여러 가지 함수의 적분 연습문제

61.OpenStax 1권 · 5.6절 · 58번우리말 번역

$f(x)=x{e}^{-{x}^{2}}$ 의 적분을 계산하고, $x=N$ 과 $x=N+1$ 사이에서 그래프 $f(x)=x{e}^{-{x}^{2}}$ 아래 넓이가 0.01 이하가 되도록 하는 N 의 최솟값을 구하세요.

영어 원문 보기

Compute the integral of $f(x)=x{e}^{-{x}^{2}}$ and find the smallest value of N such that the area under the graph $f(x)=x{e}^{-{x}^{2}}$ between $x=N$ and $x=N+1$ is, at most, 0.01.

정답·풀이 보기

${\int }_{N}^{N+1}x{e}^{-{x}^{2}}dx=\frac{1}{2}({e}^{-{N}^{2}}-{e}^{-{(N+1)}^{2}})$ 이 값은 $N=2$ 일 때 0.01 보다 작다.

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{N}^{N+1}x{e}^{-{x}^{2}}dx=\frac{1}{2}({e}^{-{N}^{2}}-{e}^{-{(N+1)}^{2}}).$ The quantity is less than 0.01 when $N=2.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.6절 · 28번

# 여러 가지 함수의 적분그래프·표 해석자동 분류

62.OpenStax 1권 · 5.6절 · 59번우리말 번역

N 이 무한대로 갈 때, $x=0$ 과 $x=N$ 사이에서 $f(x)=x{e}^{-{x}^{2}}$ 의 그래프 아래 넓이의 극한을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the limit, as N tends to infinity, of the area under the graph of $f(x)=x{e}^{-{x}^{2}}$ between $x=0$ and $x=N.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.6절 · 26번

# 여러 가지 함수의 적분그래프·표 해석자동 분류

63.OpenStax 1권 · 5.6절 · 60번우리말 번역

다음 문제에서 $a\le x\le b$ 일 때 $f(x)\ge 0$ 이다. 적분하여 주어진 값 a 와 b 사이에서 $f(x)$ 의 그래프 아래 넓이를 구하세요.

$0<a\le b$ 일 때 ${\int }_{a}^{b}\frac{dt}{t}={\int }_{1/b}^{1/a}\frac{dt}{t}$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, $f(x)\ge 0$ for $a\le x\le b.$ Find the area under the graph of $f(x)$ between the given values a and b by integrating.

Show that ${\int }_{a}^{b}\frac{dt}{t}={\int }_{1/b}^{1/a}\frac{dt}{t}$ when $0<a\le b.$

정답·풀이 보기

${\int }_{a}^{b}\frac{dx}{x}=\ln (b)-\ln (a)=\ln \left(\frac{1}{a}\right)-\ln \left(\frac{1}{b}\right)={\int }_{1/b}^{1/a}\frac{dx}{x}$

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{a}^{b}\frac{dx}{x}=\ln (b)-\ln (a)=\ln \left(\frac{1}{a}\right)-\ln \left(\frac{1}{b}\right)={\int }_{1/b}^{1/a}\frac{dx}{x}$

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# 여러 가지 함수의 적분증명·논술자동 분류

64.OpenStax 1권 · 5.6절 · 61번우리말 번역

모든 x 에 대해 $f(x)>0$ 이고 f 와 g 가 미분가능하다고 하자. 항등식 ${f}^{g}={e}^{g\ln f}$ 와 연쇄 법칙을 이용하여 ${f}^{g}$ 의 도함수를 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose that $f(x)>0$ for all x and that f and g are differentiable. Use the identity ${f}^{g}={e}^{g\ln f}$ and the chain rule to find the derivative of ${f}^{g}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.6절 · 58번

# 여러 가지 함수의 적분계산자동 분류

65.OpenStax 1권 · 5.6절 · 62번우리말 번역

이전 연습문제를 이용하여 $h(x)={x}^{x}(1+\ln x)$ 의 부정적분을 구하고 ${\int }_{2}^{3}{x}^{x}(1+\ln x)dx$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Use the previous exercise to find the antiderivative of $h(x)={x}^{x}(1+\ln x)$ and evaluate ${\int }_{2}^{3}{x}^{x}(1+\ln x)dx.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

23

원본 교재 풀이(영어)

23

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.6절 · 2번

# 여러 가지 함수의 적분계산자동 분류

66.OpenStax 1권 · 5.6절 · 63번우리말 번역

$c>0$ 이면 $1/x$ 의 ac 에서 bc $(0<a<b)$ 까지의 적분이 $1/x$ 의 a 에서 b 까지의 적분과 같음을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that if $c>0,$ then the integral of $1/x$ from ac to bc $(0<a<b)$ is the same as the integral of $1/x$ from a to b.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 여러 가지 함수의 적분증명·논술자동 분류

67.OpenStax 1권 · 5.6절 · 64번우리말 번역

다음 문제들은 정의 $\ln (x)={\int }_{1}^{x}\frac{dt}{t}$ 에서 출발하여, 정적분의 성질을 이용하고 다른 가정은 하지 않은 채 자연로그의 기본 성질을 유도하기 위한 것이다.

항등식 $\ln (x)={\int }_{1}^{x}\frac{dt}{t}$ 를 이용하여 항등식 $\ln \left(\frac{1}{x}\right)=-\ln x$ 를 유도하세요.

영어 원문 보기

The following exercises are intended to derive the fundamental properties of the natural log starting from the definition $\ln (x)={\int }_{1}^{x}\frac{dt}{t},$ using properties of the definite integral and making no further assumptions.

Use the identity $\ln (x)={\int }_{1}^{x}\frac{dt}{t}$ to derive the identity $\ln \left(\frac{1}{x}\right)=-\ln x.$

정답·풀이 보기

$x>1,\text{따라서}\,\frac{1}{x}<1$ 이라고 가정해도 된다. 그러면 ${\int }_{1}^{1/x}\frac{dt}{t}$ 이다. 이제 $u=\frac{1}{t}$ 로 치환하면 $du=-\frac{dt}{{t}^{2}}$ 이고 $\frac{du}{u}=-\frac{dt}{t}$ 이며, 적분 구간의 끝점을 바꾸면 ${\int }_{1}^{1/x}\frac{dt}{t}=-{\int }_{1}^{x}\frac{du}{u}=-\ln x$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

We may assume that $x>1,\text{so}\,\frac{1}{x}<1.$ Then, ${\int }_{1}^{1/x}\frac{dt}{t}.$ Now make the substitution $u=\frac{1}{t},$ so $du=-\frac{dt}{{t}^{2}}$ and $\frac{du}{u}=-\frac{dt}{t},$ and change endpoints: ${\int }_{1}^{1/x}\frac{dt}{t}=-{\int }_{1}^{x}\frac{du}{u}=-\ln x.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.6절 · 70번

# 여러 가지 함수의 적분계산자동 분류

68.OpenStax 1권 · 5.6절 · 65번우리말 번역

적분 ${\int }_{1}^{xy}\frac{1}{t}dt$ 에서 변수를 치환하여 $\ln xy=\ln x+\ln y\,\text{단}\,x,y>0$ . 임을 보이세요.

영어 원문 보기

Use a change of variable in the integral ${\int }_{1}^{xy}\frac{1}{t}dt$ to show that $\ln xy=\ln x+\ln y\,\text{for}\,x,y>0.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.6절 · 48번

# 여러 가지 함수의 적분증명·논술자동 분류

69.OpenStax 1권 · 5.6절 · 66번우리말 번역

항등식 $\ln x={\int }_{1}^{x}\frac{dt}{t}$ 를 이용하여 $\ln (x)$ 가 $[0,\infty )$ 에서 x 의 증가 함수임을 보이고, 앞의 연습문제들을 이용하여 $\ln (x)$ 의 치역이 $(-\infty ,\infty )$ 임을 보이세요. 다른 가정 없이, $\ln (x)$ 가 $(-\infty ,\infty )$ 에서 정의된 역함수를 가짐을 결론지으세요.

영어 원문 보기

Use the identity $\ln x={\int }_{1}^{x}\frac{dt}{t}$ to show that $\ln (x)$ is an increasing function of x on $[0,\infty ),$ and use the previous exercises to show that the range of $\ln (x)$ is $(-\infty ,\infty ).$ Without any further assumptions, conclude that $\ln (x)$ has an inverse function defined on $(-\infty ,\infty ).$

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.6절 · 18번

# 여러 가지 함수의 적분증명·논술자동 분류

70.OpenStax 1권 · 5.6절 · 67번우리말 번역

잠시 동안 ${e}^{x}$ 이 $\ln (x)$ 의 역함수라는 사실을 모른다고 가정하되, $\ln (x)$ 가 $(-\infty ,\infty )$ 에서 정의된 역함수를 가진다는 점은 기억하세요. 이 역함수를 E 라 하세요. 항등식 $\ln xy=\ln x+\ln y$ 를 이용하여 임의의 실수 a, b 에 대해 $E(a+b)=E(a)E(b)$ 임을 이끌어 내세요.

영어 원문 보기

Pretend, for the moment, that we do not know that ${e}^{x}$ is the inverse function of $\ln (x),$ but keep in mind that $\ln (x)$ has an inverse function defined on $(-\infty ,\infty ).$ Call it E. Use the identity $\ln xy=\ln x+\ln y$ to deduce that $E(a+b)=E(a)E(b)$ for any real numbers a, b.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.6절 · 12번

# 여러 가지 함수의 적분계산자동 분류

71.OpenStax 1권 · 5.6절 · 68번우리말 번역

잠시 동안 ${e}^{x}$ 이 $\ln x$ 의 역함수라는 사실을 모른다고 가정하되, $\ln x$ 가 $(-\infty ,\infty )$ 에서 정의된 역함수를 가진다는 점은 기억하세요. 이 역함수를 E 라 하세요. $E'(t)=E(t)$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

Pretend, for the moment, that we do not know that ${e}^{x}$ is the inverse function of $\ln x,$ but keep in mind that $\ln x$ has an inverse function defined on $(-\infty ,\infty ).$ Call it E. Show that $E'(t)=E(t).$

정답·풀이 보기

$x=E(\ln (x))$ . 그러면 $1=\frac{E'(\ln x)}{x}\,\text{또는}\,x=E'(\ln x)$ . 임의의 수 t 는 어떤 x 에 대해 $t=\ln x$ 로 나타낼 수 있고, 이러한 t 에 대해 $x=E(t)$ 이므로, 임의의 $t,E'(t)=E(t)$ 가 성립한다.

원본 교재 풀이(영어)

$x=E(\ln (x)).$ Then, $1=\frac{E'(\ln x)}{x}\,\text{or}\,x=E'(\ln x).$ Since any number t can be written $t=\ln x$ for some x, and for such t we have $x=E(t),$ it follows that for any $t,E'(t)=E(t).$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.6절 · 44번

# 여러 가지 함수의 적분증명·논술자동 분류

72.OpenStax 1권 · 5.6절 · 69번우리말 번역

사인 적분은 $S(x)={\int }_{0}^{x}\frac{\sin t}{t}dt$ 로 정의되며 공학에서 중요한 양이다. 간단한 닫힌 형태의 식은 없지만, 큰 x 에 대해 그 거동을 어림할 수 있다. $k\ge 1,|S(2\pi k)-S(2\pi (k+1))|\le \frac{1}{k(2k+1)\pi }$ 임을 보이세요. $(Hint:\,\sin (t+\pi )=-\sin t)$

영어 원문 보기

The sine integral, defined as $S(x)={\int }_{0}^{x}\frac{\sin t}{t}dt$ is an important quantity in engineering. Although it does not have a simple closed formula, it is possible to estimate its behavior for large x. Show that for $k\ge 1,|S(2\pi k)-S(2\pi (k+1))|\le \frac{1}{k(2k+1)\pi }.$ $(Hint:\,\sin (t+\pi )=-\sin t)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.6절 · 42번

# 여러 가지 함수의 적분증명·논술자동 분류

73.OpenStax 1권 · 5.6절 · 70번우리말 번역

[계산기 사용] 확률에서 정규분포는 $p(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-{(x-\mu )}^{2}/2{\sigma }^{2}}$ 으로 주어집니다. 여기서 σ 는 표준편차이고 μ 는 평균입니다. 확률에서 표준정규분포 ${p}_{s}$ 는 $\mu =0\,\text{그리고}\,\sigma =1$ 인 경우에 해당합니다. ${\int }_{-1}^{1}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{{x}^{2}}{2}}dx$ 의 오른쪽 끝점 어림값 ${R}_{10}\,\text{와}\,{R}_{100}$ 을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] The normal distribution in probability is given by $p(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-{(x-\mu )}^{2}/2{\sigma }^{2}},$ where σ is the standard deviation and μ is the average. The standard normal distribution in probability, ${p}_{s},$ corresponds to $\mu =0\,\text{and}\,\sigma =1.$ Compute the right endpoint estimates ${R}_{10}\,\text{and}\,{R}_{100}$ of ${\int }_{-1}^{1}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{{x}^{2}}{2}}dx.$

정답·풀이 보기

${R}_{10}=0.6811,{R}_{100}=0.6827$

함수 f(x) = .5 * ( √2 * e^(-.5x^2) ) / √π 의 그래프이다. 위로 볼록한(아래로 열린) 곡선으로 y축에 대해 대칭이며, y축과 대략 (0, .4)에서 만난다. x가 양의 무한대와 음의 무한대로 갈 때 곡선은 0에 가까워진다. -1과 1 사이에는 곡선 아래 넓이를 오른쪽 끝점으로 어림하기 위해 직사각형 10개가 그려져 있다.

원본 교재 풀이(영어)

${R}_{10}=0.6811,{R}_{100}=0.6827$

A graph of the function f(x) = .5 * ( sqrt(2)*e^(-.5x^2)) / sqrt(pi). It is a downward opening curve that is symmetric across the y axis, crossing at about (0, .4). It approaches 0 as x goes to positive and negative infinity. Between 1 and -1, ten rectangles are drawn for a right endpoint estimate of the area under the curve.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.6절 · 46번

# 여러 가지 함수의 적분계산자동 분류

74.OpenStax 1권 · 5.6절 · 71번우리말 번역

다음 연습문제는 $\ln (x)={\int }_{1}^{x}\frac{dt}{t}$ 라는 정의에서 출발하여, 정적분의 성질을 이용하고 다른 가정은 더하지 않은 채 자연로그의 기본 성질을 유도하기 위한 것이다.

[계산기 사용] ${\int }_{-3}^{5}\frac{1}{2\sqrt{2\pi }}{e}^{-{(x-1)}^{2}/8}$ 의 오른쪽 끝점 어림값 ${R}_{50}\,\text{와}\,{R}_{100}$ 을 구하세요.

영어 원문 보기

The following exercises are intended to derive the fundamental properties of the natural log starting from the definition $\ln (x)={\int }_{1}^{x}\frac{dt}{t},$ using properties of the definite integral and making no further assumptions.

[T] Compute the right endpoint estimates ${R}_{50}\,\text{and}\,{R}_{100}$ of ${\int }_{-3}^{5}\frac{1}{2\sqrt{2\pi }}{e}^{-{(x-1)}^{2}/8}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.6절 · 18번

# 여러 가지 함수의 적분계산자동 분류