비율 판정법과 근 판정법 연습문제

21.OpenStax 2권 · 5.6절 · 21번대학 수준우리말 번역

이 문제에서는 $n$ 을 2부터 시작하세요.

${a}_{n}=\frac{{(\ln (1+\ln \,n))}^{n}}{{(\ln \,n)}^{n}}$

영어 원문 보기

For this exercise, let n start at 2.

${a}_{n}=\frac{{(\ln (1+\ln \,n))}^{n}}{{(\ln \,n)}^{n}}$

정답·풀이 보기

${a}_{n}^{1/n}=\frac{(\ln (1+\ln \,n))}{(\ln \,n)}\to 0$ 이다. 로피탈 법칙에 의해 성립한다. 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{n}^{1/n}=\frac{(\ln (1+\ln \,n))}{(\ln \,n)}\to 0$ by L’Hôpital’s rule. Converges.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 5번

# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류

22.OpenStax 2권 · 5.6절 · 22번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 비판정법 또는 근판정법 중 적절한 것을 사용하여 주어진 항 ${a}_{k}$ 를 갖는 급수 $\sum_{k=1}^{\infty }{a}_{k}$ 가 수렴하는지 판단하거나, 그 판정법으로는 판정할 수 없음을 말하세요.

${a}_{k}=\frac{k!}{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2k-1)}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use either the ratio test or the root test as appropriate to determine whether the series $\sum_{k=1}^{\infty }{a}_{k}$ with given terms ${a}_{k}$ converges, or state if the test is inconclusive.

${a}_{k}=\frac{k!}{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2k-1)}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류

23.OpenStax 2권 · 5.6절 · 23번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 비판정법 또는 근판정법 중 적절한 것을 사용하여 주어진 항 ${a}_{k}$ 를 갖는 급수 $\sum_{k=1}^{\infty }{a}_{k}$ 가 수렴하는지 판단하거나, 그 판정법으로는 판정할 수 없음을 말하세요.

${a}_{k}=\frac{2\cdot 4\cdot 6\cdots 2k}{(2k)!}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use either the ratio test or the root test as appropriate to determine whether the series $\sum_{k=1}^{\infty }{a}_{k}$ with given terms ${a}_{k}$ converges, or state if the test is inconclusive.

${a}_{k}=\frac{2\cdot 4\cdot 6\cdots 2k}{(2k)!}$

정답·풀이 보기

$\frac{{a}_{k+1}}{{a}_{k}}=\frac{1}{2k+1}\to 0$ . 비판정법에 의해 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{{a}_{k+1}}{{a}_{k}}=\frac{1}{2k+1}\to 0.$ Converges by ratio test.

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# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류

24.OpenStax 2권 · 5.6절 · 24번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 비판정법 또는 근판정법 중 적절한 것을 사용하여 주어진 항 ${a}_{k}$ 를 갖는 급수 $\sum_{k=1}^{\infty }{a}_{k}$ 가 수렴하는지 판단하거나, 그 판정법으로는 판정할 수 없음을 말하세요.

${a}_{k}=\frac{1\cdot 4\cdot 7\cdots (3k-2)}{{3}^{k}k!}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use either the ratio test or the root test as appropriate to determine whether the series $\sum_{k=1}^{\infty }{a}_{k}$ with given terms ${a}_{k}$ converges, or state if the test is inconclusive.

${a}_{k}=\frac{1\cdot 4\cdot 7\cdots (3k-2)}{{3}^{k}k!}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류

25.OpenStax 2권 · 5.6절 · 25번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 비판정법 또는 근판정법 중 적절한 것을 사용하여 주어진 항 ${a}_{k}$ 를 갖는 급수 $\sum_{k=1}^{\infty }{a}_{k}$ 가 수렴하는지 판단하거나, 그 판정법으로는 판정할 수 없음을 말하세요.

${a}_{n}={\left(1-\frac{1}{n}\right)}^{{n}^{2}}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use either the ratio test or the root test as appropriate to determine whether the series $\sum_{k=1}^{\infty }{a}_{k}$ with given terms ${a}_{k}$ converges, or state if the test is inconclusive.

${a}_{n}={\left(1-\frac{1}{n}\right)}^{{n}^{2}}$

정답·풀이 보기

${({a}_{n})}^{1/n}\to 1/e$ . 근판정법에 의해 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

${({a}_{n})}^{1/n}\to 1/e.$ Converges by root test.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 9번

# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류

26.OpenStax 2권 · 5.6절 · 26번대학 수준우리말 번역

다음 연습 문제에서, 주어진 항 ${a}_{k}$ 를 갖는 급수 $\sum_{k=1}^{\infty }{a}_{k}$ 가 수렴하는지 판단하기 위해 비판정법 또는 근판정법 중 적절한 것을 사용하거나, 그 판정법으로는 판정할 수 없으면 그렇다고 쓰세요.

${a}_{k}={\left(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\cdots +\frac{1}{2k}\right)}^{k}$ (힌트: ${a}_{k}^{1/k}$ 를 ${\int }_{k}^{2k}\frac{dt}{t}.)$ 와 비교하세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, use either the ratio test or the root test as appropriate to determine whether the series $\sum_{k=1}^{\infty }{a}_{k}$ with given terms ${a}_{k}$ converges, or state if the test is inconclusive.

${a}_{k}={\left(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\cdots +\frac{1}{2k}\right)}^{k}$ (Hint: Compare ${a}_{k}^{1/k}$ to ${\int }_{k}^{2k}\frac{dt}{t}.)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 19번

# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류

27.OpenStax 2권 · 5.6절 · 27번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 비판정법 또는 근판정법 중 알맞은 것을 사용하여 주어진 항 ${a}_{k}$ 를 갖는 급수 $\sum_{k=1}^{\infty }{a}_{k}$ 가 수렴하는지 판단하거나, 판정할 수 없다고 밝히세요.

${a}_{k}={\left(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\cdots +\frac{1}{3k}\right)}^{k}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use either the ratio test or the root test as appropriate to determine whether the series $\sum_{k=1}^{\infty }{a}_{k}$ with given terms ${a}_{k}$ converges, or state if the test is inconclusive.

${a}_{k}={\left(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\cdots +\frac{1}{3k}\right)}^{k}$

정답·풀이 보기

${a}_{k}^{1/k}\to \ln (3)>1$ 이다. 근판정법에 의해 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{k}^{1/k}\to \ln (3)>1.$ Diverges by root test.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 59번

# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류

28.OpenStax 2권 · 5.6절 · 28번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 비판정법 또는 근판정법 중 알맞은 것을 사용하여 주어진 항 ${a}_{k}$ 를 갖는 급수 $\sum_{k=1}^{\infty }{a}_{k}$ 가 수렴하는지 판단하거나, 판정할 수 없다고 밝히세요.

${a}_{n}={({n}^{1/n}-1)}^{n}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use either the ratio test or the root test as appropriate to determine whether the series $\sum_{k=1}^{\infty }{a}_{k}$ with given terms ${a}_{k}$ converges, or state if the test is inconclusive.

${a}_{n}={({n}^{1/n}-1)}^{n}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 9번

# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류

29.OpenStax 2권 · 5.6절 · 29번대학 수준우리말 번역

비판정법을 사용하여 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 이 수렴하는지 판단하거나, 비판정법으로 판정할 수 없다고 밝히세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{3}^{{n}^{2}}}{{2}^{{n}^{3}}}$

영어 원문 보기

Use the ratio test to determine whether $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ converges, or state if the ratio test is inconclusive.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{3}^{{n}^{2}}}{{2}^{{n}^{3}}}$

정답·풀이 보기

$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=$ $\frac{{3}^{2n+1}}{{2}^{3{n}^{2}+3n+1}}\to 0$ 이다. 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=$ $\frac{{3}^{2n+1}}{{2}^{3{n}^{2}+3n+1}}\to 0.$ Converge.

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# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류

30.OpenStax 2권 · 5.6절 · 30번대학 수준우리말 번역

비판정법을 사용하여 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 이 수렴하는지 판단하거나, 비판정법으로 판정할 수 없다고 밝히세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{2}^{{n}^{2}}}{{n}^{n}n!}$

영어 원문 보기

Use the ratio test to determine whether $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ converges, or state if the ratio test is inconclusive.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{2}^{{n}^{2}}}{{n}^{n}n!}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 53번

# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류

31.OpenStax 2권 · 5.6절 · 31번대학 수준우리말 번역

근판정법과 극한비교판정법을 사용하여 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 이 수렴하는지 판단하세요.

${a}_{n}=1/{x}_{n}^{n}$ 이고 ${x}_{n+1}=\frac{1}{2}{x}_{n}+\frac{1}{{x}_{n}},$ ${x}_{1}=1$ 입니다. (힌트: $\{{x}_{n}\}.)$ 의 극한을 구하세요.

영어 원문 보기

Use the root and limit comparison tests to determine whether $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ converges.

${a}_{n}=1/{x}_{n}^{n}$ where ${x}_{n+1}=\frac{1}{2}{x}_{n}+\frac{1}{{x}_{n}},$ ${x}_{1}=1$ (Hint: Find limit of $\{{x}_{n}\}.)$

정답·풀이 보기

${x}_{n}\to \sqrt{2}$ 이므로 근판정법과 극한비교판정법에 의해 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

Converges by root test and limit comparison test since ${x}_{n}\to \sqrt{2}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 1번

# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류

32.OpenStax 2권 · 5.6절 · 32번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 적절한 판정법을 사용하여 급수가 수렴하는지 판단하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(n+1)}{{n}^{3}+{n}^{2}+n+1}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use an appropriate test to determine whether the series converges.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(n+1)}{{n}^{3}+{n}^{2}+n+1}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 51번

# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류

33.OpenStax 2권 · 5.6절 · 33번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 적절한 판정법을 사용하여 급수가 수렴하는지 판단하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n+1}(n+1)}{{n}^{3}+3{n}^{2}+3n+1}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use an appropriate test to determine whether the series converges.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n+1}(n+1)}{{n}^{3}+3{n}^{2}+3n+1}$

정답·풀이 보기

$p-\text{series,}$ $p=2$ 인 $p$ -급수와의 극한비교판정법에 의해 절대수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

Converges absolutely by limit comparison with $p-\text{series,}$ $p=2.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 31번

# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류

34.OpenStax 2권 · 5.6절 · 34번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 적절한 판정법을 사용하여 급수가 수렴하는지 판단하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(n+1)}^{2}}{{n}^{3}+{(1.1)}^{n}}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use an appropriate test to determine whether the series converges.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(n+1)}^{2}}{{n}^{3}+{(1.1)}^{n}}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 47번

# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류

35.OpenStax 2권 · 5.6절 · 35번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 적절한 판정법을 사용하여 급수가 수렴하는지 판단하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(n-1)}^{n}}{{(n+1)}^{n}}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use an appropriate test to determine whether the series converges.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(n-1)}^{n}}{{(n+1)}^{n}}$

정답·풀이 보기

$\lim_{n\to \infty }{a}_{n}=1/{e}^{2}\ne 0$ . 급수는 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

$\lim_{n\to \infty }{a}_{n}=1/{e}^{2}\ne 0.$ Series diverges.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 29번

# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류

36.OpenStax 2권 · 5.6절 · 36번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 적절한 판정법을 사용하여 급수가 수렴하는지 판단하세요.

${a}_{n}={\left(1+\frac{1}{{n}^{2}}\right)}^{n}$ (힌트: ${\left(1+\frac{1}{{n}^{2}}\right)}^{{n}^{2}}\approx e.)$

영어 원문 보기

In the following exercises, use an appropriate test to determine whether the series converges.

${a}_{n}={\left(1+\frac{1}{{n}^{2}}\right)}^{n}$ (Hint: ${\left(1+\frac{1}{{n}^{2}}\right)}^{{n}^{2}}\approx e.)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 55번

# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류

37.OpenStax 2권 · 5.6절 · 37번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 적절한 판정법을 사용하여 급수가 수렴하는지 판단하세요.

${a}_{k}=1/{2}^{{\sin }^{2}k}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use an appropriate test to determine whether the series converges.

${a}_{k}=1/{2}^{{\sin }^{2}k}$

정답·풀이 보기

항이 0으로 수렴하지 않는다: ${\sin }^{2}x\le 1$ 이므로 ${a}_{k}\ge 1/2.$

원본 교재 풀이(영어)

Terms do not tend to zero: ${a}_{k}\ge 1/2,$ since ${\sin }^{2}x\le 1.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 19번

# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류

38.OpenStax 2권 · 5.6절 · 38번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 적절한 판정법을 사용하여 급수가 수렴하는지 판단하세요.

${a}_{k}={2}^{-\sin (1/k)}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use an appropriate test to determine whether the series converges.

${a}_{k}={2}^{-\sin (1/k)}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 33번

# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류

39.OpenStax 2권 · 5.6절 · 39번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 적절한 판정법을 사용하여 급수가 수렴하는지 판단하세요.

${a}_{n}=1/\left(\begin{array}{c}n+2 \\ n\end{array}\right)$ 이고 $\left(\begin{array}{c}n \\ k\end{array}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ 이다.

영어 원문 보기

In the following exercises, use an appropriate test to determine whether the series converges.

${a}_{n}=1/\left(\begin{array}{c}n+2 \\ n\end{array}\right)$ where $\left(\begin{array}{c}n \\ k\end{array}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

정답·풀이 보기

${a}_{n}=\frac{2}{(n+1)(n+2)}$ 이므로 $p=2$ 인 $p-\text{series}$ 와 비교하면 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{n}=\frac{2}{(n+1)(n+2)},$ which converges by comparison with $p-\text{series}$ for $p=2.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 25번

# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류

40.OpenStax 2권 · 5.6절 · 40번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 적절한 판정법을 사용하여 급수가 수렴하는지 판단하세요.

${a}_{k}=1/\left(\begin{array}{c}2k \\ k\end{array}\right)$

영어 원문 보기

In the following exercises, use an appropriate test to determine whether the series converges.

${a}_{k}=1/\left(\begin{array}{c}2k \\ k\end{array}\right)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 11번

# 비율 판정법과 근 판정법계산자동 분류