여러 가지 함수의 적분 연습문제

41.OpenStax 1권 · 5.6절 · 38번우리말 번역

다음 문제에서 정적분의 값을 구하세요.

${\int }_{0}^{\pi /3}\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}dx$

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate the definite integral.

${\int }_{0}^{\pi /3}\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}dx$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\ln \left(\sqrt{3}-1\right)$

원본 교재 풀이(영어)

$\ln \left(\sqrt{3}-1\right)$

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# 여러 가지 함수의 적분계산자동 분류

42.OpenStax 1권 · 5.6절 · 39번우리말 번역

다음 문제에서 정적분의 값을 구하세요.

${\int }_{\pi /6}^{\pi /2}\csc xdx$

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate the definite integral.

${\int }_{\pi /6}^{\pi /2}\csc xdx$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 여러 가지 함수의 적분계산자동 분류

43.OpenStax 1권 · 5.6절 · 41번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 치환을 사용하여 적분하세요.

$\int \frac{x}{x-100}dx;u=x-100$

영어 원문 보기

In the following exercises, integrate using the indicated substitution.

$\int \frac{x}{x-100}dx;u=x-100$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 여러 가지 함수의 적분계산자동 분류

44.OpenStax 1권 · 5.6절 · 42번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 치환을 사용하여 적분하세요.

$\int \frac{y-1}{y+1}dy;u=y+1$

영어 원문 보기

In the following exercises, integrate using the indicated substitution.

$\int \frac{y-1}{y+1}dy;u=y+1$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$y-2\ln |y+1|+C$

원본 교재 풀이(영어)

$y-2\ln |y+1|+C$

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# 여러 가지 함수의 적분계산자동 분류

45.OpenStax 1권 · 5.6절 · 43번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 치환을 사용하여 적분하세요.

$\int \frac{1-{x}^{2}}{3x-{x}^{3}}dx;u=3x-{x}^{3}$

영어 원문 보기

In the following exercises, integrate using the indicated substitution.

$\int \frac{1-{x}^{2}}{3x-{x}^{3}}dx;u=3x-{x}^{3}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.6절 · 14번

# 여러 가지 함수의 적분계산자동 분류

46.OpenStax 1권 · 5.6절 · 44번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 치환을 사용하여 적분하세요.

$\int \frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}dx;u=\sin x-\cos x$

영어 원문 보기

In the following exercises, integrate using the indicated substitution.

$\int \frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}dx;u=\sin x-\cos x$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$\ln |\sin x-\cos x|+C$

원본 교재 풀이(영어)

$\ln |\sin x-\cos x|+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.6절 · 16번

# 여러 가지 함수의 적분계산자동 분류

47.OpenStax 1권 · 5.6절 · 45번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 치환을 사용하여 적분하세요.

$\int {e}^{2x}\sqrt{1-{e}^{2x}}dx;u={e}^{2x}$

영어 원문 보기

In the following exercises, integrate using the indicated substitution.

$\int {e}^{2x}\sqrt{1-{e}^{2x}}dx;u={e}^{2x}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.6절 · 44번

# 여러 가지 함수의 적분계산자동 분류

48.OpenStax 1권 · 5.6절 · 46번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 치환을 이용하여 적분하세요.

$\int \ln (x)\frac{\sqrt{1-{(\ln x)}^{2}}}{x}dx;u=\ln x$

영어 원문 보기

In the following exercises, integrate using the indicated substitution.

$\int \ln (x)\frac{\sqrt{1-{(\ln x)}^{2}}}{x}dx;u=\ln x$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$-\frac{1}{3}{(1-(\ln {x)}^{2})}^{3/2}+C$

원본 교재 풀이(영어)

$-\frac{1}{3}{(1-(\ln {x)}^{2})}^{3/2}+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.6절 · 14번

# 여러 가지 함수의 적분계산자동 분류

49.OpenStax 1권 · 5.6절 · 47번우리말 번역

다음 연습문제에서 오른쪽 끝점 근사는 정확한 넓이를 과대평가합니까, 과소평가합니까? 오른쪽 끝점 추정값 R₅₀ 을 계산하고 정확한 넓이를 구하세요.

[계산기 사용] $[0,1]$ 에서 $y={e}^{x}$

영어 원문 보기

In the following exercises, does the right-endpoint approximation overestimate or underestimate the exact area? Calculate the right endpoint estimate R₅₀ and solve for the exact area.

[T] $y={e}^{x}$ over $[0,1]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.6절 · 42번

# 여러 가지 함수의 적분계산자동 분류

50.OpenStax 1권 · 5.6절 · 48번우리말 번역

다음 연습문제에서, 오른쪽 끝점 근사는 정확한 넓이를 과대평가하는지 과소평가하는지 판단하세요. 오른쪽 끝점 추정값 R₅₀을 계산하고 정확한 넓이를 구하세요.

[계산기 사용] $y={e}^{-x}$ (구간 $[0,1]$ )

영어 원문 보기

In the following exercises, does the right-endpoint approximation overestimate or underestimate the exact area? Calculate the right endpoint estimate R₅₀ and solve for the exact area.

[T] $y={e}^{-x}$ over $[0,1]$

정답·풀이 보기

정확한 값: $\frac{e-1}{e},{R}_{50}=0.6258.$ f 가 감소하므로 오른쪽 끝점 추정값은 넓이를 과소평가한다.

원본 교재 풀이(영어)

Exact solution: $\frac{e-1}{e},{R}_{50}=0.6258.$ Since f is decreasing, the right endpoint estimate underestimates the area.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.6절 · 6번

# 여러 가지 함수의 적분계산자동 분류

51.OpenStax 1권 · 5.6절 · 49번우리말 번역

다음 연습문제에서, 오른쪽 끝점 근사는 정확한 넓이를 과대추정합니까, 과소추정합니까? 오른쪽 끝점 추정값 R₅₀ 을 계산하고 정확한 넓이를 구하세요.

[계산기 사용] 구간 $[1,2]$ 에서 $y=\ln (x)$

영어 원문 보기

In the following exercises, does the right-endpoint approximation overestimate or underestimate the exact area? Calculate the right endpoint estimate R₅₀ and solve for the exact area.

[T] $y=\ln (x)$ over $[1,2]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.3절 · 40번

# 여러 가지 함수의 적분계산자동 분류

52.OpenStax 1권 · 5.6절 · 50번우리말 번역

다음 문제에서 오른쪽 끝점 근사는 정확한 넓이를 과대평가하나요, 과소평가하나요? 오른쪽 끝점 추정값 R₅₀을 계산하고 정확한 넓이를 구하세요.

[계산기 사용] 구간 $[0,1]$ 에서 $y=\frac{x+1}{{x}^{2}+2x+6}$

영어 원문 보기

In the following exercises, does the right-endpoint approximation overestimate or underestimate the exact area? Calculate the right endpoint estimate R₅₀ and solve for the exact area.

[T] $y=\frac{x+1}{{x}^{2}+2x+6}$ over $[0,1]$

정답·풀이 보기

정확한 값: $\frac{2\ln (3)-\ln (6)}{2},{R}_{50}=0.2033$ . f 는 증가하므로 오른쪽 끝점 추정값은 넓이를 과대평가한다.

원본 교재 풀이(영어)

Exact solution: $\frac{2\ln (3)-\ln (6)}{2},{R}_{50}=0.2033.$ Since f is increasing, the right endpoint estimate overestimates the area.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.6절 · 52번

# 여러 가지 함수의 적분계산자동 분류

53.OpenStax 1권 · 5.6절 · 51번우리말 번역

다음 연습문제에서, 오른쪽 끝점 근사는 정확한 넓이를 과대평가합니까, 과소평가합니까? 오른쪽 끝점 추정값 R₅₀ 을 계산하고 정확한 넓이를 구하세요.

[계산기 사용] 구간 $[-1,0]$ 에서 $y={2}^{x}$

영어 원문 보기

In the following exercises, does the right-endpoint approximation overestimate or underestimate the exact area? Calculate the right endpoint estimate R₅₀ and solve for the exact area.

[T] $y={2}^{x}$ over $[-1,0]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.6절 · 6번

# 여러 가지 함수의 적분계산자동 분류

54.OpenStax 1권 · 5.6절 · 52번우리말 번역

다음 연습문제에서 오른쪽 끝점 근사가 정확한 넓이를 과대평가하는지 과소평가하는지 판단하세요. 오른쪽 끝점 어림값 R₅₀ 을 계산하고 정확한 넓이를 구하세요.

[계산기 사용] $y=-{2}^{-x}$ , 구간 $[0,1]$

영어 원문 보기

In the following exercises, does the right-endpoint approximation overestimate or underestimate the exact area? Calculate the right endpoint estimate R₅₀ and solve for the exact area.

[T] $y=-{2}^{-x}$ over $[0,1]$

정답·풀이 보기

정확한 값: $-\frac{1}{\ln (4)},{R}_{50}=-0.7164.$ f 는 이 구간에서 음수이고 증가하므로, 오른쪽 끝점 어림값은 적분의 값을 과대평가하지만 영역의 넓이(적분의 절댓값)는 과소평가한다.

원본 교재 풀이(영어)

Exact solution: $-\frac{1}{\ln (4)},{R}_{50}=-0.7164.$ Since f is negative and increasing on the interval, the right-endpoint estimate overestimates the value of the integral, but it underestimates the area of the region (absolute value of the integral).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.6절 · 54번

# 여러 가지 함수의 적분계산자동 분류

55.OpenStax 1권 · 5.6절 · 61번우리말 번역

모든 x 에 대해 $f(x)>0$ 이고 f 와 g 가 미분가능하다고 하자. 항등식 ${f}^{g}={e}^{g\ln f}$ 와 연쇄 법칙을 이용하여 ${f}^{g}$ 의 도함수를 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose that $f(x)>0$ for all x and that f and g are differentiable. Use the identity ${f}^{g}={e}^{g\ln f}$ and the chain rule to find the derivative of ${f}^{g}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.6절 · 58번

# 여러 가지 함수의 적분계산자동 분류

56.OpenStax 1권 · 5.6절 · 62번우리말 번역

이전 연습문제를 이용하여 $h(x)={x}^{x}(1+\ln x)$ 의 부정적분을 구하고 ${\int }_{2}^{3}{x}^{x}(1+\ln x)dx$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Use the previous exercise to find the antiderivative of $h(x)={x}^{x}(1+\ln x)$ and evaluate ${\int }_{2}^{3}{x}^{x}(1+\ln x)dx.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

23

원본 교재 풀이(영어)

23

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.6절 · 2번

# 여러 가지 함수의 적분계산자동 분류

57.OpenStax 1권 · 5.6절 · 64번우리말 번역

다음 문제들은 정의 $\ln (x)={\int }_{1}^{x}\frac{dt}{t}$ 에서 출발하여, 정적분의 성질을 이용하고 다른 가정은 하지 않은 채 자연로그의 기본 성질을 유도하기 위한 것이다.

항등식 $\ln (x)={\int }_{1}^{x}\frac{dt}{t}$ 를 이용하여 항등식 $\ln \left(\frac{1}{x}\right)=-\ln x$ 를 유도하세요.

영어 원문 보기

The following exercises are intended to derive the fundamental properties of the natural log starting from the definition $\ln (x)={\int }_{1}^{x}\frac{dt}{t},$ using properties of the definite integral and making no further assumptions.

Use the identity $\ln (x)={\int }_{1}^{x}\frac{dt}{t}$ to derive the identity $\ln \left(\frac{1}{x}\right)=-\ln x.$

정답·풀이 보기

$x>1,\text{따라서}\,\frac{1}{x}<1$ 이라고 가정해도 된다. 그러면 ${\int }_{1}^{1/x}\frac{dt}{t}$ 이다. 이제 $u=\frac{1}{t}$ 로 치환하면 $du=-\frac{dt}{{t}^{2}}$ 이고 $\frac{du}{u}=-\frac{dt}{t}$ 이며, 적분 구간의 끝점을 바꾸면 ${\int }_{1}^{1/x}\frac{dt}{t}=-{\int }_{1}^{x}\frac{du}{u}=-\ln x$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

We may assume that $x>1,\text{so}\,\frac{1}{x}<1.$ Then, ${\int }_{1}^{1/x}\frac{dt}{t}.$ Now make the substitution $u=\frac{1}{t},$ so $du=-\frac{dt}{{t}^{2}}$ and $\frac{du}{u}=-\frac{dt}{t},$ and change endpoints: ${\int }_{1}^{1/x}\frac{dt}{t}=-{\int }_{1}^{x}\frac{du}{u}=-\ln x.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.6절 · 70번

# 여러 가지 함수의 적분계산자동 분류

58.OpenStax 1권 · 5.6절 · 67번우리말 번역

잠시 동안 ${e}^{x}$ 이 $\ln (x)$ 의 역함수라는 사실을 모른다고 가정하되, $\ln (x)$ 가 $(-\infty ,\infty )$ 에서 정의된 역함수를 가진다는 점은 기억하세요. 이 역함수를 E 라 하세요. 항등식 $\ln xy=\ln x+\ln y$ 를 이용하여 임의의 실수 a, b 에 대해 $E(a+b)=E(a)E(b)$ 임을 이끌어 내세요.

영어 원문 보기

Pretend, for the moment, that we do not know that ${e}^{x}$ is the inverse function of $\ln (x),$ but keep in mind that $\ln (x)$ has an inverse function defined on $(-\infty ,\infty ).$ Call it E. Use the identity $\ln xy=\ln x+\ln y$ to deduce that $E(a+b)=E(a)E(b)$ for any real numbers a, b.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.6절 · 12번

# 여러 가지 함수의 적분계산자동 분류

59.OpenStax 1권 · 5.6절 · 70번우리말 번역

[계산기 사용] 확률에서 정규분포는 $p(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-{(x-\mu )}^{2}/2{\sigma }^{2}}$ 으로 주어집니다. 여기서 σ 는 표준편차이고 μ 는 평균입니다. 확률에서 표준정규분포 ${p}_{s}$ 는 $\mu =0\,\text{그리고}\,\sigma =1$ 인 경우에 해당합니다. ${\int }_{-1}^{1}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{{x}^{2}}{2}}dx$ 의 오른쪽 끝점 어림값 ${R}_{10}\,\text{와}\,{R}_{100}$ 을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] The normal distribution in probability is given by $p(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-{(x-\mu )}^{2}/2{\sigma }^{2}},$ where σ is the standard deviation and μ is the average. The standard normal distribution in probability, ${p}_{s},$ corresponds to $\mu =0\,\text{and}\,\sigma =1.$ Compute the right endpoint estimates ${R}_{10}\,\text{and}\,{R}_{100}$ of ${\int }_{-1}^{1}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{{x}^{2}}{2}}dx.$

정답·풀이 보기

${R}_{10}=0.6811,{R}_{100}=0.6827$

함수 f(x) = .5 * ( √2 * e^(-.5x^2) ) / √π 의 그래프이다. 위로 볼록한(아래로 열린) 곡선으로 y축에 대해 대칭이며, y축과 대략 (0, .4)에서 만난다. x가 양의 무한대와 음의 무한대로 갈 때 곡선은 0에 가까워진다. -1과 1 사이에는 곡선 아래 넓이를 오른쪽 끝점으로 어림하기 위해 직사각형 10개가 그려져 있다.

원본 교재 풀이(영어)

${R}_{10}=0.6811,{R}_{100}=0.6827$

A graph of the function f(x) = .5 * ( sqrt(2)*e^(-.5x^2)) / sqrt(pi). It is a downward opening curve that is symmetric across the y axis, crossing at about (0, .4). It approaches 0 as x goes to positive and negative infinity. Between 1 and -1, ten rectangles are drawn for a right endpoint estimate of the area under the curve.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.6절 · 46번

# 여러 가지 함수의 적분계산자동 분류

60.OpenStax 1권 · 5.6절 · 71번우리말 번역

다음 연습문제는 $\ln (x)={\int }_{1}^{x}\frac{dt}{t}$ 라는 정의에서 출발하여, 정적분의 성질을 이용하고 다른 가정은 더하지 않은 채 자연로그의 기본 성질을 유도하기 위한 것이다.

[계산기 사용] ${\int }_{-3}^{5}\frac{1}{2\sqrt{2\pi }}{e}^{-{(x-1)}^{2}/8}$ 의 오른쪽 끝점 어림값 ${R}_{50}\,\text{와}\,{R}_{100}$ 을 구하세요.

영어 원문 보기

The following exercises are intended to derive the fundamental properties of the natural log starting from the definition $\ln (x)={\int }_{1}^{x}\frac{dt}{t},$ using properties of the definite integral and making no further assumptions.

[T] Compute the right endpoint estimates ${R}_{50}\,\text{and}\,{R}_{100}$ of ${\int }_{-3}^{5}\frac{1}{2\sqrt{2\pi }}{e}^{-{(x-1)}^{2}/8}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.6절 · 18번

# 여러 가지 함수의 적분계산자동 분류