다변수 미분 전체 연습문제

361.APEX · 12.3절 · 29번대학 수준우리말 번역

연습문제 27–30에서 $f_x$ 와 $f_y$ 가 주어진 것과 같아지도록 함수 $z=f(x,y)$ 를 만드세요.

$f_x = 6xy-4y^2$ , $f_y = 3x^2-8xy+2$

영어 원문 보기

In Exercises 27–30, form a function $z=f(x,y)$ such that $f_x$ and $f_y$ match those given.

$f_x = 6xy-4y^2$ , $f_y = 3x^2-8xy+2$

정답·풀이 보기

$f(x,y) = 3x^2y-4xy^2+2y +C$ , 여기서 $C$ 는 임의의 상수이다.

원본 교재 풀이(영어)

$f(x,y) = 3x^2y-4xy^2+2y +C$ , where $C$ is any constant.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.3절 · 2번

# 편도함수계산자동 분류

362.APEX · 12.3절 · 30번대학 수준우리말 번역

연습문제 27–30에서 $f_x$ 와 $f_y$ 가 주어진 것과 같아지도록 함수 $z=f(x,y)$ 를 만드세요.

$\displaystyle f_x = \frac{2x}{x^2+y^2}$ , $\displaystyle f_y = \frac{2y}{x^2+y^2}$

영어 원문 보기

In Exercises 27–30, form a function $z=f(x,y)$ such that $f_x$ and $f_y$ match those given.

$\displaystyle f_x = \frac{2x}{x^2+y^2}$ , $\displaystyle f_y = \frac{2y}{x^2+y^2}$

정답·풀이 보기

$f(x,y) = \ln (x^2+y^2)+ C$ , 여기서 $C$ 는 임의의 상수이다.

원본 교재 풀이(영어)

$f(x,y) = \ln (x^2+y^2)+ C$ , where $C$ is any constant.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.3절 · 34번

# 편도함수계산자동 분류

363.APEX · 12.3절 · 31번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–34에서 $f_x$ , $f_y$ , $f_z$ , $f_{yz}$ , $f_{zy}$ 를 구하세요.

$\displaystyle f(x,y,z) = x^2e^{2y-3z}$

영어 원문 보기

In Exercises 31–34, find $f_x$ , $f_y$ , $f_z$ , $f_{yz}$ and $f_{zy}$ .

$\displaystyle f(x,y,z) = x^2e^{2y-3z}$

정답·풀이 보기

$f_x = 2xe^{2y-3z}$ , $f_y = 2x^2e^{2y-3z}$ , $f_z = -3x^2e^{2y-3z}$

$f_{yz} = -6x^2e^{2y-3z}$ , $f_{zy} = -6x^2e^{2y-3z}$

원본 교재 풀이(영어)

$f_x = 2xe^{2y-3z}$ , $f_y = 2x^2e^{2y-3z}$ , $f_z = -3x^2e^{2y-3z}$

$f_{yz} = -6x^2e^{2y-3z}$ , $f_{zy} = -6x^2e^{2y-3z}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.3절 · 6번

# 편도함수계산자동 분류

364.APEX · 12.3절 · 32번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–34에서 $f_x$ , $f_y$ , $f_z$ , $f_{yz}$ , $f_{zy}$ 를 구하세요.

$\displaystyle f(x,y,z) = x^3y^2+x^3z+y^2z$

영어 원문 보기

In Exercises 31–34, find $f_x$ , $f_y$ , $f_z$ , $f_{yz}$ and $f_{zy}$ .

$\displaystyle f(x,y,z) = x^3y^2+x^3z+y^2z$

정답·풀이 보기

$f_x = 3x^2y^2+3x^2z$ , $f_y = 2x^3y+2yz$ , $f_z = x^3+y^2$

$f_{yz} = 2y$ , $f_{zy} = 2y$

원본 교재 풀이(영어)

$f_x = 3x^2y^2+3x^2z$ , $f_y = 2x^3y+2yz$ , $f_z = x^3+y^2$

$f_{yz} = 2y$ , $f_{zy} = 2y$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.3절 · 5번

# 편도함수계산자동 분류

365.APEX · 12.3절 · 33번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–34에서 $f_x$ , $f_y$ , $f_z$ , $f_{yz}$ , $f_{zy}$ 를 구하세요.

$\displaystyle f(x,y,z) = \frac{3x}{7y^2z}$

영어 원문 보기

In Exercises 31–34, find $f_x$ , $f_y$ , $f_z$ , $f_{yz}$ and $f_{zy}$ .

$\displaystyle f(x,y,z) = \frac{3x}{7y^2z}$

정답·풀이 보기

$f_x = \frac{3}{7y^2z}$ , $f_y = -\frac{6x}{7y^3z}$ , $f_z = -\frac{3x}{7y^2z^2}$

$f_{yz} = \frac{6x}{7y^3z^2}$ , $f_{zy} = \frac{6x}{7y^3z^2}$

원본 교재 풀이(영어)

$f_x = \frac{3}{7y^2z}$ , $f_y = -\frac{6x}{7y^3z}$ , $f_z = -\frac{3x}{7y^2z^2}$

$f_{yz} = \frac{6x}{7y^3z^2}$ , $f_{zy} = \frac{6x}{7y^3z^2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.2절 · 10번

# 편도함수계산자동 분류

366.APEX · 12.3절 · 34번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–34에서 $f_x$ , $f_y$ , $f_z$ , $f_{yz}$ , $f_{zy}$ 를 구하세요.

$\displaystyle f(x,y,z) = \ln(xyz)$

영어 원문 보기

In Exercises 31–34, find $f_x$ , $f_y$ , $f_z$ , $f_{yz}$ and $f_{zy}$ .

$\displaystyle f(x,y,z) = \ln(xyz)$

정답·풀이 보기

$f_x = \frac1x$ , $f_y = \frac1y$ , $f_z = \frac1z$

$f_{yz} = 0$ , $f_{zy} = 0$

원본 교재 풀이(영어)

$f_x = \frac1x$ , $f_y = \frac1y$ , $f_z = \frac1z$

$f_{yz} = 0$ , $f_{zy} = 0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.2절 · 2번

# 편도함수계산자동 분류

367.APEX · 12.4절 · 5번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서 전미분 $dz$ 를 구하세요.

$z = x\sin y + x^2$

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, find the total differential $dz$ .

$z = x\sin y + x^2$

정답·풀이 보기

$dz = (\sin y + 2x)dx + (x\cos y)dy$

원본 교재 풀이(영어)

$dz = (\sin y + 2x)dx + (x\cos y)dy$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 41번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

368.APEX · 12.4절 · 6번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서 전미분 $dz$ 를 구하세요.

$z = (2x^2+3y)^2$

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, find the total differential $dz$ .

$z = (2x^2+3y)^2$

정답·풀이 보기

$dz = 8x(2x^2+3y)dx + 6(2x^2+3y)dy$

원본 교재 풀이(영어)

$dz = 8x(2x^2+3y)dx + 6(2x^2+3y)dy$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 7번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

369.APEX · 12.4절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8번에서 전미분 $dz$ 를 구하세요.

$z = 5x-7y$

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, find the total differential $dz$ .

$z = 5x-7y$

정답·풀이 보기

$dz = 5dx -7dy$

원본 교재 풀이(영어)

$dz = 5dx -7dy$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.5절 · 7번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

370.APEX · 12.4절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8번에서 전미분 $dz$ 를 구하세요.

$z = xe^{x+y}$

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, find the total differential $dz$ .

$z = xe^{x+y}$

정답·풀이 보기

$dz = (e^{x+y}+xe^{x+y})dx +xe^{x+y}dy$

원본 교재 풀이(영어)

$dz = (e^{x+y}+xe^{x+y})dx +xe^{x+y}dy$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 3번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

371.APEX · 12.4절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–12번에서 함수 $z=f(x,y)$ 가 주어져 있습니다. 전미분을 이용하여 요구된 근삿값을 구하세요.

$f(x,y) = \sqrt{x^2+y}$ . $f(3,7) = 4$ 임을 이용하여 $f(2.95,7.1)$ 을 어림하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 9–12, a function $z=f(x,y)$ is given. Give the indicated approximation using the total differential.

$f(x,y) = \sqrt{x^2+y}$ . Approximate $f(2.95,7.1)$ knowing $f(3,7) = 4$ .

정답·풀이 보기

$dz = \frac{x}{\sqrt{x^2+y}}dx + \frac{1}{2\sqrt{x^2+y}}dy$ , 이때 $dx = -0.05$ , $dy = .1$ 이다. $(3,7)$ 에서 $dz = 3/4(-0.05) + 1/8(.1) = -0.025$ 이므로 $f(2.95,7.1) \approx -0.025+4 = 3.975$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$dz = \frac{x}{\sqrt{x^2+y}}dx + \frac{1}{2\sqrt{x^2+y}}dy$ , with $dx = -0.05$ and $dy = .1$ . At $(3,7)$ , $dz = 3/4(-0.05) + 1/8(.1) = -0.025$ , so $f(2.95,7.1) \approx -0.025+4 = 3.975$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.5절 · 2번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

372.APEX · 12.4절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–12번에서 함수 $z=f(x,y)$ 가 주어져 있습니다. 전미분을 이용하여 요구된 근삿값을 구하세요.

$f(x,y) = \sin x\cos y$ . $f(0,0) = 0$ 임을 이용하여 $f(0.1,-0.1)$ 을 어림하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 9–12, a function $z=f(x,y)$ is given. Give the indicated approximation using the total differential.

$f(x,y) = \sin x\cos y$ . Approximate $f(0.1,-0.1)$ knowing $f(0,0) = 0$ .

정답·풀이 보기

$dz = (\cos x\cos y)dx - (\sin x\sin y)dy$ , 이때 $dx = 0.1$ , $dy = -0.1$ 이다. $(0,0)$ 에서 $dz = 1(.1) - (0)(-0.1) = 0.1$ 이므로 $f(0.1,-0.1) \approx 0.1+0 = 0.1$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$dz = (\cos x\cos y)dx - (\sin x\sin y)dy$ , with $dx = 0.1$ and $dy = -0.1$ . At $(0,0)$ , $dz = 1(.1) - (0)(-0.1) = 0.1$ , so $f(0.1,-0.1) \approx 0.1+0 = 0.1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 25번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

373.APEX · 12.4절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–12번에서 함수 $z=f(x,y)$ 가 주어져 있습니다. 전미분을 이용하여 요구된 근삿값을 구하세요.

$f(x,y) = x^2y-xy^2$ . $f(2,3) = -6$ 임을 이용하여 $f(2.04,3.06)$ 을 어림하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 9–12, a function $z=f(x,y)$ is given. Give the indicated approximation using the total differential.

$f(x,y) = x^2y-xy^2$ . Approximate $f(2.04,3.06)$ knowing $f(2,3) = -6$ .

정답·풀이 보기

$dz = (2xy-y^2)dx + (x^2-2xy)dy$ , 이때 $dx = 0.04$ , $dy = 0.06$ 이다. $(2,3)$ 에서 $dz = 3(0.04) + (-8)(0.06) = -0.36$ 이므로 $f(2.04,3.06) \approx -0.36-6 = -6.36$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$dz = (2xy-y^2)dx + (x^2-2xy)dy$ , with $dx = 0.04$ and $dy = 0.06$ . At $(2,3)$ , $dz = 3(0.04) + (-8)(0.06) = -0.36$ , so $f(2.04,3.06) \approx -0.36-6 = -6.36$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 23번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

374.APEX · 12.4절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–12번에서 함수 $z=f(x,y)$ 가 주어져 있다. 전미분을 이용하여 지시된 근삿값을 구하세요.

$f(x,y) = \ln(x-y)$ . $f(5,4) = 0$ 임을 이용하여 $f(5.1,3.98)$ 의 근삿값을 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 9–12, a function $z=f(x,y)$ is given. Give the indicated approximation using the total differential.

$f(x,y) = \ln(x-y)$ . Approximate $f(5.1,3.98)$ knowing $f(5,4) = 0$ .

정답·풀이 보기

$dz = \frac1{x-y}dx -\frac{1}{x-y}dy$ 이고, $dx = 0.1$ , $dy = -0.02$ 이다. $(5,4)$ 에서 $dz = 1(0.1) + (-1)(-0.02) = 0.12$ 이므로 $f(5.1,3.98) \approx 0.12+0 = 0.12$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$dz = \frac1{x-y}dx -\frac{1}{x-y}dy$ , with $dx = 0.1$ and $dy = -0.02$ . At $(5,4)$ , $dz = 1(0.1) + (-1)(-0.02) = 0.12$ , so $f(5.1,3.98) \approx 0.12+0 = 0.12$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 16번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

375.APEX · 12.4절 · 16번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–16은 오차 근사와 민감도 분석에 관한 여러 가지 질문을 다룹니다.

먼 거리를 짧은 줄자보다 긴 줄자로 재는 것이 훨씬 낫다는 것은 "상식"입니다. 측정한 거리 $D$ 는 줄자의 길이 $\ell$ 과 줄자를 사용한 횟수 $n$ 의 곱으로 볼 수 있습니다. 예를 들어, 3' 줄자를 10번 사용하면 길이는 30'가 됩니다. 같은 거리를 12' 줄자로 재려면 줄자를 2.5번 사용하게 됩니다. (즉, $30=12\times 2.5$ .) 따라서 $D = n\ell$ 입니다.

줄자로 한 번 측정할 때마다 기록된 거리가 실제 거리와 1/16” 이내로 차이 난다고 가정합니다. (즉, $d\ell = 1/16'' \approx 0.005$ ft.) 미분을 이용하여, 먼 거리를 잴 때 긴 줄자를 쓰는 것이 더 낫다는 상식이 옳음을 보이세요.

영어 원문 보기

Exercises 13–16 ask a variety of questions dealing with approximating error and sensitivity analysis.

It is “common sense” that it is far better to measure a long distance with a long measuring tape rather than a short one. A measured distance $D$ can be viewed as the product of the length $\ell$ of a measuring tape times the number $n$ of times it was used. For instance, using a 3' tape 10 times gives a length of 30'. To measure the same distance with a 12' tape, we would use the tape 2.5 times. (I.e., $30=12\times 2.5$ .) Thus $D = n\ell$ .

Suppose each time a measurement is taken with the tape, the recorded distance is within 1/16” of the actual distance. (I.e., $d\ell = 1/16'' \approx 0.005$ ft). Using differentials, show why common sense proves correct in that it is better to use a long tape to measure long distances.

정답·풀이 보기

$D = n\ell$ 이므로 전미분은 $dD = \ell\, dn+ n\,d\ell$ 이다. 짧은 줄자로 측정하면 $n$ 이 커야 하므로, $n\,d\ell$ 은 긴 줄자를 사용할 때( $n$ 이 작을 때)보다 커진다.

원본 교재 풀이(영어)

With $D = n\ell$ , the total differential is $dD = \ell\, dn+ n\,d\ell.$ If one measures with a short tape, $n$ must be large and hence $n\,d\ell$ is going to be greater than when a large tape is used (wherein $n$ will be small).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 18번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

376.APEX · 12.4절 · 17번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–18에서 전미분 $dw$ 를 구하세요.

$w= x^2yz^3$

영어 원문 보기

In Exercises 17–18, find the total differential $dw$ .

$w= x^2yz^3$

정답·풀이 보기

$dw = 2xyz^3\,dx + x^2z^3\,dy + 3x^2yz^2\,dz$

원본 교재 풀이(영어)

$dw = 2xyz^3\,dx + x^2z^3\,dy + 3x^2yz^2\,dz$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 45번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

377.APEX · 12.4절 · 18번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–18에서 전미분 $dw$ 를 구하세요.

$w= e^x\sin y\ln z$

영어 원문 보기

In Exercises 17–18, find the total differential $dw$ .

$w= e^x\sin y\ln z$

정답·풀이 보기

$dw = e^x\sin y\ln z\,dx + e^x\cos y\ln z\,dy + e^x\sin y\frac1z\,dz$

원본 교재 풀이(영어)

$dw = e^x\sin y\ln z\,dx + e^x\cos y\ln z\,dy + e^x\sin y\frac1z\,dz$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 45번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

378.APEX · 12.4절 · 19번대학 수준우리말 번역

연습문제 19–22에서 주어진 정보와 전미분을 이용하여 주어진 값을 어림하세요.

$f(3,1) = 7$ , $f_x(3,1) = 9$ , $f_y(3,1) = -2$ . $f(3.05, 0.9)$ 를 어림하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 19–22, use the information provided and the total differential to make the given approximation.

$f(3,1) = 7$ , $f_x(3,1) = 9$ , $f_y(3,1) = -2$ . Approximate $f(3.05, 0.9)$ .

정답·풀이 보기

$dx = 0.05$ , $dy = -0.1$ . $dz = 9(.05)+(-2)(-0.1) = 0.65$ . So $f(3.05,0.9) \approx 7+0.65=7.65$ .

원본 교재 풀이(영어)

$dx = 0.05$ , $dy = -0.1$ . $dz = 9(.05)+(-2)(-0.1) = 0.65$ . So $f(3.05,0.9) \approx 7+0.65=7.65$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 19번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

379.APEX · 12.4절 · 20번대학 수준우리말 번역

연습문제 19–22에서 주어진 정보와 전미분을 이용하여 주어진 값을 어림하세요.

$f(-4,2) = 13$ , $f_x(-4,2) = 2.6$ , $f_y(-4,2) = 5.1$ . $f(-4.12, 2.07)$ 을 어림하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 19–22, use the information provided and the total differential to make the given approximation.

$f(-4,2) = 13$ , $f_x(-4,2) = 2.6$ , $f_y(-4,2) = 5.1$ . Approximate $f(-4.12, 2.07)$ .

정답·풀이 보기

$dx = -0.12$ , $dy = 0.07$ . $dz = 2.6(-.12)+(5.1)(0.07) = 0.045$ . So $f(-4.12, 2.07) \approx 13+0.045=13.045$ .

원본 교재 풀이(영어)

$dx = -0.12$ , $dy = 0.07$ . $dz = 2.6(-.12)+(5.1)(0.07) = 0.045$ . So $f(-4.12, 2.07) \approx 13+0.045=13.045$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.7절 · 3번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

380.APEX · 12.4절 · 21번대학 수준우리말 번역

연습문제 19–22에서, 주어진 정보와 전미분을 이용하여 주어진 값을 어림하세요.

$f(2,4,5) = -1$ , $f_x(2,4,5) = 2$ , $f_y(2,4,5) = -3$ , $f_z(2,4,5) = 3.7$ . $f(2.5,4.1,4.8)$ 의 값을 어림하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 19–22, use the information provided and the total differential to make the given approximation.

$f(2,4,5) = -1$ , $f_x(2,4,5) = 2$ , $f_y(2,4,5) = -3$ , $f_z(2,4,5) = 3.7$ . Approximate $f(2.5,4.1,4.8)$ .

정답·풀이 보기

$dx = 0.5$ , $dy = 0.1$ , $dz = -0.2$ .

$dw = 2(0.5) + (-3)(0.1) + 3.7(-0.2) = -0.04$ , so $f(2.5, 4.1, 4.8) \approx -1-0.04 = -1.04$ .

원본 교재 풀이(영어)

$dx = 0.5$ , $dy = 0.1$ , $dz = -0.2$ .

$dw = 2(0.5) + (-3)(0.1) + 3.7(-0.2) = -0.04$ , so $f(2.5, 4.1, 4.8) \approx -1-0.04 = -1.04$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 18번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

다변수 미분 전체 문제