미분법 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

61.APEX · 2.4절 · 38번우리말 번역

연습문제 37~40에서, 표시된 점에서 $g$ 의 그래프에 대한 접선과 법선의 방정식을 구하세요.

$g(t) = t\sin t$ 위의 점 $(\frac{3\pi}{2},-\frac{3\pi}{2})$ 에서

영어 원문 보기

In Exercises 37–40, find the equations of the tangent and normal lines to the graph of $g$ at the indicated point.

$g(t) = t\sin t$ at $(\frac{3\pi}{2},-\frac{3\pi}{2})$

정답·풀이 보기

접선: $y = -(x-\frac{3\pi}{2}) - \frac{3\pi}{2} = -x$

법선: $y = (x-\frac{3\pi}{2}) - \frac{3\pi}{2} = x-3\pi$

원본 교재 풀이(영어)

Tangent line: $y = -(x-\frac{3\pi}{2}) - \frac{3\pi}{2} = -x$

Normal line: $y = (x-\frac{3\pi}{2}) - \frac{3\pi}{2} = x-3\pi$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 2.3절 · 11번

# 곱과 몫의 미분법그래프·표 해석자동 분류

62.APEX · 2.4절 · 39번우리말 번역

연습문제 37–40에서, 표시된 점에서 $g$ 의 그래프에 대한 접선과 법선의 방정식을 구하세요.

$\displaystyle g(x) = \frac{x^2}{x-1}$ 일 때 점 $(2,4)$ 에서

영어 원문 보기

In Exercises 37–40, find the equations of the tangent and normal lines to the graph of $g$ at the indicated point.

$\displaystyle g(x) = \frac{x^2}{x-1}$ at $(2,4)$

정답·풀이 보기

접선: $y = 4$

법선: $x=2$

원본 교재 풀이(영어)

Tangent line: $y = 4$

Normal line: $x=2$

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# 곱과 몫의 미분법그래프·표 해석자동 분류

63.APEX · 2.4절 · 40번우리말 번역

연습문제 37–40에서, 주어진 점에서 $g$ 의 그래프에 대한 접선과 법선의 방정식을 구하세요.

$\displaystyle g(\theta) = \frac{\cos \theta - 8\theta}{\theta+1}$ 의 그래프 위의 점 $(0,1)$ 에서

영어 원문 보기

In Exercises 37–40, find the equations of the tangent and normal lines to the graph of $g$ at the indicated point.

$\displaystyle g(\theta) = \frac{\cos \theta - 8\theta}{\theta+1}$ at $(0,1)$

정답·풀이 보기

접선: $y = -9x+1$

법선: $y = 1/9x+1$

원본 교재 풀이(영어)

Tangent line: $y = -9x+1$

Normal line: $y = 1/9x+1$

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# 곱과 몫의 미분법그래프·표 해석자동 분류

64.APEX · 2.4절 · 41번우리말 번역

연습문제 41–44에서, 함수의 그래프가 수평인 접선을 갖는 $x$ 의 값을 구하세요.

$f(x) = 6x^2-18x-24$

영어 원문 보기

In Exercises 41–44, find the $x$ –values where the graph of the function has a horizontal tangent line.

$f(x) = 6x^2-18x-24$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$x=3/2$

원본 교재 풀이(영어)

$x=3/2$

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# 곱과 몫의 미분법그래프·표 해석자동 분류

65.APEX · 2.4절 · 42번우리말 번역

연습문제 41–44에서, 함수의 그래프가 수평인 접선을 갖는 $x$ 의 값을 구하세요.

$f(x) = x\sin x$ ( $[-1,1]$ 에서)

영어 원문 보기

In Exercises 41–44, find the $x$ –values where the graph of the function has a horizontal tangent line.

$f(x) = x\sin x$ on $[-1,1]$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$x=0$

원본 교재 풀이(영어)

$x=0$

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# 곱과 몫의 미분법그래프·표 해석자동 분류

66.APEX · 2.4절 · 43번우리말 번역

연습문제 41–44에서, 함수의 그래프가 수평인 접선을 갖는 $x$ 의 값을 구하세요.

$\displaystyle f(x) = \frac{x}{x+1}$

영어 원문 보기

In Exercises 41–44, find the $x$ –values where the graph of the function has a horizontal tangent line.

$\displaystyle f(x) = \frac{x}{x+1}$

정답·풀이 보기

$f\,'(x)$ 는 0이 되지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

$f\,'(x)$ is never 0.

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# 곱과 몫의 미분법그래프·표 해석자동 분류

67.APEX · 2.4절 · 44번우리말 번역

연습문제 41–44에서, 함수의 그래프가 수평인 접선을 갖는 $x$ 의 값을 구하세요.

$\displaystyle f(x) = \frac{x^2}{x+1}$

영어 원문 보기

In Exercises 41–44, find the $x$ –values where the graph of the function has a horizontal tangent line.

$\displaystyle f(x) = \frac{x^2}{x+1}$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$x= -2,0$

원본 교재 풀이(영어)

$x= -2,0$

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# 곱과 몫의 미분법그래프·표 해석자동 분류

68.APEX · 2.6절 · 27번우리말 번역

연습문제 27–32에서, 음함수로 정의된 함수의 그래프에 대해 주어진 점에서의 접선의 방정식을 구하세요. 시각적 도움을 위해 각 함수의 그래프를 그려 두었습니다.

$x^{2/5}+y^{2/5} = 1$

(a) $(1,0)$ 에서. (b) $(0.1,0.281)$ 에서 (이 점은 곡선 위에 정확히 놓여 있지는 않지만 매우 가깝습니다).

영어 원문 보기

In Exercises 27–32, find the equation of the tangent line to the graph of the implicitly defined function at the indicated points. As a visual aid, each function is graphed.

$x^{2/5}+y^{2/5} = 1$

(a) At $(1,0)$ . (b) At $(0.1,0.281)$ (which does not exactly lie on the curve, but is very close).

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) $y=0$ (b) $y = -1.859(x-0.1)+0.281$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $y=0$ (b) $y = -1.859(x-0.1)+0.281$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 2.7절 · 14번

# 음함수의 미분법그래프·표 해석자동 분류

69.APEX · 2.6절 · 28번우리말 번역

연습문제 27–32에서, 음함수로 정의된 함수의 그래프에 대해 주어진 점에서의 접선의 방정식을 구하세요. 시각적 도움을 위해 각 함수의 그래프를 그려 두었습니다.

$x^{4}+y^{4} = 1$

(a) $(1,0)$ 에서. (b) $(\sqrt{0.6},\sqrt{0.8})$ 에서. (c) $(0,1)$ 에서.

영어 원문 보기

In Exercises 27–32, find the equation of the tangent line to the graph of the implicitly defined function at the indicated points. As a visual aid, each function is graphed.

$x^{4}+y^{4} = 1$

(a) At $(1,0)$ . (b) At $(\sqrt{0.6},\sqrt{0.8})$ . (c) At $(0,1)$ .

답 쓰고 채점

(a)

(b)

(c)

정답·풀이 보기

(a) $x=1$ (b) $y = -\frac{3\sqrt{3}}{8}(x-\sqrt{.6})+\sqrt{.8} \approx -0.65(x-0.775)+0.894$ (c) $y=1$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $x=1$ (b) $y = -\frac{3\sqrt{3}}{8}(x-\sqrt{.6})+\sqrt{.8} \approx -0.65(x-0.775)+0.894$ (c) $y=1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.8절 · 14번

# 음함수의 미분법그래프·표 해석자동 분류

70.APEX · 2.6절 · 29번우리말 번역

연습문제 27–32에서, 음함수로 정의된 함수의 그래프에 대해 주어진 점에서의 접선의 방정식을 구하세요. 시각적 도움을 위해 각 함수의 그래프를 그려 두었습니다.

$(x^2+y^2-4)^3 = 108y^2$

(a) $(0,4)$ 에서. (b) $(2,-\sqrt[4]{108})$ 에서.

영어 원문 보기

In Exercises 27–32, find the equation of the tangent line to the graph of the implicitly defined function at the indicated points. As a visual aid, each function is graphed.

$(x^2+y^2-4)^3 = 108y^2$

(a) At $(0,4)$ . (b) At $(2,-\sqrt[4]{108})$ .

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) $y=4$ (b) $y = 0.93(x-2)-\sqrt[4]{108}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $y=4$ (b) $y = 0.93(x-2)-\sqrt[4]{108}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.6절 · 3번

# 음함수의 미분법그래프·표 해석자동 분류

71.APEX · 2.6절 · 30번우리말 번역

연습문제 27–32에서, 음함수로 정의된 함수의 그래프에 대해 주어진 점에서의 접선의 방정식을 구하세요. 참고용으로 각 함수의 그래프를 함께 제시했습니다.

$(x^2+y^2+x)^2 = x^2+y^2$

(a) $(0,1)$ 에서. (b) $\displaystyle \left(-\frac34, \frac{3 \sqrt{3}}{4}\right)$ 에서.

영어 원문 보기

In Exercises 27–32, find the equation of the tangent line to the graph of the implicitly defined function at the indicated points. As a visual aid, each function is graphed.

$(x^2+y^2+x)^2 = x^2+y^2$

(a) At $(0,1)$ . (b) At $\displaystyle \left(-\frac34, \frac{3 \sqrt{3}}{4}\right)$ .

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) $y=-1/3x+1$ (b) $y = 3\sqrt{3}/4$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $y=-1/3x+1$ (b) $y = 3\sqrt{3}/4$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.11절 · 1번

# 음함수의 미분법그래프·표 해석자동 분류

72.APEX · 2.6절 · 31번우리말 번역

연습문제 27–32에서, 음함수로 정의된 함수의 그래프에 대하여 주어진 점에서의 접선의 방정식을 구하세요. 시각적 도움을 위해 각 함수의 그래프가 그려져 있습니다.

$(x-2)^2+(y-3)^2=9$

(a) $\displaystyle \left(\frac72,\frac{6+3\sqrt{3}}{2}\right)$ 에서. (b) $\displaystyle \left(\frac{4+3\sqrt{3}}{2}, \frac32\right)$ 에서.

영어 원문 보기

In Exercises 27–32, find the equation of the tangent line to the graph of the implicitly defined function at the indicated points. As a visual aid, each function is graphed.

$(x-2)^2+(y-3)^2=9$

(a) At $\displaystyle \left(\frac72,\frac{6+3\sqrt{3}}{2}\right)$ . (b) At $\displaystyle \left(\frac{4+3\sqrt{3}}{2}, \frac32\right)$ .

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) $y=-\frac{1}{\sqrt{3}}(x-\frac72)+\frac{6+3\sqrt{3}}{2}$ (b) $y = \sqrt{3}(x-\frac{4+3\sqrt{3}}2)+\frac32$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $y=-\frac{1}{\sqrt{3}}(x-\frac72)+\frac{6+3\sqrt{3}}{2}$ (b) $y = \sqrt{3}(x-\frac{4+3\sqrt{3}}2)+\frac32$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.8절 · 28번

# 음함수의 미분법그래프·표 해석자동 분류

73.APEX · 2.6절 · 32번우리말 번역

연습문제 27–32에서, 음함수로 정의된 함수의 그래프에 대하여 주어진 점에서의 접선의 방정식을 구하세요. 시각적 도움을 위해 각 함수의 그래프가 그려져 있습니다.

$x^2+y^3+2xy=0$

(a) $\displaystyle \left(-1,1\right)$ 에서. (b) $\displaystyle \left(-1,\frac12(-1+\sqrt{5})\right)$ 에서. (c) $\displaystyle \left(-1,\frac12(-1-\sqrt{5})\right)$ 에서.

영어 원문 보기

In Exercises 27–32, find the equation of the tangent line to the graph of the implicitly defined function at the indicated points. As a visual aid, each function is graphed.

$x^2+y^3+2xy=0$

(a) At $\displaystyle \left(-1,1\right)$ . (b) At $\displaystyle \left(-1,\frac12(-1+\sqrt{5})\right)$ . (c) At $\displaystyle \left(-1,\frac12(-1-\sqrt{5})\right)$ .

답 쓰고 채점

(a)

(b)

(c)

정답·풀이 보기

(a) $y=1$ (b) $y =-\frac{2}{\sqrt{5}}(x+1)+\frac12(-1+\sqrt{5})$ (c) $y =\frac{2}{\sqrt{5}}(x+1)+\frac12(-1-\sqrt{5})$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $y=1$ (b) $y =-\frac{2}{\sqrt{5}}(x+1)+\frac12(-1+\sqrt{5})$ (c) $y =\frac{2}{\sqrt{5}}(x+1)+\frac12(-1-\sqrt{5})$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.11절 · 13번

# 음함수의 미분법그래프·표 해석자동 분류

74.APEX · 2.7절 · 27번우리말 번역

연습문제 27–28에서 주어진 $x$ 값에서 $f$ 의 그래프에 접하는 접선의 방정식을 구하세요.

$f(x) =\sin^{-1}x$ , $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 일 때

영어 원문 보기

In Exercises 27–28, find the equation of the line tangent to the graph of $f$ at the indicated $x$ value.

$f(x) =\sin^{-1}x$ at $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$y = \sqrt{2}(x-\sqrt{2}/2)+\pi/4$

원본 교재 풀이(영어)

$y = \sqrt{2}(x-\sqrt{2}/2)+\pi/4$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.7절 · 6번

# 역함수의 미분법그래프·표 해석자동 분류

75.APEX · 2.7절 · 28번우리말 번역

연습문제 27–28에서 주어진 $x$ 값에서 $f$ 의 그래프에 접하는 접선의 방정식을 구하세요.

$f(x) =\cos^{-1}(2x)$ , $x=\frac{\sqrt{3}}{4}$ 일 때

영어 원문 보기

In Exercises 27–28, find the equation of the line tangent to the graph of $f$ at the indicated $x$ value.

$f(x) =\cos^{-1}(2x)$ at $x=\frac{\sqrt{3}}{4}$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$y = -4(x-\sqrt{3}/4)+\pi/6$

원본 교재 풀이(영어)

$y = -4(x-\sqrt{3}/4)+\pi/6$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.7절 · 10번

# 역함수의 미분법그래프·표 해석자동 분류

76.APEX · 4.2절 · 7번우리말 번역

F-22 항공기가 500mph 의 속력으로 고도 10,000ft 에서, 대공포 바로 위를 지나게 될 직선 경로를 따라 날고 있다.

비행기가 다음과 같은 위치에 있을 때, 대공포가 항공기를 정확히 추적하려면 얼마나 빠르게 회전할 수 있어야 하나요?

(a) 1마일 떨어져 있을 때 (b) 1/5마일 떨어져 있을 때 (c) 바로 위에 있을 때

영어 원문 보기

An F-22 aircraft is flying at 500mph with an elevation of 10,000ft on a straight–line path that will take it directly over an anti–aircraft gun.

How fast must the gun be able to turn to accurately track the aircraft when the plane is:

(a) 1 mile away? (b) 1/5 mile away? (c) Directly overhead?

정답·풀이 보기

비행기의 고도 때문에 대공포는 그리 빠르게 회전하지 않아도 된다.

(a) $0.0573$ rad/s (b) $0.0725$ rad/s (c) 극한에서 변화율은 $0.0733$ rad/s 에 가까워진다.

원본 교재 풀이(영어)

Due to the height of the plane, the gun does not have to rotate very fast.

(a) $0.0573$ rad/s (b) $0.0725$ rad/s (c) In the limit, rate goes to $0.0733$ rad/s

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.2절 · 4번

# 관련 변화율그래프·표 해석자동 분류

77.APEX · 4.2절 · 9번우리말 번역

24ft 길이의 사다리가 집에 기대어 있고, 사다리의 아래쪽 끝을 1ft/s 의 일정한 비율로 집에서 멀어지게 당기고 있다.

사다리의 아래쪽 끝이 다음과 같은 위치에 있을 때, 사다리의 위쪽 끝은 집 벽을 따라 어떤 비율로 미끄러져 내려가고 있나요?

(a) 집에서 1피트 떨어져 있을 때 (b) 집에서 10피트 떨어져 있을 때 (c) 집에서 23피트 떨어져 있을 때 (d) 집에서 24피트 떨어져 있을 때

영어 원문 보기

A 24ft. ladder is leaning against a house while the base is pulled away at a constant rate of 1ft/s.

At what rate is the top of the ladder sliding down the side of the house when the base is:

(a) 1 foot from the house? (b) 10 feet from the house? (c) 23 feet from the house? (d) 24 feet from the house?

정답·풀이 보기

(a) $0.04$ ft/s (b) $0.458$ ft/s (c) $3.35$ ft/s (d) 정의되지 않는다. 거리가 24에 가까워질수록 변화율은 $\infty$ 로 커진다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $0.04$ ft/s (b) $0.458$ ft/s (c) $3.35$ ft/s (d) Not defined; as the distance approaches 24, the rates approaches $\infty$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 3.1절 · 9번

# 관련 변화율그래프·표 해석자동 분류

78.APEX · 4.2절 · 10번우리말 번역

배 갑판 위 10ft 높이에 있는 윈치가 30ft/min의 일정한 속도로 배를 선착장 쪽으로 끌어당기고 있다.

배가 다음과 같은 위치에 있을 때, 배는 어느 정도의 속도로 선착장에 가까워지고 있나요?

(a) 선착장에서 50피트 떨어져 있을 때 (b) 선착장에서 15피트 떨어져 있을 때 (c) 선착장에서 1피트 떨어져 있을 때 (d) 배를 끌어당기는 밧줄의 길이가 10피트보다 짧아지면 어떻게 되나요?

영어 원문 보기

A boat is being pulled into a dock at a constant rate of 30ft/min by a winch located 10ft above the deck of the boat.

At what rate is the boat approaching the dock when the boat is:

(a) 50 feet out? (b) 15 feet out? (c) 1 foot from the dock? (d) What happens when the length of rope pulling in the boat is less than 10 feet long?

정답·풀이 보기

(a) $30.59$ ft/min (b) $36.1$ ft/min (c) $301$ ft/min (d) 배는 더 이상 평소처럼 물에 떠 있지 못하고, 윈치에 의해 위로 끌려 올라가게 된다(윈치에 그럴 힘이 있다고 가정한다).

원본 교재 풀이(영어)

(a) $30.59$ ft/min (b) $36.1$ ft/min (c) $301$ ft/min (d) The boat no longer floats as usual, but is being pulled up by the winch (assuming it has the power to do so).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.2절 · 12번

# 관련 변화율그래프·표 해석자동 분류

79.APEX · 4.2절 · 12번우리말 번역

추에 연결된 밧줄이 천장의 도르래를 지나 위로 올라갔다가 다시 아래로 내려와 한 작업자에게 이어져 있다. 그 남자는 밧줄과 추가 연결된 지점과 같은 높이에서 밧줄을 잡고 있다.

남자가 추 바로 옆에 서 있다가(즉, 밧줄의 전체 길이가 60 ft이다) 2ft/s의 속도로 멀어지기 시작한다고 하자. 남자가 다음과 같이 걸어갔을 때, 추는 얼마나 빠르게 올라가고 있나요?

(a) 10피트 (b) 40피트

추를 도르래까지 완전히 끌어올리려면 남자는 얼마나 멀리 걸어가야 하나요?

영어 원문 보기

A rope, attached to a weight, goes up through a pulley at the ceiling and back down to a worker. The man holds the rope at the same height as the connection point between rope and weight.

Suppose the man stands directly next to the weight (i.e., a total rope length of 60 ft) and begins to walk away at a rate of 2ft/s. How fast is the weight rising when the man has walked:

(a) 10 feet? (b) 40 feet?

How far must the man walk to raise the weight all the way to the pulley?

정답·풀이 보기

(a) $0.63$ ft/sec (b) $1.6$ ft/sec

약 52 ft이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $0.63$ ft/sec (b) $1.6$ ft/sec

About 52 ft.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.2절 · 9번

# 관련 변화율그래프·표 해석자동 분류

80.CLP-1 · 2.7절 · 1번우리말 번역

그래프의 곡선을 다음 함수와 짝지으세요. $(a)~ y=\left(\frac{1}{2}\right)^x \qquad(b)~ y=1^x\qquad (c)~ y=2^x \qquad (d)~ y=2^{-x}\qquad(e)~ y=3^x$

영어 원문 보기

Match the curves in the graph to the following functions: $(a)~ y=\left(\frac{1}{2}\right)^x \qquad(b)~ y=1^x\qquad (c)~ y=2^x \qquad (d)~ y=2^{-x}\qquad(e)~ y=3^x$

정답·풀이 보기

모든 $x$ 에 대해 $1^x=1$ 이므로 $(b)$ 는 상수함수 $y=1$ 이다. 따라서 D는 $(b)$ 와 짝지어진다.

$2^{-x}=\frac{1}{2^x}=\left(\frac{1}{2}\right)^x$ 이므로 함수 $(a)$ 와 $(d)$ 는 서로 같다. 이 함수는 주어진 함수 중 $x\to-\infty$ 일 때 커지고 $x \to \infty$ 일 때 작아지는 유일한 함수이므로, A는 $(a)$ 와 $(d)$ 에 짝지어진다.

이제 B와 C가 $(c)$ 와 $(e)$ 에 짝지어지는 일이 남는다. $3>2$ 이므로 $x>0$ 일 때 $3^x>2^x$ 이다. 따라서 $(e)$ 는 $x$ 축의 오른쪽에서 더 빠르게 커지는 함수에 짝지어진다. 즉 B는 $(e)$ 에, C는 $(c)$ 에 짝지어진다.

원본 교재 풀이(영어)

Since $1^x=1$ for any $x$ , we see that $(b)$ is just the constant function $y=1$ , so D matches to $(b)$ .

Since $2^{-x}=\frac{1}{2^x}=\left(\frac{1}{2}\right)^x$ , functions $(a)$ and $(d)$ are the same. This is the only function out of the lot that grows as $x\to-\infty$ and shrinks as $x \to \infty$ , so A matches to $(a)$ and $(d)$ .

This leaves B and C to match to $(c)$ and $(e)$ . Since $3>2$ , when $x>0$ , $3^x>2^x$ . So, $(e)$ matches to the function that grows more quickly to the right of the $x$ -axis: B matches to $(e)$ , and C matches to $(c)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.7절 · 3번

# 지수함수와 로그함수의 미분그래프·표 해석기본자동 분류

미분법 전체 문제