비율 판정법과 근 판정법 연습문제

61.OpenStax 2권 · 5.6절 · 61번대학 수준우리말 번역

${a}_{n}=\frac{1}{1+x}\,\frac{2}{2+x}\cdots \frac{n}{n+x}\,\frac{1}{n}=\frac{(n-1)!}{(1+x)(2+x)\cdots (n+x)}$ 라 하자. ${a}_{2n}/{a}_{n}\le {e}^{-x/2}/2$ 임을 보이세요. 어떤 $x>0$ 에 대해 일반화된 비판정법으로 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 이 수렴함을 알 수 있는지 구하세요. (힌트: $2{a}_{2n}/{a}_{n}$ 을 각각 $1/(1+x/(2n)).)$ 보다 작은 $n$ 개의 인수의 곱으로 나타내세요.

영어 원문 보기

Let ${a}_{n}=\frac{1}{1+x}\,\frac{2}{2+x}\cdots \frac{n}{n+x}\,\frac{1}{n}=\frac{(n-1)!}{(1+x)(2+x)\cdots (n+x)}.$ Show that ${a}_{2n}/{a}_{n}\le {e}^{-x/2}/2.$ For which $x>0$ does the generalized ratio test imply convergence of $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}?$ (Hint: Write $2{a}_{2n}/{a}_{n}$ as a product of $n$ factors each smaller than $1/(1+x/(2n)).)$

정답·풀이 보기

${a}_{2n}/{a}_{n}=\frac{1}{2}\cdot \frac{n+1}{n+1+x}\,\frac{n+2}{n+2+x}\cdots \frac{2n}{2n+x}$ 이다. $k$ 번째 인수의 역수는 $(n+k+x)/(n+k)>1+x/(2n)$ 이므로 곱은 ${(1+x/(2n))}^{-n}\approx {e}^{-x/2}$ 보다 작다. 따라서 $x>0$ 일 때 $\frac{{a}_{2n}}{{a}_{n}}\le \frac{1}{2}{e}^{-x/2}$ 이다. 이 급수는 $x>0$ 일 때 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{2n}/{a}_{n}=\frac{1}{2}\cdot \frac{n+1}{n+1+x}\,\frac{n+2}{n+2+x}\cdots \frac{2n}{2n+x}.$ The inverse of the $k\text{th}$ factor is $(n+k+x)/(n+k)>1+x/(2n)$ so the product is less than ${(1+x/(2n))}^{-n}\approx {e}^{-x/2}.$ Thus for $x>0,$ $\frac{{a}_{2n}}{{a}_{n}}\le \frac{1}{2}{e}^{-x/2}.$ The series converges for $x>0.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 33번

# 비율 판정법과 근 판정법증명·논술자동 분류

62.OpenStax 2권 · 5.6절 · 62번대학 수준우리말 번역

다음 심화 연습문제는 이 장의 판정법(비판정법과 근판정법 포함)만으로는 수렴 여부를 판정하기에 충분하지 않을 때, 특정한 응용에서 나타나는 몇몇 급수의 수렴을 판정하기 위해 일반화된 비판정법을 사용한다. 이 판정법은 $\lim_{n\to \infty }\frac{{a}_{2n}}{{a}_{n}}<1/2$ 이면 $\sum {a}_{n}$ 이 수렴하고, $\lim_{n\to \infty }\frac{{a}_{2n+1}}{{a}_{n}}>1/2$ 이면 $\sum {a}_{n}$ 이 발산한다는 것이다.

${a}_{n}=\frac{{n}^{\ln \,n}}{{(\ln \,n)}^{n}}$ 이라 하자. $n\to \infty$ 일 때 $\frac{{a}_{2n}}{{a}_{n}}\to 0$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

The following advanced exercises use a generalized ratio test to determine convergence of some series that arise in particular applications when tests in this chapter, including the ratio and root test, are not powerful enough to determine their convergence. The test states that if $\lim_{n\to \infty }\frac{{a}_{2n}}{{a}_{n}}<1/2,$ then $\sum {a}_{n}$ converges, while if $\lim_{n\to \infty }\frac{{a}_{2n+1}}{{a}_{n}}>1/2,$ then $\sum {a}_{n}$ diverges.

Let ${a}_{n}=\frac{{n}^{\ln \,n}}{{(\ln \,n)}^{n}}.$ Show that $\frac{{a}_{2n}}{{a}_{n}}\to 0$ as $n\to \infty .$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 19번

# 비율 판정법과 근 판정법증명·논술자동 분류

63.APEX · 8.4절 · 1번대학 수준우리말 번역

수열의 항이 _____ 함수만 포함할 때에는 비판정법이 효과적이지 않다.

영어 원문 보기

The Ratio Test is not effective when the terms of a sequence only contain _____ functions.

정답·풀이 보기

대수함수, 즉 다항식.

원본 교재 풀이(영어)

algebraic, or polynomial.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.4절 · 2번

# 비율 판정법과 근 판정법개념 확인자동 분류

64.APEX · 8.4절 · 2번대학 수준우리말 번역

비판정법은 수열의 항에 _____ 함수 그리고/또는 _____ 함수가 포함되어 있을 때 가장 효과적이다.

영어 원문 보기

The Ratio Test is most effective when the terms of a sequence contains _____ and/or _____ functions.

정답·풀이 보기

팩토리얼 그리고/또는 지수

원본 교재 풀이(영어)

factorial and/or exponential

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 51번

# 비율 판정법과 근 판정법개념 확인자동 분류

65.APEX · 8.4절 · 3번대학 수준우리말 번역

팩토리얼을 포함한 항에는 잘 적용되지 않는 수렴 판정법 세 가지는 무엇입니까?

영어 원문 보기

What three convergence tests do not work well with terms containing factorials?

정답·풀이 보기

적분판정법, 극한비교판정법, 근판정법

원본 교재 풀이(영어)

Integral Test, Limit Comparison Test, and Root Test

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 53번

# 비율 판정법과 근 판정법개념 확인자동 분류

66.APEX · 8.4절 · 4번대학 수준우리말 번역

근판정법은 각 항이 어떤 _____ 으로 _____ 된 급수에 특히 잘 적용된다.

영어 원문 보기

The Root Test works particularly well on series where each term is _____ to a _____.

정답·풀이 보기

거듭제곱된

원본 교재 풀이(영어)

raised to a power

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 55번

# 비율 판정법과 근 판정법개념 확인자동 분류

67.APEX · 8.4절 · 5번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서 비판정법을 이용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 비판정법으로 판정할 수 없으면 그렇다고 밝히고, 다른 판정법으로 수렴 여부를 판단하세요.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{2n}{n!}$

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, determine the convergence of the given series using the Ratio Test. If the Ratio Test is inconclusive, state so and determine convergence with another test.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{2n}{n!}$

정답·풀이 보기

수렴한다

원본 교재 풀이(영어)

Converges

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 39번

# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류

68.APEX · 8.4절 · 6번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서 비판정법을 이용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 비판정법으로 판정할 수 없으면 그렇다고 밝히고, 다른 판정법으로 수렴 여부를 판단하세요.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{5^n-3n}{4^n}$

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, determine the convergence of the given series using the Ratio Test. If the Ratio Test is inconclusive, state so and determine convergence with another test.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{5^n-3n}{4^n}$

정답·풀이 보기

발산한다

원본 교재 풀이(영어)

Diverges

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 13번

# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류

69.APEX · 8.4절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서 비판정법을 사용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 비판정법으로 판정할 수 없으면 그렇다고 쓰고, 다른 판정법으로 수렴 여부를 판단하세요.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{n!10^n}{(2n)!}$

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, determine the convergence of the given series using the Ratio Test. If the Ratio Test is inconclusive, state so and determine convergence with another test.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{n!10^n}{(2n)!}$

정답·풀이 보기

수렴한다

원본 교재 풀이(영어)

Converges

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 27번

# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류

70.APEX · 8.4절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서 비판정법을 사용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 비판정법으로 판정할 수 없으면 그렇다고 쓰고, 다른 판정법으로 수렴 여부를 판단하세요.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{5^n+n^4}{7^n+n^2}$

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, determine the convergence of the given series using the Ratio Test. If the Ratio Test is inconclusive, state so and determine convergence with another test.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{5^n+n^4}{7^n+n^2}$

정답·풀이 보기

수렴한다

원본 교재 풀이(영어)

Converges

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 5번

# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류

71.APEX · 8.4절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서 비판정법을 사용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 비판정법으로 판정할 수 없으면 그렇다고 쓰고, 다른 판정법으로 수렴 여부를 판단하세요.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, determine the convergence of the given series using the Ratio Test. If the Ratio Test is inconclusive, state so and determine convergence with another test.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$

정답·풀이 보기

비판정법으로는 판정할 수 없다. $p$ -급수 판정법에 의해 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

The Ratio Test is inconclusive; the $p$ -Series Test states it diverges.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.4절 · 1번

# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류

72.APEX · 8.4절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서 비판정법을 사용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 비판정법으로 판정할 수 없으면 그렇다고 쓰고, 다른 판정법으로 수렴 여부를 판단하세요.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3n^3+7}$

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, determine the convergence of the given series using the Ratio Test. If the Ratio Test is inconclusive, state so and determine convergence with another test.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3n^3+7}$

정답·풀이 보기

비판정법으로는 판정할 수 없다. $1/n^3$ 과의 직접 비교판정법에 의해 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

The Ratio Test is inconclusive; the Direct Comparison Test with $1/n^3$ shows it converges.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 1번

# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류

73.APEX · 8.4절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서 비판정법을 사용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 비판정법으로 판정할 수 없으면 그렇다고 쓰고, 다른 판정법으로 수렴 여부를 판단하세요.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{10\cdot5^n}{7^n-3}$

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, determine the convergence of the given series using the Ratio Test. If the Ratio Test is inconclusive, state so and determine convergence with another test.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{10\cdot5^n}{7^n-3}$

정답·풀이 보기

수렴한다

원본 교재 풀이(영어)

Converges

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 27번

# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류

74.APEX · 8.4절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서 비판정법을 이용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 비판정법으로 판정할 수 없으면 그렇다고 밝히고, 다른 판정법으로 수렴 여부를 판단하세요.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty n\cdot\left(\frac35\right)^n$

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, determine the convergence of the given series using the Ratio Test. If the Ratio Test is inconclusive, state so and determine convergence with another test.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty n\cdot\left(\frac35\right)^n$

정답·풀이 보기

수렴한다

원본 교재 풀이(영어)

Converges

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 13번

# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류

75.APEX · 8.4절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서 비판정법을 이용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 비판정법으로 판정할 수 없으면 그렇다고 밝히고, 다른 판정법으로 수렴 여부를 판단하세요.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{2\cdot4\cdot6\cdot8\cdots 2n}{3\cdot6\cdot9\cdot12\cdots 3n}$

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, determine the convergence of the given series using the Ratio Test. If the Ratio Test is inconclusive, state so and determine convergence with another test.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{2\cdot4\cdot6\cdot8\cdots 2n}{3\cdot6\cdot9\cdot12\cdots 3n}$

정답·풀이 보기

수렴한다. 이 합은 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{2^nn!}{3^nn!}$ 로 다시 쓸 수 있으며, 여기에 비판정법 또는 등비급수 판정법을 적용할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Converges; note the summation can be rewritten as $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{2^nn!}{3^nn!}$ , to which the Ratio Test or Geometric Series Test can be applied.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 39번

# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류

76.APEX · 8.4절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서 비판정법을 이용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 비판정법으로 판정할 수 없으면 그렇다고 밝히고, 다른 판정법으로 수렴 여부를 판단하세요.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{5\cdot10\cdot15\cdots (5n)}$

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, determine the convergence of the given series using the Ratio Test. If the Ratio Test is inconclusive, state so and determine convergence with another test.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{5\cdot10\cdot15\cdots (5n)}$

정답·풀이 보기

수렴한다. 이 합을 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{5^nn!}$ 로 다시 쓴 다음 비판정법 또는 등비급수 판정법을 적용한다.

원본 교재 풀이(영어)

Converges; rewrite the summation as $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{5^nn!}$ then apply the Ratio Test or the Geometric Series Test.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 43번

# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류

77.APEX · 8.4절 · 15번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–24에서 근판정법을 이용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 근판정법으로 판정할 수 없으면 그렇다고 밝히고, 다른 판정법으로 수렴 여부를 판단하세요.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{2n+5}{3n+11}\right)^n$

영어 원문 보기

In Exercises 15–24, determine the convergence of the given series using the Root Test. If the Root Test is inconclusive, state so and determine convergence with another test.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{2n+5}{3n+11}\right)^n$

정답·풀이 보기

수렴한다

원본 교재 풀이(영어)

Converges

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 45번

# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류

78.APEX · 8.4절 · 16번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–24에서 근판정법을 이용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 근판정법으로 판정할 수 없으면 그렇다고 밝히고, 다른 판정법으로 수렴 여부를 판단하세요.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{.9n^2-n-3}{n^2+n+3}\right)^n$

영어 원문 보기

In Exercises 15–24, determine the convergence of the given series using the Root Test. If the Root Test is inconclusive, state so and determine convergence with another test.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{.9n^2-n-3}{n^2+n+3}\right)^n$

정답·풀이 보기

수렴한다

원본 교재 풀이(영어)

Converges

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 1번

# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류

79.APEX · 8.4절 · 17번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–24에서, 근판정법을 이용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 근판정법으로 판정할 수 없으면 그렇다고 밝히고, 다른 판정법으로 수렴 여부를 판단하세요.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{2^nn^2}{3^n}$

영어 원문 보기

In Exercises 15–24, determine the convergence of the given series using the Root Test. If the Root Test is inconclusive, state so and determine convergence with another test.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{2^nn^2}{3^n}$

정답·풀이 보기

수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

Converges

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.4절 · 1번

# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류

80.APEX · 8.4절 · 18번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–24에서, 근판정법을 이용하여 주어진 급수의 수렴 여부를 판단하세요. 근판정법으로 판정할 수 없으면 그렇다고 밝히고, 다른 판정법으로 수렴 여부를 판단하세요.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^n}$

영어 원문 보기

In Exercises 15–24, determine the convergence of the given series using the Root Test. If the Root Test is inconclusive, state so and determine convergence with another test.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^n}$

정답·풀이 보기

수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

Converges

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 49번

# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류