벡터 미적분 전체 연습문제

41.OpenStax 3권 · 6.7절 · 30번대학 수준우리말 번역

스토크스 정리를 이용하여 ${\iint }_{S}\text{curl}\,\text{F}\cdot d\text{S}$ 의 값을 구하세요. 여기서 $\text{F}(x,y,z)=\text{i}+x{y}^{2}\text{j}+x{y}^{2}\text{k}$ 이고 S 는 원기둥 ${x}^{2}+{y}^{2}=1$ 의 내부에 있는 평면 $y+z=2$ 의 일부이며 위쪽으로 향하도록 정해져 있다.

평면과 원기둥이 만나는 교선을 보여 주는 3차원 공간의 벡터장 그림이다. 평면과 원기둥이 만나는 곡선은 파란색으로 그려져 있다.

영어 원문 보기

Use Stokes’ theorem to compute ${\iint }_{S}\text{curl}\,\text{F}\cdot d\text{S},$ where $\text{F}(x,y,z)=\text{i}+x{y}^{2}\text{j}+x{y}^{2}\text{k}$ and S is a part of plane $y+z=2$ inside cylinder ${x}^{2}+{y}^{2}=1$ and oriented upward.

A diagram of a vector field in three dimensional space showing the intersection of a plane and a cylinder. The curve where the plane and cylinder intersect is drawn in blue.

정답·풀이 보기

${\iint }_{S}\text{curl}\,\text{F}\cdot d\text{S}=0$

원본 교재 풀이(영어)

${\iint }_{S}\text{curl}\,\text{F}\cdot d\text{S}=0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.4절 · 23번

# 스토크스 정리그래프·표 해석자동 분류

42.OpenStax 3권 · 6.7절 · 42번대학 수준우리말 번역

포물면 $z={x}^{2}+{y}^{2},$ $0\le z\le 4$ 를 평면 $y=0$ 으로 자르세요. S 는 $y\ge 0$ 에서 남는 곡면이며, xz-평면 위의 평면 부분을 포함합니다. C 는 평면 $z=4$ 에서 S 의 뚜껑 부분의 경계를 이루는 반원과 선분이며, 방향은 반시계 방향입니다. $\text{F}=\langle 2z+y,2x+z,2y+x\rangle$ 라 할 때, ${\iint }_{S}\text{curl} \text{F}\cdot dS$ 의 값을 구하세요.

3차원 공간에서 벡터장을 나타낸 그림으로, 꼭짓점이 원점에 있는 포물면, 평면 y=0, 평면 z=4가 서로 만나고 있다. 남는 곡면은 z=4 아래이고 y=0 위에 있는 포물면의 절반이다.

영어 원문 보기

Take paraboloid $z={x}^{2}+{y}^{2},$ for $0\le z\le 4,$ and slice it with plane $y=0.$ Let S be the surface that remains for $y\ge 0,$ including the planar surface in the xz-plane. Let C be the semicircle and line segment that bounded the cap of S in plane $z=4$ with counterclockwise orientation. Let $\text{F}=\langle 2z+y,2x+z,2y+x\rangle .$ Evaluate ${\iint }_{S}\text{curl} \text{F}\cdot dS$

A diagram of a vector field in three dimensional space where a paraboloid with vertex at the origin, plane at y=0, and plane at z=4 intersect. The remaining surface is the half of a paraboloid under z=4 and above y=0.

정답·풀이 보기

${\iint }_{S}\text{curl} \text{F}\cdot dS=2\pi$

원본 교재 풀이(영어)

${\iint }_{S}\text{curl} \text{F}\cdot dS=2\pi$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.7절 · 10번

# 스토크스 정리그래프·표 해석자동 분류

43.OpenStax 3권 · 6.8절 · 15번대학 수준우리말 번역

발산 정리를 이용하여 플럭스 적분 ${\iint }_{S}\text{F}\cdot d\text{S}$ 의 값을 계산하세요. 여기서 $\text{F}(x,y,z)=({y}^{3}+3x)\text{i}+(xz+y)\text{j}+[z+{x}^{4}\cos ({x}^{2}y)]\text{k}$ 이고 S 는 ${x}^{2}+{y}^{2}=1,x\ge 0,y\ge 0,\,\text{그리고}\,0\le z\le 1$ 로 유계인 입체의 표면이다.

3차원 벡터장으로, x > 0, y>0, z>0인 영역에 초점을 맞춘 그림이다. 중심이 z축 위에 있는 원기둥의 4분의 1이 그려져 있다. 화살표는 x, y, z 성분이 모두 양수이며 원점에서 멀어지는 방향을 가리킨다.

영어 원문 보기

Use the divergence theorem to compute the value of flux integral ${\iint }_{S}\text{F}\cdot d\text{S},$ where $\text{F}(x,y,z)=({y}^{3}+3x)\text{i}+(xz+y)\text{j}+[z+{x}^{4}\cos ({x}^{2}y)]\text{k}$ and S is the surface of the solid bounded by ${x}^{2}+{y}^{2}=1,x\ge 0,y\ge 0,\,\text{and}\,0\le z\le 1.$

A vector field in three dimensions, with focus on the area with x > 0, y>0, and z>0. A quarter of a cylinder is drawn with center on the z axis. The arrows have positive x, y, and z components; they point away from the origin.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.2절 · 15번

# 발산 정리그래프·표 해석자동 분류

44.OpenStax 3권 · 6.8절 · 30번대학 수준우리말 번역

${\iint }_{S}\text{F}\cdot \text{N}dS$ 의 값을 구하세요. 여기서 $\text{F}(x,y,z)={x}^{2}\text{i}+xy\text{j}+{x}^{3}{y}^{3}\text{k}$ 이고, S 는 평면 $x+y+z=1$ 과 좌표평면으로 둘러싸인 사면체의 모든 면으로 이루어진 곡면이며, N 은 바깥쪽을 향하는 단위법선벡터이다.

3차원 벡터장이며, 화살표는 원점에서 멀어질수록, 특히 x 성분에서 더 커진다. S는 평면 x + y + z = 1로 둘러싸인 사면체의 모든 면으로 이루어진 곡면이다. 따라서 주어진 평면의 일부와 (x, y)평면, (x, z)평면, (y, z)평면이 나타나 있다. 화살표는 x 성분이 음수이면 원점 쪽을 향하고, x 성분이 양수이면 원점에서 멀어지는 쪽을 향하며, x가 양수이고 y가 음수인 경우와 y가 양수이고 x가 음수인 경우에는 아래쪽을 향하고, …경우에도 아래쪽을 향한다.

영어 원문 보기

Evaluate ${\iint }_{S}\text{F}\cdot \text{N}dS,$ where $\text{F}(x,y,z)={x}^{2}\text{i}+xy\text{j}+{x}^{3}{y}^{3}\text{k}$ and S is the surface consisting of all faces of the tetrahedron bounded by plane $x+y+z=1$ and the coordinate planes, with outward unit normal vector N.

정답·풀이 보기

${\iint }_{S}\text{F}\cdot \text{N}dS=\frac{1}{8}$

원본 교재 풀이(영어)

${\iint }_{S}\text{F}\cdot \text{N}dS=\frac{1}{8}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.2절 · 27번

# 발산 정리그래프·표 해석자동 분류

45.OpenStax 3권 · 6.8절 · 35번대학 수준우리말 번역

E 를 xy-평면과 포물면 $z=4-{x}^{2}-{y}^{2}$ 으로 둘러싸인 입체라 하고, S 는 포물면 부분과 그 밑면을 이루는 xy-평면 위의 원판을 합친 곡면이라 하자. $\text{F}(x,y,z)=(xz\,\sin (yz)+{x}^{3})\text{i}+\cos (yz)\text{j}+(3z{y}^{2}-{e}^{{x}^{2}+{y}^{2}})\text{k}$ 일 때, 발산 정리를 이용하여 ${\iint }_{S}\text{F}\cdot d\text{S}$ 를 구하세요.

화살표가 모두 아래를 향하는 3차원 벡터장이다. 화살표들은 원점을 꼭짓점으로 하여 아래로 열린 모양으로 그려진 포물면의 경로를 따르는 것처럼 보인다. S 는 이 포물면과 그 밑면을 이루는 (x, y)-평면 위의 원판을 합친 곡면이다.

영어 원문 보기

Let E be the solid bounded by the xy-plane and paraboloid $z=4-{x}^{2}-{y}^{2}$ so that S is the surface of the paraboloid piece together with the disk in the xy-plane that forms its bottom. If $\text{F}(x,y,z)=(xz\,\sin (yz)+{x}^{3})\text{i}+\cos (yz)\text{j}+(3z{y}^{2}-{e}^{{x}^{2}+{y}^{2}})\text{k},$ find ${\iint }_{S}\text{F}\cdot d\text{S}$ using the divergence theorem.

A vector field in three dimensions with all of the arrows pointing down. They seem to follow the path of the paraboloid drawn opening down with vertex at the origin. S is the surface of this paraboloid and the disk in the (x, y) plane that forms its bottom.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.8절 · 20번

# 발산 정리그래프·표 해석자동 분류

46.APEX · 14.2절 · 5번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서, 마주 보는 두 꼭짓점이 $(-2,-2)$ 와 $(2,2)$ 인 직사각형 위에 주어진 벡터장의 그래프를 그리세요. 이때 좌표가 정수인 모든 점마다(즉, $(0,0)$ , $(1,2)$ 등에서) 벡터를 하나씩 그리세요.

$\vec F = \langle x,0\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, sketch the given vector field over the rectangle with opposite corners $(-2,-2)$ and $(2,2)$ , sketching one vector for every point with integer coordinates (i.e., at $(0,0)$ , $(1,2)$ , etc.).

$\vec F = \langle x,0\rangle$

정답·풀이 보기

정답은 다음과 비슷해야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

Correct answers should look similar to

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.1절 · 27번

# 벡터장과 흐름선그래프·표 해석자동 분류

47.APEX · 14.2절 · 6번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8번에서, 서로 마주 보는 꼭짓점이 $(-2,-2)$ 와 $(2,2)$ 인 직사각형 위에 주어진 벡터장의 그래프를 그리세요. 좌표가 정수인 모든 점(즉, $(0,0)$ , $(1,2)$ 등)마다 벡터를 하나씩 그리세요.

$\vec F = \langle 0,x\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, sketch the given vector field over the rectangle with opposite corners $(-2,-2)$ and $(2,2)$ , sketching one vector for every point with integer coordinates (i.e., at $(0,0)$ , $(1,2)$ , etc.).

$\vec F = \langle 0,x\rangle$

정답·풀이 보기

정답은 다음과 비슷한 모양이어야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

Correct answers should look similar to

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.1절 · 37번

# 벡터장과 흐름선그래프·표 해석자동 분류

48.APEX · 14.2절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8번에서, 서로 마주 보는 꼭짓점이 $(-2,-2)$ 와 $(2,2)$ 인 직사각형 위에 주어진 벡터장의 그래프를 그리세요. 좌표가 정수인 모든 점(즉, $(0,0)$ , $(1,2)$ 등)마다 벡터를 하나씩 그리세요.

$\vec F = \langle 1,-1\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, sketch the given vector field over the rectangle with opposite corners $(-2,-2)$ and $(2,2)$ , sketching one vector for every point with integer coordinates (i.e., at $(0,0)$ , $(1,2)$ , etc.).

$\vec F = \langle 1,-1\rangle$

정답·풀이 보기

정답은 다음과 비슷한 모양이어야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

Correct answers should look similar to

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.1절 · 25번

# 벡터장과 흐름선그래프·표 해석자동 분류

49.APEX · 14.2절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8번에서, 서로 마주 보는 꼭짓점이 $(-2,-2)$ 와 $(2,2)$ 인 직사각형 위에 주어진 벡터장의 그래프를 그리세요. 좌표가 정수인 모든 점(즉, $(0,0)$ , $(1,2)$ 등)마다 벡터를 하나씩 그리세요.

$\vec F = \langle y^2,1\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, sketch the given vector field over the rectangle with opposite corners $(-2,-2)$ and $(2,2)$ , sketching one vector for every point with integer coordinates (i.e., at $(0,0)$ , $(1,2)$ , etc.).

$\vec F = \langle y^2,1\rangle$

정답·풀이 보기

정답은 다음과 비슷한 모양이어야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

Correct answers should look similar to

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.2절 · 2번

# 벡터장과 흐름선그래프·표 해석자동 분류

50.APEX · 14.5절 · 3번대학 수준우리말 번역

연습문제 3–4에서, 함수 $z=f(x,y)$ 로 정의된 곡면을 $x$ - $y$ 평면의 주어진 각 영역 $R$ 위에서 매개화하세요.

$z = 3x^2y$ ;

(a) $R$ 은 $-1\leq x\leq 1$ 과 $0\leq y\leq 2$ 로 유계인 직사각형이다. (b) $R$ 은 중심이 $(1,2)$ 이고 반지름이 3인 원이다. (c) $R$ 은 꼭짓점이 $(0,0)$ , $(1,0)$ , $(0,2)$ 인 삼각형이다. (d) $R$ 은 $x$ 축과 $y = 1-x^2$ 의 그래프로 유계인 영역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 3–4, parametrize the surface defined by the function $z=f(x,y)$ over each of the given regions $R$ of the $x$ - $y$ plane.

$z = 3x^2y$ ;

(a) $R$ is the rectangle bounded by $-1\leq x\leq 1$ and $0\leq y\leq 2$ . (b) $R$ is the circle of radius 3, centered at $(1,2)$ . (c) $R$ is the triangle with vertices $(0,0)$ , $(1,0)$ and $(0,2)$ . (d) $R$ is the region bounded by the $x$ -axis and the graph of $y = 1-x^2$ .

정답·풀이 보기

(a) $\vec r(u,v) = \langle u, v, 3u^2v\rangle$ on $-1\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 2$ . (b) $\vec r(u,v) = \langle 3v\cos u+1, 3v\sin u+2, 3(3v\cos u+1)^2(3v\sin u+2)\rangle$ , on $0\leq u\leq 2\pi$ , $0\leq v\leq 1$ . (c) $\vec r(u,v) = \langle u, v(2-2u), 3u^2v(2-2u)\rangle$ on $0\leq u, v\leq 1$ . (d) $\vec r(u,v) = \langle u, v(1-u^2), 3u^2v(1-u^2)\rangle$ on $-1\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 1$ .

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\vec r(u,v) = \langle u, v, 3u^2v\rangle$ on $-1\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 2$ . (b) $\vec r(u,v) = \langle 3v\cos u+1, 3v\sin u+2, 3(3v\cos u+1)^2(3v\sin u+2)\rangle$ , on $0\leq u\leq 2\pi$ , $0\leq v\leq 1$ . (c) $\vec r(u,v) = \langle u, v(2-2u), 3u^2v(2-2u)\rangle$ on $0\leq u, v\leq 1$ . (d) $\vec r(u,v) = \langle u, v(1-u^2), 3u^2v(1-u^2)\rangle$ on $-1\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.1절 · 3번

# 매개변수 곡면그래프·표 해석자동 분류

51.APEX · 14.5절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–16에서는 공간의 정의역 $D$ 가 주어진다. $D$ 의 경계를 이루는 각 곡면을 매개변수화하세요.

$D$ 는 평면 $z = \frac12(3-x)$ , $x=1$ , $y=0$ , $y=2$ , $z=0$ 으로 둘러싸인 정의역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 9–16, a domain $D$ in space is given. Parametrize each of the bounding surfaces of $D$ .

$D$ is the domain bounded by the planes $z = \frac12(3-x)$ , $x=1$ , $y=0$ , $y=2$ and $z=0$ .

정답·풀이 보기

답은 여러 가지일 수 있다.

$z = \frac12(3-x)$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u, v , \frac12(3-u)\rangle$ , 단 $1\leq u\leq 3$ , $0\leq v\leq 2$ .

$x=1$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle 0,u,v\rangle$ , 단 $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$

$y=0$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u,0,v/2(3-u)\rangle$ , 단 $1\leq u\leq 3$ , $0\leq v\leq 1$

$y=2$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u,2,v/2(3-u)\rangle$ , 단 $1\leq u\leq 3$ , $0\leq v\leq 1$

$z=0$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u,v,0\rangle$ , 단 $1\leq u\leq 3$ , $0\leq v\leq 2$

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary.

For $z = \frac12(3-x)$ : $\vec r(u,v) = \langle u, v , \frac12(3-u)\rangle$ , with $1\leq u\leq 3$ and $0\leq v\leq 2$ .

For $x=1$ : $\vec r(u,v) = \langle 0,u,v\rangle$ , with $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$

For $y=0$ : $\vec r(u,v) = \langle u,0,v/2(3-u)\rangle$ , with $1\leq u\leq 3$ , $0\leq v\leq 1$

For $y=2$ : $\vec r(u,v) = \langle u,2,v/2(3-u)\rangle$ , with $1\leq u\leq 3$ , $0\leq v\leq 1$

For $z=0$ : $\vec r(u,v) = \langle u,v,0\rangle$ , with $1\leq u\leq 3$ , $0\leq v\leq 2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.1절 · 1번

# 매개변수 곡면그래프·표 해석자동 분류

52.APEX · 14.5절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–16번에서 공간의 정의역 $D$ 가 주어져 있다. $D$ 를 둘러싸는 각 곡면을 매개변수로 나타내세요.

$D$ 는 평면 $z=2x+4y-4$ , $x=2$ , $y=1$ , $z=0$ 으로 둘러싸인 정의역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 9–16, a domain $D$ in space is given. Parametrize each of the bounding surfaces of $D$ .

$D$ is the domain bounded by the planes $z=2x+4y-4$ , $x=2$ , $y=1$ and $z=0$ .

정답·풀이 보기

답은 여러 가지가 될 수 있다.

$z=2x+4y-4$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u, 1-u/2+uv/2, 2u+4(1-u/2+uv/2)-4\rangle$ , $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$ .

$x=2$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle 2,u,4uv\rangle$ , $0\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 1$

$y=1$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u,1,2uv\rangle$ , $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$

$z=0$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u, 1-u/2+uv/2,0\rangle$ , $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary.

For $z=2x+4y-4$ : $\vec r(u,v) = \langle u, 1-u/2+uv/2, 2u+4(1-u/2+uv/2)-4\rangle$ , with $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$ .

For $x=2$ : $\vec r(u,v) = \langle 2,u,4uv\rangle$ , with $0\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 1$

For $y=1$ : $\vec r(u,v) = \langle u,1,2uv\rangle$ , with $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$

For $z=0$ : $\vec r(u,v) = \langle u, 1-u/2+uv/2,0\rangle$ , with $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.1절 · 3번

# 매개변수 곡면그래프·표 해석자동 분류

53.APEX · 14.5절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–16에서 공간의 정의역 $D$ 가 주어져 있다. $D$ 의 경계를 이루는 각 곡면을 매개변수로 나타내세요.

$D$ 는 $z=2y$ , $y=4-x^2$ , $z=0$ 으로 둘러싸인 정의역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 9–16, a domain $D$ in space is given. Parametrize each of the bounding surfaces of $D$ .

$D$ is the domain bounded by $z=2y$ , $y=4-x^2$ and $z=0$ .

정답·풀이 보기

답은 다를 수 있다.

$z=2y: \vec r(u,v) = \langle u, v(4-u^2), 2v(4-u^2)\rangle$ 에 대해 $-2\leq u\leq 2$ 이고 $0\leq v\leq 1$ 이다.

$y=4-x^2: \vec r(u,v) = \langle u, 4-u^2, 2v(4-u^2)\rangle$ 에 대해 $-2\leq u\leq 2$ 이고 $0\leq v\leq 1$ 이다.

$z=0$ : $\vec r(u,v) = \langle u, v(4-u^2), 0\rangle$ 에 대해 $-2\leq u\leq 2$ 이고 $0\leq v\leq 1$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary.

For $z=2y: \vec r(u,v) = \langle u, v(4-u^2), 2v(4-u^2)\rangle$ with $-2\leq u\leq 2$ and $0\leq v\leq 1$ .

For $y=4-x^2: \vec r(u,v) = \langle u, 4-u^2, 2v(4-u^2)\rangle$ with $-2\leq u\leq 2$ and $0\leq v\leq 1$ .

For $z=0$ : $\vec r(u,v) = \langle u, v(4-u^2), 0\rangle$ with $-2\leq u\leq 2$ and $0\leq v\leq 1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.2절 · 18번

# 매개변수 곡면그래프·표 해석자동 분류

54.APEX · 14.5절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–16번에서 공간의 정의역 $D$ 가 주어져 있다. $D$ 를 둘러싸는 각 곡면을 매개변수로 나타내세요.

$D$ 는 $y=1-z^2$ , $y=1-x^2$ , $x=0$ , $y=0$ , $z=0$ 으로 둘러싸인 정의역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 9–16, a domain $D$ in space is given. Parametrize each of the bounding surfaces of $D$ .

$D$ is the domain bounded by $y=1-z^2$ , $y=1-x^2$ , $x=0$ , $y=0$ and $z=0$ .

정답·풀이 보기

답은 여러 가지가 될 수 있다.

$y=1-z^2$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u, v(1-u^2), \sqrt{1-v(1-u^2)}\rangle$ , $0\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 1$ .

$y=1-x^2$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u, 1-u^2, uv\rangle$ , $0\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 1$ .

$x=0$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle 0, v(1-u^2),u\rangle$ , $0\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 1$ .

$y=0$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u, 0,v\rangle$ , $0\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 1$ .

$z=0$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u, v(1-u^2), 0rangle$ , $0\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 1$ .

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary.

For $y=1-z^2$ : $\vec r(u,v) = \langle u, v(1-u^2), \sqrt{1-v(1-u^2)}\rangle$ with $0\leq u\leq 1$ and $0\leq v\leq 1$ .

For $y=1-x^2$ : $\vec r(u,v) = \langle u, 1-u^2, uv\rangle$ with $0\leq u\leq 1$ and $0\leq v\leq 1$ .

For $x=0$ : $\vec r(u,v) = \langle 0, v(1-u^2),u\rangle$ with $0\leq u\leq 1$ and $0\leq v\leq 1$ .

For $y=0$ : $\vec r(u,v) = \langle u, 0,v\rangle$ with $0\leq u\leq 1$ and $0\leq v\leq 1$ .

For $z=0$ : $\vec r(u,v) = \langle u, v(1-u^2), 0rangle$ with $0\leq u\leq 1$ and $0\leq v\leq 1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.2절 · 17번

# 매개변수 곡면그래프·표 해석자동 분류

55.APEX · 14.5절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–16번에서 공간의 정의역 $D$ 가 주어져 있다. $D$ 를 둘러싸는 각 곡면을 매개변수로 나타내세요.

$D$ 는 원기둥 $x+y^2/9=1$ 과 평면 $z=1$ , $z=3$ 으로 둘러싸인 정의역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 9–16, a domain $D$ in space is given. Parametrize each of the bounding surfaces of $D$ .

$D$ is the domain bounded by the cylinder $x+y^2/9=1$ and the planes $z=1$ and $z=3$ .

정답·풀이 보기

답은 여러 가지가 될 수 있다.

$x+y^2/9=1$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle \cos u, 3\sin u, v\rangle$ , $0\leq u\leq 2\pi$ , $1\leq v\leq 3$ .

$z=1$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle v\cos u, 3v\sin u, 1\rangle$ , $0\leq u\leq 2\pi$ , $0\leq v\leq 1$ .

$z=3$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle v\cos u, 3v\sin u, 3\rangle$ , $0\leq u\leq 2\pi$ , $0\leq v\leq 1$ .

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary.

For $x+y^2/9=1$ : $\vec r(u,v) = \langle \cos u, 3\sin u, v\rangle$ with $0\leq u\leq 2\pi$ and $1\leq v\leq 3$ .

For $z=1$ : $\vec r(u,v) = \langle v\cos u, 3v\sin u, 1\rangle$ with $0\leq u\leq 2\pi$ and $0\leq v\leq 1$ .

For $z=3$ : $\vec r(u,v) = \langle v\cos u, 3v\sin u, 3\rangle$ with $0\leq u\leq 2\pi$ and $0\leq v\leq 1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.2절 · 15번

# 매개변수 곡면그래프·표 해석자동 분류

56.APEX · 14.5절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–16에서 공간의 영역 $D$ 가 주어져 있습니다. $D$ 의 경계를 이루는 각 곡면을 매개변수로 나타내세요.

$D$ 는 원뿔 $x^2+y^2=(z-1)^2$ 과 평면 $z=0$ 으로 둘러싸인 영역입니다.

영어 원문 보기

In Exercises 9–16, a domain $D$ in space is given. Parametrize each of the bounding surfaces of $D$ .

$D$ is the domain bounded by the cone $x^2+y^2=(z-1)^2$ and the plane $z=0$ .

정답·풀이 보기

답은 여러 가지가 될 수 있다.

$x^2+y^2=(z-1)^2$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle v\cos u, v\sin u, 1-v\rangle$ , 단 $0\leq u\leq 2\pi$ 이고 $0\leq v\leq 1$ 이다.

$z=0$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle v\cos u, v\sin u, 0\rangle$ , 단 $0\leq u\leq 2\pi$ 이고 $0\leq v\leq 1$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary.

For $x^2+y^2=(z-1)^2$ : $\vec r(u,v) = \langle v\cos u, v\sin u, 1-v\rangle$ with $0\leq u\leq 2\pi$ and $0\leq v\leq 1$ .

For $z=0$ : $\vec r(u,v) = \langle v\cos u, v\sin u, 0\rangle$ with $0\leq u\leq 2\pi$ and $0\leq v\leq 1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.1절 · 7번

# 매개변수 곡면그래프·표 해석자동 분류

57.APEX · 14.5절 · 15번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–16에서 공간의 영역 $D$ 가 주어져 있습니다. $D$ 의 경계를 이루는 각 곡면을 매개변수로 나타내세요.

$D$ 는 기둥면 $z=1-x^2$ 과 평면 $y=-1$ , $y=2$ , $z=0$ 으로 둘러싸인 영역입니다.

영어 원문 보기

In Exercises 9–16, a domain $D$ in space is given. Parametrize each of the bounding surfaces of $D$ .

$D$ is the domain bounded by the cylinder $z=1-x^2$ and the planes $y=-1$ , $y=2$ and $z=0$ .

정답·풀이 보기

답은 여러 가지가 될 수 있다.

$z=1-x^2$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u,v,1-u^2\rangle$ , 단 $-1\leq u\leq 1$ 이고 $-1\leq v\leq 2$ 이다.

$y=-1$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u,-1,v(1-u^2)\rangle$ , 단 $-1\leq u\leq 1$ 이고 $0\leq v\leq 1$ 이다.

$y=2$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u,2,v(1-u^2)\rangle$ , 단 $-1\leq u\leq 1$ 이고 $0\leq v\leq 1$ 이다.

$z=0$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u,v,0\rangle$ , 단 $-1\leq u\leq 1$ 이고 $-1\leq v\leq 2$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary.

For $z=1-x^2$ : $\vec r(u,v) = \langle u,v,1-u^2\rangle$ with $-1\leq u\leq 1$ and $-1\leq v\leq 2$ .

For $y=-1$ : $\vec r(u,v) = \langle u,-1,v(1-u^2)\rangle$ with $-1\leq u\leq 1$ and $0\leq v\leq 1$ .

For $y=2$ : $\vec r(u,v) = \langle u,2,v(1-u^2)\rangle$ with $-1\leq u\leq 1$ and $0\leq v\leq 1$ .

For $z=0$ : $\vec r(u,v) = \langle u,v,0\rangle$ with $-1\leq u\leq 1$ and $-1\leq v\leq 2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.1절 · 4번

# 매개변수 곡면그래프·표 해석자동 분류

58.APEX · 14.5절 · 16번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–16에서 공간의 영역 $D$ 가 주어져 있습니다. $D$ 의 경계를 이루는 각 곡면을 매개변수로 나타내세요.

$D$ 는 포물면 $z=4-x^2-4y^2$ 과 평면 $z=0$ 으로 둘러싸인 영역입니다.

영어 원문 보기

In Exercises 9–16, a domain $D$ in space is given. Parametrize each of the bounding surfaces of $D$ .

$D$ is the domain bounded by the paraboloid $z=4-x^2-4y^2$ and the plane $z=0$ .

정답·풀이 보기

답은 여러 가지가 될 수 있다.

$z=4-x^2-4y^2$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle 2v\cos u,v\sin u,4-(2v\cos u)^2-4(v\sin u)^2\rangle$ , 단 $0\leq u\leq 2\pi$ 이고 $0\leq v\leq 1$ 이다.

$z=0$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle 2v\cos u,v\sin u,0\rangle$ , 단 $0\leq u\leq 2\pi$ 이고 $0\leq v\leq 1$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary.

For $z=4-x^2-4y^2$ : $\vec r(u,v) = \langle 2v\cos u,v\sin u,4-(2v\cos u)^2-4(v\sin u)^2\rangle$ with $0\leq u\leq 2\pi$ and $0\leq v\leq 1$ .

For $z=0$ : $\vec r(u,v) = \langle 2v\cos u,v\sin u,0\rangle$ with $0\leq u\leq 2\pi$ and $0\leq v\leq 1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.2절 · 18번

# 매개변수 곡면그래프·표 해석자동 분류

59.APEX · 14.6절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–14에서 곡면 $\mathcal{S}$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. $\mathcal{S}$ 를 지나는 $\vec F$ 의 플럭스를 계산하세요. (달리 지시가 없는 한, $\mathcal{S}$ 가 닫힌 곡면이 아니면 $\vec n$ 은 $z$ 성분이 양수가 되도록 택한다.)

$\mathcal{S}$ 는 닫힌 곡면으로, 경계가 $x$ - $y$ 평면 위의 타원 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}9 = 1$ 인 $\mathcal{S}_1$ 과 타원포물면 $f(x,y) = 1-\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}9$ 의 일부인 $\mathcal{S}_2$ 로 이루어져 있다(그래프 참조). $\vec F = \langle 5,2,3\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, a surface $\mathcal{S}$ and a vector field $\vec F$ are given. Compute the flux of $\vec F$ across $\mathcal{S}$ . (If $\mathcal{S}$ is not a closed surface, choose $\vec n$ so that it has a positive $z$ -component, unless otherwise indicated.)

$\mathcal{S}$ is the closed surface composed of $\mathcal{S}_1$ , whose boundary is the ellipse in the $x$ - $y$ plane described by $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}9 = 1$ and $\mathcal{S}_2$ , part of the elliptical paraboloid $f(x,y) = 1-\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}9$ (see graph); $\vec F = \langle 5,2,3\rangle$ .

정답·풀이 보기

$0$ 이다. $\mathcal{S}_1$ 을 지나는 플럭스는 $-45\pi$ 이고 $\mathcal{S}_2$ 를 지나는 플럭스는 $45\pi$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$0$ ; the flux over $\mathcal{S}_1$ is $-45\pi$ and the flux over $\mathcal{S}_2$ is $45\pi$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.6절 · 4번

# 면적분과 플럭스그래프·표 해석자동 분류

60.APEX · 14.6절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–14번에서 곡면 $\mathcal{S}$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. $\mathcal{S}$ 를 지나는 $\vec F$ 의 플럭스를 계산하세요. ( $\mathcal{S}$ 가 닫힌 곡면이 아닌 경우, 달리 지시하지 않는 한 $\vec n$ 은 $z$ 성분이 양수가 되도록 택한다.)

$\mathcal{S}$ 는 단위구면의 일부인 $\mathcal{S}_1$ 과 평면 $z=1/2$ 의 일부인 $\mathcal{S}_2$ 로 이루어진 닫힌 곡면이고(그래프 참조), $\vec F = \langle x,-y,z\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, a surface $\mathcal{S}$ and a vector field $\vec F$ are given. Compute the flux of $\vec F$ across $\mathcal{S}$ . (If $\mathcal{S}$ is not a closed surface, choose $\vec n$ so that it has a positive $z$ -component, unless otherwise indicated.)

$\mathcal{S}$ is the closed surface composed of $\mathcal{S}_1$ , part of the unit sphere and $\mathcal{S}_2$ , part of the plane $z=1/2$ (see graph); $\vec F = \langle x,-y,z\rangle$ .

정답·풀이 보기

$9\pi/8$ ; $\mathcal{S}_1$ 에서의 플럭스는 $3\pi/4$ 이고( $\pi/3\leq u\leq \pi$ , $0\leq v\leq 2\pi$ 에서 $\vec r(u,v) = \langle \sin u\cos v,\sin u\sin v,\cos u\rangle$ 를 사용한다), $\mathcal{S}_2$ 에서의 플럭스는 $3\pi/8$ 이다( $0\leq u\leq 2\pi$ , $0\leq v\leq 1$ 에서 $\vec r(u,v) = \langle v\sqrt{3}\cos (u)/2, v\sqrt{3}\sin(u)/2,1/2\rangle$ 를 사용한다.

원본 교재 풀이(영어)

$9\pi/8$ ; the flux over $\mathcal{S}_1$ is $3\pi/4$ (use $\vec r(u,v) = \langle \sin u\cos v,\sin u\sin v,\cos u\rangle$ on $\pi/3\leq u\leq \pi$ , $0\leq v\leq 2\pi$ ) and the flux over $\mathcal{S}_2$ is $3\pi/8$ (use $\vec r(u,v) = \langle v\sqrt{3}\cos (u)/2, v\sqrt{3}\sin(u)/2,1/2\rangle$ for $0\leq u\leq 2\pi$ , $0\leq v\leq 1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.6절 · 31번

# 면적분과 플럭스그래프·표 해석자동 분류

벡터 미적분 전체 문제