미적분의 기본정리 연습문제

41.OpenStax 1권 · 5.3절 · 48번우리말 번역

다음 연습문제에서 미적분의 기본정리를 이용하여 적분을 함수 $F(x)$ 로 나타내세요.

${\int }_{1}^{x}{e}^{t}dt$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the evaluation theorem to express the integral as a function $F(x).$

${\int }_{1}^{x}{e}^{t}dt$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$F(x)={e}^{x}-e$

원본 교재 풀이(영어)

$F(x)={e}^{x}-e$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5장 복습 · 11번

# 미적분의 기본정리계산자동 분류

42.OpenStax 1권 · 5.3절 · 49번우리말 번역

다음 연습문제에서 계산 정리를 이용하여 적분을 함수 $F(x)$ 로 나타내세요.

${\int }_{0}^{x}\cos tdt$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the evaluation theorem to express the integral as a function $F(x).$

${\int }_{0}^{x}\cos tdt$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.4절 · 4번

# 미적분의 기본정리계산자동 분류

43.OpenStax 1권 · 5.3절 · 50번우리말 번역

다음 연습문제에서 계산 정리를 이용하여 적분을 함수 $F(x)$ 로 나타내세요.

${\int }_{-x}^{x}\sin tdt$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the evaluation theorem to express the integral as a function $F(x).$

${\int }_{-x}^{x}\sin tdt$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$F(x)=0$

원본 교재 풀이(영어)

$F(x)=0$

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# 미적분의 기본정리계산자동 분류

44.OpenStax 1권 · 5.3절 · 51번우리말 번역

다음 문제에서 피적분함수의 근을 찾아 절댓값을 없앤 다음, 미적분의 기본정리 제2부를 이용하여 값을 구하세요.

${\int }_{-2}^{3}|x|dx$

영어 원문 보기

In the following exercises, identify the roots of the integrand to remove absolute values, then evaluate using the Fundamental Theorem of Calculus, Part 2.

${\int }_{-2}^{3}|x|dx$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5장 복습 · 25번

# 미적분의 기본정리계산자동 분류

45.OpenStax 1권 · 5.3절 · 52번우리말 번역

다음 문제에서 피적분함수의 근을 찾아 절댓값을 없앤 다음, 미적분의 기본정리 제2부를 이용하여 값을 구하세요.

${\int }_{-2}^{4}|{t}^{2}-2t-3|dt$

영어 원문 보기

In the following exercises, identify the roots of the integrand to remove absolute values, then evaluate using the Fundamental Theorem of Calculus, Part 2.

${\int }_{-2}^{4}|{t}^{2}-2t-3|dt$

정답·풀이 보기

${\int }_{-2}^{-1}({t}^{2}-2t-3)dt-{\int }_{-1}^{3}({t}^{2}-2t-3)dt+{\int }_{3}^{4}({t}^{2}-2t-3)dt=\frac{46}{3}$

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{-2}^{-1}({t}^{2}-2t-3)dt-{\int }_{-1}^{3}({t}^{2}-2t-3)dt+{\int }_{3}^{4}({t}^{2}-2t-3)dt=\frac{46}{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.3절 · 50번

# 미적분의 기본정리계산자동 분류

46.OpenStax 1권 · 5.3절 · 53번우리말 번역

다음 문제에서 피적분함수의 근을 찾아 절댓값을 없앤 다음, 미적분의 기본정리 제2부를 이용하여 값을 구하세요.

${\int }_{0}^{\pi }|\cos t|dt$

영어 원문 보기

In the following exercises, identify the roots of the integrand to remove absolute values, then evaluate using the Fundamental Theorem of Calculus, Part 2.

${\int }_{0}^{\pi }|\cos t|dt$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.3절 · 62번

# 미적분의 기본정리계산자동 분류

47.OpenStax 1권 · 5.3절 · 54번우리말 번역

다음 문제에서 피적분함수의 근을 찾아 절댓값을 없앤 다음, 미적분의 기본정리 제2부를 이용하여 값을 구하세요.

${\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}|\sin t|dt$

영어 원문 보기

In the following exercises, identify the roots of the integrand to remove absolute values, then evaluate using the Fundamental Theorem of Calculus, Part 2.

${\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}|\sin t|dt$

정답·풀이 보기

$-{\int }_{-\pi /2}^{0}\sin tdt+{\int }_{0}^{\pi /2}\sin tdt=2$

원본 교재 풀이(영어)

$-{\int }_{-\pi /2}^{0}\sin tdt+{\int }_{0}^{\pi /2}\sin tdt=2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.3절 · 52번

# 미적분의 기본정리계산자동 분류

48.OpenStax 1권 · 5.3절 · 56번우리말 번역

미국의 1년 동안 휘발유 소비율이 $\left(11.21-\cos \left(\frac{\pi t}{6}\right)\right)\,\times \,{10}^{9}$ gal/mo 꼴의 사인 함수로 모델링된다고 가정하세요.

a. 월평균 소비량은 얼마이며, 시각 $t$ 에서의 소비율이 평균 소비율과 같게 되는 $t$ 의 값은 무엇인지 구하세요. b. 미국에서 1년 동안 소비되는 휘발유의 양(갤런)을 구하세요. c. 4월 초 $(t=3)$ 부터 9월 말 $(t=9)$ 까지 기간 동안의 미국 월평균 휘발유 소비량을 나타내는 적분을 쓰세요.

영어 원문 보기

Suppose the rate of gasoline consumption over the course of a year in the United States can be modeled by a sinusoidal function of the form $\left(11.21-\cos \left(\frac{\pi t}{6}\right)\right)\,\times \,{10}^{9}$ gal/mo.

a. What is the average monthly consumption, and for which values of t is the rate at time t equal to the average rate? b. What is the number of gallons of gasoline consumed in the United States in a year? c. Write an integral that expresses the average monthly U.S. gas consumption during the part of the year between the beginning of April $(t=3)$ and the end of September $(t=9).$

정답·풀이 보기

a. $\cos \left(\frac{\pi t}{6}\right)$ 의 주기가 12이고 어떤 주기에 대해서도 적분값이 0이므로 평균은 $11.21\,\times \,{10}^{9}$ 이다. 소비율이 평균과 같아지는 것은 $\cos \left(\frac{\pi t}{6}\right)=0$ 일 때이며, 즉 $t=3$ 일 때와 $t=9$ 일 때이다. b. 총소비량은 평균 소비율에 기간을 곱한 값이므로 $11.21\,\times \,12\,\times \,{10}^{9}=1.35\,\times \,{10}^{11}$ 이다. c. ${10}^{9}\left(11.21-\frac{1}{6}{\int }_{3}^{9}\cos \left(\frac{\pi t}{6}\right)dt\right)={10}^{9}\left(11.21+\frac{2}{\pi }\right)=11.84x{10}^{9}$

원본 교재 풀이(영어)

a. The average is $11.21\,\times \,{10}^{9}$ since $\cos \left(\frac{\pi t}{6}\right)$ has period 12 and integral 0 over any period. Consumption is equal to the average when $\cos \left(\frac{\pi t}{6}\right)=0,$ when $t=3,$ and when $t=9.$ b. Total consumption is the average rate times duration: $11.21\,\times \,12\,\times \,{10}^{9}=1.35\,\times \,{10}^{11}$ c. ${10}^{9}\left(11.21-\frac{1}{6}{\int }_{3}^{9}\cos \left(\frac{\pi t}{6}\right)dt\right)={10}^{9}\left(11.21+\frac{2}{\pi }\right)=11.84x{10}^{9}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.3절 · 16번

# 미적분의 기본정리계산자동 분류

49.OpenStax 1권 · 5.3절 · 57번우리말 번역

$f$ 가 $[a,b]$ 에서 연속이면 $f(c)=\frac{1}{b-a}{\int }_{a}^{b}f(t)dt$ 를 만족시키는 점 $c\in [a,b]$ 가 적어도 하나 존재하는 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Explain why, if f is continuous over $[a,b],$ there is at least one point $c\in [a,b]$ such that $f(c)=\frac{1}{b-a}{\int }_{a}^{b}f(t)dt.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.3절 · 60번

# 미적분의 기본정리계산자동 분류

50.OpenStax 1권 · 5.3절 · 58번우리말 번역

$f$ 가 $[a,b]$ 에서 연속이고 상수 함수가 아니면, $f(M)>\frac{1}{b-a}{\int }_{a}^{b}f(t)dt$ 를 만족시키는 점 $M\in [a,b]$ 가 적어도 하나 존재하고, $f(m)<\frac{1}{b-a}{\int }_{a}^{b}f(t)dt$ 를 만족시키는 점 $m\in [a,b]$ 가 적어도 하나 존재하는 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Explain why, if f is continuous over $[a,b]$ and is not equal to a constant, there is at least one point $M\in [a,b]$ such that $f(M)>\frac{1}{b-a}{\int }_{a}^{b}f(t)dt$ and at least one point $m\in [a,b]$ such that $f(m)<\frac{1}{b-a}{\int }_{a}^{b}f(t)dt.$

정답·풀이 보기

$f$ 가 상수 함수가 아니면 $f$ 의 평균은 최댓값보다 (최댓값)보다 작고 최솟값보다 크며, 이 최댓값과 최솟값은 최대·최소 정리에 의해 $[a,b]$ 에서 실제로 취해진다.

원본 교재 풀이(영어)

If f is not constant, then its average is strictly smaller than the maximum and larger than the minimum, which are attained over $[a,b]$ by the extreme value theorem.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.3절 · 49번

# 미적분의 기본정리계산자동 분류

51.OpenStax 1권 · 5.3절 · 61번우리말 번역

앞에서 암시했듯이, 케플러의 법칙에 따르면 지구의 궤도는 태양을 한 초점으로 하는 타원이다. 지구가 태양 둘레를 도는 궤도의 근일점은 147,098,290 km 이고 원일점은 152,098,232 km 이다.

a. 장축을 x축 위에 놓고, 지구에서 태양까지의 평균 거리를 구하세요. b. 천문단위(AU)의 고전적인 정의는 지구에서 태양까지의 거리이며, 그 값은 근일점 거리와 원일점 거리의 평균으로 계산되었다. 이 정의는 타당한가요?

영어 원문 보기

As implied earlier, according to Kepler’s laws, Earth’s orbit is an ellipse with the Sun at one focus. The perihelion for Earth’s orbit around the Sun is 147,098,290 km and the aphelion is 152,098,232 km.

a. By placing the major axis along the x-axis, find the average distance from Earth to the Sun. b. The classic definition of an astronomical unit (AU) is the distance from Earth to the Sun, and its value was computed as the average of the perihelion and aphelion distances. Is this definition justified?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.3절 · 22번

# 미적분의 기본정리계산자동 분류

52.OpenStax 1권 · 5.3절 · 62번우리말 번역

태양과 행성 사이의 만유인력의 크기는 $F(\theta )=\frac{GmM}{{r}^{2}(\theta )}$ 이다. 여기서 m 은 행성의 질량, M 은 태양의 질량, G 는 만유인력 상수이고, $r(\theta )$ 는 행성이 궤도의 장축과 각 θ 를 이룰 때 태양과 행성 사이의 거리이다. M, m 과 타원의 매개변수 a, b (장축과 단축의 반 길이)가 주어졌다고 가정할 때, 태양과 행성 사이의 평균 만유인력을 $G,m,M,a,b$ 로 나타내는 적분을 세우세요. 단, 값을 구하지는 마세요.

영어 원문 보기

The force of gravitational attraction between the Sun and a planet is $F(\theta )=\frac{GmM}{{r}^{2}(\theta )},$ where m is the mass of the planet, M is the mass of the Sun, G is a universal constant, and $r(\theta )$ is the distance between the Sun and the planet when the planet is at an angle θ with the major axis of its orbit. Assuming that M, m, and the ellipse parameters a and b (half-lengths of the major and minor axes) are given, set up—but do not evaluate—an integral that expresses in terms of $G,m,M,a,b$ the average gravitational force between the Sun and the planet.

정답·풀이 보기

평균 만유인력 = $\frac{GmM}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\frac{1}{{\left(a+\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}\cos \theta \right)}^{2}}d\theta .$

원본 교재 풀이(영어)

Mean gravitational force = $\frac{GmM}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\frac{1}{{\left(a+\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}\cos \theta \right)}^{2}}d\theta .$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.3절 · 10번

# 미적분의 기본정리계산자동 분류

53.OpenStax 1권 · 5장 복습 · 5번우리말 번역

다음 함수에 대해 주어진 구간에서 리만 합 ${L}_{4}\,\text{그리고}\,{R}_{4}$ 의 값을 구하세요. 가능하면 정확한 답과 비교하고, 그렇지 않으면 계산기를 이용하여 답을 구하세요.

$y=3{x}^{2}-2x+1$ , 구간 $[-1,1]$

영어 원문 보기

Evaluate the Riemann sums ${L}_{4}\,\text{and}\,{R}_{4}$ for the following functions over the specified interval. Compare your answer with the exact answer, when possible, or use a calculator to determine the answer.

$y=3{x}^{2}-2x+1$ over $[-1,1]$

정답·풀이 보기

${L}_{4}=5.25,{R}_{4}=3.25$ , 정확한 답: 4

원본 교재 풀이(영어)

${L}_{4}=5.25,{R}_{4}=3.25,$ exact answer: 4

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.3절 · 8번

# 미적분의 기본정리계산자동 분류

54.OpenStax 1권 · 5장 복습 · 6번우리말 번역

다음 함수에 대해 주어진 구간에서 리만 합 ${L}_{4}\,\text{와}\,{R}_{4}$ 의 값을 구하세요. 가능하면 정확한 값과 비교하고, 그렇지 않으면 계산기를 사용하여 값을 구하세요.

$y=\ln ({x}^{2}+1)$ , 구간 $[0,e]$

영어 원문 보기

Evaluate the Riemann sums ${L}_{4}\,\text{and}\,{R}_{4}$ for the following functions over the specified interval. Compare your answer with the exact answer, when possible, or use a calculator to determine the answer.

$y=\ln ({x}^{2}+1)$ over $[0,e]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.3절 · 24번

# 미적분의 기본정리계산자동 분류

55.OpenStax 1권 · 5장 복습 · 7번우리말 번역

다음 함수에 대해 주어진 구간에서 리만 합 ${L}_{4}\,\text{와}\,{R}_{4}$ 의 값을 구하세요. 가능하면 정확한 값과 비교하고, 그렇지 않으면 계산기를 사용하여 값을 구하세요.

$y={x}^{2}\sin x$ , 구간 $[0,\pi ]$

영어 원문 보기

Evaluate the Riemann sums ${L}_{4}\,\text{and}\,{R}_{4}$ for the following functions over the specified interval. Compare your answer with the exact answer, when possible, or use a calculator to determine the answer.

$y={x}^{2}\sin x$ over $[0,\pi ]$

정답·풀이 보기

${L}_{4}=5.364,{R}_{4}=5.364$ , 정확한 값: 5.870

원본 교재 풀이(영어)

${L}_{4}=5.364,{R}_{4}=5.364,$ exact answer: 5.870

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5장 복습 · 5번

# 미적분의 기본정리계산자동 분류

56.OpenStax 1권 · 5장 복습 · 8번우리말 번역

다음 함수에 대해 주어진 구간에서 리만 합 ${L}_{4}\,\text{와}\,{R}_{4}$ 의 값을 구하세요. 가능하면 정확한 값과 비교하고, 그렇지 않으면 계산기를 사용하여 값을 구하세요.

$y=\sqrt{x}+\frac{1}{x}$ , 구간 $[1,4]$

영어 원문 보기

Evaluate the Riemann sums ${L}_{4}\,\text{and}\,{R}_{4}$ for the following functions over the specified interval. Compare your answer with the exact answer, when possible, or use a calculator to determine the answer.