정적분과 급수(구분구적법)

$2^2+3^2+4^2 = 29$

$-6-2+2+6+10=10$

$0-1+0+1+0 = 0$

$5+5+\ldots+5=50$

$1+1/2+1/3+1/4+1/5 = 137/60$

$-1+2-3+4-5+6=3$

$1/2+1/6+1/12+1/20=4/5$

$1+1+1+1+1+1=6$

답은 여러 가지일 수 있다. $\sum_{i=1}^5 3i$

답은 여러 가지일 수 있다. $\sum_{i=0}^8 (i^2-1)$

답은 여러 가지일 수 있다. $\sum_{i=1}^4 \frac{i}{i+1}$

답은 여러 가지가 가능하다. 예: $\sum_{i=0}^4 (-1)^ie^i$

주어진 적분의 적분 구간은 $a=-1$ 에서 $b=5$ 까지이다. 따라서 너비가 모두 같은 직사각형 세 개를 사용하면 공통 너비는 $\Delta x=\frac{b-a}{n} = 2$ 이다. 첫 번째 직사각형의 왼쪽 끝점은 $x_0=a=-1$ 이고, 두 번째 직사각형의 왼쪽 끝점은 $x_1=a+\Delta x=1$ 이며, 세 번째 직사각형의 왼쪽 끝점은 $x_2=a+2\Delta x=3$ 이다. 그러므로

$$\begin{aligned} \int_{-1}^5 x^3\,\,\mathrm{d}x \approx \big[f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)\big]\Delta x =\big[(-1)^3+1^3+3^3\big]\times2 =54 \end{aligned}$$

주어진 적분에서 적분 구간은 $a=-1$ 에서 $b=7$ 까지이다. 따라서 $\Delta x = \frac{(b-a)}{n}= \frac{(7-(-1))}{n} = \frac{8}{n}$ 이다. 첫 번째 부분구간의 왼쪽 끝점은 $x_0=a=-1$ 이다. 따라서 $i^{\rm th}$ 번째 구간의 오른쪽 끝점은 $x_i^* = -1+\frac{8i}{n}$ 이다. 그러므로:

$$\begin{aligned} \int_{-1}^{7}f(x)\,\,\mathrm{d}x =\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f\left(-1+\frac{8i}{n}\right)\frac{8}{n} \end{aligned}$$

• 선택 1: $\Delta x = \frac{2}{n}$, $x_i^*= \frac{2i}{n}$ 로 놓으면, 즉 $a=0$ 일 때 $x_i^* = a + i\Delta x$ 이므로

$$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2i/n}\cdot \frac{2}{n} \bigg) &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-x_i^*}\Delta x \bigg) \\ &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x \bigg) &&\text{여기서 $f(x) = e^{-1-x}$} \\ &=\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x&&\text{여기서 $a=x_0=0$ 이고 $b=x_n=2$} \\ &=\int_0^2 e^{-1-x}\ \,\mathrm{d}x \end{aligned}$$

• 선택 2: $\Delta x = \frac{2}{n}$, $x_i^*= 1+\frac{2i}{n}$ 로 놓으면, 즉 $a=1$ 일 때 $x_i^* = a + i\Delta x$ 이므로

$$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2i/n}\cdot \frac{2}{n} \bigg) &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-x_i^*}\Delta x \bigg) \\ &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x \bigg) &&\text{여기서 $f(x) = e^{-x}$} \\ &=\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x&&\text{여기서 $a=x_0=1$ 이고 $b=x_n=3$} \\ &=\int_1^3 e^{-x}\ \,\mathrm{d}x \end{aligned}$$

• 선택 3: $\Delta x = \frac{1}{n}$, $x_i^*= \frac{i}{n}$ 로 놓으면, 즉 $a=0$ 일 때 $x_i^* = a + i\Delta x$ 이므로

$$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2i/n}\cdot \frac{2}{n} \bigg) &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2x_i^*}\ 2\Delta x \bigg) \\ &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x \bigg) &&\text{여기서 $f(x) = 2e^{-1-2x}$} \\ &=\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x&&\text{여기서 $a=x_0=0$ 이고 $b=x_n=1$} \\ &=2\int_0^1 e^{-1-2x}\ \,\mathrm{d}x \end{aligned}$$

• 선택 4: $\Delta x = \frac{1}{n}$, $x_i^*= \frac{1}{2}+\frac{i}{n}$ 로 놓으면, 즉 $a=\frac{1}{2}$ 일 때 $x_i = a + i\Delta x$ 이므로

$$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2i/n}\cdot \frac{2}{n} \bigg) &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-2x_i}\ 2\Delta x \bigg) \\ &=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x \bigg) &&\text{여기서 $f(x) = 2e^{-2x}$} \\ &=\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x&&\text{여기서 $a=x_0=\frac{1}{2}$ 이고 $b=x_n=\frac{3}{2}$} \\ &=2\int_{1/2}^{3/2} e^{-2x}\ \,\mathrm{d}x \end{aligned}$$

• 풀이 1: $x_i^*=-2+\frac{2i}{n}$ 로 놓자. 그러면 $a=x_0=-2$, $b=x_n=0$ 이고 $\Delta x=\frac{2}{n}$ 이다. 따라서

$$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n\frac{2}{n}\sqrt{4-\left(-2+\frac{2i}{n}\right)^2} &= \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x\qquad \text{ with $f(x) = \sqrt{4-x^2}$ and $\Delta x = \frac{2}{n}$ } \\ &=\int_{-2}^0 \sqrt{4-x^2}\,\,\mathrm{d}x \end{aligned}$$

적분 $\int_{-2}^0 \sqrt{4-x^2}\,\,\mathrm{d}x$ 에서 $y=\sqrt{4-x^2}$ 은 $x^2+y^2=4$, $y\ge 0$ 과 같다. 따라서 이 적분은 원 $x^2+y^2=4$ (반지름이 $2$ 이다)의 위쪽 반원과 $-2\le x\le 0$ 에서의 $x$축 사이의 넓이를 나타내며, 이는 넓이가 $\frac{1}{4}\cdot \pi\, 2^2 = \pi$ 인 사분원이다.

• 풀이 2: $x_i^*=\frac{2i}{n}$ 로 놓자. 그러면 $a=x_0=0$, $b=x_n=2$ 이고 $\Delta x=\frac{2}{n}$ 이다. 따라서

$$\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n\frac{2}{n}\sqrt{4-\left(-2+\frac{2i}{n}\right)^2} &= \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x\quad \text{ with $f(x) = \sqrt{4-(-2+x)^2}$, $\Delta x = \frac{2}{n}$ } \\ &=\int_0^2 \sqrt{4-(-2+x)^2}\,\,\mathrm{d}x \end{aligned}$$

적분 $\int_{0}^2 \sqrt{4-(-2+x)^2}\,\,\mathrm{d}x$ 에서 $y=\sqrt{4-(x-2)^2}$ 은 $(x-2)^2+y^2=4$, $y\ge 0$ 과 같다. 따라서 이 적분은 원 $(x-2)^2+y^2=4$ (중심이 $(2,0)$ 이고 반지름이 $2$ 이다)의 위쪽 반원과 $0\le x\le 2$ 에서의 $x$축 사이의 넓이를 나타내며, 이는 넓이가 $\frac{1}{4}\cdot \pi\, 2^2 = \pi$ 인 사분원이다.

(a) 왼쪽 리만 합은 다음과 같이 정의된다.

$$\begin{aligned} L_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1})\Delta x \qquad\text{여기서 }x_i=a+i\Delta x \end{aligned}$$

$n=3$ 개의 구간으로 나누면 $\Delta x = \frac{b-a}{n} =\frac{3-0}{3}=1$ 이고, $x_0=0$, $x_1=1$, $x_2=2$ 이다. 함수 $f(x) = 7 + x^3$ 의 값은 $f(x_0) = 7+0^3=7$, $f(x_1) = 7+1^3=8$, $f(x_2) = 7+2^3=15$ 이므로 다음을 얻는다.

$$\begin{aligned} L_3 = \big[f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)\big]\Delta x = \big[7+8+15\big]\times 1= 30 \end{aligned}$$

(b) $n$ 개의 구간으로 나누면 $\Delta x = \frac{b-a}{n}=\frac{3}{n}$ 이고 $x_i = a+i\Delta x= \frac{3i}{n}$ 이다. 따라서 오른쪽 리만 합은 다음과 같다.

$$\begin{aligned} R_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x = \sum_{i=1}^{n} \left[ 7 + \frac{(3i)^3}{n^3} \right] \frac{3}{n} = \sum_{i=1}^{n} \left[ \frac{21}{n} + \frac{81\,i^3}{n^4} \right] \end{aligned}$$

합을 계산하면 다음과 같다.

$$\begin{aligned} R_n &= \left( \frac{21}{n} \sum_{i=1}^{n} 1 \right) + \left( \frac{81}{n^4} \sum_{i=1}^{n} i^3 \right)\\ &=\left( \frac{21}{n}\times n \right)+\left( \frac{81}{n^4} \times \frac{n^4 +2n^3 + n^2}{4} \right)\\ &= 21 + \frac{81}{4}(1 +2/n + 1/n^2) \end{aligned}$$

극한값을 정확하게 구하기 위해 $n \to \infty$ 를 취한다. $1/n$ 을 포함한 항은 0 으로 사라지므로 다음이 남는다.

$$\begin{aligned} \int_0^3 (7 + x^3) \,\,\mathrm{d}x = \lim_{n \to \infty} R_n = 21 + \frac{81}{4} = 41 \frac{1}{4} \end{aligned}$$

일반적으로 $n$ 개의 직사각형을 사용하여 적분 $\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x$ 를 오른쪽 끝점 리만 합으로 근사한 값은

$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n f(a+i\Delta x) \Delta x \end{aligned}$$

이다. 여기서 $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ 이다. 이 문제에서 $a=2$, $b=4$, $f(x)=x^2$ 이므로 $\Delta x=\frac{2}{n}$ 이고, 오른쪽 끝점 리만 합 근삿값은 다음과 같다.

$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n f\Big(2+\frac{2i}{n}\Big) \frac{2}{n}&= \sum_{i=1}^n \Big(2+\frac{2i}{n}\Big)^2 \frac{2}{n}\\ &=\sum_{i=1}^n \left(4+\frac{8i}{n}+\frac{4i^2}{n^2}\right)\frac{2}{n} \\&=\sum_{i=1}^n \left(\frac{8}{n}+\frac{16i}{n^2}+\frac{8i^2}{n^3}\right) \\&=\sum_{i=1}^n \frac{8}{n}+\sum_{i=1}^n \frac{16i}{n^2} +\sum_{i=1}^n \frac{8i^2}{n^3} \\ &=\frac{8}{n}\sum_{i=1}^n 1+\frac{16}{n^2}\sum_{i=1}^n i +\frac{8}{n^3}\sum_{i=1}^n i^2\\ &=\frac{8}{n}n + \frac{16}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2} +\frac{8}{n^3}\cdot\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \\ &=8 + 8\Big(1+\frac{1}{n}\Big) +\frac{4}{3}\Big(1+\frac{1}{n}\Big)\Big(2+\frac{1}{n}\Big) \\ \end{aligned}$$

따라서

$$\begin{aligned} \int_2^4 x^2\ \,\mathrm{d}x=\lim_{n\rightarrow\infty} \Big[8 + 8\Big(1+\frac{1}{n}\Big) +\frac{4}{3}\Big(1+\frac{1}{n}\Big) \big(2+\frac{1}{n}\Big)\Big] =8+8+\frac{4}{3}\times 2 =\frac{56}{3} \end{aligned}$$

이다.