미분 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

321.CLP-1 · 3.6절 · 4번우리말 번역

함수 $f(x)=2\arctan (x) - \log(1+x^2)$ 이 증가하는 가장 큰 열린구간을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the largest open interval on which $f(x)=2\arctan (x) - \log(1+x^2)$ is increasing.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

아크탄젠트의 정의역은 모든 실수이다. 로그 함수의 정의역은 모든 양수이고, $1+x^2$ 은 모든 $x$ 에 대해 양수이다. 따라서 $f(x)$ 의 정의역은 모든 실수이다.

$f(x)$ 가 증가하는 구간을 찾기 위해 $f'(x)$ 가 양수인 곳을 찾는다. $f'(x)= \frac 2 {1+x^2} - \frac{2x}{1+x^2} = \frac{2-2x}{1+x^2}$ 분모는 항상 양수이므로 $f(x)$ 는 $2-2x>0$ 일 때 증가한다. 따라서 $f(x)$ 는 열린구간 $(-\infty,1)$ 에서 증가한다고 결론짓는다.

원본 교재 풀이(영어)

The domain of arctangent is all real numbers. The domain of the logarithm function is all positive numbers, and $1+x^2$ is positive for all $x$ . So, the domain of $f(x)$ is all real numbers.

In order to find where $f(x)$ is increasing, we find where $f'(x)$ is positive. $f'(x)= \frac 2 {1+x^2} - \frac{2x}{1+x^2} = \frac{2-2x}{1+x^2}$ Since the denominator is always positive, $f(x)$ is increasing when when $2-2x>0$ . We conclude that $f(x)$ is increasing on the open interval $(-\infty,1)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 52번

# 함수의 증가와 감소계산보통자동 분류

322.CLP-1 · 3.6절 · 10번우리말 번역

$f(x)=\tan\left(3 x\right)+\sin\left(4 x\right)$ $f(x)$ 의 주기를 구하세요.

영어 원문 보기

$f(x)=\tan\left(3 x\right)+\sin\left(4 x\right)$ What is the period of $f(x)$ ?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$g(x)=\tan(3x)$ 와 $h(x)=\sin(4x)$ 를 따로 생각해 보자. 탄젠트의 주기는 $\pi$ 임을 떠올리자.

$\begin{aligned} \tan X &= \tan(X+\pi)&&\text{$\tan X$ 의 정의역에 속하는 모든 $X$ 에 대해} \\ \text{$X$ 를 $3x$ 로 바꾸면:} \\ \tan(3x)&=\tan(3x+\pi)&&\text{$\tan 3x$ 의 정의역에 속하는 모든 $x$ 에 대해}\\ \tan(3x)&=\tan\left(3\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\right)&&\text{$\tan 3x$ 의 정의역에 속하는 모든 $x$ 에 대해}\\ g(x)&=g\left(x+\frac{\pi}{3}\right)&&\text{$\tan 3x$ 의 정의역에 속하는 모든 $x$ 에 대해} \\ \text{따라서 $g(x)=\tan(3x)$ 의 주기는 $\dfrac{\pi}{3}$ 이다.} \\ \\ \text{마찬가지로 사인의 주기는 $2\pi$ 이다.} \\ \sin(X)&=\sin(X+2\pi)&&\text{$\sin(X)$ 의 정의역에 속하는 모든 $X$ 에 대해} \\ \text{$X$ 를 $4x$ 로 바꾸면:} \\ \sin(4x)&=\sin(4x+2\pi)&&\text{$\sin(4x)$ 의 정의역에 속하는 모든 $x$ 에 대해}\\ \sin(4x)&=\sin\left(4\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right)&&\text{$\sin(4x)$ 의 정의역에 속하는 모든 $x$ 에 대해}\\ h(x)&=h\left(x+\frac{\pi}{2}\right)&&\text{$\sin(4x)$ 의 정의역에 속하는 모든 $x$ 에 대해} \end{aligned}$

따라서 $h(x)=\sin(4x)$ 의 주기는 $\dfrac{\pi}{2}$ 이다.

종합하면, $f(x)=g(x)+h(x)$ 는 $g(x)$ 와 $h(x)$ 가 모두 반복될 때 반복된다. $\dfrac{\pi}{3}$ 와 $\dfrac{\pi}{2}$ 의 공통인 정수 배수 중 가장 작은 것은 $\pi$ 이다. $g(x)$ 는 $\dfrac{\pi}{3}$ 만큼마다 반복되고 $h(x)$ 는 $\dfrac{\pi}{2}$ 만큼마다 반복되므로, 둘은 $\pi$ 만큼 이동해야 비로소 함께 반복된다. 따라서 $f(x)$ 의 주기는 $\pi$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let's consider $g(x)=\tan(3x)$ and $h(x)=\sin(4x)$ separately. Recall that $\pi$ is the period of tangent.

$\begin{aligned} \tan X &= \tan(X+\pi)&&\text{for every $X$ in the domain of $\tan X$} \\ \text{Replacing $X$ with $3x$:} \\ \tan(3x)&=\tan(3x+\pi)&&\text{for every $x$ in the domain of $\tan 3x$}\\ \tan(3x)&=\tan\left(3\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\right)&&\text{for every $x$ in the domain of $\tan 3x$}\\ g(x)&=g\left(x+\frac{\pi}{3}\right)&&\text{for every $x$ in the domain of $\tan 3x$} \\ \text{So, the period of $g(x)=\tan(3x)$ is $\dfrac{\pi}{3}$.} \\ \\ \text{Similarly, $2\pi$ is the period of sine.} \\ \sin(X)&=\sin(X+2\pi)&&\text{for every $X$ in the domain of $\sin(X)$} \\ \text{Replacing $X$ with $4x$:} \\ \sin(4x)&=\sin(4x+2\pi)&&\text{for every $x$ in the domain of $\sin(4x)$}\\ \sin(4x)&=\sin\left(4\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right)&&\text{for every $x$ in the domain of $\sin(4x)$}\\ h(x)&=h\left(x+\frac{\pi}{2}\right)&&\text{for every $x$ in the domain of $\sin(4x)$} \end{aligned}$

So, the period of $h(x)=\sin(4x)$ is $\dfrac{\pi}{2}$ .

All together, $f(x)=g(x)+h(x)$ will repeat when both $g(x)$ and $h(x)$ repeat. The least common integer multiple of $\dfrac{\pi}{3}$ and $\dfrac{\pi}{2}$ is $\pi$ . Since $g(x)$ repeats every $\dfrac{\pi}{3}$ units, and $h(x)$ repeats every $\dfrac{\pi}{2}$ units, they will not both repeat until we move $\pi$ units. So, the period of $f(x)$ is $\pi$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.6절 · 3번

# 함수의 그래프 그리기계산도전자동 분류

323.Active Calculus · 2.1절 · 8번우리말 번역

$f$ 와 $g$ 가 미분가능한 함수이고 다음 정보가 알려져 있다고 하자: $f(2) = 5$ , $g(2) = -3$ , $f'(2) = -1/2$ , $g'(2) = 2$ .

(a) 새로운 함수 $h$ 를 $h(x) = 3f(x) - 4g(x)$ 로 정의하자. $h(2)$ 와 $h'(2)$ 를 구하세요. (b) 점 $(2,h(2))$ 에서 $y = h(x)$ 에 접하는 접선의 방정식을 구하세요. (c) 함수 $p$ 를 $p(x) = -2f(x) + \frac{1}{2}g(x)$ 로 정의하자. $a = 2$ 에서 $p$ 는 증가하는지, 감소하는지, 둘 다 아닌지 판단하세요. 그 이유는 무엇인지 설명하세요. (d) 점 $(2,p(2))$ 에서 $p$ 의 국소선형근사를 이용하여 $p(2.03)$ 의 값을 어림하세요.

영어 원문 보기

Let $f$ and $g$ be differentiable functions for which the following information is known: $f(2) = 5$ , $g(2) = -3$ , $f'(2) = -1/2$ , $g'(2) = 2$ .

(a) Let $h$ be the new function defined by the rule $h(x) = 3f(x) - 4g(x)$ . Determine $h(2)$ and $h'(2)$ . (b) Find an equation for the tangent line to $y = h(x)$ at the point $(2,h(2))$ . (c) Let $p$ be the function defined by the rule $p(x) = -2f(x) + \frac{1}{2}g(x)$ . Is $p$ increasing, decreasing, or neither at $a = 2$ ? Why? (d) Estimate the value of $p(2.03)$ by using the local linearization of $p$ at the point $(2,p(2))$ .

정답·풀이 보기

(a) 먼저 $h(x) = 3f(x) - 4g(x)$ 이므로 $h(2) = 3f(2) - 4g(2) = 3(5) - 4(-3) = 27$ 이다. 다음으로 합의 법칙과 상수배의 법칙에 의해 $h'(x) = 3f'(x) - 4g'(x)$ 이다. 따라서 주어진 미분계수 값을 이용하면 $h'(2) = 3f'(2) - 4g'(2) = 3(-1/2) - 4(2) = -19/2$ 이다. (b) 점 $(2,h(2))$ 에서의 접선의 방정식은 $L(x) = h(2) + h'(2)(x-2)$ 이다. (a)에서 구한 값을 이용하면 $L(x) = 27 - \frac{19}{2}(x-2)$ 이다. (c) $p(x) = -2f(x) + \frac{1}{2}g(x)$ 이므로 합의 법칙과 상수배의 법칙에 의해 $p'(x) = -2f'(x) + \frac{1}{2}g'(x)$ 이다. $x=2$ 에서 $f$ 와 $g$ 의 주어진 함숫값과 미분계수 값을 이용하면 $p(2) = -2f(2) + \frac{1}{2}g(2) = -2(5) + \frac{1}{2}(-3) = -\frac{23}{2}$ 이고 $p'(2) = -2(-\frac{1}{2}) + \frac{1}{2}(2)) = 2$ 이다. $p'(2) = 2 > 0$ 이므로 $p$ 는 $x=2$ 에서 증가한다고 결론짓는다. (d) 먼저 $a = 2$ 에서 $p$ 의 선형근사는 $L(x) = p(2) + p'(2)(x-2) = -\frac{23}{2} + 2(x-2)$ 이다. 이 선형근사를 이용하여 $p(2.03)$ 을 어림하면 $p(2.03) \approx L(2.03) = -\frac{23}{2} + 2(2.03-2) = -11.5 + 2(0.03) = -11.44\,.$

원본 교재 풀이(영어)

(a) First, since $h(x) = 3f(x) - 4g(x)$ , we know $h(2) = 3f(2) - 4g(2) = 3(5) - 4(-3) = 27$ . Next, by the sum and constant multiple rules, $h'(x) = 3f'(x) - 4g'(x)$ . Hence, using the given derivative values, $h'(2) = 3f'(2) - 4g'(2) = 3(-1/2) - 4(2) = -19/2$ . (b) The tangent line at the point $(2,h(2))$ has equation $L(x) = h(2) + h'(2)(x-2)$ . Using the information determined in (a), we see $L(x) = 27 - \frac{19}{2}(x-2)$ . (c) Since $p(x) = -2f(x) + \frac{1}{2}g(x)$ , it follows that $p'(x) = -2f'(x) + \frac{1}{2}g'(x)$ by the sum and constant multiple rules. Using the given function and derivative values for $f$ and $g$ at $x=2$ , we see that $p(2) = -2f(2) + \frac{1}{2}g(2) = -2(5) + \frac{1}{2}(-3) = -\frac{23}{2}$ and $p'(2) = -2(-\frac{1}{2}) + \frac{1}{2}(2)) = 2$ . Since $p'(2) = 2 > 0$ , we conclude that $p$ is increasing at $x=2$ . (d) First, the linearization of $p$ at $a = 2$ is $L(x) = p(2) + p'(2)(x-2) = -\frac{23}{2} + 2(x-2)$ . Using the linearization to estimate $p(2.03)$ , we find that $p(2.03) \approx L(2.03) = -\frac{23}{2} + 2(2.03-2) = -11.5 + 2(0.03) = -11.44\,.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.6절 · 8번

# 다항함수의 미분법계산자동 분류

324.Active Calculus · 2.1절 · 10번우리말 번역

함수 $r(t) = t^t$ 와 $s(t) = \arccos(t)$ 를 생각합시다. 이 두 함수에 대해 $r'(t) = t^t(\ln(t) + 1)$ 이고 $s'(t) = -\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}$ 임이 주어져 있습니다. 이 도함수 공식이 어디에서 나오는지는 신경 쓰지 않아도 됩니다. 두 함수 모두 정의역을 $0 < t < 1$ 로 제한하여 생각합니다.

(a) $w(t) = 3t^t - 2\arccos(t)$ 라 할 때, $w'(t)$ 를 구하세요. (b) 점 $(\frac{1}{2}, w(\frac{1}{2}))$ 에서 $y = w(t)$ 의 접선의 방정식을 구하세요. (c) $v(t) = t^t + \arccos(t)$ 라 할 때, $t = \frac{1}{2}$ 인 순간에 $v$ 는 증가하는지 감소하는지 판단하세요. 그 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Consider the functions $r(t) = t^t$ and $s(t) = \arccos(t)$ , for which you are given the facts that $r'(t) = t^t(\ln(t) + 1)$ and $s'(t) = -\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}$ . Do not be concerned with where these derivative formulas come from. We restrict our interest in both functions to the domain $0 < t < 1$ .

(a) Let $w(t) = 3t^t - 2\arccos(t)$ . Determine $w'(t)$ . (b) Find an equation for the tangent line to $y = w(t)$ at the point $(\frac{1}{2}, w(\frac{1}{2}))$ . (c) Let $v(t) = t^t + \arccos(t)$ . Is $v$ increasing or decreasing at the instant $t = \frac{1}{2}$ ? Why?

정답·풀이 보기

(a) $w$ 는 $w(t) = 3r(t) - 2s(t)$ 의 꼴이므로, 합의 미분법과 상수배의 미분법에 의해 $w'(t) = 3r'(t) - 2s'(t)$ 이다. $r'$ 과 $s'$ 에 대해 주어진 정보를 적용하면 $w'(t) = 3t^t(\ln(t) + 1) + 2\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}$ 이다. (b) $w(\frac{1}{2}) = 3(\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} - 2\arccos(\frac{1}{2}) = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} - 2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{3}{\sqrt{2}} - \frac{2\pi}{3}$ 이다. 마찬가지로, $\begin{aligned}w'\left(\frac{1}{2}\right) &= 3\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\ln\left(\frac{1}{2}\right) + 1\right) + 2\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1}{2})^2}} \\ &= \frac{3}{\sqrt{2}}\left(\ln\left(\frac{1}{2}\right) + 1\right) + \frac{4}{\sqrt{3}}\end{aligned}\,.$ 이 값들을 이용하면, 점 $(\frac{1}{2},w(\frac{1}{2})$ 에서 $w$ 의 접선은 $L(t) = w\left(\frac{1}{2}\right) + w'\left(\frac{1}{2}\right)\left(t-\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{3}{\sqrt{2}} - \frac{2\pi}{3}\right) + \left(\frac{3}{\sqrt{2}}\left(\ln\left(\frac{1}{2}\right) + 1\right) + \frac{4}{\sqrt{3}}\right)\left(t-\frac{1}{2}\right)\,$ 이다. (c) $t = \frac{1}{2}$ 에서 $v$ 가 증가하는지 감소하는지 판단하기 위해 $v'(\frac{1}{2})$ 을 계산한다. 먼저 $v'(t) = t^t(\ln(t) + 1) - \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}$ 이다. 따라서 $v'\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\ln\left(\frac{1}{2}\right) + 1\right) - \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1}{2})^2}} \approx -0.93772\,$ 이다. $v'(\frac{1}{2})$ 이 음수이므로 $v$ 는 $t = \frac{1}{2}$ 에서 감소한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) We note that $w$ has the structure $w(t) = 3r(t) - 2s(t)$ , so by the sum and constant multiple rules, $w'(t) = 3r'(t) - 2s'(t)$ . Applying the given information about $r'$ and $s'$ , $w'(t) = 3t^t(\ln(t) + 1) + 2\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}$ . (b) We see that $w(\frac{1}{2}) = 3(\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} - 2\arccos(\frac{1}{2}) = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} - 2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{3}{\sqrt{2}} - \frac{2\pi}{3}$ . Similarly, $\begin{aligned}w'\left(\frac{1}{2}\right) &= 3\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\ln\left(\frac{1}{2}\right) + 1\right) + 2\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1}{2})^2}} \\ &= \frac{3}{\sqrt{2}}\left(\ln\left(\frac{1}{2}\right) + 1\right) + \frac{4}{\sqrt{3}}\end{aligned}\,.$ Using these values, we find that the tangent line to $w$ at the point $(\frac{1}{2},w(\frac{1}{2})$ is $L(t) = w\left(\frac{1}{2}\right) + w'\left(\frac{1}{2}\right)\left(t-\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{3}{\sqrt{2}} - \frac{2\pi}{3}\right) + \left(\frac{3}{\sqrt{2}}\left(\ln\left(\frac{1}{2}\right) + 1\right) + \frac{4}{\sqrt{3}}\right)\left(t-\frac{1}{2}\right)\,.$ (c) To determine whether $v$ is increasing or decreasing at $t = \frac{1}{2}$ , we compute $v'(\frac{1}{2})$ . First, $v'(t) = t^t(\ln(t) + 1) - \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}$ . Hence, $v'\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\ln\left(\frac{1}{2}\right) + 1\right) - \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1}{2})^2}} \approx -0.93772\,.$ Since $v'(\frac{1}{2})$ is negative, $v$ is decreasing at $t = \frac{1}{2}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.6절 · 11번

# 다항함수의 미분법계산자동 분류

325.Active Calculus · 3.5절 · 7번우리말 번역

각 함수에 대해 주어진 정보를 바탕으로, 그 함수가 최댓값만 갖는지, 최솟값만 갖는지, 둘 다 갖지 않는지, 둘 다 갖는지, 아니면 정보가 더 없으면 알 수 없는지 판단하세요. 따로 언급이 없으면 각 함수는 두 번 미분가능하고 모든 실수에서 정의되어 있다고 가정합니다. 각 경우에 결론을 설명하는 문장을 한 문장씩 쓰세요.

(a) $f$ 는 모든 $x$ 에 대해 $f''(x) < 0$ 인 함수이다. (b) $g$ 는 임계수가 두 개( $a$ 와 $b$ , 단 $a < b$ )인 함수이고, $x < a$ 일 때 $g'(x) < 0$ , $a < x < b$ 일 때 $g'(x) < 0$ , $x > b$ 일 때 $g'(x) > 0$ 이다. (c) $h$ 는 임계수가 두 개( $a$ 와 $b$ , 단 $a < b$ )인 함수이고, $x < a$ 일 때 $h'(x) < 0$ , $a < x < b$ 일 때 $h'(x) > 0$ , $x > b$ 일 때 $h'(x) < 0$ 이다. 또한 $\lim_{x \to \infty} h(x) = 0$ 이고 $\lim_{x \to -\infty} h(x) = 0$ 이다. (d) $p$ 는 $x = a$ 를 제외한 모든 곳에서 미분가능한 함수이고, $x < a$ 일 때 $p''(x) > 0$ , $x > a$ 일 때 $p''(x) < 0$ 이다.

영어 원문 보기

Based on the given information about each function, decide whether the function has global maximum, a global minimum, neither, both, or that it is not possible to say without more information. Assume that each function is twice differentiable and defined for all real numbers, unless noted otherwise. In each case, write one sentence to explain your conclusion.

(a) $f$ is a function such that $f''(x) < 0$ for every $x$ . (b) $g$ is a function with two critical numbers $a$ and $b$ (where $a < b$ ), and $g'(x) < 0$ for $x < a$ , $g'(x) < 0$ for $a < x < b$ , and $g'(x) > 0$ for $x > b$ . (c) $h$ is a function with two critical numbers $a$ and $b$ (where $a < b$ ), and $h'(x) < 0$ for $x < a$ , $h'(x) > 0$ for $a < x < b$ , and $h'(x) < 0$ for $x > b$ . In addition, $\lim_{x \to \infty} h(x) = 0$ and $\lim_{x \to -\infty} h(x) = 0$ . (d) $p$ is a function differentiable everywhere except at $x = a$ and $p''(x) > 0$ for $x < a$ and $p''(x) < 0$ for $x > a$ .

정답·풀이 보기

(a) 정보가 더 없으면 알 수 없다. 예를 들어 함수 $f(x) = e^{-x}$ , $f(x) = e^{-x}$ , $f(x) = x^2$ 은 각각 항상 아래로 볼록하지만, 이 중 최솟값을 갖는 것은 하나뿐이다. 항상 아래로 볼록하므로 $f$ 가 최댓값을 가질 수 없고, 최댓값과 최솟값을 모두 가질 수도 없음은 확실히 말할 수 있다. 최솟값을 가질 수도 있고, 둘 다 갖지 않을 수도 있다. (b) 두 번 미분가능하므로 $x$ 가 $g$ 의 임계수일 때마다 $g'(x) = 0$ 임을 안다. 따라서 주어진 구간에서 $g'(x)$ 의 부호로부터, $g$ 는 $x = a$ 이전에 감소하고 $a < x < b$ 에서도 감소하며, $x = a$ 에서 접선이 수평이다. 또한 $x > b$ 에서 $g$ 는 증가한다. 따라서 $g$ 는 $x = b$ 에서 최솟값을 가짐을 알 수 있다. (c) $h$ 는 $x < a$ 에서 항상 감소하고, $a < x < b$ 에서 항상 증가하며, $x > b$ 에서 항상 감소하므로, $h$ 는 $x = a$ 에서 극솟값을 갖고 $x = b$ 에서 극댓값을 갖는다. 게다가 $x \to \pm \infty$ 일 때 $h(x) to 0$ 이므로 이 극값들은 모두 최댓값 또는 최솟값이기도 하다. 특히 $x > b$ 에서 $h(x)$ 는 $0$ 으로 감소하고 $a < x < b$ 에서 증가하므로, $h(b)$ 는 $(a, \infty)$ 에서 $h(x)$ 의 가장 큰 값이고 $h(b) > 0$ 이다. 마찬가지로 $h(x)$ 는 $(-\infty, a)$ 에서 감소하고 $x \to -\infty$ 일 때 $0$ 에 가까워지며 $a < x < b$ 에서 증가하므로, $h(a)$ 는 $(-\infty, b)$ 에서 $h(x)$ 의 가장 작은 값이고 $h(b) < 0$ 이어야 한다. 따라서 $x < a$ 에서 $h(x)$ 는 항상 음수이고 $x > b$ 에서 $h(x)$ 는 항상 양수이다. 이 모든 관찰로부터 $h$ 는 $x = a$ 에서 최솟값을 갖고 $x = b$ 에서 최댓값을 갖는다. (d) 먼저 가정에 의해 $p$ 는 모든 실수에서 정의되므로 $p(a)$ 는 어떤 유한한 값을 가짐에 주목한다. 그러나 $p$ 는 $x = a$ 에서 미분가능하지 않고, $p$ 는 $x = a$ 의 왼쪽에서 아래로 볼록하며 $x = a$ 의 오른쪽에서 위로 볼록하다. 이는 $p$ 가 $x = a$ 에서 극댓값을 가짐을 나타낸다. 그러나 이 극댓값이 최댓값인지, 또는 $p$ 가 다른 어떤 점에서 최솟값을 갖는지는 판단하기에 주어진 정보가 충분하지 않다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) It's not possible to say without more information: for instance, the functions $f(x) = e^{-x}$ , $f(x) = e^{-x}$ , and $f(x) = x^2$ are each always concave up, but only one of them has a global minimum. We can say for sure that by being always concave up, $f$ cannot have a global maximum, and it also cannot have both a global maximum and a global minimum. It might have a global minimum, or it might have neither. (b) By being twice differentiable, we know that $g'(x) = 0$ any time $x$ is a critical number of $g$ . Thus, given the signs of $g'(x)$ on the stated intervals, $g$ is decreasing before $x = a$ and decreasing on $a < x < b$ , with a horizontal tangent line at $x = a$ . In addition, $g$ is increasing for $x > b$ . Thus, we know that $g$ has a global minimum at $x = b$ . (c) Since $h$ is always decreasing for $x < a$ , always increasing for $a < x < b$ , and always decreasing for $x > b$ , we know that $h$ has a local minimum at $x = a$ and a local maximum at $x = b$ . Moreover, these local extremes are both global extremes since $h(x) to 0$ as $x \to \pm \infty$ . In particular, since $h(x)$ decreases to $0$ for $x > b$ and increases on $a < x < b$ , it follows that $h(b)$ is the largest value of $h(x)$ on $(a, \infty)$ , and that $h(b) > 0$ . Similarly, since $h(x)$ decreases on $(-\infty, a)$ and approaches $0$ as $x \to -\infty$ , and $h(x)$ increases on $a < x < b$ , it must be the case that $h(a)$ is the least value of $h(x)$ on $(-\infty, b)$ and that $h(b) < 0$ . Hence, $h(x)$ is always negative on $x < a$ and $h(x)$ is always positive on $x > b$ . From all of these observations, it follows that $h$ has a global minimum at $x = a$ and a global maximum at $x = b$ . (d) First, observe that $p$ is defined for all real numbers by assumption, so $p(a)$ has some finite value. However, $p$ is not differentiable at $x = a$ and $p$ is concave up to the left of $x = a$ and concave down to the right of $x = a$ . This indicates that $p$ has a relative maximum at $x = a$ . Not enough information is provided, however, to determine if this relative maximum is a global maximum, nor if $p$ happens to have a global minimum at some other point.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4장 복습 · 27번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

326.Active Calculus · 3.5절 · 8번우리말 번역

하나 이상의 매개변수에 따라 달라지는 각 함수족에 대해, 주어진 구간에서 그 함수의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

(a) $p(x) = x^3 - a^2x$ , $[0,a]$ ( $a > 0$ ) (b) $r(x) = axe^{-bx}$ , $[\frac{1}{2b}, \frac{2}{b}]$ ( $a > 0, b > 1$ ) (c) $w(x) = a(1-e^{-bx})$ , $[b, 3b]$ ( $a, b > 0$ ) (d) $s(x) = \sin(kx)$ , $\left[\frac{\pi}{3k}, \frac{5\pi}{6k}\right]$ ( $k > 0$ )

영어 원문 보기

For each family of functions that depends on one or more parameters, determine the function's absolute maximum and absolute minimum on the given interval.

(a) $p(x) = x^3 - a^2x$ , $[0,a]$ ( $a > 0$ ) (b) $r(x) = axe^{-bx}$ , $[\frac{1}{2b}, \frac{2}{b}]$ ( $a > 0, b > 1$ ) (c) $w(x) = a(1-e^{-bx})$ , $[b, 3b]$ ( $a, b > 0$ ) (d) $s(x) = \sin(kx)$ , $\left[\frac{\pi}{3k}, \frac{5\pi}{6k}\right]$ ( $k > 0$ )

정답·풀이 보기

(a) $[0,a]$ 에서 $p(x) = x^3 - a^2x$ 가 주어졌으므로, 먼저 $[0,a]$ 에 속하는 $p$ 의 임계수를 구한다. $p'(x) = 3x^2 - a^2 = 3\left(x^2 - \frac{a^2}{3} \right)$ 이므로 $p$ 는 $x = \pm \frac{a}{\sqrt{3}}$ 에서 임계수를 가진다. 음의 임계수는 구간 밖에 있고, 양의 임계수는 $0 < \frac{1}{\sqrt{3}} < 1$ 이므로 구간 안에 있다. 양 끝점과 구간 안의 임계수에서 $p$ 의 값을 구하면 $p(0) = 0$ , $p(a) = a^3 - a^2 \cdot a = 0$ , $p\left( \frac{a}{\sqrt{3}} \right) = \left( \frac{a}{\sqrt{3}} \right)^3 - a^2 \cdot \left( \frac{a}{\sqrt{3}} \right) = \frac{a^3}{3\sqrt{3}} - \frac{a^3}{\sqrt{3}} = -\frac{2a^3}{3\sqrt{3}}$ 이다. 따라서 $[0,a]$ 에서 $p$ 의 최댓값은 $p(0) = p(a) = 0$ 이고 최솟값은 $p\left( \frac{a}{\sqrt{3}} \right) = -\frac{2a^3}{3\sqrt{3}}$ 이다. (b) $\left[\frac{1}{2b}, \frac{2}{b}\right]$ 에서 $r(x) = axe^{-bx}$ 가 주어졌으므로, 먼저 주어진 구간에 속하는 $r$ 의 임계수를 구한다. 곱의 미분법에 의해 $r'(x) = ax e^{-bx} (-b) + e^{-bx} a$ 이다. 인수분해하면 $r'(x) = ae^{-bx}(-bx + 1)$ 이므로 $r$ 의 임계수는 $x = \frac{1}{b}$ 하나뿐이다. $b > 1$ 이므로 $\frac{1}{2b} < \frac{1}{b} < b$ 이고, 따라서 임계수는 구간 안에 있다. 양 끝점과 임계수에서 $r$ 의 값을 구하면 다음과 같다.

$r\left( \frac{1}{2b} \right) = a \cdot \frac{1}{2b} \cdot e^{-1/2} \approx 0.607 \frac{a}{2b} = 0.3035 \frac{a}{b}$
$r\left( \frac{2}{b} \right) = a \cdot \frac{2}{b} \cdot e^{-2} \approx 0.135 \frac{2a}{b} = 0.270 \frac{a}{b}$
$r\left( \frac{1}{b} \right) = a \cdot \frac{1}{b} \cdot e^{-1} \approx 0.368 \frac{a}{b}$ 따라서 $r$ 의 최댓값은 $r\left( \frac{1}{b} \right) \approx 0.368 \frac{a}{b}$ 이고 최솟값은 $r\left( \frac{2}{b} \right) \approx 0.270 \frac{a}{b}$ 이다. (c) $[b, 3b]$ 에서 $w(x) = a(1-e^{-bx})$ 에 대해, 먼저 $w'(x) = a(be^{-bx}) = abe^{-bx}$ 이다. $a$ 와 $b$ 는 모두 양수이고 모든 $x$ 의 값에 대해 $e^{-bx}$ 도 양수이므로, 모든 $x$ 의 값에 대해 $w'(x) > 0$ 임을 알 수 있다. $w$ 는 항상 증가하므로(특히 $[b,3b]$ 에서), $w$ 는 왼쪽 끝점( $g(b) = a(1-e^{-b^2})$ )에서 최솟값을, 오른쪽 끝점( $g(3b) = a(1-e^{-3b^2})$ )에서 최댓값을 가진다. (d) 마지막으로 $\left[\frac{\pi}{3k}, \frac{5\pi}{6k}\right]$ 에서 $s(x) = \sin(kx)$ 에 대해, $s'(x) = k\cos(kx)$ 이고 어떤 정수 $n$ 에 대해 $kx = \frac{\pi}{2} \pm n\pi$ 일 때 $\cos(kx) = 0$ 이므로 $x = \frac{\pi}{2k} \pm n\pi = \frac{\pi \pm 2n\pi}{2k}$ 이다. 이 $x$ 의 값들이 $s$ 의 임계수이다. $n = -1, 0, 1$ 일 때 해당하는 임계수는 다음과 같다. $x = -\frac{\pi}{2k}, \frac{\pi}{2k}, \frac{3\pi}{2k}$ $-\frac{\pi}{2}$ , $\frac{\pi}{2k}$ , $\frac{3\pi}{2k}$ 의 값을 $\frac{\pi}{3}$ 및 $\frac{5\pi}{6}$ 과 비교하면, $\frac{\pi}{2k}$ 만 주어진 구간 $\left[\frac{\pi}{3k}, \frac{5\pi}{6k}\right]$ 안에 있음을 알 수 있다. 따라서 $x = \frac{\pi}{2k}$ 가 $s$ 의 값을 구해야 하는 유일한 임계수이다. 양 끝점과 해당 임계수에서 $s$ 의 값을 구하면 다음과 같다.
$s\left( \frac{\pi}{3k} \right) = \sin\left( k \cdot \frac{\pi}{3k} \right) = \sin\left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ;
$s\left( \frac{5\pi}{6k} \right) = \sin\left( k \cdot \frac{5\pi}{6k} \right) = \sin\left( \frac{5\pi}{6} \right) = \frac{1}{2}$ ;
$s\left( \frac{\pi}{2k} \right) = \sin\left( k \cdot \frac{\pi}{2k} \right) = \sin\left( \frac{\pi}{2} \right) = 1$ . 따라서 $\left[\frac{\pi}{3k}, \frac{5\pi}{6k}\right]$ 에서 $s$ 의 최댓값은 $s\left( \frac{\pi}{2k} \right) = 1$ 이고 $s$ 의 최솟값은 $s\left( \frac{5\pi}{6k} \right) = \frac{1}{2}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Given $p(x) = x^3 - a^2x$ on $[0,a]$ , we first find the critical number(s) of $p$ that lie in $[0,a]$ . Since $p'(x) = 3x^2 - a^2 = 3\left(x^2 - \frac{a^2}{3} \right)$ , we know $p$ has critical numbers at $x = \pm \frac{a}{\sqrt{3}}$ . The negative critical number lies outside the interval, while the positive one lies within the interval since $0 < \frac{1}{\sqrt{3}} < 1$ . Evaluating $p$ at the endpoints and the critical number within the interval, we find that $p(0) = 0$ , $p(a) = a^3 - a^2 \cdot a = 0$ , and $p\left( \frac{a}{\sqrt{3}} \right) = \left( \frac{a}{\sqrt{3}} \right)^3 - a^2 \cdot \left( \frac{a}{\sqrt{3}} \right) = \frac{a^3}{3\sqrt{3}} - \frac{a^3}{\sqrt{3}} = -\frac{2a^3}{3\sqrt{3}}$ . Hence, the absolute maximum of $p$ on $[0,a]$ is $p(0) = p(a) = 0$ and the absolute minimum is $p\left( \frac{a}{\sqrt{3}} \right) = -\frac{2a^3}{3\sqrt{3}}$ . (b) Given $r(x) = axe^{-bx}$ on $\left[\frac{1}{2b}, \frac{2}{b}\right]$ , we first find the critical numbers of $r$ that lie in the given interval. Note that by the product rule, $r'(x) = ax e^{-bx} (-b) + e^{-bx} a$ . Factoring, $r'(x) = ae^{-bx}(-bx + 1)$ , and thus the only critical number of $r$ occurs where $x = \frac{1}{b}$ . Note that $\frac{1}{2b} < \frac{1}{b} < b$ since $b > 1$ , and thus the critical number lies within the interval. Evaluating $r$ at the endpoints and the critical number, we find

$r\left( \frac{1}{2b} \right) = a \cdot \frac{1}{2b} \cdot e^{-1/2} \approx 0.607 \frac{a}{2b} = 0.3035 \frac{a}{b}$
$r\left( \frac{2}{b} \right) = a \cdot \frac{2}{b} \cdot e^{-2} \approx 0.135 \frac{2a}{b} = 0.270 \frac{a}{b}$
$r\left( \frac{1}{b} \right) = a \cdot \frac{1}{b} \cdot e^{-1} \approx 0.368 \frac{a}{b}$ The absolute max of $r$ is therefore $r\left( \frac{1}{b} \right) \approx 0.368 \frac{a}{b}$ and the absolute min is $r\left( \frac{2}{b} \right) \approx 0.270 \frac{a}{b}$ . (c) For $w(x) = a(1-e^{-bx})$ on $[b, 3b]$ , we first note that $w'(x) = a(be^{-bx}) = abe^{-bx}$ . Since $a$ and $b$ are both positive and so is $e^{-bx}$ for every value of $x$ , we see that $w'(x) > 0$ for every value of $x$ . Because $w$ is always increasing (specifically on $[b,3b]$ ), $w$ has its absolute minimum at the left endpoint ( $g(b) = a(1-e^{-b^2})$ ) and its absolute maximum at the right endpoint ( $g(3b) = a(1-e^{-3b^2})$ ). (d) Finally, for $s(x) = \sin(kx)$ on $\left[\frac{\pi}{3k}, \frac{5\pi}{6k}\right]$ , we know $s'(x) = k\cos(kx)$ , and $\cos(kx) = 0$ when $kx = \frac{\pi}{2} \pm n\pi$ for some integer $n$ , so $x = \frac{\pi}{2k} \pm n\pi = \frac{\pi \pm 2n\pi}{2k}$ . These $x$ -values are the critical numbers of $s$ . Note that when $n = -1, 0, 1$ , the corresponding critical numbers are $x = -\frac{\pi}{2k}, \frac{\pi}{2k}, \frac{3\pi}{2k}$ Comparing the values of $-\frac{\pi}{2}$ , $\frac{\pi}{2k}$ , and $\frac{3\pi}{2k}$ to $\frac{\pi}{3}$ and $\frac{5\pi}{6}$ , we see that only $\frac{\pi}{2k}$ lies in the given interval $\left[\frac{\pi}{3k}, \frac{5\pi}{6k}\right]$ , and thus $x = \frac{\pi}{2k}$ is the only critical number at which we need to evaluate $s$ . Evaluating $s$ at the endpoints and relevant critical number, we find:
$s\left( \frac{\pi}{3k} \right) = \sin\left( k \cdot \frac{\pi}{3k} \right) = \sin\left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ;
$s\left( \frac{5\pi}{6k} \right) = \sin\left( k \cdot \frac{5\pi}{6k} \right) = \sin\left( \frac{5\pi}{6} \right) = \frac{1}{2}$ ; and
$s\left( \frac{\pi}{2k} \right) = \sin\left( k \cdot \frac{\pi}{2k} \right) = \sin\left( \frac{\pi}{2} \right) = 1$ . Hence the absolute max of $s$ on $\left[\frac{\pi}{3k}, \frac{5\pi}{6k}\right]$ is $s\left( \frac{\pi}{2k} \right) = 1$ and the absolute min of $s$ is $s\left( \frac{5\pi}{6k} \right) = \frac{1}{2}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 3.5절 · 10번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

327.Active Calculus · 3.5절 · 9번우리말 번역

아래에 설명된 각 함수( $[a,b]$ 에서 연속)에 대하여, 구간 $[a,b]$ 에서 함수의 최댓값과 최솟값이 어디에서 나타나는지 말하거나, 결론을 내리기에 주어진 정보가 충분하지 않다고 말하세요. 문제에 언급된 임계수는 그 함수가 $[a,b]$ 에서 갖는 임계수 전부라고 가정하세요. 각 경우에 답의 이유를 한 문장으로 쓰세요.

(a) $[a,b]$ 의 모든 $x$ 에 대해 $f'(x) \le 0$ (b) $g$ 는 $a < c< b$ 인 $c$ 에서 임계수를 가지며, $x < c$ 일 때 $g'(x) > 0$ 이고 $x > c$ 일 때 $g'(x) < 0$ (c) $h(a) = h(b)$ 이고 $[a,b]$ 의 모든 $x$ 에 대해 $h''(x) < 0$ (d) $p(a) > 0$ , $p(b) < 0$ 이고, $a < c < b$ 인 임계수 $c$ 에 대해 $x < c$ 일 때 $p'(x) < 0$ 이고 $x > c$ 일 때 $p'(x) > 0$

영어 원문 보기

For each of the functions described below (each continuous on $[a,b]$ ), state the location of the function's absolute maximum and absolute minimum on the interval $[a,b]$ , or say there is not enough information provided to make a conclusion. Assume that any critical numbers mentioned in the problem statement represent all of the critical numbers the function has in $[a,b]$ . In each case, write one sentence to explain your answer.

(a) $f'(x) \le 0$ for all $x$ in $[a,b]$ (b) $g$ has a critical number at $c$ such that $a < c< b$ and $g'(x) > 0$ for $x < c$ and $g'(x) < 0$ for $x > c$ (c) $h(a) = h(b)$ and $h''(x) < 0$ for all $x$ in $[a,b]$ (d) $p(a) > 0$ , $p(b) < 0$ , and for the critical number $c$ such that $a < c < b$ , $p'(x) < 0$ for $x < c$ and $p'(x) > 0$ for $x > c$

정답·풀이 보기

(a) $[a,b]$ 의 모든 $x$ 에 대해 $f'(x) \leq 0$ 이라는 것은 이 구간에서 $f$ 가 증가할 수 없다는 뜻이다. 따라서 이 구간에서 $f$ 는 상수이거나 어딘가에서 $f$ 가 감소한다. 그러므로 $f$ 의 최댓값은 $x=a$ 에서, 최솟값은 $x=b$ 에서 나타난다고 결론지을 수 있다. (b) 주어진 정보에 따르면 $g$ 는 $(a,c)$ 에서 증가하고 $(c,b)$ 에서 감소한다. 따라서 $g$ 는 $x=c$ 에서 최댓값을 갖는다. $g$ 의 최솟값은 $x=a$ 또는 $x=b$ 에서 나타나야 한다. 주어진 정보만으로는 $g$ 가 $(a,c)$ 에서 얼마나 증가하고 $(c,b)$ 에서 얼마나 감소하는지 알 수 없으므로, $g$ 가 최솟값을 갖는 끝점이 어느 쪽인지는 판단할 수 없다. (c) $h(a)=h(b)$ 이고 $[a,b]$ 의 모든 $x$ 에 대해 $h''(x) < 0$ 이려면, $h$ 의 그래프는 구간 $[a,b]$ 에서 위로 볼록한, 즉 아래쪽으로 열린 포물선과 비슷한 모양이어야 한다. 따라서 $h$ 는 $x=a$ 와 $x=b$ 에서 최솟값을 갖고 $(a,b)$ 안의 어딘가에서 최댓값을 갖지만, $h$ 가 최댓값을 갖는 정확한 점은 알 수 없다. (d) 주어진 정보에 따르면 $p$ 의 그래프는 $(a,c)$ 에서 감소한 다음 $(c,b)$ 에서 증가한다. 따라서 $p(c) < p(b)$ 여야 하고, $p$ 는 $x=c$ 에서 최솟값을 갖는다. $p(a) > p(b)$ 이므로 $p(a)$ 가 $[a,b]$ 에서 $p$ 의 최댓값이 된다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The fact that $f'(x) \leq 0$ for all $x$ in $[a,b]$ means that $f$ cannot increase in this interval. So either $f$ is constant or $f$ decreases somewhere in this interval. We can conclude that the global maximum value of $f$ occurs at $x=a$ and the global minimum value at $x=b$ . (b) The information we are given shows that $g$ is increasing on $(a,c)$ and decreasing on $(c,b)$ . So $g$ has a global maximum value at $x=c$ . We know that $g$ must have a global minimum at either $x=a$ or $x=b$ . The information given does not tell us how much $g$ increases on $(a,c)$ and decreases on $(c,b)$ , so we cannot determine the endpoint at which $g$ attains its global minimum value. (c) In order for $h(a)=h(b)$ and $h''(x) < 0$ for all $x$ in $[a,b]$ , the graph of $h$ must look something like a parabola that opens down on the interval $[a,b]$ . Consequently, $h$ has its global minimum at $x=a$ and $x=b$ , and its global maximum somewhere in $(a,b)$ , but we do not know the exact point at which $h$ attains its global maximum. (d) The given information forces the graph of $p$ to decrease on $(a,c)$ then increase on $(c,b)$ . Thus, we must have $p(c) < p(b)$ and so $p$ has its global minimum value at $x=c$ . Since $p(a) > p(b)$ , this makes $p(a)$ the global maximum value of $p$ on $[a,b]$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 3.5절 · 8번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산자동 분류

328.Active Calculus · 3.5절 · 10번우리말 번역

$s(t) = 3\sin(2(t-\frac{\pi}{6})) + 5$ 라 하자. 양 끝점의 함숫값을 확인하고 $s$ 의 관련된 모든 임계수를 찾아 그 값을 계산하여, 주어진 구간에서 $s$ 의 최댓값과 최솟값을 정확하게 구하세요.

(a) $[\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}]$ (b) $[0, \frac{\pi}{2}]$ (c) $[0, 2\pi]$ (d) $[\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}]$

영어 원문 보기

Let $s(t) = 3\sin(2(t-\frac{\pi}{6})) + 5$ . Find the exact absolute maximum and minimum of $s$ on the provided intervals by testing the endpoints and finding and evaluating all relevant critical numbers of $s$ .

(a) $[\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}]$ (b) $[0, \frac{\pi}{2}]$ (c) $[0, 2\pi]$ (d) $[\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}]$

정답·풀이 보기

(a) $s(t) = 3\sin(2(t-\frac{\pi}{6})) + 5$ 에서 $s'(t) = 3\cos(2(t-\frac{\pi}{6})) \cdot 2 = 6\cos(2(t-\frac{\pi}{6}))$ 이다. 따라서 $s'(t) = 0$ 일 필요충분조건은 $\cos(2(t-\frac{\pi}{6})) = 0$ 이고, 그러므로 어떤 정수 $k$ 에 대해 $2(t-\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{2} \pm k\pi$ 이다. 이 방정식을 $t$ 에 대해 풀면 $t-\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4} \pm \frac{k\pi}{2}$ 이므로 $t = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} \pm \frac{k\pi}{2} = \frac{5\pi}{12} \pm \frac{k\pi}{2}\,.$ 이제 주어진 구간 $[\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}]$ 을 생각하자. 이 구간은 $[\frac{2\pi}{12}, \frac{14\pi}{12}]$ 로 볼 수 있다. $t = \frac{5\pi}{12}$ 는 이 구간에 속하고, $t = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi}{2} = \frac{11\pi}{12}$ 도 속한다. 따라서 구간 안에 $s$ 의 값을 계산해야 할 임계수가 두 개 있고, 양 끝점에서도 값을 계산한다. 계산하면 다음과 같다.

$s(\frac{5\pi}{12}) = 8$ ;
$s(\frac{11\pi}{12}) = 2$ ;
$s(\frac{\pi}{6}) = 5$ ; 그리고
$s(\frac{7\pi}{6}) = 5$ . 따라서 $[\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}]$ 에서 $s$ 의 최댓값은 $s(\frac{5\pi}{12}) = 8$ 이고, 최솟값은 $s(\frac{11\pi}{12}) = 2$ 이다. (b) (a)의 풀이에서 $s$ 의 임계수는 $t = \frac{5\pi}{12} \pm \frac{k\pi}{2}$ 임을 알 수 있다. 구간 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 에서는 $t = \frac{5\pi}{12}$ 만 구간에 속한다. 따라서 $s$ 의 값을 계산할 점은 세 개이다. 계산하면:
$s(\frac{5\pi}{12}) = 8$ ;
$s(0) = 3\sin(2(0-\frac{\pi}{6})) + 5 = 3\sin(-\frac{\pi}{3}) + 5 = 5 - \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.402$ ; 그리고
$s(\frac{\pi}{2}) = 3\sin(2(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6})) + 5 = 3\sin(\frac{2\pi}{3}) + 5 = 5 + \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 7.598$ . 따라서 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 에서 $s$ 의 최댓값은 $s(\frac{5\pi}{12}) = 8$ 이고, 최솟값은 $s(0) = 5 - \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.402$ 이다. (c) $t = 0$ 부터 $t = 2\pi$ 까지의 구간에서 $s$ 는 거의 두 주기를 완전히 지나므로 최댓값과 최솟값을 모두 갖는다. 최댓값은 (a)에서 구한 대로 $8$ 이고, 최솟값은 $2$ 이다. 예를 들어 $s(\frac{5\pi}{12}) = 8$ 이고, 최솟값은 $s(\frac{11\pi}{12}) = 2$ 이다. 주어진 구간에서 함수가 이 값들을 갖는 다른 점들도 있다. (d) 구간 $[\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}] = [\frac{4\pi}{12}, \frac{10\pi}{12}]$ 에서는 임계수 $t = \frac{5\pi}{12}$ 만 구간에 속한다. 따라서 $s$ 의 값을 계산할 점은 세 개이다. 계산하면:
$s(\frac{5\pi}{12}) = 8$ ;
$s(\frac{\pi}{3}) = 3\sin(2(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6})) + 5 = 3\sin(\frac{\pi}{3}) + 5 = \frac{3\sqrt{3}}{2} + 5 \approx 7.598$ ; 그리고
$s(\frac{5\pi}{6}) = 3\sin(2(\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{6})) + 5 = 3\sin(\frac{4\pi}{3}) + 5 = 5 - \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.402$ . 따라서 $[\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}]$ 에서 $s$ 의 최댓값은 $s(\frac{5\pi}{12}) = 8$ 이고, 최솟값은 $s(\frac{5\pi}{6}) \approx 2.402$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) For $s(t) = 3\sin(2(t-\frac{\pi}{6})) + 5$ , $s'(t) = 3\cos(2(t-\frac{\pi}{6})) \cdot 2 = 6\cos(2(t-\frac{\pi}{6}))$ . It follows that $s'(t) = 0$ if and only if $\cos(2(t-\frac{\pi}{6})) = 0$ , and thus $2(t-\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{2} \pm k\pi$ for some integer value of $k$ . Solving this most recent equation for $t$ , we have $t-\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4} \pm \frac{k\pi}{2}$ , so $t = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} \pm \frac{k\pi}{2} = \frac{5\pi}{12} \pm \frac{k\pi}{2}\,.$ Now we consider the given interval $[\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}]$ , which we can think of as $[\frac{2\pi}{12}, \frac{14\pi}{12}]$ . The value $t = \frac{5\pi}{12}$ lies in this interval, as does $t = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi}{2} = \frac{11\pi}{12}$ . Thus, we have two critical numbers in the interval at which to evaluate $s$ , as well as at the endpoints. Doing so, we find:

$s(\frac{5\pi}{12}) = 8$ ;
$s(\frac{11\pi}{12}) = 2$ ;
$s(\frac{\pi}{6}) = 5$ ; and
$s(\frac{7\pi}{6}) = 5$ . The absolute max of $s$ on $[\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}]$ is thus $s(\frac{5\pi}{12}) = 8$ , while the absolute min is $s(\frac{11\pi}{12}) = 2$ . (b) From our work in (a), we know that $s$ has critical numbers at $t = \frac{5\pi}{12} \pm \frac{k\pi}{2}$ . On the interval $[0, \frac{\pi}{2}]$ , only $t = \frac{5\pi}{12}$ lies in the interval. Thus we have three values at which to evaluate $s$ . Doing so:
$s(\frac{5\pi}{12}) = 8$ ;
$s(0) = 3\sin(2(0-\frac{\pi}{6})) + 5 = 3\sin(-\frac{\pi}{3}) + 5 = 5 - \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.402$ ; and
$s(\frac{\pi}{2}) = 3\sin(2(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6})) + 5 = 3\sin(\frac{2\pi}{3}) + 5 = 5 + \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 7.598$ . The absolute max of $s$ on $[0, \frac{\pi}{2}]$ is thus $s(\frac{5\pi}{12}) = 8$ , while the absolute min is $s(0) = 5 - \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.402$ . (c) On the interval from $t = 0$ to $t = 2\pi$ , $s$ completes nearly two full periods, and thus achieves each of its maximum and minimum values. The absolute maximum is $8$ as determined in (a), and the absolute minimum is $2$ . These occur, for example, at $s(\frac{5\pi}{12}) = 8$ , while the absolute min is $s(\frac{11\pi}{12}) = 2$ . There are other points at which the function achieves these values on the given interval. (d) On the interval $[\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}] = [\frac{4\pi}{12}, \frac{10\pi}{12}]$ , only the critical number $t = \frac{5\pi}{12}$ lies in the interval. Thus we have three values at which to evaluate $s$ . Doing so:
$s(\frac{5\pi}{12}) = 8$ ;
$s(\frac{\pi}{3}) = 3\sin(2(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6})) + 5 = 3\sin(\frac{\pi}{3}) + 5 = \frac{3\sqrt{3}}{2} + 5 \approx 7.598$ ; and
$s(\frac{5\pi}{6}) = 3\sin(2(\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{6})) + 5 = 3\sin(\frac{4\pi}{3}) + 5 = 5 - \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.402$ . The absolute max of $s$ on $[\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}]$ is thus $s(\frac{5\pi}{12}) = 8$ , while the absolute min is $s(\frac{5\pi}{6}) \approx 2.402$ .

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