미분방정식 전체 연습문제

1.OpenStax 1권 · 6.8절 · 3번대학 수준우리말 번역

$100^\circ \text{C}$ 의 찻주전자를 실온 $(25^\circ \text{C})$ 에 두고 똑같은 찻주전자를 냉장고 $(5^\circ \text{C})$ 에 넣어 두면, $k=0.02$ 일 때 냉장고 안의 차가 마실 수 있는 온도 $(70^\circ \text{C})$ 에 도달하는 시각이 실온에 둔 차보다 $5$ 분 넘게 빠르다.

영어 원문 보기

If you leave a $100^\circ \text{C}$ pot of tea at room temperature $(25^\circ \text{C})$ and an identical pot in the refrigerator $(5^\circ \text{C}),$ with $k=0.02,$ the tea in the refrigerator reaches a drinkable temperature $(70^\circ \text{C})$ more than $5$ minutes before the tea at room temperature.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.3절 · 4번

# 지수적 증가와 감소활용자동 분류

2.OpenStax 1권 · 6.8절 · 5번대학 수준우리말 번역

세균 배양액이 $3$ 시간마다 두 배가 된다면, $10$ 배가 되는 데는 몇 시간이 걸리나요?

영어 원문 보기

If a culture of bacteria doubles in $3$ hours, how many hours does it take to multiply by $10?$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.3절 · 2번

# 지수적 증가와 감소활용자동 분류

3.OpenStax 1권 · 6.8절 · 6번대학 수준우리말 번역

박테리아가 $10$ 시간 동안 $10$ 배로 늘어난다면, $100$ 배로 늘어나는 데 몇 시간이 걸리는지 구하세요.

영어 원문 보기

If bacteria increase by a factor of $10$ in $10$ hours, how many hours does it take to increase by $100?$

답 쓰고 채점

시간

정답·풀이 보기

$20$ 시간

원본 교재 풀이(영어)

$20$ hours

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.8절 · 4번

# 지수적 증가와 감소활용자동 분류

4.OpenStax 1권 · 6.8절 · 9번대학 수준우리말 번역

카이로의 인구가 $20$ 년 동안 $5$ 백만 명에서 $10$ 백만 명으로 늘었습니다. 지수 모형을 사용하여 인구가 $8$ 백만 명이었던 때를 구하세요.

영어 원문 보기

The population of Cairo grew from $5$ million to $10$ million in $20$ years. Use an exponential model to find when the population was $8$ million.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.3절 · 4번

# 지수적 증가와 감소활용자동 분류

5.OpenStax 1권 · 6.8절 · 12번대학 수준우리말 번역

광고의 효과는 지수적으로 감소한다. 새로운 제품을 3일 후에 인구의 $40\%$ 가 기억한다면, 얼마 후에 $20\%$ 가 그 제품을 기억하겠습니까?

영어 원문 보기

The effect of advertising decays exponentially. If $40\%$ of the population remembers a new product after $3$ days, how long will $20\%$ remember it?

정답·풀이 보기

$5$ 일 $6$ 시간 $27$ 분

원본 교재 풀이(영어)

$5$ days $6$ hours $27$ minutes

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.8절 · 10번

# 지수적 증가와 감소활용자동 분류

6.OpenStax 1권 · 6.8절 · 19번대학 수준우리말 번역

오븐에서 꺼낸 칠면조의 내부 온도가 $165^\circ \text{F}$ 였습니다. 이 칠면조를 $70^\circ \text{F}$ 의 아파트에서 $10$ 분 동안 식혔더니 온도가 $155^\circ \text{F}$ 에 이르렀습니다. 오븐에서 꺼낸 지 $20$ 분 뒤 칠면조의 온도는 얼마인가요?

영어 원문 보기

You are cooling a turkey that was taken out of the oven with an internal temperature of $165^\circ \text{F}.$ After $10$ minutes of resting the turkey in a $70^\circ \text{F}$ apartment, the temperature has reached $155^\circ \text{F}.$ What is the temperature of the turkey $20$ minutes after taking it out of the oven?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.3절 · 5번

# 지수적 증가와 감소활용자동 분류

7.OpenStax 1권 · 6.8절 · 20번대학 수준우리말 번역

온도가 $1^\circ \text{F}$ 인 채소를 해동하려고 합니다. 채소를 안전하게 해동하려면 주변 온도가 $44^\circ \text{F}$ 인 냉장고에 넣어야 합니다. 채소를 냉장고에 넣고 $2$ 시간 뒤에 확인해 보니 온도가 $12^\circ \text{F}$ 가 되었습니다. 이때의 온도 곡선을 그래프로 그리고, 이를 이용하여 채소가 $33^\circ \text{F}$ 에 이르는 시점을 구하세요.

영어 원문 보기

You are trying to thaw some vegetables that are at a temperature of $1^\circ \text{F}.$ To thaw vegetables safely, you must put them in the refrigerator, which has an ambient temperature of $44^\circ \text{F}.$ You check on your vegetables $2$ hours after putting them in the refrigerator to find that they are now $12^\circ \text{F}.$ Plot the resulting temperature curve and use it to determine when the vegetables reach $33^\circ \text{F}.$

정답·풀이 보기

$9$ 시간 $13$ 분

원본 교재 풀이(영어)

$9$ hours $13$ minutes

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.8절 · 16번

# 지수적 증가와 감소활용자동 분류

8.OpenStax 1권 · 6.8절 · 26번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 인구가 $10$ 십억 명에 도달하는 예측 날짜를 구하세요. 앞서 구한 일계도함수와 이계도함수에 대한 답을 이용하여, 지수적 증가가 미래를 예측하는 데 성공적이지 못한 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

[T] Find the predicted date when the population reaches $10$ billion. Using your previous answers about the first and second derivatives, explain why exponential growth is unsuccessful in predicting the future.

정답·풀이 보기

인구는 $2032$ 년에 $10$ 십억 명에 도달한다.

원본 교재 풀이(영어)

The population reaches $10$ billion people in $2032.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.8절 · 14번

# 지수적 증가와 감소활용자동 분류

9.OpenStax 2권 · 4.1절 · 53번대학 수준우리말 번역

질량이 $1\,\text{lb}$ 인 공을 $a$ ft/sec 의 속도로 위로 던질 때, 이 공의 속도를 나타내는 일반해를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the general solution to describe the velocity of a ball of mass $1\,\text{lb}$ that is thrown upward at a rate $a$ ft/sec.

정답·풀이 보기

$v(t)=-32t+a$

원본 교재 풀이(영어)

$v(t)=-32t+a$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.1절 · 51번

# 미분방정식의 기초활용자동 분류

10.OpenStax 2권 · 4.1절 · 54번대학 수준우리말 번역

앞의 문제에서, 공중으로 던진 공의 처음 속도가 $a=25$ ft/s 일 때, 공의 속도에 대한 특수해를 쓰세요. 식을 풀어 공이 땅에 떨어지는 시간을 구하세요.

영어 원문 보기

In the preceding problem, if the initial velocity of the ball thrown into the air is $a=25$ ft/s, write the particular solution to the velocity of the ball. Solve to find the time when the ball hits the ground.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 7.1절 · 8번

# 미분방정식의 기초활용자동 분류

11.OpenStax 2권 · 4.1절 · 55번대학 수준우리말 번역

질량이 서로 다른 두 물체 ${m}_{1}$ 과 ${m}_{2}$ 를 같은 처음 속도 $a$ ft/s 로 위로 던집니다. $1$ 초 후 두 물체의 속도의 차는 얼마인가요?

영어 원문 보기

You throw two objects with differing masses ${m}_{1}$ and ${m}_{2}$ upward into the air with the same initial velocity $a$ ft/s. What is the difference in their velocity after $1$ second?

정답·풀이 보기

$0$ ft/s

원본 교재 풀이(영어)

$0$ ft/s

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.1절 · 53번

# 미분방정식의 기초활용자동 분류

12.OpenStax 2권 · 4.1절 · 56번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 질량이 $1$ 킬로그램인 공을 화성에서 속도 $a=25$ m/s 로 위로 던집니다. 화성의 중력가속도는 $g=-3.711$ m/s² 입니다. 계산기를 사용하여, 공이 중력가속도가 $g=-9.8m/{s}^{2}$ 인 지구에서보다 화성에서 공중에 얼마나 더 오래 머무는지 어림하세요.

영어 원문 보기

[T] You throw a ball of mass $1$ kilogram upward with a velocity of $a=25$ m/s on Mars, where the acceleration of gravity is $g=-3.711$ m/s². Use your calculator to approximate how much longer the ball is in the air on Mars than on Earth, where $g=-9.8m/{s}^{2}$ .

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.1절 · 55번

# 미분방정식의 기초활용자동 분류

13.OpenStax 2권 · 4.1절 · 58번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 고속도로 위의 자동차가 $a=15\cos (\pi t)$ 에 따라 가속합니다. 여기서 $t$ 는 시간 단위로 잰 값입니다. 처음 속력이 $50$ mph 일 때, 미분방정식을 세우고 풀어서 이 자동차의 속도를 구하세요. $40$ 분 동안 운전한 후 운전자의 속도는 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

[T] A car on the freeway accelerates according to $a=15\cos (\pi t),$ where $t$ is measured in hours. Set up and solve the differential equation to determine the velocity of the car if it has an initial speed of $50$ mph. After $40$ minutes of driving, what is the driver’s velocity?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.1절 · 3번

# 미분방정식의 기초활용자동 분류

14.OpenStax 2권 · 4.1절 · 59번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 앞의 문제의 자동차에 대해, 처음 거리가 $0$ 이라고 할 때, 시간 $t$ 동안 자동차가 이동한 거리를 나타내는 식을 구하세요. 자동차가 $100$ 마일을 이동하는 데 걸리는 시간은 얼마인지 구하세요. 답을 시간과 분 단위로 반올림하여 나타내세요.

영어 원문 보기

[T] For the car in the preceding problem, find the expression for the distance the car has traveled in time $t,$ assuming an initial distance of $0.$ How long does it take the car to travel $100$ miles? Round your answer to hours and minutes.

정답·풀이 보기

$x=50t-\frac{15}{{\pi }^{2}}\cos (\pi t)+\frac{3}{{\pi }^{2}},2$ 시간 $1$ 분

원본 교재 풀이(영어)

$x=50t-\frac{15}{{\pi }^{2}}\cos (\pi t)+\frac{3}{{\pi }^{2}},2$ hours $1$ minute

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.1절 · 27번

# 미분방정식의 기초활용자동 분류

15.OpenStax 2권 · 4.1절 · 60번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 앞의 문제에서, 처음 한 시간 동안 이동한 총 거리를 구하세요.

영어 원문 보기

[T] For the previous problem, find the total distance traveled in the first hour.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.1절 · 29번

# 미분방정식의 기초활용자동 분류

16.OpenStax 2권 · 4.3절 · 30번대학 수준우리말 번역

혈류 속 약물은 대부분 방정식 $y'=cy$ 에 따라 감소한다. 여기서 $y$ 는 혈류 속 약물의 농도이다. 약물의 반감기가 $2$ 시간이라면, $6$ 시간 후에 처음 투여량의 어느 분수만큼이 남아 있나요?

영어 원문 보기

Most drugs in the bloodstream decay according to the equation $y'=cy,$ where $y$ is the concentration of the drug in the bloodstream. If the half-life of a drug is $2$ hours, what fraction of the initial dose remains after $6$ hours?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 12번

# 변수분리형 미분방정식활용자동 분류

17.OpenStax 2권 · 4.3절 · 33번대학 수준우리말 번역

탱크에 물 $100$ 리터에 녹아 있는 소금 $1$ 킬로그램이 들어 있다. 소금 $0.1$ kg/L 의 소금 용액이 $2$ L/min 의 속도로 탱크에 주입되고, 같은 속도로 빠져나간다. 시간 $t$ 에서의 소금 농도를 구하세요. 탱크 안은 잘 섞인다고 가정한다.

영어 원문 보기

A tank contains $1$ kilogram of salt dissolved in $100$ liters of water. A salt solution of $0.1$ kg salt/L is pumped into the tank at a rate of $2$ L/min and is drained at the same rate. Solve for the salt concentration at time $t.$ Assume the tank is well mixed.

정답·풀이 보기

$y(t)=10-9{e}^{-x/50}$

원본 교재 풀이(영어)

$y(t)=10-9{e}^{-x/50}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 7.4절 · 11번

# 변수분리형 미분방정식활용자동 분류

18.OpenStax 2권 · 4.3절 · 34번대학 수준우리말 번역

$10$ kg의 소금이 $1000$ L의 물에 녹아 있는 탱크에 두 가지 소금물을 넣는다. 첫 번째 소금물은 농도가 $0.2$ kg/L이고 $20$ L/min의 속도로 들어가며, 두 번째 소금물은 농도가 $0.05$ kg/L이고 $5$ L/min의 속도로 들어간다. 탱크에서는 $25$ L/min의 속도로 물이 빠져나간다. 탱크 안은 잘 섞여 있다고 가정한다. 시각 $t$ 에서의 소금 농도를 구하세요.

영어 원문 보기

A tank containing $10$ kilograms of salt dissolved in $1000$ liters of water has two salt solutions pumped in. The first solution of $0.2$ kg salt/L is pumped in at a rate of $20$ L/min and the second solution of $0.05$ kg salt/L is pumped in at a rate of $5$ L/min. The tank drains at $25$ L/min. Assume the tank is well mixed. Solve for the salt concentration at time $t.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.4절 · 17번

# 변수분리형 미분방정식활용자동 분류

19.OpenStax 2권 · 4.3절 · 35번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 앞의 문제에서, 과정이 시작되고 $1$ 시간 후 탱크 안에 있는 소금의 양을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] For the preceding problem, find how much salt is in the tank $1$ hour after the process begins.

답 쓰고 채점

kg

정답·풀이 보기

$134.3$ 킬로그램

원본 교재 풀이(영어)

$134.3$ kilograms

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4장 복습 · 4번

# 변수분리형 미분방정식활용자동 분류

20.OpenStax 2권 · 4.3절 · 36번대학 수준우리말 번역

토리첼리의 법칙에 따르면, 바닥에 단면의 넓이가 ${A}_{H}$ 인 구멍이 있고 바닥 위 물의 높이가 $h$ 인 물탱크에서, 탱크에서 흘러나오는 물의 부피의 변화율은 물의 높이의 제곱근에 비례하며 $\frac{dV}{dt}=-{A}_{H}\sqrt{2gh}$ 로 나타낸다. 여기서 $g$ 는 중력 가속도이다. $\frac{dV}{dt}={A}_{T}\frac{dh}{dt}$ 이고 ${A}_{T}$ 는 탱크의 단면의 넓이임에 주의한다. 반지름이 $24\sqrt{2}$ 인 탱크에 반지름이 $2$ ft 인 원형 구멍이 있다고 가정하고, 물의 높이에 대한 초깃값 문제를 푸세요. 처음 물의 높이는 $100$ ft 이다.

영어 원문 보기

Torricelli’s law states that for a water tank with a hole in the bottom that has a cross-sectional area of ${A}_{H}$ with a height of water $h$ above the bottom of the tank, the rate of change of volume of water flowing from the tank is proportional to the square root of the height of water, according to $\frac{dV}{dt}=-{A}_{H}\sqrt{2gh},$ where $g$ is the acceleration due to gravity. Note that $\frac{dV}{dt}={A}_{T}\frac{dh}{dt},$ where ${A}_{T}$ is the cross-sectional area of the tank. Solve the resulting initial-value problem for the height of water, assuming a tank of radius $24\sqrt{2}$ with a circular hole of radius $2$ ft. The initial height of water is $100$ ft.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.3절 · 11번

# 변수분리형 미분방정식활용자동 분류

미분방정식 전체 문제