빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 급수 심화

급수 심화 전체 문제

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832문제 · 28 / 42쪽

541.OpenStax 2권 · 6장 복습 · 22번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, f(x)f(x) 의 매클로린 급수를 항별로 적분하여 F(x)=∫0xf(t)dtF(x)={\int }_{0}^{x}f(t)dt 의 매클로린 급수를 구하세요.

f(x)=1−exf(x)=1-{e}^{x}

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Maclaurin series for F(x)=∫0xf(t)dtF(x)={\int }_{0}^{x}f(t)dt by integrating the Maclaurin series of f(x)f(x) term by term.

f(x)=1−exf(x)=1-{e}^{x}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 36번
# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
542.OpenStax 2권 · 6장 복습 · 23번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, f(x)f(x) 의 매클로린 급수를 항별로 적분하여 F(x)=∫0xf(t)dtF(x)={\int }_{0}^{x}f(t)dt 의 매클로린 급수를 구하세요.

거듭제곱급수를 이용하여 오일러 공식 eix=cos⁡x+isin⁡x{e}^{ix}=\cos x+i\sin x 가 성립함을 증명하세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Maclaurin series for F(x)=∫0xf(t)dtF(x)={\int }_{0}^{x}f(t)dt by integrating the Maclaurin series of f(x)f(x) term by term.

Use power series to prove Euler’s formula: eix=cos⁡x+isin⁡x{e}^{ix}=\cos x+i\sin x

정답·풀이 보기

답은 다양할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 6번
# 테일러·매클로린 급수증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
543.APEX · 8.3절 · 1번대학 수준우리말 번역

수열 {an}\{a_n\} 에 적분판정법을 적용하려면 함수 a(n)=ana(n) = a_n 이 _____, _____, _____ 이어야 합니다.

영어 원문 보기

In order to apply the Integral Test to a sequence {an}\{a_n\}, the function a(n)=ana(n) = a_n must be _____, _____ and _____.

정답·풀이 보기

연속, 양수, 감소

원본 교재 풀이(영어)

continuous, positive and decreasing

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.3절 · 18번
# 발산 판정법과 적분 판정법개념 확인자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
544.APEX · 8.3절 · 2번대학 수준우리말 번역

참/거짓: 적분판정법은 수렴하는 급수의 합을 구하는 데 사용할 수 있다.

영어 원문 보기

T/F: The Integral Test can be used to determine the sum of a convergent series.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

F

원본 교재 풀이(영어)

F

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.3절 · 1번
# 발산 판정법과 적분 판정법개념 확인자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
545.APEX · 8.3절 · 3번대학 수준우리말 번역

이 절에서 배운 판정법 중 팩토리얼이 포함된 경우에 잘 맞지 않는 것은 무엇입니까?

영어 원문 보기

What test(s) in this section do not work well with factorials?

정답·풀이 보기

적분판정법(n!n! 의 연속적인 정의가 아직 없다)과 극한비교판정법(위와 같은 이유로 도함수를 구할 수 없다)이다.

원본 교재 풀이(영어)

The Integral Test (we do not have a continuous definition of n!n! yet) and the Limit Comparison Test (same as above, hence we cannot take its derivative).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.3절 · 2번
# 발산 판정법과 적분 판정법개념 확인자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
546.APEX · 8.3절 · 4번대학 수준우리말 번역

∑n=0∞an\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n 이 수렴하고, 모든 nn 에 대해 0≤bn≤an≤cn0\leq b_n \leq a_n \leq c_n 을 만족하는 수열 {bn}\{b_n\} 과 {cn}\{c_n\} 이 있다고 하자. 급수 ∑n=0∞bn\displaystyle \sum_{n=0}^\infty b_n 과 ∑n=0∞cn\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n 에 대해 무엇을 말할 수 있습니까?

영어 원문 보기

Suppose ∑n=0∞an\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n is convergent, and there are sequences {bn}\{b_n\} and {cn}\{c_n\} such that 0≤bn≤an≤cn0\leq b_n \leq a_n \leq c_n for all nn. What can be said about the series ∑n=0∞bn\displaystyle \sum_{n=0}^\infty b_n and ∑n=0∞cn\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n?

정답·풀이 보기

∑n=0∞bn\displaystyle \sum_{n=0}^\infty b_n 은 수렴한다; ∑n=0∞cn\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n 에 대해서는 아무것도 결론지을 수 없다.

원본 교재 풀이(영어)

∑n=0∞bn\displaystyle \sum_{n=0}^\infty b_n converges; we cannot conclude anything about ∑n=0∞cn\displaystyle \sum_{n=0}^\infty c_n

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.3절 · 3번
# 발산 판정법과 적분 판정법개념 확인자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
547.APEX · 8.3절 · 5번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–12에서, 적분판정법을 이용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요.

∑n=1∞12n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, use the Integral Test to determine the convergence of the given series.

∑n=1∞12n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}

정답·풀이 보기

수렴한다

원본 교재 풀이(영어)

Converges

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.3절 · 4번
# 발산 판정법과 적분 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
548.APEX · 8.3절 · 6번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–12에서, 적분판정법을 이용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요.

∑n=1∞1n4\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4}

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, use the Integral Test to determine the convergence of the given series.

∑n=1∞1n4\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4}

정답·풀이 보기

수렴한다

원본 교재 풀이(영어)

Converges

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.3절 · 26번
# 발산 판정법과 적분 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
549.APEX · 8.3절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–12에서, 적분판정법을 이용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요.

∑n=1∞nn2+1\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n^2+1}

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, use the Integral Test to determine the convergence of the given series.

∑n=1∞nn2+1\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n^2+1}

정답·풀이 보기

발산한다

원본 교재 풀이(영어)

Diverges

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.3절 · 34번
# 발산 판정법과 적분 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
550.APEX · 8.3절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–12에서 적분판정법을 이용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요.

∑n=2∞1nln⁡n\displaystyle \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\ln n}

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, use the Integral Test to determine the convergence of the given series.

∑n=2∞1nln⁡n\displaystyle \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\ln n}

정답·풀이 보기

발산한다

원본 교재 풀이(영어)

Diverges

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.3절 · 48번
# 발산 판정법과 적분 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
551.APEX · 8.3절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–12에서 적분판정법을 이용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요.

∑n=1∞1n2+1\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+1}

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, use the Integral Test to determine the convergence of the given series.

∑n=1∞1n2+1\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+1}

정답·풀이 보기

수렴한다

원본 교재 풀이(영어)

Converges

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.3절 · 44번
# 발산 판정법과 적분 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
552.APEX · 8.3절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–12에서 적분판정법을 이용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요.

∑n=2∞1n(ln⁡n)2\displaystyle \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n(\ln n)^2}

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, use the Integral Test to determine the convergence of the given series.

∑n=2∞1n(ln⁡n)2\displaystyle \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n(\ln n)^2}

정답·풀이 보기

수렴한다

원본 교재 풀이(영어)

Converges

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.3절 · 10번
# 발산 판정법과 적분 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
553.APEX · 8.3절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–12에서 적분판정법을 이용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요.

∑n=1∞n2n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, use the Integral Test to determine the convergence of the given series.

∑n=1∞n2n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}

정답·풀이 보기

수렴한다

원본 교재 풀이(영어)

Converges

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.3절 · 2번
# 발산 판정법과 적분 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
554.APEX · 8.3절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–12에서 적분판정법을 이용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요.

∑n=1∞ln⁡nn3\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{n^3}

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, use the Integral Test to determine the convergence of the given series.

∑n=1∞ln⁡nn3\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{n^3}

정답·풀이 보기

수렴한다

원본 교재 풀이(영어)

Converges

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.3절 · 40번
# 발산 판정법과 적분 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
555.APEX · 8.3절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–22에서 직접 비교판정법을 사용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 비교에 사용한 급수를 말하세요.

∑n=1∞1n2+3n−5\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+3n-5}

영어 원문 보기

In Exercises 13–22, use the Direct Comparison Test to determine the convergence of the given series; state what series is used for comparison.

∑n=1∞1n2+3n−5\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+3n-5}

정답·풀이 보기

수렴한다. ∑n=1∞1n2\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} 과 비교한다. 모든 n>1n>1 에 대해 1/(n2+3n−5)≤1/n21/(n^2+3n-5) \leq 1/n^2 이기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

Converges; compare to ∑n=1∞1n2\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}, as 1/(n2+3n−5)≤1/n21/(n^2+3n-5) \leq 1/n^2 for all n>1n>1.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.3절 · 36번
# 발산 판정법과 적분 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
556.APEX · 8.3절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–22에서 직접 비교판정법을 사용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 비교에 사용한 급수를 말하세요.

∑n=1∞14n+n2−n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4^n+n^2-n}

영어 원문 보기

In Exercises 13–22, use the Direct Comparison Test to determine the convergence of the given series; state what series is used for comparison.

∑n=1∞14n+n2−n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4^n+n^2-n}

정답·풀이 보기

수렴한다. ∑n=1∞14n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4^n} 과 비교한다. 모든 n≥1n\geq 1 에 대해 1/(4n+n2−n)≤1/4n1/(4^n+n^2-n) \leq 1/4^n 이기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

Converges; compare to ∑n=1∞14n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4^n}, as 1/(4n+n2−n)≤1/4n1/(4^n+n^2-n) \leq 1/4^n for all n≥1n\geq 1.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.3절 · 42번
# 발산 판정법과 적분 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
557.APEX · 8.3절 · 15번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–22에서 직접 비교판정법을 사용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 비교에 사용한 급수를 말하세요.

∑n=1∞ln⁡nn\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{n}

영어 원문 보기

In Exercises 13–22, use the Direct Comparison Test to determine the convergence of the given series; state what series is used for comparison.

∑n=1∞ln⁡nn\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{n}

정답·풀이 보기

발산한다. ∑n=1∞1n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} 과 비교한다. 모든 n≥3n\geq 3 에 대해 1/n≤ln⁡n/n1/n \leq \ln n/n 이기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

Diverges; compare to ∑n=1∞1n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}, as 1/n≤ln⁡n/n1/n \leq \ln n/n for all n≥3n\geq 3.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.3절 · 41번
# 발산 판정법과 적분 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
558.APEX · 8.3절 · 16번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–22에서 직접 비교판정법을 사용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 비교에 사용한 급수를 말하세요.

∑n=1∞1n!+n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n!+n}

영어 원문 보기

In Exercises 13–22, use the Direct Comparison Test to determine the convergence of the given series; state what series is used for comparison.

∑n=1∞1n!+n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n!+n}

정답·풀이 보기

수렴한다. ∑n=1∞1n!\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n!} 과 비교한다. 모든 n≥1n\geq 1 에 대해 1/(n!+n)≤1/n!1/(n!+n) \leq 1/n! 이기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

Converges; compare to ∑n=1∞1n!\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n!}, as 1/(n!+n)≤1/n!1/(n!+n) \leq 1/n! for all n≥1n\geq 1.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.3절 · 18번
# 발산 판정법과 적분 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
559.APEX · 8.3절 · 17번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–22에서 직접 비교판정법을 사용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 비교에 사용한 급수를 말하세요.

∑n=2∞1n2−1\displaystyle \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{\sqrt{n^2-1}}

영어 원문 보기

In Exercises 13–22, use the Direct Comparison Test to determine the convergence of the given series; state what series is used for comparison.

∑n=2∞1n2−1\displaystyle \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{\sqrt{n^2-1}}

정답·풀이 보기

발산한다. ∑n=1∞1n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} 과 비교한다. n=n2>n2−1n=\sqrt{n^2} > \sqrt{n^2-1} 이므로 모든 n≥2n\geq 2 에 대해 1/n≤1/n2−11/n \leq 1/\sqrt{n^2-1} 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Diverges; compare to ∑n=1∞1n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}. Since n=n2>n2−1n=\sqrt{n^2} > \sqrt{n^2-1}, 1/n≤1/n2−11/n \leq 1/\sqrt{n^2-1} for all n≥2n\geq 2.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.3절 · 50번
# 발산 판정법과 적분 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
560.APEX · 8.3절 · 18번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–22에서 직접 비교판정법을 사용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 비교에 사용한 급수를 밝히세요.

∑n=5∞1n−2\displaystyle \sum_{n=5}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}-2}

영어 원문 보기

In Exercises 13–22, use the Direct Comparison Test to determine the convergence of the given series; state what series is used for comparison.

∑n=5∞1n−2\displaystyle \sum_{n=5}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}-2}

정답·풀이 보기

발산한다. ∑n=1∞1n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt n} 과 비교한다. 모든 n≥5n\geq 5 에 대해 1/n≤1/(n−2)1/\sqrt n \leq 1/(\sqrt{n}-2) 이기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

Diverges; compare to ∑n=1∞1n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt n}, as 1/n≤1/(n−2)1/\sqrt n \leq 1/(\sqrt{n}-2) for all n≥5n\geq 5.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.3절 · 4번
# 발산 판정법과 적분 판정법계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)