theta$ ; $\theta = \pi/6$

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, find:

(a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ (b) the equation of the tangent and normal lines to the curve at the indicated $\theta$ –value.

$r=1+\sin\theta$ ; $\theta = \pi/6$

정답·풀이 보기

(a) $\frac{dy}{dx} = \frac{\cos\theta(1+2\sin\theta)}{\cos^2\theta-\sin\theta(1+\sin\theta)}$ (b) 접선: $x=3\sqrt{3}/4$ ; 법선: $y=3/4$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\frac{dy}{dx} = \frac{\cos\theta(1+2\sin\theta)}{\cos^2\theta-\sin\theta(1+\sin\theta)}$ (b) tangent line: $x=3\sqrt{3}/4$ ; normal line: $y=3/4$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 16번

# 극좌표에서의 넓이와 길이계산자동 분류

53.APEX · 9.5절 · 6번대학 수준우리말 번역

연습문제 3–10에서 다음을 구하세요.

(a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ (b) 주어진 $\theta$ 값에서 곡선의 접선과 법선의 방정식

$\displaystyle r=1-3\cos\theta$ ; $\theta = 3\pi/4$

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, find:

(a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ (b) the equation of the tangent and normal lines to the curve at the indicated $\theta$ –value.

$\displaystyle r=1-3\cos\theta$ ; $\theta = 3\pi/4$

정답·풀이 보기

(a) $\frac{dy}{dx} = \frac{3 \sin ^2(t)+(1-3 \cos (t)) \cos (t)}{3 \sin (t) \cos (t)-\sin (t) (1-3 \cos (t))}$ (b) 접선: $y=\frac{1}{1+3\sqrt{2}}(x+(1/\sqrt{2}+3/2))+1/\sqrt{2}+3/2 \approx y=0.19(x+2.21)+2.21$ ; 법선: $y=-(1+3\sqrt{2})(x+(1/\sqrt{2}+3/2))+1/\sqrt{2}+3/2$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\frac{dy}{dx} = \frac{3 \sin ^2(t)+(1-3 \cos (t)) \cos (t)}{3 \sin (t) \cos (t)-\sin (t) (1-3 \cos (t))}$ (b) tangent line: $y=\frac{1}{1+3\sqrt{2}}(x+(1/\sqrt{2}+3/2))+1/\sqrt{2}+3/2 \approx y=0.19(x+2.21)+2.21$ ; normal line: $y=-(1+3\sqrt{2})(x+(1/\sqrt{2}+3/2))+1/\sqrt{2}+3/2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 32번

# 극좌표에서의 넓이와 길이계산자동 분류

54.APEX · 9.5절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 3–10에서 다음을 구하세요.

(a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ (b) 주어진 $\theta$ 값에서 곡선의 접선과 법선의 방정식

$r=\theta$ ; $\theta = \pi/2$

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, find:

(a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ (b) the equation of the tangent and normal lines to the curve at the indicated $\theta$ –value.

$r=\theta$ ; $\theta = \pi/2$

정답·풀이 보기

(a) $\frac{dy}{dx} = \frac{\theta\cos\theta+\sin\theta}{\cos\theta-\theta\sin\theta}$ (b) 접선: $y=-2/\pi x+\pi/2$ ; 법선: $y=\pi/2x+\pi/2$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\frac{dy}{dx} = \frac{\theta\cos\theta+\sin\theta}{\cos\theta-\theta\sin\theta}$ (b) tangent line: $y=-2/\pi x+\pi/2$ ; normal line: $y=\pi/2x+\pi/2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 36번

# 극좌표에서의 넓이와 길이계산자동 분류

55.APEX · 9.5절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 3–10에서 다음을 구하세요.

(a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ (b) 주어진 $\theta$ 값에서 곡선의 접선과 법선의 방정식

$r=\cos(3\theta)$ ; $\theta = \pi/6$

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, find:

(a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ (b) the equation of the tangent and normal lines to the curve at the indicated $\theta$ –value.

$r=\cos(3\theta)$ ; $\theta = \pi/6$

정답·풀이 보기

(a) $\frac{dy}{dx} = \frac{\cos\theta\cos(3\theta)-3\sin\theta\sin(3\theta)}{-\cos(3\theta)\sin\theta-3\cos\theta\sin(3\theta)}$ (b) 접선: $y=x/\sqrt{3}$ ; 법선: $y=-\sqrt{3}x$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\frac{dy}{dx} = \frac{\cos\theta\cos(3\theta)-3\sin\theta\sin(3\theta)}{-\cos(3\theta)\sin\theta-3\cos\theta\sin(3\theta)}$ (b) tangent line: $y=x/\sqrt{3}$ ; normal line: $y=-\sqrt{3}x$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.4절 · 10번

# 극좌표에서의 넓이와 길이계산자동 분류

56.APEX · 9.5절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 3–10에서 다음을 구하세요.

(a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ (b) 주어진 $\theta$ 값에서 곡선의 접선과 법선의 방정식

$r=\sin(4\theta)$ ; $\theta = \pi/3$

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, find:

(a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ (b) the equation of the tangent and normal lines to the curve at the indicated $\theta$ –value.

$r=\sin(4\theta)$ ; $\theta = \pi/3$

정답·풀이 보기

(a) $\frac{dy}{dx} = \frac{4 \sin (\theta) \cos (4 \theta)+\sin (4 \theta) \cos (\theta)}{4 \cos (\theta) \cos (4 \theta)-\sin (\theta) \sin (4 \theta)}$ (b) 접선: $y=5\sqrt{3}(x+\sqrt{3}/4)-3/4$ ; 법선: $y=-1/5\sqrt{3}(x+\sqrt{3}/4)-3/4$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\frac{dy}{dx} = \frac{4 \sin (\theta) \cos (4 \theta)+\sin (4 \theta) \cos (\theta)}{4 \cos (\theta) \cos (4 \theta)-\sin (\theta) \sin (4 \theta)}$ (b) tangent line: $y=5\sqrt{3}(x+\sqrt{3}/4)-3/4$ ; normal line: $y=-1/5\sqrt{3}(x+\sqrt{3}/4)-3/4$