선적분 연습문제 | 빌드라인 스쿨

81.APEX · 14.1절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–10번에서는 평면 곡선 $C$ 와 $C$ 위에서 정의된 곡면 $f$ 가 주어진다. 선적분 $\displaystyle \int_Cf(s)\ ds$ 의 값을 구하세요.

$C$ 는 두 점 $(0,0)$ 과 $(1,1)$ 을 잇는 선분과, $[0,\pi/2]$ 에서 $\langle \cos t,-\sin t+1\rangle$ 로 매개화된 사분원(점 $(1,1)$ 에서 시작하여 점 $(0,0)$ 에서 끝난다)으로 이루어진 구간별 곡선이고, 곡면은 $f(x,y)=x^2+y^2$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 5–10, a planar curve $C$ is given along with a surface $f$ that is defined over $C$ . Evaluate the line integral $\displaystyle \int_Cf(s)\ ds.$

$C$ is the piecewise curve composed of the line segment joining the points $(0,0)$ and $(1,1)$ , along with the quarter–circle parametrized by $\langle \cos t,-\sin t+1\rangle$ on $[0,\pi/2]$ (which starts at the point $(1,1)$ and ends at $(0,0)$ ; the surface is $f(x,y)=x^2+y^2$ .

정답·풀이 보기

$C$ 의 첫 번째 부분 곡선 위에서 선적분의 값은 $2\sqrt{2}/3$ 이고, 두 번째 부분 곡선 위에서 선적분의 값은 $\pi-2$ 이다. 따라서 선적분의 전체 값은 $\pi+2\sqrt{2}/3-2$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Over the first subcurve of $C$ , the line integral has a value of $2\sqrt{2}/3$ ; over the second subcurve, the line integral has a value of $\pi-2$ . The total value of the line integral is thus $\pi+2\sqrt{2}/3-2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.2절 · 13번

# 선적분계산자동 분류

82.APEX · 14.1절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서는 평면 곡선 $C$ 와 $C$ 위에서 정의된 곡면 $f$ 가 주어져 있다. 선적분 $\displaystyle \int_Cf(s)\ ds$ 를 세운 다음, 공학 도구를 이용하여 그 값을 어림하세요.

$C$ 는 포물선 $y=2x^2+x+1$ 의 $[0,1]$ 구간에 해당하는 부분이고, 곡면은 $f(x,y)=x^2+2y$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–14, a planar curve $C$ is given along with a surface $f$ that is defined over $C$ . Set up the line integral $\displaystyle \int_Cf(s)\ ds$ , then approximate its value using technology.

$C$ is the portion of the parabola $y=2x^2+x+1$ on $[0,1]$ ; the surface is $f(x,y)=x^2+2y$ .

정답·풀이 보기

$\int_0^1(5t^2+_2t+2)\sqrt{(4t+1)^2+1}\ dt \approx 17.071$

원본 교재 풀이(영어)

$\int_0^1(5t^2+_2t+2)\sqrt{(4t+1)^2+1}\ dt \approx 17.071$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.6절 · 10번

# 선적분계산자동 분류

83.APEX · 14.1절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서는 평면 곡선 $C$ 와 $C$ 위에서 정의된 곡면 $f$ 가 주어져 있다. 선적분 $\displaystyle \int_Cf(s)\ ds$ 를 세운 다음, 공학 도구를 이용하여 그 값을 어림하세요.

$C$ 는 곡선 $y=\sin x$ 의 $[0,\pi]$ 구간에 해당하는 부분이고, 곡면은 $f(x,y)=x$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–14, a planar curve $C$ is given along with a surface $f$ that is defined over $C$ . Set up the line integral $\displaystyle \int_Cf(s)\ ds$ , then approximate its value using technology.

$C$ is the portion of the curve $y=\sin x$ on $[0,\pi]$ ; the surface is $f(x,y)=x$ .

정답·풀이 보기

$\int_0^\pi t\sqrt{1+\cos^2t}\ dt \approx 6.001$

원본 교재 풀이(영어)

$\int_0^\pi t\sqrt{1+\cos^2t}\ dt \approx 6.001$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.2절 · 15번

# 선적분계산자동 분류

84.APEX · 14.1절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서는 평면 곡선 $C$ 와 $C$ 위에서 정의된 곡면 $f$ 가 주어져 있다. 선적분 $\displaystyle \int_Cf(s)\ ds$ 를 세운 다음, 공학 도구를 이용하여 그 값을 어림하세요.

$C$ 는 $[0,2\pi]$ 에서 $\vec r(t) = \langle 2\cos t,\sin t\rangle$ 로 주어진 타원이고, 곡면은 $f(x,y)=10-x^2-y^2$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–14, a planar curve $C$ is given along with a surface $f$ that is defined over $C$ . Set up the line integral $\displaystyle \int_Cf(s)\ ds$ , then approximate its value using technology.

$C$ is the ellipse given by $\vec r(t) = \langle 2\cos t,\sin t\rangle$ on $[0,2\pi]$ ; the surface is $f(x,y)=10-x^2-y^2$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\oint_0^{2\pi} \big(10-4\cos^2t-\sin^2t\big)\sqrt{\cos^2t+4\sin^2t}\ dt \approx 74.986$

원본 교재 풀이(영어)

$\oint_0^{2\pi} \big(10-4\cos^2t-\sin^2t\big)\sqrt{\cos^2t+4\sin^2t}\ dt \approx 74.986$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.6절 · 7번

# 선적분계산자동 분류

85.APEX · 14.1절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서는 평면 곡선 $C$ 와 $C$ 위에서 정의된 곡면 $f$ 가 주어져 있다. 선적분 $\displaystyle \int_Cf(s)\ ds$ 를 세운 다음, 공학 도구를 이용하여 그 값을 어림하세요.

$C$ 는 $y=x^3$ 의 $[-1,1]$ 구간에 해당하는 부분이고, 곡면은 $f(x,y)=2x+3y+5$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–14, a planar curve $C$ is given along with a surface $f$ that is defined over $C$ . Set up the line integral $\displaystyle \int_Cf(s)\ ds$ , then approximate its value using technology.

$C$ is the portion of $y=x^3$ on $[-1,1]$ ; the surface is $f(x,y)=2x+3y+5$ .

정답·풀이 보기

$\int_{-1}^{1} \big(3t^3+2t+5\big)\sqrt{9t^4+1}\ dt \approx 15.479$

원본 교재 풀이(영어)

$\int_{-1}^{1} \big(3t^3+2t+5\big)\sqrt{9t^4+1}\ dt \approx 15.479$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.2절 · 51번

# 선적분계산자동 분류

86.APEX · 14.1절 · 15번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–18에서는 공간에서 매개변수로 나타낸 곡선 $C$ 가 주어져 있다. $x$ - $y$ 평면 위쪽에 있으면서 $C$ 아래에 있는 부분의 넓이를 구하세요.

$C$ : $1\leq t\leq 2$ 에서 $\vec r(t) = \langle 5t,t,t^2\rangle$ .

영어 원문 보기

In Exercises 15–18, a parametrized curve $C$ in space is given. Find the area above the $x$ - $y$ plane that is under $C$ .

$C$ : $\vec r(t) = \langle 5t,t,t^2\rangle$ for $1\leq t\leq 2$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$7\sqrt{26}/3$

원본 교재 풀이(영어)

$7\sqrt{26}/3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.2절 · 55번

# 선적분계산자동 분류

87.APEX · 14.1절 · 16번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–18에서 공간의 매개변수로 나타낸 곡선 $C$ 가 주어져 있다. $x$ - $y$ 평면 위쪽에 있으면서 $C$ 아래에 있는 부분의 넓이를 구하세요.

$C$ : $\vec r(t) = \langle \cos t,\sin t, \sin(2t)+1\rangle$ , $0\leq t\leq 2\pi$ .

영어 원문 보기

In Exercises 15–18, a parametrized curve $C$ in space is given. Find the area above the $x$ - $y$ plane that is under $C$ .

$C$ : $\vec r(t) = \langle \cos t,\sin t, \sin(2t)+1\rangle$ for $0\leq t\leq 2\pi$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$2\pi$

원본 교재 풀이(영어)

$2\pi$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.2절 · 3번

# 선적분계산자동 분류

88.APEX · 14.1절 · 17번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–18에서 공간의 매개변수로 나타낸 곡선 $C$ 가 주어져 있다. $x$ - $y$ 평면 위쪽에 있으면서 $C$ 아래에 있는 부분의 넓이를 구하세요.

$C$ : $\vec r(t) = \langle 3\cos t,3\sin t, t^2\rangle$ , $0\leq t\leq 2\pi$ .

영어 원문 보기

In Exercises 15–18, a parametrized curve $C$ in space is given. Find the area above the $x$ - $y$ plane that is under $C$ .

$C$ : $\vec r(t) = \langle 3\cos t,3\sin t, t^2\rangle$ for $0\leq t\leq 2\pi$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$8\pi^3$

원본 교재 풀이(영어)

$8\pi^3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 2.4절 · 34번

# 선적분계산자동 분류

89.APEX · 14.1절 · 18번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–18에서 공간의 매개변수로 나타낸 곡선 $C$ 가 주어져 있다. $x$ - $y$ 평면 위쪽에 있으면서 $C$ 아래에 있는 부분의 넓이를 구하세요.

$C$ : $\vec r(t) = \langle 3t,4t, t\rangle$ , $0\leq t\leq 1$ .

영어 원문 보기

In Exercises 15–18, a parametrized curve $C$ in space is given. Find the area above the $x$ - $y$ plane that is under $C$ .

$C$ : $\vec r(t) = \langle 3t,4t, t\rangle$ for $0\leq t\leq 1$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$5/2$

원본 교재 풀이(영어)

$5/2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.1절 · 1번

# 선적분계산자동 분류

90.APEX · 14.1절 · 19번대학 수준우리말 번역

연습문제 19–20에서 밀도가 $\delta$ 인 가는 철사를 나타내는 매개변수 곡선 $C$ 가 주어져 있다. 이 가는 철사의 질량과 질량중심을 구하세요.

$C$ : $\vec r(t) = \langle \cos t,\sin t, t\rangle$ , $0\leq t\leq 4\pi$ ; $\delta(x,y,z) = z$ .

영어 원문 보기

In Exercises 19–20, a parametrized curve $C$ is given that represents a thin wire with density $\delta$ . Find the mass and center of mass of the thin wire.

$C$ : $\vec r(t) = \langle \cos t,\sin t, t\rangle$ for $0\leq t\leq 4\pi$ ; $\delta(x,y,z) = z$ .

정답·풀이 보기

$M=8\sqrt{2}\pi^2$ 이고, 질량중심은 $(0,-1/(2\pi), 8\pi/3)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$M=8\sqrt{2}\pi^2$ ; center of mass is $(0,-1/(2\pi), 8\pi/3)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6장 복습 · 19번

# 선적분계산자동 분류

91.APEX · 14.1절 · 20번대학 수준우리말 번역

연습문제 19–20에서 밀도가 $\delta$ 인 가는 철사를 나타내는 매개변수 곡선 $C$ 가 주어져 있다. 이 가는 철사의 질량과 질량중심을 구하세요.

$C$ : $\vec r(t) = \langle t-t^2,t^2-t^3,t^3-t^4\rangle$ , $0\leq t\leq 1$ ; $\delta(x,y,z) = x+2y+2z$ . 각 적분의 값은 공학적 도구를 이용하여 어림하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 19–20, a parametrized curve $C$ is given that represents a thin wire with density $\delta$ . Find the mass and center of mass of the thin wire.

$C$ : $\vec r(t) = \langle t-t^2,t^2-t^3,t^3-t^4\rangle$ for $0\leq t\leq 1$ ; $\delta(x,y,z) = x+2y+2z$ . Use technology to approximate the value of each integral.

정답·풀이 보기

$M\approx 0.237$ 이고, 질량중심은 약 $(0.173, 0.099,0.065)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$M\approx 0.237$ ; center of mass is approximately $(0.173, 0.099,0.065)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.2절 · 21번

# 선적분계산자동 분류

92.APEX · 14.3절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–12에서 벡터장 $\vec F$ 와 곡선 $C$ 가 주어져 있다. $\displaystyle \int_C\vec F\cdot d\vec r$ 의 값을 구하세요.

$\vec F = \langle y, y^2\rangle$ ; $C$ 는 $(0,0)$ 에서 $(3,1)$ 까지의 선분이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, a vector field $\vec F$ and a curve $C$ are given. Evaluate $\displaystyle \int_C\vec F\cdot d\vec r$ .

$\vec F = \langle y, y^2\rangle$ ; $C$ is the line segment from $(0,0)$ to $(3,1)$ .

정답·풀이 보기

$11/6$ . ( $C$ 의 한 가지 매개변수 표현은 $0\leq t\leq 1$ 에서 $\vec r(t) = \langle 3t,t\rangle$ 이다.)

원본 교재 풀이(영어)

$11/6$ . (One parametrization for $C$ is $\vec r(t) = \langle 3t,t\rangle$ on $0\leq t\leq 1$ .)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.2절 · 3번

# 선적분계산자동 분류

93.APEX · 14.3절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–12번에서 벡터장 $\vec F$ 와 곡선 $C$ 가 주어져 있다. $\displaystyle \int_C\vec F\cdot d\vec r$ 의 값을 구하세요.

$\vec F = \langle x,x+y\rangle$ ; $C$ 는 포물선 $y=x^2$ 의 일부로 $(0,0)$ 에서 $(1,1)$ 까지이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, a vector field $\vec F$ and a curve $C$ are given. Evaluate $\displaystyle \int_C\vec F\cdot d\vec r$ .

$\vec F = \langle x,x+y\rangle$ ; $C$ is the portion of the parabola $y=x^2$ from $(0,0)$ to $(1,1)$ .

정답·풀이 보기

$5/3$ . ( $C$ 의 매개변수 표현 하나는 $0\leq t\leq 1$ 에서 $\vec r(t) = \langle t,t^2\rangle$ 이다.)

원본 교재 풀이(영어)

$5/3$ . (One parametrization for $C$ is $\vec r(t) = \langle t,t^2\rangle$ on $0\leq t\leq 1$ .)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.6절 · 7번

# 선적분계산자동 분류

94.APEX · 14.3절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–12번에서 벡터장 $\vec F$ 와 곡선 $C$ 가 주어져 있다. $\displaystyle \int_C\vec F\cdot d\vec r$ 의 값을 구하세요.

$\vec F = \langle y,x\rangle$ ; $C$ 는 단위원의 위쪽 절반으로, $(1,0)$ 에서 시작하여 $(-1,0)$ 에서 끝난다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, a vector field $\vec F$ and a curve $C$ are given. Evaluate $\displaystyle \int_C\vec F\cdot d\vec r$ .

$\vec F = \langle y,x\rangle$ ; $C$ is the top half of the unit circle, beginning at $(1,0)$ and ending at $(-1,0)$ .

정답·풀이 보기

$0$ . ( $C$ 의 매개변수 표현 하나는 $0\leq t\leq \pi$ 에서 $\vec r(t) = \langle \cos t,\sin t\rangle$ 이다.)

원본 교재 풀이(영어)

$0$ . (One parametrization for $C$ is $\vec r(t) = \langle \cos t,\sin t\rangle$ on $0\leq t\leq \pi$ .)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.2절 · 15번

# 선적분계산자동 분류

95.APEX · 14.3절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–12번에서 벡터장 $\vec F$ 와 곡선 $C$ 가 주어져 있다. $\displaystyle \int_C\vec F\cdot d\vec r$ 의 값을 구하세요.

$\vec F = \langle xy,x\rangle$ ; $C$ 는 곡선 $y=x^3$ 의 $-1\leq x\leq 1$ 인 부분이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, a vector field $\vec F$ and a curve $C$ are given. Evaluate $\displaystyle \int_C\vec F\cdot d\vec r$ .

$\vec F = \langle xy,x\rangle$ ; $C$ is the portion of the curve $y=x^3$ on $-1\leq x\leq 1$ .

정답·풀이 보기

$2/5$ . ( $C$ 의 매개변수 표현 하나는 $-1\leq t\leq 1$ 에서 $\vec r(t) = \langle t,t^3\rangle$ 이다.)

원본 교재 풀이(영어)

$2/5$ . (One parametrization for $C$ is $\vec r(t) = \langle t,t^3\rangle$ on $-1\leq t\leq 1$ .)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 2.4절 · 15번

# 선적분계산자동 분류

96.APEX · 14.3절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–12번에서 벡터장 $\vec F$ 와 곡선 $C$ 가 주어져 있다. $\displaystyle \int_C\vec F\cdot d\vec r$ 의 값을 구하세요.

$\vec F = \langle z,x^2,y\rangle$ ; $C$ 는 $(1,2,3)$ 에서 $(4,3,2)$ 까지의 선분이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, a vector field $\vec F$ and a curve $C$ are given. Evaluate $\displaystyle \int_C\vec F\cdot d\vec r$ .

$\vec F = \langle z,x^2,y\rangle$ ; $C$ is the line segment from $(1,2,3)$ to $(4,3,2)$ .

정답·풀이 보기

$12$ . ( $C$ 의 매개변수 표현 하나는 $0\leq t\leq 1$ 에서 $\vec r(t) = \langle 1,2,3\rangle+t\langle 3,1,-1\rangle$ 이다.)

원본 교재 풀이(영어)

$12$ . (One parametrization for $C$ is $\vec r(t) = \langle 1,2,3\rangle+t\langle 3,1,-1\rangle$ on $0\leq t\leq 1$ .)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.2절 · 31번

# 선적분계산자동 분류

97.APEX · 14.3절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–12번에서 벡터장 $\vec F$ 와 곡선 $C$ 가 주어져 있다. $\displaystyle \int_C\vec F\cdot d\vec r$ 의 값을 구하세요.

$\vec F = \langle y+z,x+z,x+y\rangle$ ; $C$ 는 $0\leq t\leq 2\pi$ 에서 나선 $\vec r(t) = \langle \cos t,\sin t,t/(2\pi)\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, a vector field $\vec F$ and a curve $C$ are given. Evaluate $\displaystyle \int_C\vec F\cdot d\vec r$ .

$\vec F = \langle y+z,x+z,x+y\rangle$ ; $C$ is the helix $\vec r(t) = \langle \cos t,\sin t,t/(2\pi)\rangle$ on $0\leq t\leq 2\pi$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$1$ .

원본 교재 풀이(영어)

$1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.2절 · 23번

# 선적분계산자동 분류

98.CLP-4 · 1.6절 · 5번대학 수준우리말 번역

$C$ 가 $(1,2,3)$ 에서 $(2,4,5)$ 까지의 선분일 때, $\int_C (xy+z) \mathrm{d}s$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Compute $\int_C (xy+z) \mathrm{d}s$ where $C$ is the line segment from $(1,2,3)$ to $(2,4,5)$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$C$ 를 매개변수로 나타내기 위해, 두 점 사이의 벡터가 $(2-1,4-2,5-3)=(1,2,2)$ 임에 주목한다. 따라서 이 직선은 $0 \le t \le 1$ 에 대해 $(1,2,3)+t(1,2,2)$ 이다. 즉, $x(t)=1+t$ , $y(t)=2+2t$ , 그리고 $z(t)=3+2t$ 이다.

$\begin{aligned} \int_C(xy+z)\mathrm{d}s&=\int_0^1 \left((1+t)(2+2t)+(3+2t)\right)\sqrt{1^1+2^2+2^2}\mathrm{d}t\\ &= \int_0^1 3\big(5 + 6t + 2t^2\big)\ \mathrm{d}t=26 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

To parametrize $C$ , we note the vector between the two points is $(2-1,4-2,5-3)=(1,2,2)$ . So, the line is $(1,2,3)+t(1,2,2)$ for $0 \le t \le 1$ . That is, $x(t)=1+t$ , $y(t)=2+2t$ , and $z(t)=3+2t$ .

$\begin{aligned} \int_C(xy+z)\mathrm{d}s&=\int_0^1 \left((1+t)(2+2t)+(3+2t)\right)\sqrt{1^1+2^2+2^2}\mathrm{d}t\\ &= \int_0^1 3\big(5 + 6t + 2t^2\big)\ \mathrm{d}t=26 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6장 복습 · 23번

# 선적분계산보통자동 분류

99.CLP-4 · 1.6절 · 6번대학 수준우리말 번역

다음에 대해 경로적분 $\int_\mathcal{C} f(x,y,z)\,\mathrm{d}s$ 의 값을 구하세요.

(a) $f(x,y,z)=x\cos z$ , $\mathcal{C}:\mathbf{r}(t)=t\hat{\boldsymbol{\imath}}+t^2\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ , $0\le t\le 1$ . (b) $f(x,y,z)=\frac{x+y}{y+z}$ , $\mathcal{C}:\mathbf{r}(t)= \big(t,\frac{2}{3}t^{3/2},t\big)$ , $1\le t\le 2$ .

영어 원문 보기

Evaluate the path integral $\int_\mathcal{C} f(x,y,z)\,\mathrm{d}s$ for

(a) $f(x,y,z)=x\cos z$ , $\mathcal{C}:\mathbf{r}(t)=t\hat{\boldsymbol{\imath}}+t^2\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ , $0\le t\le 1$ . (b) $f(x,y,z)=\frac{x+y}{y+z}$ , $\mathcal{C}:\mathbf{r}(t)= \big(t,\frac{2}{3}t^{3/2},t\big)$ , $1\le t\le 2$ .

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) 이 경우 $\mathbf{r}(t)=t\hat{\boldsymbol{\imath}}+t^2\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 이므로 $\mathbf{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t)=\hat{\boldsymbol{\imath}}+2t\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 이고 $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\sqrt{1+4t^2}$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} \int_\mathcal{C} f(x,y,z)\,\mathrm{d}s &=\int_0^1 x(t)\cos z(t) \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t =\int_0^1 t(\cos 0) \sqrt{1+4t^2}\,\mathrm{d}t =\frac{1}{8}\frac{ {(1+4t^2)}^{3/2}}{3/2}\bigg|_0^1\\ &=\frac{5^{3/2}-1}{12} \end{aligned}$

(b) 이 경우 $\mathbf{r}(t)=\big(t,\frac{2}{3}t^{3/2},t\big)$ 이므로 $\mathbf{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t)=\big(1,t^{1/2},1\big)$ 이고 $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\sqrt{2+t}$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} \int_\mathcal{C} f(x,y,z)\,\mathrm{d}s &=\int_1^2 \frac{x(t)+y(t)}{y(t)+z(t)} \, \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t =\int_1^2 \frac{t+{2\over 3}t^{3/2}}{{2\over3}t^{3/2}+t} \sqrt{2+t}\,\mathrm{d}t =\frac{(2+t)^{3/2}}{3/2}\bigg|_1^2 \\ &=\frac{8-3^{3/2}}{3/2} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) In this case $\mathbf{r}(t)=t\hat{\boldsymbol{\imath}}+t^2\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ , so that $\mathbf{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t)=\hat{\boldsymbol{\imath}}+2t\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ and $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\sqrt{1+4t^2}$ . Hence

$\begin{aligned} \int_\mathcal{C} f(x,y,z)\,\mathrm{d}s &=\int_0^1 x(t)\cos z(t) \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t =\int_0^1 t(\cos 0) \sqrt{1+4t^2}\,\mathrm{d}t =\frac{1}{8}\frac{ {(1+4t^2)}^{3/2}}{3/2}\bigg|_0^1\\ &=\frac{5^{3/2}-1}{12} \end{aligned}$

(b) In this case $\mathbf{r}(t)=\big(t,\frac{2}{3}t^{3/2},t\big)$ , so that $\mathbf{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t)=\big(1,t^{1/2},1\big)$ and $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\sqrt{2+t}$ . Hence

$\begin{aligned} \int_\mathcal{C} f(x,y,z)\,\mathrm{d}s &=\int_1^2 \frac{x(t)+y(t)}{y(t)+z(t)} \, \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t =\int_1^2 \frac{t+{2\over 3}t^{3/2}}{{2\over3}t^{3/2}+t} \sqrt{2+t}\,\mathrm{d}t =\frac{(2+t)^{3/2}}{3/2}\bigg|_1^2 \\ &=\frac{8-3^{3/2}}{3/2} \end{aligned}$

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# 선적분계산보통자동 분류

100.CLP-4 · 1.6절 · 7번대학 수준우리말 번역

$\int_C \sin x\,\mathrm{d}s$ 의 값을 구하세요. 단, $C$ 는 곡선 $(\mathop{\mathrm{arcsec}}(t), \ln t)$ , $1 \le t \le \sqrt{2}$ 입니다.

영어 원문 보기

Evaluate $\int_C \sin x\,\mathrm{d}s$ , where $C$ is the curve $(\mathop{\mathrm{arcsec}}(t), \ln t)$ , $1 \le t \le \sqrt{2}$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

아래 그림과 같이 $\theta=\mathop{\mathrm{arcsec}} t$ 인 삼각형을 그린다. 빗변의 길이는 $t$ 이고, $\theta$ 에 이웃한 변의 길이는 1 이다. 피타고라스 정리에 의해 나머지 한 변의 길이는 $\sqrt{t^2-1}$ 이므로 $\sin\theta=\sin(\mathop{\mathrm{arcsec}} t)=\frac{\sqrt{t^2-1}}{t}$ 이다.

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\{\ln t\} = \frac{1}{t}$ 이고 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\{\mathop{\mathrm{arcsec}} t\} = \frac{1}{|t|\sqrt{t^2-1}}$ 임을 기억하자. 우리가 다루는 범위 $1 \le t \le \sqrt 2$ 에서는 $|t|=t$ 이다.

$\begin{aligned} \int_C \sin x \,\mathrm{d}s&=\int_{1}^{\sqrt 2}\sin\left(\mathop{\mathrm{arcsec}} t \right)\sqrt{\left(\frac{1}{t\sqrt{t^2-1}} \right)^2+\left(\frac1t \right)^2}\,\mathrm{d}t\\ &=\int_1^{\sqrt{2}} \frac{\sqrt{t^2-1}}{t}\sqrt{\frac{1}{t^2(t^2-1)}+\frac{1}{t^2}} \,\mathrm{d}t\\ &=\int_1^{\sqrt 2}\frac1t\,\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\ln 2 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

In the figure below, we construct a triangle with $\theta=\mathop{\mathrm{arcsec}} t$ ; the hypotenuse has length $t$ , while the side adjacent to $\theta$ has length 1. By the Pythagorean Theorem, the remaining side has length $\sqrt{t^2-1}$ , so $\sin\theta=\sin(\mathop{\mathrm{arcsec}} t)=\frac{\sqrt{t^2-1}}{t}$ .

Remember $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\{\ln t\} = \frac{1}{t}$ and $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\{\mathop{\mathrm{arcsec}} t\} = \frac{1}{|t|\sqrt{t^2-1}}$ . In our range, $1 \le t \le \sqrt 2$ , we have $|t|=t$ .

$\begin{aligned} \int_C \sin x \,\mathrm{d}s&=\int_{1}^{\sqrt 2}\sin\left(\mathop{\mathrm{arcsec}} t \right)\sqrt{\left(\frac{1}{t\sqrt{t^2-1}} \right)^2+\left(\frac1t \right)^2}\,\mathrm{d}t\\ &=\int_1^{\sqrt{2}} \frac{\sqrt{t^2-1}}{t}\sqrt{\frac{1}{t^2(t^2-1)}+\frac{1}{t^2}} \,\mathrm{d}t\\ &=\int_1^{\sqrt 2}\frac1t\,\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\ln 2 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.6절 · 5번

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