미분 전체 문제

두 점의 $y$ 값을 구해요. $f(2)=4\cdot2+7=15$, $f(5)=4\cdot5+7=27$ 이에요.

기울기 공식에 넣어요.

$$\frac{f(5)-f(2)}{5-2}=\frac{27-15}{3}=\frac{12}{3}=4$$

확인해요. 일차함수의 그래프는 직선이라 어느 두 점을 잡아도 기울기가 같아요. 계수 $4$ 와 같은 값이 나온 것이 맞아요.

두 점의 함숫값을 구해요. $f(1)=\dfrac{4}{3-1}=2$, $f(3)=\dfrac{4}{9-1}=\dfrac{1}{2}$ 예요. 따라서 두 점은 $(1,2)$, $\left(3,\tfrac12\right)$ 이에요.

기울기 공식에 넣어요. $$Q=\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{\frac12-2}{2}=\frac{-\frac32}{2}=-\frac34$$

(a) 필요한 값을 준비해요. $f(1)=1^2+1=2$ 이고 $f(1+h)=(1+h)^2+(1+h)=2+3h+h^2$ 이에요.

차를 구해서 $h$ 로 나눠요.

$$\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{3h+h^2}{h}=3+h$$

극한을 취해요. $h\to0$ 이면 $3+h\to3$ 이므로 $f'(1)=3$ 이에요.

(b) 접선을 세워요. 접점은 $(1,2)$, 기울기는 $3$ 이므로 $y-2=3(x-1)$ 이고 정리하면 $y=3x-1$ 이에요.

함숫값을 구해요. $f(-2)=2-3\cdot 4=-10$ 이에요. 그리고 $$f(-2+h)=2-3(4-4h+h^2)=-10+12h-3h^2$$

a: 정의 식을 계산해요. $$\frac{f(-2+h)-f(-2)}{h}=\frac{12h-3h^2}{h}=12-3h$$ 이제 $h\to 0$ 이면 $12-3h\to 12$ 이므로 $f'(-2)=12$ 예요.

b: 접선의 방정식을 세워요. 접점은 $(-2,-10)$, 기울기는 $12$ 이므로 $$y+10=12(x+2)\ \Rightarrow\ y=12x+14$$

식을 세워요. $f(4)=\sqrt4=2$ 이므로

$$f'(4)=\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}$$

대입하면 $\dfrac00$ 꼴이라 식을 바꿔야 해요.

분자를 유리화해요. 분자와 분모에 $\sqrt{x}+2$ 를 곱하면 $(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)=x-4$ 가 돼요.

$$\frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}=\frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}$$

약분하고 극한을 구해요. $x\ne4$ 이므로 $x-4$ 를 약분하면 $\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}$ 이고, $x\to4$ 이면 $\dfrac{1}{2+2}=\dfrac14$ 이에요.

정의 식에 대입해요. $f(1)=1$ 이므로 $$f'(1)=\lim_{x\to 1}\frac{\frac{1}{x^3}-1}{x-1}$$

분자를 통분해요. $\dfrac{1}{x^3}-1=\dfrac{1-x^3}{x^3}$ 이므로 $$\frac{1-x^3}{x^3(x-1)}$$ 이 돼요. 그대로 $x=1$ 을 넣으면 $\frac00$ 꼴이라 더 정리해야 해요.

인수분해로 약분해요. $1-x^3=-(x-1)(x^2+x+1)$ 이므로 $$\frac{-(x-1)(x^2+x+1)}{x^3(x-1)}=-\frac{x^2+x+1}{x^3}\quad(x\neq 1)$$

극한값을 구해요. $x\to 1$ 이면 $-\dfrac{1+1+1}{1}=-3$ 이에요. 그러므로 $f'(1)=-3$ 이에요.

식부터 정리해요. 곱의 미분법을 바로 써도 되지만, 괄호를 풀면 훨씬 쉬워요. $x^2$ 를 각 항에 곱하면 $$f(x)=x^2\cdot\frac{2}{x^2}+x^2\cdot\frac{5}{x^3}=2+\frac{5}{x}\quad(x\neq 0)$$

미분하기 좋은 꼴로 써요. $\dfrac{5}{x}=5x^{-1}$ 이므로 $f(x)=2+5x^{-1}$ 이에요.

항별로 미분해요. 상수 $2$ 의 도함수는 $0$, $5x^{-1}$ 의 도함수는 $5\cdot(-1)x^{-2}=-5x^{-2}$ 예요. 그러므로 $$f'(x)=-\frac{5}{x^2}$$

접점의 좌표를 구해요. $x=-1$ 일 때 $$f(-1)=2(-1)^3+4(-1)^2-5(-1)-3=-2+4+5-3=4$$ 이므로 접점은 $(-1,\,4)$ 예요.

기울기를 구해요. 접선의 기울기는 미분계수 $f'(-1)$ 이에요. 먼저 도함수는 $$f'(x)=6x^2+8x-5$$ 이고, $x=-1$ 을 넣으면 $f'(-1)=6-8-5=-7$ 이에요.

직선의 방정식을 세워요. 점 $(-1,4)$ 를 지나고 기울기가 $-7$ 인 직선은 $$y-4=-7(x+1)\ \Rightarrow\ y=-7x-3$$

구하려는 함수를 $f(x)=ax^2+bx+c$ 로 놓아요. 미분하면

$$f'(x)=2ax+b,\qquad f''(x)=2a$$

가장 간단한 조건인 $f''(1)=-6$ 부터 써요. $f''$ 는 상수 $2a$ 이므로 $2a=-6$, 즉 $a=-3$ 이에요.

$f'(1)=2a+b=3$ 이고 $a=-3$ 이므로 $-6+b=3$, 즉 $b=9$ 예요.

$f(1)=a+b+c=5$ 에서 $-3+9+c=5$ 이므로 $c=-1$ 이에요.

$$f(x)=-3x^2+9x-1$$

분모를 살펴요. $0<x<1$ 에서 $x-x^2=x(1-x)>0$ 이라서 $y>0$ 이에요. 분모를 완전제곱 꼴로 바꾸면 $$x-x^2=-\left(x-\tfrac12\right)^2+\tfrac14$$ 이므로 $x=\tfrac12$ 일 때 분모가 최대 $\tfrac14$ 예요.

함수의 값을 구해요. 분모가 가장 클 때 $y$ 가 가장 작으므로 $x=\tfrac12$ 에서 $y=\dfrac{1}{1/4}=4$ 가 최솟값이에요. (도함수로도 확인해요. $y'=-\dfrac{1-2x}{(x-x^2)^2}$ 이고 $x<\tfrac12$ 에서 음수, $x>\tfrac12$ 에서 양수라서 $x=\tfrac12$ 에서 극소예요.)

최댓값이 있는지 봐요. $x\to0^+$ 또는 $x\to1^-$ 이면 분모가 $0$ 에 가까워져 $y\to\infty$ 예요. 값이 한없이 커지므로 최댓값은 없어요.

평균변화율을 구해요. $f(1)=3+2+1=6$, $f(-1)=-3-2+1=-4$ 이므로 $$\frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)}=\frac{6-(-4)}{2}=5$$ 즉 양 끝점을 잇는 할선의 기울기는 $5$ 예요.

도함수가 5가 되는 곳을 찾아요. $f'(x)=9x^2+2$ 이므로 $f'(c)=5$ 를 풀면 $$9c^2+2=5\ \Rightarrow\ c^2=\tfrac13\ \Rightarrow\ c=\pm\frac{1}{\sqrt3}\approx\pm0.577$$

구간 안에 있는지 확인해요. 두 값 모두 $-1<c<1$ 이므로 조건에 맞아요. 따라서 점 $c$ 는 모두 2개예요. 그래프로 보면 할선과 나란한 접선을 곡선의 왼쪽과 오른쪽에서 각각 한 번씩 그을 수 있다는 뜻이에요.

이계도함수를 구해요. $f'(x)=3x^2-8x+1$ 이고 다시 미분하면 $$f''(x)=6x-8$$

$f''=0$ 인 점을 찾아요. $6x-8=0$ 에서 $x=\dfrac43$ 이에요.

a: 부호를 구간별로 살펴요. $x>\tfrac43$ 이면 $f''(x)>0$ 이라 아래로 볼록이고, $x<\tfrac43$ 이면 $f''(x)<0$ 이라 위로 볼록이에요.

b: 변곡점이에요. $x=\tfrac43$ 의 앞뒤에서 $f''$ 의 부호가 바뀌므로 변곡점이에요. $y$ 좌표는 $f\!\left(\tfrac43\right)=\tfrac{64}{27}-\tfrac{64}{9}+\tfrac43+2=-\tfrac{38}{27}$ 이므로 변곡점은 $\left(\tfrac43,-\tfrac{38}{27}\right)$ 예요.