문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 미분방정식

미분방정식 전체 문제

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유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

11문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 6.8절 · 1번대학 수준우리말 번역

참 또는 거짓? 참이면 증명하고, 거짓이면 옳은 답을 구하세요.

$y={e}^{ct}$ 의 두 배가 되는 시간은 $(\ln \,(2))/(\ln \,(c))$ 이다.

영어 원문 보기

True or False? If true, prove it. If false, find the true answer.

The doubling time for $y={e}^{ct}$ is $(\ln \,(2))/(\ln \,(c)).$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.3절 · 7번

# 지수적 증가와 감소개념 확인자동 분류

2.OpenStax 2권 · 4장 복습 · 1번대학 수준우리말 번역

단원 복습 문제

참 또는 거짓? 증명이나 반례로 답을 뒷받침하세요.

미분방정식 $y'=3{x}^{2}y-\cos (x){y}^{''}$ 은 선형이다.

영어 원문 보기

Chapter Review Exercises

True or False? Justify your answer with a proof or a counterexample.

The differential equation $y'=3{x}^{2}y-\cos (x){y}^{''}$ is linear.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.3절 · 31번

# 변수분리형 미분방정식개념 확인자동 분류

3.OpenStax 2권 · 4장 복습 · 2번대학 수준우리말 번역

단원 복습 문제

참 또는 거짓? 증명이나 반례로 답을 뒷받침하세요.

미분방정식 $y'=x-y$ 는 변수분리형이다.

영어 원문 보기

Chapter Review Exercises

True or False? Justify your answer with a proof or a counterexample.

The differential equation $y'=x-y$ is separable.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4장 복습 · 8번

# 변수분리형 미분방정식개념 확인자동 분류

4.OpenStax 3권 · 7장 복습 · 3번대학 수준우리말 번역

단원 복습 문제

참 또는 거짓으로 답하고, 증명 또는 반례로 그 이유를 설명하세요.

$y={e}^{x}\cos (3x)+{e}^{x}\sin (2x)$ 는 2계 미분방정식 ${y}^{''}+2y'+10=0$ 의 해이다.

영어 원문 보기

Chapter Review Exercises

True or False? Justify your answer with a proof or a counterexample.

$y={e}^{x}\cos (3x)+{e}^{x}\sin (2x)$ is a solution to the second-order differential equation ${y}^{''}+2y'+10=0.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

거짓

원본 교재 풀이(영어)

False

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 7장 복습 · 1번

# 2계 선형 제차 미분방정식개념 확인자동 분류

5.APEX · 1번대학 수준우리말 번역

여러분 자신의 말로, 초깃값 문제란 무엇이며 미분방정식과는 어떻게 다른지 설명하세요.

영어 원문 보기

In your own words, what is an initial value problem, and how is it different than a differential equation?

정답·풀이 보기

초깃값 문제는 미분방정식에 하나 이상의 초기 조건이 짝지어진 것이다. 미분방정식은 초기 조건 없이 방정식만 있는 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

An initial value problems is a differential equation that is paired with one or more initial conditions. A differential equation is simply the equation without the initial conditions.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.2절 · 6번

# 방향장과 정성적 해석개념 확인자동 분류

6.APEX · 2번대학 수준우리말 번역

여러분 자신의 말로, 함수가 미분방정식의 해라는 것이 무엇을 뜻하는지 설명하세요.

영어 원문 보기

In your own words, describe what it means for a function to be a solution to a differential equation.

정답·풀이 보기

답은 다양할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.2절 · 2번

# 방향장과 정성적 해석개념 확인자동 분류

7.APEX · 3번대학 수준우리말 번역

함수가 미분방정식의 해임을 어떻게 확인할 수 있습니까?

영어 원문 보기

How can we verify that a function is a solution to a differential equation?

정답·풀이 보기

주어진 함수를 미분방정식에 대입하여, 그 식이 성립함을 보인다.

원본 교재 풀이(영어)

Substitute the proposed function into the differential equation, and show the the statement is satisfied.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2번

# 방향장과 정성적 해석개념 확인자동 분류

8.APEX · 4번대학 수준우리말 번역

특수해와 일반해의 차이를 설명하세요.

영어 원문 보기

Describe the difference between a particular solution and a general solution.

정답·풀이 보기

특수해는 해의 족에 속하는 하나의 특정한 해이며, 임의의 상수를 포함하지 않는다. 일반해는 해의 족으로서 미분방정식의 가능한 모든 해를 포함하며, 보통 하나 이상의 임의의 상수를 포함한다.

원본 교재 풀이(영어)

A particular solution is one specifica member of a family of solutions, and has no arbitrary constants. A general solution is a family of solutions, includes all possible solutions to the differential equation, and typically includes one or more arbitrary constants.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3번

# 방향장과 정성적 해석개념 확인자동 분류

9.APEX · 5번대학 수준우리말 번역

미분방정식을 풀어 해석적인 해를 구하는 대신, 그래프나 수치적 방법으로 미분방정식의 해를 연구하는 이유는 무엇일까요?

영어 원문 보기

Why might we use a graphical or numerical technique to study solutions to a differential equation instead of simply solving the differential equation to find an analytic solution?

정답·풀이 보기

많은 미분방정식은 해석적으로 풀 수 없다.

원본 교재 풀이(영어)

Many differential equations are impossible to solve analytically.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4번

# 방향장과 정성적 해석개념 확인자동 분류

10.APEX · 6번대학 수준우리말 번역

오일러 방법과 같은 수치적 방법에 사용할 $h$ 값을 정할 때 고려해야 할 점을 설명하세요.

영어 원문 보기

Describe the considerations that should be made when choosing an $h$ value to use in a numerical method like Euler's Method.

정답·풀이 보기

$h$ 값이 작을수록 수치해가 참해에 더 가까워지지만, $h$ 값을 줄이면 계산량이 더 많아진다.

원본 교재 풀이(영어)

A smaller $h$ value leads to a numerical solution that is closer to the true solution, but decreasing the $h$ value leads to more computational effort.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.2절 · 48번

# 방향장과 정성적 해석개념 확인자동 분류

11.CLP-2 · 2.4절 · 4번대학 수준우리말 번역

$y=f(x)$ 가 미분방정식 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=xy$ 의 해라고 하자.

참 또는 거짓: 임의의 상수 $C$ 에 대해 $f(x)+C$ 도 해이다.

영어 원문 보기

Suppose $y=f(x)$ is a solution to the differential equation $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=xy$ .

True or false: $f(x)+C$ is also a solution, for any constant $C$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$y=f(x)+C$ 가 이 미분방정식의 해라는 것은 다음을 뜻한다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)+C\}&=x(f(x)+C) \\ \text{$y=f(x)$ 가 해이므로 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)\}=xf(x)$ 이다. 또한 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)+C\}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)\}$ 이다. 따라서 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)+C\}=xf(x)$ 이다.} \\ xf(x)&=x(f(x)+C)\\ 0&=xC \end{aligned}$

이 등식은 정의역의 모든 $x$ 에 대해 성립해야 하고, $y$ 를 $x$ 에 대해 미분하는 것이 의미를 가지려면 정의역이 한 점만으로 이루어져서는 안 된다. 따라서 정의역에는 $x \neq 0$ 인 $x$ 가 존재한다. 그러므로 $C$ 는 반드시 0이어야 한다. 즉, $f(x)+C$ 는 어떤 상수 $C$ 에 대해서도 이 미분방정식의 해가 아니다.

일반적인 부정적분을 구할 때에는 마지막에 “ $+C$ "를 더한다. 미분방정식의 일반해를 구할 때에는 부정적분을 하는 단계에서 “ $+C$ "가 더해지므로, 풀이 마지막에 또 하나를 더하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

To say $y=f(x)+C$ is a solution to the differential equation means:

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)+C\}&=x(f(x)+C) \\ \text{Since $y=f(x)$ is a solution, we know $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)\}=xf(x)$. Also, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)+C\}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)\}$. So, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)+C\}=xf(x)$.} \\ xf(x)&=x(f(x)+C)\\ 0&=xC \end{aligned}$

Our equation should hold for all $x$ in our domain, and for the derivative to $y$ with respect to $x$ to make sense, our domain should not be a single point. So, there is some $x$ in our domain such that $x \neq 0$ . Therefore, the $C$ must be zero. So, $f(x)+C$ is not a solution to the differential equation for any constant $C$ .

When we're finding a general antiderivative, we add “ $+C$ " at the end. When we're finding a general solution to a differential equation, the “ $+C$ " gets added when we antidifferentiate–we don't add another one at the end of our work.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 17번

# 변수분리형 미분방정식개념 확인기본자동 분류