미분법 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.OpenStax 1권 · 3.5절 · 9번우리말 풀이

다음 함수에 대하여 $\frac{dy}{dx}$ 를 구하세요.

$y=\frac{1-\cot x}{1+\cot x}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find $\frac{dy}{dx}$ for the given functions.

$y=\frac{1-\cot x}{1+\cot x}$

풀이 보기

분수식이므로 몫의 미분법 $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ 을 쓰고, $(\cot x)'=-\csc^2x$ 를 이용해요.

1
분자 $u=1-\cot x$ , 분모 $v=1+\cot x$ 로 놓아요. $(\cot x)'=-\csc^2x$ 이므로

$u'=\csc^2x,\qquad v'=-\csc^2x$
2
몫의 미분법에 넣어요.

$\frac{dy}{dx}=\frac{\csc^2x(1+\cot x)-(1-\cot x)(-\csc^2x)}{(1+\cot x)^2}$
3
분자에서 $\csc^2x$ 로 묶고 정리해요.

$\csc^2x\big[(1+\cot x)+(1-\cot x)\big]=2\csc^2x$

따라서

$\frac{dy}{dx}=\frac{2\csc^2x}{(1+\cot x)^2}$

답

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2\csc^{2}x}{(1+\cot x)^{2}}$

자주 하는 실수

$(\cot x)'$ 의 부호 $-$ 를 빠뜨리거나, 몫의 미분법에서 분자의 빼는 순서를 바꿔요.

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{dy}{dx}=\frac{2{\csc }^{2}x}{{(1+\cot x)}^{2}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.5절 · 1번

# 삼각함수의 미분계산보통

2.OpenStax 1권 · 3.5절 · 17번우리말 풀이

다음 함수에 대하여 $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ 를 구하세요.

$y=x\sin x-\cos x$

영어 원문 보기

For the following exercises, find $\frac{{d}^{2}y}{d{x}^{2}}$ for the given functions.

$y=x\sin x-\cos x$

답 쓰고 채점

풀이 보기

이계도함수는 미분을 두 번 하면 돼요. 한 번 미분한 결과를 다시 미분해요.

1
먼저 한 번 미분해요. $x\sin x$ 는 곱의 미분법, $(-\cos x)'=\sin x$ 예요.

$\frac{dy}{dx}=\sin x+x\cos x+\sin x=2\sin x+x\cos x$
2
한 번 더 미분해요. $(2\sin x)'=2\cos x$ 이고 $x\cos x$ 는 곱의 미분법으로 $\cos x-x\sin x$ 예요.

$\frac{d^2y}{dx^2}=2\cos x+\cos x-x\sin x=3\cos x-x\sin x$

답

$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=3\cos x-x\sin x$

자주 하는 실수

$(\cos x)'$ 의 부호를 틀리거나 첫 번째 미분에서 $\sin x$ 가 두 번 나오는 것을 놓쳐요.

원본 교재 풀이(영어)

$3\cos x-x\sin x$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 2.2절 · 6번

# 삼각함수의 미분계산보통

3.OpenStax 1권 · 3.5절 · 25번우리말 풀이

$f(x)=\cot x$ 라 하자. $0<x<2\pi$ 에서 접선이 직선 $y=-2x$ 와 평행한 점들을 그래프 위에서 구하세요.

영어 원문 보기

Let $f(x)=\cot x.$ Determine the points on the graph of $f$ for $0<x<2\pi$ where the tangent line(s) is (are) parallel to the line $y=-2x.$

답 쓰고 채점

풀이 보기

평행한 직선은 기울기가 같으므로 $f'(x)=-2$ 를 만족하는 $x$ 를 찾아요.

1
직선 $y=-2x$ 의 기울기는 $-2$ 예요. 평행한 접선도 기울기가 $-2$ 이므로 $f'(x)=-2$ 인 $x$ 를 구하면 돼요.
2
$f'(x)=-\csc^2x$ 이므로

$-\csc^2x=-2\ \Longrightarrow\ \csc^2x=2\ \Longrightarrow\ \sin^2x=\frac12$
3
$\sin x=\pm\dfrac{\sqrt2}{2}$ 이고 $0<x<2\pi$ 이므로 $x=\dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{3\pi}{4},\ \dfrac{5\pi}{4},\ \dfrac{7\pi}{4}$ 네 개예요.
4
각 $x$ 에 대한 $f(x)=\cot x$ 의 값을 구해 점을 완성해요.

$\cot\frac{\pi}{4}=1,\ \cot\frac{3\pi}{4}=-1,\ \cot\frac{5\pi}{4}=1,\ \cot\frac{7\pi}{4}=-1$

답

$\left(\frac{\pi}{4},1\right),\ \left(\frac{3\pi}{4},-1\right),\ \left(\frac{5\pi}{4},1\right),\ \left(\frac{7\pi}{4},-1\right)$

자주 하는 실수

$\sin x=\frac{\sqrt2}{2}$ 인 경우만 구하고 $\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}$ 인 경우를 빠뜨려요.

원본 교재 풀이(영어)

$\left(\frac{\pi }{4}, 1\right), \left(\frac{3\pi }{4}, -1\right), \left(\frac{5\pi }{4}, 1\right), \left(\frac{7\pi }{4}, -1\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.5절 · 17번

# 삼각함수의 미분계산보통

4.OpenStax 1권 · 3.6절 · 38번우리말 풀이

아래 표의 정보를 이용하여 주어진 $a$ 에서 $h'(a)$ 를 구하세요.

$x$	$f(x)$	$f'(x)$	$g(x)$	$g'(x)$
0	2	5	0	2
1	1	−2	3	0
2	4	4	1	−1
3	3	−3	2	3

$h(x)=g(2+f({x}^{2}));\ a=1$

영어 원문 보기

For the following exercises, use the information in the following table to find ${h}^{'}(a)$ at the given value for $a.$

$x$ $f(x)$ $f'(x)$ $g(x)$ $g'(x)$

0 2 5 0 2

1 1 −2 3 0

2 4 4 1 −1

3 3 −3 2 3

$h(x)=g(2+f({x}^{2}));a=1$

답 쓰고 채점

풀이 보기

바깥에서 안쪽으로 한 겹씩 벗기며 미분해서 곱하고, 값은 표에서 읽어요.

1
$h$ 는 세 겹 합성함수예요. 바깥부터 한 겹씩 미분해서 곱해요.

$h'(x)=g'\big(2+f(x^2)\big)\cdot f'(x^2)\cdot 2x$
2
$x=1$ 을 넣어요. 안쪽부터 값을 구하면 $x^2=1$ , $f(1)=1$ (표), 그래서 $2+f(1)=3$ 이에요.

$h'(1)=g'(3)\cdot f'(1)\cdot 2$
3
표에서 $g'(3)=3$ , $f'(1)=-2$ 를 읽어요.

$h'(1)=3\cdot(-2)\cdot2=-12$

답

$-12$

자주 하는 실수

$x^2$ 의 미분 $2x$ 를 빠뜨리거나, $g'$ 에 넣을 값을 $3$ 이 아니라 $f(1)=1$ 로 써요.

원본 교재 풀이(영어)

$-12$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.6절 · 16번

# 합성함수의 미분법계산보통

5.OpenStax 1권 · 3.7절 · 18번우리말 풀이

주어진 각 함수 $y=f(x)$ 에 대하여 a. 점 $P$ 에서 역함수 $f^{-1}$ 의 그래프에 접하는 접선의 기울기를 구하고, b. 그 점에서 $f^{-1}$ 의 그래프에 접하는 접선의 방정식을 구하세요.

$f(x)=-{x}^{3}-x+2,\ P(-8,2)$

영어 원문 보기

For each of the given functions $y=f(x),$ a. find the slope of the tangent line to its inverse function ${f}^{-1}$ at the indicated point $P,$ and b. find an equation of the tangent line to the graph of ${f}^{-1}$ at the indicated point.

$f(x)=-{x}^{3}-x+2,P(-8,2)$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

풀이 보기

$(f^{-1})'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$ ( $b=f(a)$ ) 이므로, 역함수의 기울기는 원래 함수 기울기의 역수예요.

1
점 $P(-8,2)$ 는 역함수 $f^{-1}$ 의 그래프 위의 점이에요. 즉 $f^{-1}(-8)=2$ 이고, 원래 함수에서는 $f(2)=-8$ 이에요. 직접 확인하면 $f(2)=-8-2+2=-8$ 로 맞아요.
2
원래 함수의 도함수는 $f'(x)=-3x^2-1$ 이에요. $x=2$ 에서

$f'(2)=-12-1=-13$
3
(a) 역함수의 미분법에 의해

$(f^{-1})'(-8)=\frac{1}{f'(2)}=-\frac{1}{13}$
4
(b) 점 $(-8,2)$ 를 지나고 기울기가 $-\frac{1}{13}$ 인 직선이에요.

$y-2=-\frac{1}{13}(x+8)$

$y=-\frac{1}{13}x-\frac{8}{13}+2=-\frac{1}{13}x+\frac{18}{13}$

답

(a) $-\dfrac{1}{13}$ (b) $y=-\dfrac{1}{13}x+\dfrac{18}{13}$

자주 하는 실수

$f'(-8)$ 처럼 $f'$ 에 $-8$ 을 넣어요. $f'$ 에는 $f(a)=-8$ 이 되는 $a=2$ 를 넣어야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

a. $-\frac{1}{13},$ b. $y=-\frac{1}{13}x+\frac{18}{13}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.7절 · 3번

# 역함수의 미분법계산보통

6.OpenStax 1권 · 3.8절 · 10번우리말 풀이

다음 문제에서 음함수의 미분법을 써서 $\frac{dy}{dx}$ 를 구하세요.

${x}^{3}y+x{y}^{3}=-8$

영어 원문 보기

For the following exercises, use implicit differentiation to find $\frac{dy}{dx}.$

${x}^{3}y+x{y}^{3}=-8$

풀이 보기

y 를 x 의 함수로 보고 양변을 x 로 미분한 뒤, $\frac{dy}{dx}$ 가 들어 있는 항만 모아 정리해요.

1
왜 이렇게 할까요? 식이 $y=\cdots$ 꼴이 아니어서 바로 미분할 수 없어요. 그래서 $y$ 를 $x$ 의 함수로 생각하고 양변을 $x$ 에 대해 미분해요. $y$ 가 들어간 항은 연쇄법칙 때문에 $\frac{dy}{dx}$ 가 하나씩 붙어요.
2
각 항을 곱의 미분법으로 미분해요. $x^3y$ 는 $x^3$ 과 $y$ 의 곱이므로 $\frac{d}{dx}(x^3y)=3x^2y+x^3\frac{dy}{dx}$ 이고, $xy^3$ 은 $\frac{d}{dx}(xy^3)=y^3+x\cdot 3y^2\frac{dy}{dx}$ 예요. 우변 $-8$ 은 상수이므로 미분하면 $0$ 이에요.
3
미분한 식을 합쳐요. $3x^2y+x^3\frac{dy}{dx}+y^3+3xy^2\frac{dy}{dx}=0$
4
$\frac{dy}{dx}$ 가 있는 항끼리 모아요. 없는 항은 우변으로 넘겨요. $(x^3+3xy^2)\frac{dy}{dx}=-3x^2y-y^3$
5
양변을 $x^3+3xy^2$ 으로 나눠요. $\frac{dy}{dx}=\frac{-3x^2y-y^3}{x^3+3xy^2}$

답

$\frac{dy}{dx}=\dfrac{-3x^2y-y^3}{x^3+3xy^2}$

자주 하는 실수

곱의 미분법을 쓸 때 $y^3$ 을 미분하면서 $3y^2$ 뒤에 $\frac{dy}{dx}$ 를 붙이는 것을 잊어요.

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{dy}{dx}=\frac{-3{x}^{2}y-{y}^{3}}{{x}^{3}+3x{y}^{2}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.6절 · 1번

# 음함수의 미분법계산보통

7.OpenStax 1권 · 3.9절 · 9번우리말 풀이

다음 함수에 대하여 $f'(x)$ 를 구하세요.

$f(x)=x^{\pi }\cdot \pi^{x}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find ${f}^{'}(x)$ for each function.

$f(x)={x}^{\pi }\cdot {\pi }^{x}$

답 쓰고 채점

풀이 보기

$x^{\pi}$ 는 밑이 변수(거듭제곱함수), $\pi^x$ 는 지수가 변수(지수함수)예요. 둘의 미분 공식이 다르다는 걸 구별해요.

1
두 함수의 곱이므로 곱의 미분법을 써요. $u=x^{\pi}$ , $v=\pi^{x}$ 로 놓아요.
2
$u=x^{\pi}$ 는 $x$ 의 거듭제곱이에요. $\pi$ 는 그냥 상수이므로 $(x^n)'=nx^{n-1}$ 을 그대로 써요.

$u'=\pi x^{\pi-1}$
3
$v=\pi^{x}$ 는 지수에 $x$ 가 있는 지수함수예요. $(a^x)'=a^x\ln a$ 이므로

$v'=\pi^{x}\ln\pi$
4
곱의 미분법 $u'v+uv'$ 에 넣어요.

$f'(x)=\pi x^{\pi-1}\cdot\pi^{x}+x^{\pi}\cdot\pi^{x}\ln\pi$

답

$f'(x)=\pi x^{\pi-1}\cdot\pi^{x}+x^{\pi}\cdot\pi^{x}\ln\pi$

자주 하는 실수

$\pi^x$ 를 거듭제곱처럼 $x\pi^{x-1}$ 로 미분하거나, $x^{\pi}$ 를 지수함수처럼 $x^{\pi}\ln x$ 로 미분해요.

원본 교재 풀이(영어)

$\pi {x}^{\pi -1}\cdot {\pi }^{x}+{x}^{\pi }\cdot {\pi }^{x}\ln \pi$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.9절 · 1번

# 지수함수와 로그함수의 미분계산보통

8.OpenStax 1권 · 3.9절 · 17번우리말 풀이

로그미분법을 이용하여 $\frac{dy}{dx}$ 를 구하세요.

$y={(\sin 2x)}^{4x}$

영어 원문 보기

For the following exercises, use logarithmic differentiation to find $\frac{dy}{dx}.$

$y={(\sin 2x)}^{4x}$

답 쓰고 채점

풀이 보기

밑과 지수에 모두 $x$ 가 있으면 양변에 자연로그를 취해 지수를 앞으로 내린 뒤 미분해요.

1
밑과 지수에 모두 $x$ 가 있어서 바로 미분 공식을 쓸 수 없어요. 양변에 자연로그를 취하면 지수가 앞으로 내려와요.

$\ln y=4x\ln(\sin 2x)$
2
양변을 $x$ 에 대해 미분해요. 왼쪽은 합성함수 미분으로 $\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}$ 가 돼요. 오른쪽은 $4x$ 와 $\ln(\sin 2x)$ 의 곱이므로 곱의 미분법을 써요.

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=4\ln(\sin 2x)+4x\cdot\frac{(\sin 2x)'}{\sin 2x}$
3
$(\sin 2x)'=2\cos 2x$ 이므로 $\dfrac{2\cos 2x}{\sin 2x}=2\cot 2x$ 예요. 따라서

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=4\ln(\sin 2x)+8x\cot 2x$
4
양변에 $y$ 를 곱하고 $y$ 를 원래 식으로 되돌려요.

$\frac{dy}{dx}={(\sin 2x)}^{4x}\Big[4\ln(\sin 2x)+8x\cot 2x\Big]$

답

$\dfrac{dy}{dx}={(\sin 2x)}^{4x}\left[4\ln(\sin 2x)+8x\cot 2x\right]$

자주 하는 실수

마지막에 $y$ 를 곱하는 것을 잊거나, $\sin 2x$ 의 속미분 $2$ 를 빠뜨려요.

원본 교재 풀이(영어)

${(\sin 2x)}^{4x}[4\cdot \ln (\sin 2x)+8x\cdot \cot 2x]$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.9절 · 9번

# 지수함수와 로그함수의 미분계산보통

9.CLP-1 · 2.7절 · 5번우리말 번역

$f(x)=\dfrac{e^{x}}{2x}$ 의 도함수를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the derivative of $f(x)=\dfrac{e^{x}}{2x}$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

몫의 미분법을 이용하면,

$\begin{aligned} f'(x)=\frac{2xe^x-2e^x}{4x^2}=\frac{e^x(2x-2)}{4x^2}=\frac{(x-1)e^x}{2x^2} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Using the quotient rule,

$\begin{aligned} f'(x)=\frac{2xe^x-2e^x}{4x^2}=\frac{e^x(2x-2)}{4x^2}=\frac{(x-1)e^x}{2x^2} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.7절 · 7번

# 지수함수와 로그함수의 미분계산보통자동 분류

10.CLP-1 · 2.7절 · 6번우리말 번역

$f(x)=e^{2x}$ 을 미분하세요.

영어 원문 보기

Differentiate $f(x)=e^{2x}$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\begin{aligned} f'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{e^{2x}\}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{(e^x)^2\}=2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{e^x\}e^x=2e^xe^x=2(e^{x})^2=2e^{2x} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

$\begin{aligned} f'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{e^{2x}\}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{(e^x)^2\}=2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{e^x\}e^x=2e^xe^x=2(e^{x})^2=2e^{2x} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.9절 · 19번

# 지수함수와 로그함수의 미분계산보통자동 분류

11.CLP-1 · 2.7절 · 7번우리말 번역

$a$ 가 상수일 때, $f(x)=e^{a+x}$ 을 미분하세요.

영어 원문 보기

Differentiate $f(x)=e^{a+x}$ , where $a$ is a constant.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\begin{aligned} e^{a+x}&=e^ae^x \\ \text{Since $e^a$ is just a constant,} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{e^{a}e^{x}\}&=e^a\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{e^x\}=e^ae^x=e^{a+x} \end{aligned}$

So, $f'(x)=f(x)=e^{a+x}$ .

원본 교재 풀이(영어)

$\begin{aligned} e^{a+x}&=e^ae^x \\ \text{Since $e^a$ is just a constant,} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{e^{a}e^{x}\}&=e^a\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{e^x\}=e^ae^x=e^{a+x} \end{aligned}$

So, $f'(x)=f(x)=e^{a+x}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.7절 · 6번

# 지수함수와 로그함수의 미분계산보통자동 분류

12.CLP-1 · 2.7절 · 9번우리말 번역

$e^{-x}$ 을 미분하세요.

영어 원문 보기

Differentiate $e^{-x}$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\begin{aligned}e^{-x}&=\frac{1}{e^x} \\ \text{Using the rule for differentiating the reciprocal:} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{e^{-x}\}&=\frac{-e^x}{(e^x)^2}=\frac{-1}{e^x}=-e^{-x} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

$\begin{aligned}e^{-x}&=\frac{1}{e^x} \\ \text{Using the rule for differentiating the reciprocal:} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{e^{-x}\}&=\frac{-e^x}{(e^x)^2}=\frac{-1}{e^x}=-e^{-x} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.7절 · 13번

# 지수함수와 로그함수의 미분계산보통자동 분류

13.CLP-1 · 2.7절 · 11번우리말 번역

입자의 위치가 $s(t)=t^2e^t$ 로 주어진다. 입자가 음의 방향으로 움직이는 때는 언제인지 구하세요.

영어 원문 보기

A particle's position is given by $s(t)=t^2e^t.$ When is the particle moving in the negative direction?

정답·풀이 보기

문제는 $s'(t)$ 가 음수가 되는 때를 묻고 있다. 따라서 먼저 미분한다. 곱의 미분법을 쓰면 다음과 같다.

$\begin{aligned} s'(t)&=e^t(t^2+2t)\\ &=e^t \cdot t(t+2) \end{aligned}$

$e^t$ 는 항상 양수이므로, $t$ 와 $2+t$ 의 부호가 반대일 때 $s'(t)$ 가 음수이다. 이는 $-2<t<0$ 일 때 성립한다.

원본 교재 풀이(영어)

The question asks when $s'(t)$ is negative. So, we start by differentiating. Using the product rule:

$\begin{aligned} s'(t)&=e^t(t^2+2t)\\ &=e^t \cdot t(t+2) \end{aligned}$

$e^t$ is always positive, so $s'(t)$ is negative when $t$ and $2+t$ have opposite signs. This occurs when $-2<t<0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.7절 · 1번

# 지수함수와 로그함수의 미분계산보통자동 분류

14.CLP-1 · 2.8절 · 3번우리말 번역

$f(x)=\sin x + \cos x +\tan x$ 를 미분하세요.

영어 원문 보기

Differentiate $f(x)=\sin x + \cos x +\tan x$ .

정답·풀이 보기

사인 함수, 코사인 함수, 탄젠트 함수의 도함수는 외워 두어야 한다.

$f'(x)=\cos x - \sin x + \sec^2 x$

원본 교재 풀이(영어)

You should memorize the derivatives of sine, cosine, and tangent.

$f'(x)=\cos x - \sin x + \sec^2 x$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.8절 · 1번

# 삼각함수의 미분계산보통자동 분류

15.CLP-1 · 2.8절 · 4번우리말 번역

함수 $f(x)=\sin x + \cos x$ 가 수평인 접선을 갖는 $x$ 의 값은 무엇인가요?

영어 원문 보기

For which values of $x$ does the function $f(x)=\sin x + \cos x$ have a horizontal tangent?

정답·풀이 보기

$f'(x)=\cos x - \sin x$ 이므로 $f'(x)=0$ 인 것은 $\sin x = \cos x$ 일 때와 정확히 같다. 이는 $\pi/4$ 에서 성립하며, $5\pi/4$ 에서도 성립한다. 단위원을 살펴보면, 어떤 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{\pi}{4}+\pi n$ 일 때마다 $\sin x = \cos x$ 임이 분명하다.

원본 교재 풀이(영어)

$f'(x)=\cos x - \sin x$ , so $f'(x)=0$ precisely when $\sin x = \cos x$ . This happens at $\pi/4$ , but it also happens at $5\pi/4$ . By looking at the unit circle, it is clear that $\sin x = \cos x$ whenever $x = \frac{\pi}{4}+\pi n$ for some integer $n$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.8절 · 5번

# 삼각함수의 미분계산보통자동 분류

16.CLP-1 · 2.8절 · 5번우리말 번역

$f(x)=\sin^2 x + \cos^2 x$ 를 미분하세요.

영어 원문 보기

Differentiate $f(x)=\sin^2 x + \cos^2 x$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

풀이 1: $f(x)=\sin^2x+\cos^2x=1$ 이므로 $f'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{1\}=0$ 이다.
풀이 2: 제곱한 함수의 도함수 공식을 이용하면,

$\begin{aligned} f'(x)=2\sin x \cos x + 2\cos x(- \sin x)=2\sin x \cos x - 2 \sin x \cos x =0. \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Solution 1: $f(x)=\sin^2x+\cos^2x=1$ , so $f'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{1\}=0$ .
Solution 2: Using the formula for the derivative of a squared function,

$\begin{aligned} f'(x)=2\sin x \cos x + 2\cos x(- \sin x)=2\sin x \cos x - 2 \sin x \cos x =0. \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.8절 · 19번

# 삼각함수의 미분계산보통자동 분류

17.CLP-1 · 2.8절 · 6번우리말 번역

$f(x)=2\sin x \cos x$ 를 미분하세요.

영어 원문 보기

Differentiate $f(x)=2\sin x \cos x$ .

정답·풀이 보기

$2\sin x \cos x = \sin (2x)$ 인 것은 사실이지만, 우리는 $\sin(2x)$ 의 도함수를 알지 못한다. 따라서 곱의 미분법을 이용한다: $f'(x)=2\cos x \cos x+2\sin x (-\sin x)=2(\cos^2 x - \sin ^2 x).$

원본 교재 풀이(영어)

It is true that $2\sin x \cos x = \sin (2x)$ , but we don't know the derivative of $\sin(2x)$ . So, we use the product rule: $f'(x)=2\cos x \cos x+2\sin x (-\sin x)=2(\cos^2 x - \sin ^2 x).$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.8절 · 27번

# 삼각함수의 미분계산보통자동 분류

18.CLP-1 · 2.8절 · 8번우리말 번역

$f(x) = \dfrac{2\sin x + 3 \tan x}{\cos x + \tan x}$ 를 미분하세요.

영어 원문 보기

Differentiate $f(x) = \dfrac{2\sin x + 3 \tan x}{\cos x + \tan x}$

정답·풀이 보기

몫의 미분법을 사용한다.

$\begin{aligned} f'(x)&=\dfrac{(\cos x + \tan x)(2\cos x + 3 \sec^2 x)-(2\sin x+3\tan x)(-\sin x + \sec^2 x)}{(\cos x + \tan x)^2}\\ &=\frac{2\cos^2x+3\cos x \sec^2 x + 2 \cos x \tan x + 3 \tan x \sec^2 x}{(\cos x + \tan x)^2}\\ &~~~~ +\frac{2\sin^2x-2\sin x \sec^2x+3\sin x \tan x -3\tan x \sec^2 x}{(\cos x + \tan x)^2}\\ &=\frac{2+3 \sec x + 2 \sin x -2\tan x \sec x+3\sin x \tan x }{(\cos x + \tan x)^2} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We use the quotient rule.

$\begin{aligned} f'(x)&=\dfrac{(\cos x + \tan x)(2\cos x + 3 \sec^2 x)-(2\sin x+3\tan x)(-\sin x + \sec^2 x)}{(\cos x + \tan x)^2}\\ &=\frac{2\cos^2x+3\cos x \sec^2 x + 2 \cos x \tan x + 3 \tan x \sec^2 x}{(\cos x + \tan x)^2}\\ &~~~~ +\frac{2\sin^2x-2\sin x \sec^2x+3\sin x \tan x -3\tan x \sec^2 x}{(\cos x + \tan x)^2}\\ &=\frac{2+3 \sec x + 2 \sin x -2\tan x \sec x+3\sin x \tan x }{(\cos x + \tan x)^2} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.8절 · 12번

# 삼각함수의 미분계산보통자동 분류

19.CLP-1 · 2.8절 · 9번우리말 번역

$f(x) = \dfrac{5\sec x+1}{e^x}$ 를 미분하세요.

영어 원문 보기

Differentiate $f(x) = \dfrac{5\sec x+1}{e^x}$ .

정답·풀이 보기

몫의 미분법을 사용한다.

$\begin{aligned} f'(x) &= \frac{e^x(5\sec x \tan x)-(5\sec x + 1) e^x}{(e^{x})^2}\\ &=\frac{5\sec x \tan x - 5 \sec x - 1}{e^x} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We use the quotient rule.

$\begin{aligned} f'(x) &= \frac{e^x(5\sec x \tan x)-(5\sec x + 1) e^x}{(e^{x})^2}\\ &=\frac{5\sec x \tan x - 5 \sec x - 1}{e^x} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.8절 · 15번

# 삼각함수의 미분계산보통자동 분류

20.CLP-1 · 2.8절 · 10번우리말 번역

$f(x)=(e^x+\cot x)(5x^6-\csc x)$ 를 미분하세요.

영어 원문 보기

Differentiate $f(x)=(e^x+\cot x)(5x^6-\csc x)$ .

정답·풀이 보기

곱의 미분법을 사용한다:

$\begin{aligned} f'(x)&=(e^x+\cot x)(30x^5+\csc x \cot x)+(e^x-\csc^2x)(5x^6-\csc x) \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We use the product rule:

$\begin{aligned} f'(x)&=(e^x+\cot x)(30x^5+\csc x \cot x)+(e^x-\csc^2x)(5x^6-\csc x) \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.8절 · 13번

# 삼각함수의 미분계산보통자동 분류

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