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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 급수 심화

급수 심화 전체 문제

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832문제 · 30 / 42쪽

581.APEX · 8.3절 · 39번대학 수준우리말 번역

연습문제 33~40번에서 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 사용한 판정법을 쓰세요. 둘 이상의 판정법을 쓸 수도 있습니다.

∑n=1∞3nn3\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n^3}

영어 원문 보기

In Exercises 33–40, determine the convergence of the given series. State the test used; more than one test may be appropriate.

∑n=1∞3nn3\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n^3}

정답·풀이 보기

발산한다. nthn^\text{th} 항 판정법을 쓸 수 있고, 적분판정법도 쓸 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Diverges; the nthn^\text{th} Term Test can be used, along with the Integral Test.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.3절 · 38번
# 발산 판정법과 적분 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
582.APEX · 8.3절 · 40번대학 수준우리말 번역

연습문제 33~40번에서 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 사용한 판정법을 쓰세요. 둘 이상의 판정법을 쓸 수도 있습니다.

∑n=1∞cos⁡(1/n)n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos (1/n)}{\sqrt{n}}

영어 원문 보기

In Exercises 33–40, determine the convergence of the given series. State the test used; more than one test may be appropriate.

∑n=1∞cos⁡(1/n)n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos (1/n)}{\sqrt{n}}

정답·풀이 보기

발산한다. 수열 1/n1/\sqrt{n} 과 극한비교판정법을 쓸 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Diverges; the Limit Comparison Test can be used with sequence 1/n1/\sqrt{n}.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.3절 · 32번
# 발산 판정법과 적분 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
583.APEX · 8.3절 · 41번대학 수준우리말 번역

∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n 이 수렴한다고 할 때, 다음 급수 중 어느 것이 수렴하는지, 수렴할 수도 있는지, 수렴하지 않는지 말하세요.

(a) ∑n=1∞ann\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}n (b) ∑n=1∞anan+1\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_na_{n+1} (c) ∑n=1∞(an)2\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (a_n)^2 (d) ∑n=1∞nan\displaystyle \sum_{n=1}^\infty na_n (e) ∑n=1∞1an\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a_n}

영어 원문 보기

Given that ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n converges, state which of the following series converges, may converge, or does not converge.

(a) ∑n=1∞ann\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}n (b) ∑n=1∞anan+1\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_na_{n+1} (c) ∑n=1∞(an)2\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (a_n)^2 (d) ∑n=1∞nan\displaystyle \sum_{n=1}^\infty na_n (e) ∑n=1∞1an\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a_n}

정답·풀이 보기

(a) 수렴한다. ann<an\frac{a_n}{n}<a_n 이므로 비교판정법을 쓴다. (b) 수렴한다. 원래 급수가 수렴하므로 lim⁡n→∞an=0\lim_{n\to\infty}a_n = 0 임을 안다. 따라서 충분히 큰 nn 에 대해 anan+1<ana_na_{n+1} < a_n 이다. (c) 수렴한다. (b)와 비슷한 논리로 (an)2<an(a_n)^2<a_n 이다. (d) 수렴할 수도 있다. 분명히 nan>anna_n > a_n 이지만, 그렇다고 해서 수렴하지 않는다는 뜻은 아니다. (e) 수렴하지 않는다. (b)의 논리와 nthn^{th} 항 판정법을 이용한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Converges; use Direct Comparison Test as ann<an\frac{a_n}{n}<a_n. (b) Converges; since original series converges, we know lim⁡n→∞an=0\lim_{n\to\infty}a_n = 0. Thus for large nn, anan+1<ana_na_{n+1} < a_n. (c) Converges; similar logic to part (b) so (an)2<an(a_n)^2<a_n. (d) May converge; certainly nan>anna_n > a_n but that does not mean it does not converge. (e) Does not converge, using logic from (b) and nthn^{th} Term Test.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.3절 · 30번
# 발산 판정법과 적분 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
584.APEX · 8.4절 · 1번대학 수준우리말 번역

수열의 항이 _____ 함수만 포함할 때에는 비판정법이 효과적이지 않다.

영어 원문 보기

The Ratio Test is not effective when the terms of a sequence only contain _____ functions.

정답·풀이 보기

대수함수, 즉 다항식.

원본 교재 풀이(영어)

algebraic, or polynomial.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.4절 · 2번
# 비율 판정법과 근 판정법개념 확인자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
585.APEX · 8.4절 · 2번대학 수준우리말 번역

비판정법은 수열의 항에 _____ 함수 그리고/또는 _____ 함수가 포함되어 있을 때 가장 효과적이다.

영어 원문 보기

The Ratio Test is most effective when the terms of a sequence contains _____ and/or _____ functions.

정답·풀이 보기

팩토리얼 그리고/또는 지수

원본 교재 풀이(영어)

factorial and/or exponential

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 51번
# 비율 판정법과 근 판정법개념 확인자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
586.APEX · 8.4절 · 3번대학 수준우리말 번역

팩토리얼을 포함한 항에는 잘 적용되지 않는 수렴 판정법 세 가지는 무엇입니까?

영어 원문 보기

What three convergence tests do not work well with terms containing factorials?

정답·풀이 보기

적분판정법, 극한비교판정법, 근판정법

원본 교재 풀이(영어)

Integral Test, Limit Comparison Test, and Root Test

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 53번
# 비율 판정법과 근 판정법개념 확인자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
587.APEX · 8.4절 · 4번대학 수준우리말 번역

근판정법은 각 항이 어떤 _____ 으로 _____ 된 급수에 특히 잘 적용된다.

영어 원문 보기

The Root Test works particularly well on series where each term is _____ to a _____.

정답·풀이 보기

거듭제곱된

원본 교재 풀이(영어)

raised to a power

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 55번
# 비율 판정법과 근 판정법개념 확인자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
588.APEX · 8.4절 · 5번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서 비판정법을 이용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 비판정법으로 판정할 수 없으면 그렇다고 밝히고, 다른 판정법으로 수렴 여부를 판단하세요.

∑n=0∞2nn!\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{2n}{n!}

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, determine the convergence of the given series using the Ratio Test. If the Ratio Test is inconclusive, state so and determine convergence with another test.

∑n=0∞2nn!\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{2n}{n!}

정답·풀이 보기

수렴한다

원본 교재 풀이(영어)

Converges

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 39번
# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
589.APEX · 8.4절 · 6번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서 비판정법을 이용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 비판정법으로 판정할 수 없으면 그렇다고 밝히고, 다른 판정법으로 수렴 여부를 판단하세요.

∑n=0∞5n−3n4n\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{5^n-3n}{4^n}

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, determine the convergence of the given series using the Ratio Test. If the Ratio Test is inconclusive, state so and determine convergence with another test.

∑n=0∞5n−3n4n\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{5^n-3n}{4^n}

정답·풀이 보기

발산한다

원본 교재 풀이(영어)

Diverges

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 13번
# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
590.APEX · 8.4절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서 비판정법을 사용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 비판정법으로 판정할 수 없으면 그렇다고 쓰고, 다른 판정법으로 수렴 여부를 판단하세요.

∑n=0∞n!10n(2n)!\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{n!10^n}{(2n)!}

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, determine the convergence of the given series using the Ratio Test. If the Ratio Test is inconclusive, state so and determine convergence with another test.

∑n=0∞n!10n(2n)!\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{n!10^n}{(2n)!}

정답·풀이 보기

수렴한다

원본 교재 풀이(영어)

Converges

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 27번
# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
591.APEX · 8.4절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서 비판정법을 사용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 비판정법으로 판정할 수 없으면 그렇다고 쓰고, 다른 판정법으로 수렴 여부를 판단하세요.

∑n=1∞5n+n47n+n2\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{5^n+n^4}{7^n+n^2}

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, determine the convergence of the given series using the Ratio Test. If the Ratio Test is inconclusive, state so and determine convergence with another test.

∑n=1∞5n+n47n+n2\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{5^n+n^4}{7^n+n^2}

정답·풀이 보기

수렴한다

원본 교재 풀이(영어)

Converges

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 5번
# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
592.APEX · 8.4절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서 비판정법을 사용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 비판정법으로 판정할 수 없으면 그렇다고 쓰고, 다른 판정법으로 수렴 여부를 판단하세요.

∑n=1∞1n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, determine the convergence of the given series using the Ratio Test. If the Ratio Test is inconclusive, state so and determine convergence with another test.

∑n=1∞1n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}

정답·풀이 보기

비판정법으로는 판정할 수 없다. pp-급수 판정법에 의해 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

The Ratio Test is inconclusive; the pp-Series Test states it diverges.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.4절 · 1번
# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
593.APEX · 8.4절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서 비판정법을 사용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 비판정법으로 판정할 수 없으면 그렇다고 쓰고, 다른 판정법으로 수렴 여부를 판단하세요.

∑n=1∞13n3+7\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3n^3+7}

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, determine the convergence of the given series using the Ratio Test. If the Ratio Test is inconclusive, state so and determine convergence with another test.

∑n=1∞13n3+7\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3n^3+7}

정답·풀이 보기

비판정법으로는 판정할 수 없다. 1/n31/n^3 과의 직접 비교판정법에 의해 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

The Ratio Test is inconclusive; the Direct Comparison Test with 1/n31/n^3 shows it converges.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 1번
# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
594.APEX · 8.4절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서 비판정법을 사용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 비판정법으로 판정할 수 없으면 그렇다고 쓰고, 다른 판정법으로 수렴 여부를 판단하세요.

∑n=1∞10⋅5n7n−3\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{10\cdot5^n}{7^n-3}

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, determine the convergence of the given series using the Ratio Test. If the Ratio Test is inconclusive, state so and determine convergence with another test.

∑n=1∞10⋅5n7n−3\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{10\cdot5^n}{7^n-3}

정답·풀이 보기

수렴한다

원본 교재 풀이(영어)

Converges

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 27번
# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
595.APEX · 8.4절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서 비판정법을 이용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 비판정법으로 판정할 수 없으면 그렇다고 밝히고, 다른 판정법으로 수렴 여부를 판단하세요.

∑n=1∞n⋅(35)n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty n\cdot\left(\frac35\right)^n

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, determine the convergence of the given series using the Ratio Test. If the Ratio Test is inconclusive, state so and determine convergence with another test.

∑n=1∞n⋅(35)n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty n\cdot\left(\frac35\right)^n

정답·풀이 보기

수렴한다

원본 교재 풀이(영어)

Converges

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 13번
# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
596.APEX · 8.4절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서 비판정법을 이용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 비판정법으로 판정할 수 없으면 그렇다고 밝히고, 다른 판정법으로 수렴 여부를 판단하세요.

∑n=1∞2⋅4⋅6⋅8⋯2n3⋅6⋅9⋅12⋯3n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{2\cdot4\cdot6\cdot8\cdots 2n}{3\cdot6\cdot9\cdot12\cdots 3n}

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, determine the convergence of the given series using the Ratio Test. If the Ratio Test is inconclusive, state so and determine convergence with another test.

∑n=1∞2⋅4⋅6⋅8⋯2n3⋅6⋅9⋅12⋯3n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{2\cdot4\cdot6\cdot8\cdots 2n}{3\cdot6\cdot9\cdot12\cdots 3n}

정답·풀이 보기

수렴한다. 이 합은 ∑n=1∞2nn!3nn!\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{2^nn!}{3^nn!} 로 다시 쓸 수 있으며, 여기에 비판정법 또는 등비급수 판정법을 적용할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Converges; note the summation can be rewritten as ∑n=1∞2nn!3nn!\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{2^nn!}{3^nn!}, to which the Ratio Test or Geometric Series Test can be applied.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 39번
# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
597.APEX · 8.4절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서 비판정법을 이용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 비판정법으로 판정할 수 없으면 그렇다고 밝히고, 다른 판정법으로 수렴 여부를 판단하세요.

∑n=1∞n!5⋅10⋅15⋯(5n)\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{5\cdot10\cdot15\cdots (5n)}

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, determine the convergence of the given series using the Ratio Test. If the Ratio Test is inconclusive, state so and determine convergence with another test.

∑n=1∞n!5⋅10⋅15⋯(5n)\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{5\cdot10\cdot15\cdots (5n)}

정답·풀이 보기

수렴한다. 이 합을 ∑n=1∞n!5nn!\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{5^nn!} 로 다시 쓴 다음 비판정법 또는 등비급수 판정법을 적용한다.

원본 교재 풀이(영어)

Converges; rewrite the summation as ∑n=1∞n!5nn!\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{5^nn!} then apply the Ratio Test or the Geometric Series Test.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 43번
# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
598.APEX · 8.4절 · 15번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–24에서 근판정법을 이용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 근판정법으로 판정할 수 없으면 그렇다고 밝히고, 다른 판정법으로 수렴 여부를 판단하세요.

∑n=1∞(2n+53n+11)n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{2n+5}{3n+11}\right)^n

영어 원문 보기

In Exercises 15–24, determine the convergence of the given series using the Root Test. If the Root Test is inconclusive, state so and determine convergence with another test.

∑n=1∞(2n+53n+11)n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{2n+5}{3n+11}\right)^n

정답·풀이 보기

수렴한다

원본 교재 풀이(영어)

Converges

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 45번
# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
599.APEX · 8.4절 · 16번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–24에서 근판정법을 이용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 근판정법으로 판정할 수 없으면 그렇다고 밝히고, 다른 판정법으로 수렴 여부를 판단하세요.

∑n=1∞(.9n2−n−3n2+n+3)n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{.9n^2-n-3}{n^2+n+3}\right)^n

영어 원문 보기

In Exercises 15–24, determine the convergence of the given series using the Root Test. If the Root Test is inconclusive, state so and determine convergence with another test.

∑n=1∞(.9n2−n−3n2+n+3)n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{.9n^2-n-3}{n^2+n+3}\right)^n

정답·풀이 보기

수렴한다

원본 교재 풀이(영어)

Converges

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 1번
# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
600.APEX · 8.4절 · 17번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–24에서, 근판정법을 이용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 근판정법으로 판정할 수 없으면 그렇다고 밝히고, 다른 판정법으로 수렴 여부를 판단하세요.

∑n=1∞2nn23n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{2^nn^2}{3^n}

영어 원문 보기

In Exercises 15–24, determine the convergence of the given series using the Root Test. If the Root Test is inconclusive, state so and determine convergence with another test.

∑n=1∞2nn23n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{2^nn^2}{3^n}

정답·풀이 보기

수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

Converges

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.4절 · 1번
# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)