다변수 미분 전체 연습문제

401.APEX · 12.7절 · 16번대학 수준우리말 번역

연습문제 15~18번에서, 주어진 제약 조건 아래에서 함수의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

$\displaystyle f(x,y) = 5x-7y$ , 영역은 $y=x^2$ 과 $y=1$ 로 둘러싸인 영역으로 제한한다.

영어 원문 보기

In Exercises 15–18, find the absolute maximum and minimum of the function subject to the given constraint.

$\displaystyle f(x,y) = 5x-7y$ , constrained to the region bounded by $y=x^2$ and $y=1$ .

정답·풀이 보기

이 영역에는 $(1,1)$ 과 $(-1,1)$ 에 두 개의 "꼭짓점"이 있다.

$y=1$ 을 따라서는 임계점이 없다.

$y=x^2$ 을 따라서는 $(5/14,25/196)\approx (0.357,0.128)$ 에 임계점이 있다.

함수 $f$ 자체는 임계점이 없다. 꼭짓점 $(1,1)$ , $(-1,1)$ 과 임계점 $(5/14,25/196)$ 에서 $f$ 의 값을 확인하면, 최댓값은 $(5/14,25/196,25/28) \approx (0.357,0.128,0.893)$ 에서 나타나고 최솟값은 $(-1,1,-12)$ 에서 나타난다.

원본 교재 풀이(영어)

The region has two “corners” at $(1,1)$ and $(-1,1)$ .

Along $y=1$ , there is no critical point.

Along $y=x^2$ , there is a critical point at $(5/14,25/196)\approx (0.357,0.128)$ .

The function $f$ itself has no critical points. Checking the value of $f$ at the corners $(1,1)$ , $(-1,1)$ and the critical point $(5/14,25/196)$ , we find the absolute maximum is at $(5/14,25/196,25/28) \approx (0.357,0.128,0.893)$ and the absolute minimum is at $(-1,1,-12)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 3번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

402.APEX · 12.7절 · 17번대학 수준우리말 번역

연습문제 15~18번에서, 주어진 제약 조건 아래에서 함수의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

$\displaystyle f(x,y) = x^2+2x+y^2+2y$ , 영역은 원 $x^2+y^2=4$ 로 둘러싸인 영역으로 제한한다.

영어 원문 보기

In Exercises 15–18, find the absolute maximum and minimum of the function subject to the given constraint.

$\displaystyle f(x,y) = x^2+2x+y^2+2y$ , constrained to the region bounded by the circle $x^2+y^2=4$ .

정답·풀이 보기

이 영역에는 "꼭짓점"이 없고, 매끄러운 경계만 있다.

원 $x^2+y^2=4$ 를 따라 임계점을 찾기 위해 $y^2$ 에 대해 풀면 $y^2=4-x^2$ 이다. 더 나아가 $y=\pm\sqrt{4-x^2}$ 로 쓸 수 있다.

$f$ 를 $f(x)=x^2+2x + (4-x^2) + 2\sqrt{4-x^2} = 2x+4+2\sqrt{4-x^2}$ 로 다시 쓸 수 있다. ( $-\sqrt{4-x^2}$ 는 나중에 다시 다룬다.) $f\,'(x)=0$ 을 풀면 $x=\sqrt{2} \Rightarrow y=\sqrt{2}$ 이다. 또한 $f\,'(x)$ 는 $x=\pm 2$ 에서 정의되지 않으며, 이때 $y=0$ 이다.

$y=-\sqrt{4-x^2}$ 을 이용하면 $f(x,y)$ 를 $f(x) = 2x+4-2\sqrt{4-x^2}$ 로 다시 쓸 수 있다. $f\,'(x) =0$ 을 풀면 $x=-\sqrt{2},\ y=-\sqrt{2}$ 이다. 이 경우에도 $f\,'(x)$ 는 $x=\pm 2$ 에서 정의되지 않는다.

함수 $z=f(x,y)$ 자체는 $(-1,-1)$ 에 임계점을 갖는다.

$(-1,-1)$ , $(\sqrt{2},\sqrt{2})$ , $(-\sqrt{2},-\sqrt{2})$ , $(2,0)$ , $(-2,0)$ 에서 $f$ 의 값을 확인하면, 최댓값은 $(\sqrt2,\sqrt2,4+4\sqrt2)$ 에서 나타나고 최솟값은 $(-1,-1,-2)$ 에서 나타난다.

원본 교재 풀이(영어)

The region has no “corners” or “vertices,” just a smooth edge.

To find critical points along the circle $x^2+y^2=4$ , we solve for $y^2$ : $y^2=4-x^2$ . We can go further and state $y=\pm\sqrt{4-x^2}$ .

We can rewrite $f$ as $f(x)=x^2+2x + (4-x^2) + 2\sqrt{4-x^2} = 2x+4+2\sqrt{4-x^2}$ . (We will return and use $-\sqrt{4-x^2}$ later.) Solving $f\,'(x)=0$ , we get $x=\sqrt{2} \Rightarrow y=\sqrt{2}$ . $f\,'(x)$ is also undefined at $x=\pm 2$ , where $y=0$ .

Using $y=-\sqrt{4-x^2}$ , we rewrite $f(x,y)$ as $f(x) = 2x+4-2\sqrt{4-x^2}$ . Solving $f\,'(x) =0$ , we get $x=-\sqrt{2},\ y=-\sqrt{2}$ . Again, $f\,'(x)$ is undefined at $x=\pm 2$ .

The function $z=f(x,y)$ itself has a critical point at $(-1,-1)$ .

Checking the value of $f$ at $(-1,-1)$ , $(\sqrt{2},\sqrt{2})$ , $(-\sqrt{2},-\sqrt{2})$ , $(2,0)$ and $(-2,0)$ , we find the absolute maximum is at $(\sqrt2,\sqrt2,4+4\sqrt2)$ and the absolute minimum is at $(-1,-1,-2)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 26번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

403.APEX · 12.7절 · 18번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–18에서, 주어진 제약 조건 아래에서 함수의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

$\displaystyle f(x,y) = 3y-2x^2$ , 포물선 $y=x^2+x-1$ 과 직선 $y=x$ 로 둘러싸인 영역으로 제한한다.

영어 원문 보기

In Exercises 15–18, find the absolute maximum and minimum of the function subject to the given constraint.

$\displaystyle f(x,y) = 3y-2x^2$ , constrained to the region bounded by the parabola $y=x^2+x-1$ and the line $y=x$ .

정답·풀이 보기

이 영역에는 $(-1,-1)$ 과 $(1,1)$ 에 두 개의 “꼭짓점”이 있다.

직선 $y=x$ 위에서 $f(x,y)$ 는 $f(x) = 3x-2x^2$ 이 된다. 이 직선 위에서 임계점은 $(3/4,3/4)$ 이다.

곡선 $y=x^2+x-1$ 위에서 $f(x,y)$ 는 $f(x) =x^2+3x-3$ 이 된다. 이 곡선 위의 임계점은 $(-3/2, -1/4)$ 이다. $x=-3/2$ 는 유계인 이 영역 밖에 있으므로 이 임계점은 무시한다.

함수 $f$ 자체에는 임계점이 없다.

$(-1,-1)$ , $(1,1)$ , $(3/4,3/4)$ 에서 $f$ 의 값을 확인하면, 최댓값은 $(3/4,3/4,9/8)$ 에서, 최솟값은 $(-1,-1,-5)$ 에서 나타난다.

원본 교재 풀이(영어)

The region has two “corners” at $(-1,-1)$ and $(1,1)$ .

Along the line $y=x$ , $f(x,y)$ becomes $f(x) = 3x-2x^2$ . Along this line, we have a critical point at $(3/4,3/4)$ .

Along the curve $y=x^2+x-1$ , $f(x,y)$ becomes $f(x) =x^2+3x-3$ . There is a critical point along this curve at $(-3/2, -1/4)$ . Since $x=-3/2$ lies outside our bounded region, we ignore this critical point.

The function $f$ itself has no critical points.

Checking the value of $f$ at $(-1,-1)$ , $(1,1)$ , $(3/4,3/4)$ , we find the absolute maximum is at $(3/4,3/4,9/8)$ and the absolute minimum is at $(-1,-1,-5)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 13번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

404.APEX · 12.8절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–12에서 함수 $z=f(x,y)$ , $x=g(t)$ , $y=h(t)$ 가 주어져 있다.

(a) 다변수 연쇄 법칙을 사용하여 $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ 를 구하세요. (b) 주어진 $t$ 의 값에서 $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ 의 값을 구하세요.

$z=3x+4y$ , $x=t^2$ , $y=2t$ ; $t=1$

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, functions $z=f(x,y)$ , $x=g(t)$ and $y=h(t)$ are given.

(a) Use the Multivariable Chain Rule to compute $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ . (b) Evaluate $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ at the indicated $t$ -value.

$z=3x+4y$ , $x=t^2$ , $y=2t$ ; $t=1$

정답·풀이 보기

(a) $\frac{dz}{dt} = 3(2t)+4(2) = 6t+8$ . (b) At $t=1$ , $\frac{dz}{dt} = 14$ .

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\frac{dz}{dt} = 3(2t)+4(2) = 6t+8$ . (b) At $t=1$ , $\frac{dz}{dt} = 14$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.8절 · 1번

# 극값과 안장점계산자동 분류

405.APEX · 12.8절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–12에서 함수 $z=f(x,y)$ , $x=g(t)$ , $y=h(t)$ 가 주어져 있다.

(a) 다변수 연쇄 법칙을 사용하여 $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ 를 구하세요. (b) 주어진 $t$ 의 값에서 $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ 의 값을 구하세요.

$\displaystyle z=x^2-y^2$ , $x=t$ , $y=t^2-1$ ; $t=1$

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, functions $z=f(x,y)$ , $x=g(t)$ and $y=h(t)$ are given.

(a) Use the Multivariable Chain Rule to compute $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ . (b) Evaluate $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ at the indicated $t$ -value.

$\displaystyle z=x^2-y^2$ , $x=t$ , $y=t^2-1$ ; $t=1$

정답·풀이 보기

(a) $\frac{dz}{dt} = 2x(1)-2y(2t) = 2x-4yt$ (b) $t=1$ 일 때 $x=1$ , $y=0$ 이고 $\frac{dz}{dt} = 2$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\frac{dz}{dt} = 2x(1)-2y(2t) = 2x-4yt$ (b) At $t=1$ , $x=1$ , $y=0$ and $\frac{dz}{dt} = 2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.7절 · 38번

# 극값과 안장점계산자동 분류

406.APEX · 12.8절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–12에서 함수 $z=f(x,y)$ , $x=g(t)$ , $y=h(t)$ 가 주어져 있다.

(a) 다변수 연쇄 법칙을 사용하여 $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ 를 구하세요. (b) 주어진 $t$ 의 값에서 $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ 의 값을 구하세요.

$\displaystyle z=5x+2y$ , $x=2\cos t+1$ , $y=\sin t-3$ ; $t=\pi/4$

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, functions $z=f(x,y)$ , $x=g(t)$ and $y=h(t)$ are given.

(a) Use the Multivariable Chain Rule to compute $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ . (b) Evaluate $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ at the indicated $t$ -value.

$\displaystyle z=5x+2y$ , $x=2\cos t+1$ , $y=\sin t-3$ ; $t=\pi/4$

정답·풀이 보기

(a) $\frac{dz}{dt} = 5(-2\sin t)+2(\cos t) = -10\sin t+2\cos t$ (b) At $t=\pi/4$ , $\frac{dz}{dt} = -4\sqrt{2}$ .

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\frac{dz}{dt} = 5(-2\sin t)+2(\cos t) = -10\sin t+2\cos t$ (b) At $t=\pi/4$ , $\frac{dz}{dt} = -4\sqrt{2}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.7절 · 40번

# 극값과 안장점계산자동 분류

407.APEX · 12.8절 · 10번대학 수준우리말 번역

7–12번 문제에서 함수 $z=f(x,y)$ , $x=g(t)$ , $y=h(t)$ 가 주어져 있다.

(a) 다변수 연쇄 법칙을 이용하여 $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ 를 계산하세요. (b) 주어진 $t$ 의 값에서 $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ 의 값을 구하세요.

$\displaystyle z=\frac{x}{y^2+1}$ , $x=\cos t$ , $y=\sin t$ ; $t=\pi/2$

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, functions $z=f(x,y)$ , $x=g(t)$ and $y=h(t)$ are given.

(a) Use the Multivariable Chain Rule to compute $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ . (b) Evaluate $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ at the indicated $t$ -value.

$\displaystyle z=\frac{x}{y^2+1}$ , $x=\cos t$ , $y=\sin t$ ; $t=\pi/2$

정답·풀이 보기

(a) $\displaystyle \frac{dz}{dt} = \frac{1}{1+y^2}(-\sin t)-\frac{2xy}{(y^2+1)^2}(\cos t)$ 이다. (b) $t=\pi/2$ 일 때 $x=0$ , $y=1$ 이고 $\frac{dz}{dt} = -1/2$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\displaystyle \frac{dz}{dt} = \frac{1}{1+y^2}(-\sin t)-\frac{2xy}{(y^2+1)^2}(\cos t)$ . (b) At $t=\pi/2$ , $x=0$ , $y=1$ , and $\frac{dz}{dt} = -1/2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.8절 · 6번

# 극값과 안장점계산자동 분류

408.APEX · 12.8절 · 11번대학 수준우리말 번역

7–12번 문제에서 함수 $z=f(x,y)$ , $x=g(t)$ , $y=h(t)$ 가 주어져 있다.

(a) 다변수 연쇄 법칙을 이용하여 $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ 를 계산하세요. (b) 주어진 $t$ 의 값에서 $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ 의 값을 구하세요.

$\displaystyle z=x^2+2y^2$ , $x=\sin t$ , $y=3\sin t$ ; $t=\pi/4$

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, functions $z=f(x,y)$ , $x=g(t)$ and $y=h(t)$ are given.

(a) Use the Multivariable Chain Rule to compute $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ . (b) Evaluate $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ at the indicated $t$ -value.

$\displaystyle z=x^2+2y^2$ , $x=\sin t$ , $y=3\sin t$ ; $t=\pi/4$

정답·풀이 보기

(a) $\displaystyle \frac{dz}{dt} = 2x(\cos t) + 4y(3\cos t)$ 이다. (b) $t=\pi/4$ 일 때 $x=\sqrt{2}/2$ , $y=3\sqrt{2}/2$ 이고 $\frac{dz}{dt} = 19$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\displaystyle \frac{dz}{dt} = 2x(\cos t) + 4y(3\cos t)$ . (b) At $t=\pi/4$ , $x=\sqrt{2}/2$ , $y=3\sqrt{2}/2$ , and $\frac{dz}{dt} = 19$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.9절 · 22번

# 극값과 안장점계산자동 분류

409.APEX · 12.8절 · 12번대학 수준우리말 번역

7–12번 문제에서 함수 $z=f(x,y)$ , $x=g(t)$ , $y=h(t)$ 가 주어져 있다.

(a) 다변수 연쇄 법칙을 이용하여 $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ 를 계산하세요. (b) 주어진 $t$ 의 값에서 $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ 의 값을 구하세요.

$z=\cos x\sin y$ , $x=\pi t$ , $y=2\pi t+\pi/2$ ; $t=3$

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, functions $z=f(x,y)$ , $x=g(t)$ and $y=h(t)$ are given.

(a) Use the Multivariable Chain Rule to compute $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ . (b) Evaluate $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ at the indicated $t$ -value.

$z=\cos x\sin y$ , $x=\pi t$ , $y=2\pi t+\pi/2$ ; $t=3$

정답·풀이 보기

(a) $\frac{dz}{dt} = -\sin x\sin y(\pi) + \cos x\cos y(2\pi)$ 이다. (b) $t=3$ 일 때 $x=3\pi$ , $y=13\pi/2$ 이고 $\frac{dz}{dt} = 0$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\frac{dz}{dt} = -\sin x\sin y(\pi) + \cos x\cos y(2\pi)$ . (b) At $t=3$ , $x=3\pi$ , $y=13\pi/2$ , and $\frac{dz}{dt} = 0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.7절 · 44번

# 극값과 안장점계산자동 분류

410.APEX · 12.8절 · 19번대학 수준우리말 번역

19–22번 문제에서 함수 $z=f(x,y)$ , $x=g(s,t)$ , $y=h(s,t)$ 가 주어져 있다.

(a) 다변수 연쇄 법칙을 이용하여 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s}$ 와 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t}$ 를 계산하세요. (b) 주어진 $s$ , $t$ 의 값에서 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s}$ 와 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t}$ 의 값을 구하세요.

$\displaystyle z=x^2y$ , $x=s-t$ , $y=2s+4t$ ; $s=1$ , $t=0$

영어 원문 보기

In Exercises 19–22, functions $z=f(x,y)$ , $x=g(s,t)$ and $y=h(s,t)$ are given.

(a) Use the Multivariable Chain Rule to compute $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s}$ and $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t}$ . (b) Evaluate $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s}$ and $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t}$ at the indicated $s$ and $t$ values.

$\displaystyle z=x^2y$ , $x=s-t$ , $y=2s+4t$ ; $s=1$ , $t=0$

정답·풀이 보기

(a) $\frac{\partial z}{\partial s} = 2xy(1) + x^2(2) = 2xy+2x^2$ ;

$\frac{\partial z}{\partial t} = 2xy(-1) + x^2(4) = -2xy+4x^2$ (b) $s=1$ , $t=0$ 일 때 $x=1$ 이고 $y=2$ 이다. 따라서 $\frac{\partial z}{\partial s} = 6$ 이고 $\frac{\partial z}{\partial t} = 0$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\frac{\partial z}{\partial s} = 2xy(1) + x^2(2) = 2xy+2x^2$ ;

$\frac{\partial z}{\partial t} = 2xy(-1) + x^2(4) = -2xy+4x^2$ (b) With $s=1$ , $t=0$ , $x=1$ and $y=2$ . Thus $\frac{\partial z}{\partial s} = 6$ and $\frac{\partial z}{\partial t} = 0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.8절 · 5번

# 극값과 안장점계산자동 분류

411.APEX · 12.8절 · 20번대학 수준우리말 번역

연습문제 19–22에서 함수 $z=f(x,y)$ , $x=g(s,t)$ , $y=h(s,t)$ 가 주어져 있습니다.

(a) 다변수 연쇄 법칙을 이용하여 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s}$ 와 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t}$ 를 구하세요. (b) 주어진 $s$ 와 $t$ 의 값에서 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s}$ 와 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t}$ 의 값을 구하세요.

$\displaystyle z=\cos\big(\pi x+\frac{\pi}2y\big)$ , $x=st^2$ , $y=s^2t$ ; $s=1$ , $t=1$

영어 원문 보기

In Exercises 19–22, functions $z=f(x,y)$ , $x=g(s,t)$ and $y=h(s,t)$ are given.

(a) Use the Multivariable Chain Rule to compute $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s}$ and $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t}$ . (b) Evaluate $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s}$ and $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t}$ at the indicated $s$ and $t$ values.

$\displaystyle z=\cos\big(\pi x+\frac{\pi}2y\big)$ , $x=st^2$ , $y=s^2t$ ; $s=1$ , $t=1$

정답·풀이 보기

(a) $\frac{\partial z}{\partial s} = -\pi\sin(\pi x+\pi y/2)(t^2) -\frac12\pi\sin(\pi x+\pi y/2)(2st) = -\pi\Big(t^2\sin(\pi x+ \pi y/2) + st\sin(\pi x+\pi y/2)\Big)$ ;

$\frac{\partial z}{\partial t} = -\pi\sin(\pi x+\pi y/2)(2st) -\frac12\pi\sin(\pi x+\pi y/2)(s^2)= -\pi\Big(2st\sin(\pi x+\pi y/2) + \frac12s^2\sin(\pi x+\pi y/2)\Big)$ (b) $s=1$ , $t=1$ 일 때 $x=1$ , $y=1$ 이다. 따라서 $\frac{\partial z}{\partial s} = 2\pi$ 이고 $\frac{\partial z}{\partial t} = 5\pi/2$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\frac{\partial z}{\partial s} = -\pi\sin(\pi x+\pi y/2)(t^2) -\frac12\pi\sin(\pi x+\pi y/2)(2st) = -\pi\Big(t^2\sin(\pi x+ \pi y/2) + st\sin(\pi x+\pi y/2)\Big)$ ;

$\frac{\partial z}{\partial t} = -\pi\sin(\pi x+\pi y/2)(2st) -\frac12\pi\sin(\pi x+\pi y/2)(s^2)= -\pi\Big(2st\sin(\pi x+\pi y/2) + \frac12s^2\sin(\pi x+\pi y/2)\Big)$ (b) With $s=1$ , $t=1$ , $x=1$ and $y=1$ . Thus $\frac{\partial z}{\partial s} = 2\pi$ and $\frac{\partial z}{\partial t} = 5\pi/2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.7절 · 40번

# 극값과 안장점계산자동 분류

412.APEX · 12.8절 · 21번대학 수준우리말 번역

연습문제 19–22에서 함수 $z=f(x,y)$ , $x=g(s,t)$ , $y=h(s,t)$ 가 주어져 있습니다.

(a) 다변수 연쇄 법칙을 이용하여 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s}$ 와 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t}$ 를 구하세요. (b) 주어진 $s$ 와 $t$ 의 값에서 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s}$ 와 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t}$ 의 값을 구하세요.

$\displaystyle z=x^2+y^2$ , $x=s\cos t$ , $y=s\sin t$ ; $s=2$ , $t=\pi/4$

영어 원문 보기

In Exercises 19–22, functions $z=f(x,y)$ , $x=g(s,t)$ and $y=h(s,t)$ are given.

(a) Use the Multivariable Chain Rule to compute $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s}$ and $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t}$ . (b) Evaluate $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s}$ and $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t}$ at the indicated $s$ and $t$ values.

$\displaystyle z=x^2+y^2$ , $x=s\cos t$ , $y=s\sin t$ ; $s=2$ , $t=\pi/4$

정답·풀이 보기

(a) $\frac{\partial z}{\partial s} = 2x(\cos t) + 2y(\sin t) = 2x\cos t+2y\sin t$ ;

$\frac{\partial z}{\partial t} = 2x(-s\sin t)+2y(s\cos t) = -2xs\sin t+ 2ys\cos t$ (b) $s=2$ , $t=\pi/4$ 일 때 $x=\sqrt{2}$ , $y=\sqrt{2}$ 이다. 따라서 $\frac{\partial z}{\partial s} = 4$ 이고 $\frac{\partial z}{\partial t} = 0$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\frac{\partial z}{\partial s} = 2x(\cos t) + 2y(\sin t) = 2x\cos t+2y\sin t$ ;

$\frac{\partial z}{\partial t} = 2x(-s\sin t)+2y(s\cos t) = -2xs\sin t+ 2ys\cos t$ (b) With $s=2$ , $t=\pi/4$ , $x=\sqrt{2}$ and $y=\sqrt{2}$ . Thus $\frac{\partial z}{\partial s} = 4$ and $\frac{\partial z}{\partial t} = 0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.9절 · 24번

# 극값과 안장점계산자동 분류

413.APEX · 12.8절 · 22번대학 수준우리말 번역

연습문제 19–22에서 함수 $z=f(x,y)$ , $x=g(s,t)$ , $y=h(s,t)$ 가 주어져 있습니다.

(a) 다변수 연쇄 법칙을 이용하여 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s}$ 와 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t}$ 를 구하세요. (b) 주어진 $s$ 와 $t$ 의 값에서 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s}$ 와 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t}$ 의 값을 구하세요.

$\displaystyle z=e^{-(x^2+y^2)}$ , $x=t$ , $y=st^2$ ; $s=1$ , $t=1$

영어 원문 보기

In Exercises 19–22, functions $z=f(x,y)$ , $x=g(s,t)$ and $y=h(s,t)$ are given.

(a) Use the Multivariable Chain Rule to compute $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s}$ and $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t}$ . (b) Evaluate $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s}$ and $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t}$ at the indicated $s$ and $t$ values.

$\displaystyle z=e^{-(x^2+y^2)}$ , $x=t$ , $y=st^2$ ; $s=1$ , $t=1$

정답·풀이 보기

(a) $\frac{\partial z}{\partial s} = -2xe^{-(x^2+y^2)}(0) -2ye^{-(x^2+y^2)}(t^2) = -2yt^2e^{-(x^2+y^2)}$ ;

$\frac{\partial z}{\partial t} = -2xe^{-(x^2+y^2)}(1)-2ye^{-(x^2+y^2)}(2st) = -2xe^{-(x^2+y^2)}-4stye^{-(x^2+y^2)}$ (b) $s=1$ , $t=1$ 일 때 $x=1$ , $y=1$ 이다. 따라서 $\frac{\partial z}{\partial s} = -2/e^2$ 이고 $\frac{\partial z}{\partial t} = -6/e^2$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\frac{\partial z}{\partial s} = -2xe^{-(x^2+y^2)}(0) -2ye^{-(x^2+y^2)}(t^2) = -2yt^2e^{-(x^2+y^2)}$ ;

$\frac{\partial z}{\partial t} = -2xe^{-(x^2+y^2)}(1)-2ye^{-(x^2+y^2)}(2st) = -2xe^{-(x^2+y^2)}-4stye^{-(x^2+y^2)}$ (b) With $s=1$ , $t=1$ , $x=1$ and $y=1$ . Thus $\frac{\partial z}{\partial s} = -2/e^2$ and $\frac{\partial z}{\partial t} = -6/e^2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.7절 · 14번

# 극값과 안장점계산자동 분류

414.APEX · 12.8절 · 27번대학 수준우리말 번역

연습문제 27–30에서 주어진 정보를 이용하여 $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ 또는 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s}$ 와 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t}$ 를 구하세요.

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = 2$ , $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = 1$ , $\displaystyle \frac{dx}{dt} = 4$ , $\displaystyle \frac{dy}{dt} = -5$

영어 원문 보기

In Exercises 27–30, find $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ , or $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s}$ and $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t}$ , using the supplied information.

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = 2$ , $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = 1$ , $\displaystyle \frac{dx}{dt} = 4$ , $\displaystyle \frac{dy}{dt} = -5$

정답·풀이 보기

$\frac{dz}{dt} = 2(4)+1(-5) = 3$ .

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{dz}{dt} = 2(4)+1(-5) = 3$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.7절 · 16번

# 극값과 안장점계산자동 분류

415.APEX · 12.8절 · 28번대학 수준우리말 번역

연습문제 27–30에서 주어진 정보를 이용하여 $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ 또는 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s}$ 와 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t}$ 를 구하세요.

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = 1$ , $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = -3$ , $\displaystyle \frac{dx}{dt} = 6$ , $\displaystyle \frac{dy}{dt} = 2$

영어 원문 보기

In Exercises 27–30, find $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ , or $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s}$ and $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t}$ , using the supplied information.

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = 1$ , $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = -3$ , $\displaystyle \frac{dx}{dt} = 6$ , $\displaystyle \frac{dy}{dt} = 2$

정답·풀이 보기

$\frac{dz}{dt} = 1(6)+(-3)(2) = 0$ .

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{dz}{dt} = 1(6)+(-3)(2) = 0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.8절 · 2번

# 극값과 안장점계산자동 분류

416.APEX · 12.8절 · 29번대학 수준우리말 번역

연습문제 27–30에서 주어진 정보를 이용하여 $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ 또는 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s}$ 와 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t}$ 를 구하세요.

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = -4$ , $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = 9$ ,

$\displaystyle \frac{\partial x}{\partial s} = 5$ , $\displaystyle \frac{\partial x}{\partial t} = 7$ , $\displaystyle \frac{\partial y}{\partial s} = -2$ , $\displaystyle \frac{\partial y}{\partial t} = 6$

영어 원문 보기

In Exercises 27–30, find $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ , or $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s}$ and $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t}$ , using the supplied information.

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = -4$ , $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = 9$ ,

$\displaystyle \frac{\partial x}{\partial s} = 5$ , $\displaystyle \frac{\partial x}{\partial t} = 7$ , $\displaystyle \frac{\partial y}{\partial s} = -2$ , $\displaystyle \frac{\partial y}{\partial t} = 6$

정답·풀이 보기

$\frac{\partial z}{\partial s} = -4(5)+9(-2) = -38$ ,

$\frac{\partial z}{\partial t} = -4(7)+9(6) = 26$ .

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{\partial z}{\partial s} = -4(5)+9(-2) = -38$ ,

$\frac{\partial z}{\partial t} = -4(7)+9(6) = 26$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.7절 · 18번

# 극값과 안장점계산자동 분류

417.APEX · 12.8절 · 30번대학 수준우리말 번역

연습문제 27–30에서 주어진 정보를 이용하여 $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ 또는 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s}$ 와 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t}$ 를 구하세요.

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = 2$ , $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = 1$ ,

$\displaystyle \frac{\partial x}{\partial s} = -2$ , $\displaystyle \frac{\partial x}{\partial t} = 3$ , $\displaystyle \frac{\partial y}{\partial s} = 2$ , $\displaystyle \frac{\partial y}{\partial t} = -1$

영어 원문 보기

In Exercises 27–30, find $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ , or $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s}$ and $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t}$ , using the supplied information.

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = 2$ , $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = 1$ ,

$\displaystyle \frac{\partial x}{\partial s} = -2$ , $\displaystyle \frac{\partial x}{\partial t} = 3$ , $\displaystyle \frac{\partial y}{\partial s} = 2$ , $\displaystyle \frac{\partial y}{\partial t} = -1$

정답·풀이 보기

$\frac{\partial z}{\partial s} = 2(-2)+1(2) = -2$ ,

$\frac{\partial z}{\partial t} = 2(3)+1(-1) = 5$ .

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{\partial z}{\partial s} = 2(-2)+1(2) = -2$ ,

$\frac{\partial z}{\partial t} = 2(3)+1(-1) = 5$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.7절 · 20번

# 극값과 안장점계산자동 분류

418.CLP-3 · 2.1절 · 3번대학 수준우리말 번역

$f(x,y)=\dfrac{x^2}{x^2+y^2}$ 이라 하자.

(a) 원점에 접근하는 반직선 중 그 위에서 $f(x,y)=1$ 인 것을 구하세요. (b) 원점에 접근하는 반직선 중 그 위에서 $f(x,y)=0$ 인 것을 구하세요. (c) 위의 결과는 $f(x,y)$ 의 극한에 대해 무엇을 보여 주는지 설명하세요.

영어 원문 보기

Let $f(x,y)=\dfrac{x^2}{x^2+y^2}$ .

(a) Find a ray approaching the origin along which $f(x,y)=1$ . (b) Find a ray approaching the origin along which $f(x,y)=0$ . (c) What does the above work show about a limit of $f(x,y)$ ?

정답·풀이 보기

(a) 살펴보면, $y=0$ 일 때 $x \neq 0$ 이기만 하면 $f(x,y)=1$ 이다. 따라서 $x$ 축을 따라 원점으로 접근하면 이 경로 위에서 $f(x,y)=1$ 이다. (b) 마찬가지로 살펴보면, $x=0$ 일 때 $y \neq 0$ 이기만 하면 $f(x,y)=0$ 이다. 따라서 $y$ 축을 따라 원점으로 접근하면 이 경로 위에서 $f(x,y)=0$ 이다. (c) 원점에 접근하는 서로 다른 두 방향이 서로 다른 값을 주므로 $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$ 는 존재하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) By inspection, when $y=0$ , then $f(x,y)=1$ as long as $x \neq 0$ . So, if we follow the $x$ -axis in towards the origin, $f(x,y)=1$ along this route. (b) Also by inspection, when $x=0$ , then $f(x,y)=0$ as long as $y \neq 0$ . So, if we follow the $y$ -axis in towards the origin, $f(x,y)=0$ along this route. (c) Since two different directions give us different values as we approach the origin, $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$ does not exist.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.1절 · 7번

# 다변수함수의 극한과 연속계산기본자동 분류

419.CLP-3 · 2.1절 · 6번대학 수준우리말 번역

가능하다면 다음 극한값을 구하세요.

(a) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(2,-1)}\ \big(xy+x^2\big)$ (b) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x}{x^2+y^2}$ (c) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x^2}{x^2+y^2}$ (d) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x^3}{x^2+y^2}$ (e) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x^2y^2}{x^2+y^4}$ (f) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\ \frac{(\sin x)\left(e^y-1\right)}{xy}$

영어 원문 보기

Evaluate, if possible,

(a) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(2,-1)}\ \big(xy+x^2\big)$ (b) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x}{x^2+y^2}$ (c) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x^2}{x^2+y^2}$ (d) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x^3}{x^2+y^2}$ (e) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x^2y^2}{x^2+y^4}$ (f) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\ \frac{(\sin x)\left(e^y-1\right)}{xy}$

정답·풀이 보기

(a) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(2,-1)}\ \big(xy+x^2\big)=2(-1)+2^2=2$

(b) 극좌표로 바꾸면,

$\begin{aligned} \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x}{x^2+y^2} &=\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{0\le\theta<2\pi}}\ \frac{r\cos\theta}{r^2} =\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{0\le\theta<2\pi}}\ \frac{\cos\theta}{r} \end{aligned}$

이 극한은 존재하지 않는다. 예를 들어,

$\theta=0$ 이면,

$\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{\theta=0}}\ \frac{\cos\theta}{r} =\lim_{r\rightarrow0^+}\ \frac{1}{r} =+\infty$

반면 $\theta=\pi$ 이면,

$\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{\theta=\pi}}\ \frac{\cos\theta}{r} =\lim_{r\rightarrow0^+}\ \frac{-1}{r} =-\infty$

이기 때문이다.

(c) 극좌표로 바꾸면,

$\begin{aligned} \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x^2}{x^2+y^2} &=\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{0\le\theta<2\pi}}\ \frac{r^2\cos^2\theta}{r^2} =\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{0\le\theta<2\pi}}\ \cos^2\theta \end{aligned}$

이 극한은 존재하지 않는다. 예를 들어,

$\theta=0$ 이면,

$\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{\theta=0}}\ \cos^2\theta =\lim_{r\rightarrow0^+}\ 1 = 1$

반면 $\theta=\frac{\pi}{2}$ 이면,

$\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{\theta=\pi/2}}\ \cos^2\theta =\lim_{r\rightarrow0^+}\ 0 =0$

이기 때문이다.

(d) 극좌표로 바꾸면,

$\begin{aligned} \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x^3}{x^2+y^2} &=\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{0\le\theta<2\pi}}\ \frac{r^3\cos^3\theta}{r^2} =\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{0\le\theta<2\pi}}\ r\cos^3\theta =0 \end{aligned}$

모든 $\theta$ 에 대해 $|\cos\theta|\le 1$ 이기 때문이다.

(e) 극좌표로 바꾸면,

$\begin{aligned} \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x^2y^2}{x^2+y^4} &=\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{0\le\theta<2\pi}}\ \frac{r^2\cos^2\theta\ r^2\sin^2\theta} {r^2\cos^2\theta+r^4\sin^4\theta} =\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{0\le\theta<2\pi}}\ r^2\sin^2\theta \frac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta+r^2\sin^4\theta} \\ &= 0 \end{aligned}$

여기서 모든 $r>0$ 에 대해 다음이 성립함을 이용하였다.

$\left|\sin^2\theta\frac{\cos^2\theta} {\cos^2\theta+r^2\sin^4\theta}\right| \le \frac{\cos^2\theta} {\cos^2\theta+r^2\sin^4\theta} \le \left.\begin{cases} \frac{\cos^2\theta} {\cos^2\theta}&\text{(}\cos\theta\ne 0\text{ 일 때)}\\ 0 &\text{(}\cos\theta =0\text{ 일 때)}\end{cases} \right\} \le 1$

(f) 먼저 다음을 관찰하자.

$\begin{aligned} \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\ \frac{(\sin x)\left(e^y-1\right)}{xy} =\left[\lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{\sin x}{x}\right] \left[\lim_{y\rightarrow 0}\ \frac{e^y-1}{y}\right] \end{aligned}$

$\displaystyle \left[\lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{\sin x}{x}\right]$ 은 로피탈 법칙 또는 미분계수의 정의를 이용하여 구할 수 있으며, 다음과 같다.

$\lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{\sin x}{x} =\lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{\sin x-\sin 0}{x-0} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin x\bigg|_{x=0} =\cos x\Big|_{x=0}=1$

마찬가지로 $\displaystyle \left[\lim_{y\rightarrow 0}\ \frac{e^y-1}{y}\right]$ 도 로피탈 법칙 또는 미분계수의 정의를 이용하여 구할 수 있으며, 다음과 같다.

$\lim_{y\rightarrow 0}\ \frac{e^y-1}{y} =\lim_{y\rightarrow 0}\ \frac{e^y-e^0}{y-0} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}e^y\bigg|_{y=0} =e^y\Big|_{y=0}=1$

따라서 모두 합하면

$\begin{aligned} \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\ \frac{(\sin x)\left(e^y-1\right)}{xy} =\left[\lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{\sin x}{x}\right] \left[\lim_{y\rightarrow 0}\ \frac{e^y-1}{y}\right] =[1]\ [1]=1 \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(2,-1)}\ \big(xy+x^2\big)=2(-1)+2^2=2$

(b) Switching to polar coordinates,

$\begin{aligned} \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x}{x^2+y^2} &=\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{0\le\theta<2\pi}}\ \frac{r\cos\theta}{r^2} =\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{0\le\theta<2\pi}}\ \frac{\cos\theta}{r} \end{aligned}$

which does not exist, since, for example,

if $\theta=0$ , then

$\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{\theta=0}}\ \frac{\cos\theta}{r} =\lim_{r\rightarrow0^+}\ \frac{1}{r} =+\infty$

while if $\theta=\pi$ , then

$\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{\theta=\pi}}\ \frac{\cos\theta}{r} =\lim_{r\rightarrow0^+}\ \frac{-1}{r} =-\infty$

(c) Switching to polar coordinates,

$\begin{aligned} \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x^2}{x^2+y^2} &=\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{0\le\theta<2\pi}}\ \frac{r^2\cos^2\theta}{r^2} =\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{0\le\theta<2\pi}}\ \cos^2\theta \end{aligned}$

which does not exist, since, for example,

if $\theta=0$ , then

$\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{\theta=0}}\ \cos^2\theta =\lim_{r\rightarrow0^+}\ 1 = 1$

while if $\theta=\frac{\pi}{2}$ , then

$\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{\theta=\pi/2}}\ \cos^2\theta =\lim_{r\rightarrow0^+}\ 0 =0$

(d) Switching to polar coordinates,

$\begin{aligned} \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x^3}{x^2+y^2} &=\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{0\le\theta<2\pi}}\ \frac{r^3\cos^3\theta}{r^2} =\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{0\le\theta<2\pi}}\ r\cos^3\theta =0 \end{aligned}$

since $|\cos\theta|\le 1$ for all $\theta$ .

(e) Switching to polar coordinates,

$\begin{aligned} \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x^2y^2}{x^2+y^4} &=\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{0\le\theta<2\pi}}\ \frac{r^2\cos^2\theta\ r^2\sin^2\theta} {r^2\cos^2\theta+r^4\sin^4\theta} =\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r\rightarrow0^+}{0\le\theta<2\pi}}\ r^2\sin^2\theta \frac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta+r^2\sin^4\theta} \\ &= 0 \end{aligned}$

Here, we used that

$\left|\sin^2\theta\frac{\cos^2\theta} {\cos^2\theta+r^2\sin^4\theta}\right| \le \frac{\cos^2\theta} {\cos^2\theta+r^2\sin^4\theta} \le \left.\begin{cases} \frac{\cos^2\theta} {\cos^2\theta}&\text{ if }\cos\theta\ne 0 \\ 0 &\text { if }\cos\theta =0 \end{cases} \right\} \le 1$

for all $r>0$ .

(f) To start, observe that

$\begin{aligned} \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\ \frac{(\sin x)\left(e^y-1\right)}{xy} =\left[\lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{\sin x}{x}\right] \left[\lim_{y\rightarrow 0}\ \frac{e^y-1}{y}\right] \end{aligned}$

We may evaluate $\displaystyle \left[\lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{\sin x}{x}\right]$ by l'Hopital's rule or by using the definition of the derivative to give

$\lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{\sin x}{x} =\lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{\sin x-\sin 0}{x-0} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin x\bigg|_{x=0} =\cos x\Big|_{x=0}=1$

Similarly, we may evaluate $\displaystyle \left[\lim_{y\rightarrow 0}\ \frac{e^y-1}{y}\right]$ by l'Hopital's rule or by using the definition of the derivative to give

$\lim_{y\rightarrow 0}\ \frac{e^y-1}{y} =\lim_{y\rightarrow 0}\ \frac{e^y-e^0}{y-0} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}e^y\bigg|_{y=0} =e^y\Big|_{y=0}=1$

So all together

$\begin{aligned} \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\ \frac{(\sin x)\left(e^y-1\right)}{xy} =\left[\lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{\sin x}{x}\right] \left[\lim_{y\rightarrow 0}\ \frac{e^y-1}{y}\right] =[1]\ [1]=1 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.2절 · 10번

# 다변수함수의 극한과 연속계산보통자동 분류

420.CLP-3 · 2.1절 · 11번대학 수준우리말 번역

다음 극한을 구하거나, 존재하지 않는 이유를 설명하세요.

(a) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}$ (b) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{\sin(xy)}{x^2+y^2}$ (c) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(-1,1)}\frac{x^2+2xy^2+y^4}{1+y^4}$ (d) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}|y|^x$

영어 원문 보기

Compute the following limits or explain why they do not exist.

(a) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}$ (b) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{\sin(xy)}{x^2+y^2}$ (c) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(-1,1)}\frac{x^2+2xy^2+y^4}{1+y^4}$ (d) $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}|y|^x$

정답·풀이 보기

(a) 극좌표에서

$\frac{xy}{x^2+y^2}=\frac{r^2\cos\theta\sin\theta}{r^2} =\cos\theta\sin\theta$

이므로 극한은 존재하지 않는다. 예를 들어,

$(x,y)$ 를 양의 $x$ 축을 따라 $(0,0)$ 으로 보내면 $\theta=0$ 이므로 극한 $\sin\theta\cos\theta\big|_{\theta=0}=0$ 을 얻고,
제1사분면에서 직선 $y=x$ 를 따라 $(x,y)$ 를 $(0,0)$ 으로 보내면 $\theta=\frac{\pi}{4}$ 이므로 극한 $\sin\theta\cos\theta\big|_{\theta=\pi/4}=\frac{1}{2}$ 을 얻는다.

(b) 이 극한이 존재한다고 하면 극한

$\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2} =\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{xy}{\sin(xy)}\ \frac{\sin(xy)}{x^2+y^2} =\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{xy}{\sin(xy)}\ \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{\sin(xy)}{x^2+y^2}$

도 존재해야 하므로 이 극한은 존재하지 않는다. ( $\displaystyle \lim_{t\rightarrow 0}\tfrac{\sin t}{t} =1$ 임을 떠올리세요.)

(c)

$\begin{aligned} \lim_{(x,y)\rightarrow(-1,1)}\big[x^2+2xy^2+y^4\big] &=(-1)^2+2(-1)(1)^2+(1)^4=0 \\ \lim_{(x,y)\rightarrow(-1,1)}\big[1+y^4\big] &=1+(1)^4=2 \end{aligned}$

이고 두 번째 극한이 0이 아니므로

$\lim_{(x,y)\rightarrow(-1,1)}\frac{x^2+2xy^2+y^4}{1+y^4}=\frac{0}{2}=0$

이다.

(d) 양의 $x$ 축을 따른 극한

$\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{t\rightarrow 0}{t>0}}|y|^x\Big|_{(x,y)=(t,0)} =\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{t\rightarrow 0}{t>0}}0^t =\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{t\rightarrow 0}{t>0}}0 =0$

과 $y$ 축을 따른 극한

$\lim_{t\rightarrow 0}|y|^x\Big|_{(x,y)=(0,t)} =\lim_{t\rightarrow 0}|t|^0 =\lim_{t\rightarrow 0}1 =1$

이 서로 다르므로 $(x,y)\rightarrow 0$ 일 때의 극한은 존재하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since, in polar coordinates,

$\frac{xy}{x^2+y^2}=\frac{r^2\cos\theta\sin\theta}{r^2} =\cos\theta\sin\theta$

we have that the limit does not exist. For example,

if we send $(x,y)$ to $(0,0)$ along the positive $x$ -axis, so that $\theta=0$ , we get the limit $\sin\theta\cos\theta\big|_{\theta=0}=0$ ,
while if we send $(x,y)$ to $(0,0)$ along the line $y=x$ in the first quadrant, so that $\theta=\frac{\pi}{4}$ , we get the limit $\sin\theta\cos\theta\big|_{\theta=\pi/4}=\frac{1}{2}$ .

(b) This limit does not exist, since if it were to exist the limit

$\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2} =\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{xy}{\sin(xy)}\ \frac{\sin(xy)}{x^2+y^2} =\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{xy}{\sin(xy)}\ \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{\sin(xy)}{x^2+y^2}$

would also exist. (Recall that $\displaystyle \lim_{t\rightarrow 0}\tfrac{\sin t}{t} =1$ .)

(c) Since

$\begin{aligned} \lim_{(x,y)\rightarrow(-1,1)}\big[x^2+2xy^2+y^4\big] &=(-1)^2+2(-1)(1)^2+(1)^4=0 \\ \lim_{(x,y)\rightarrow(-1,1)}\big[1+y^4\big] &=1+(1)^4=2 \end{aligned}$

and the second limit is nonzero,

$\lim_{(x,y)\rightarrow(-1,1)}\frac{x^2+2xy^2+y^4}{1+y^4}=\frac{0}{2}=0$

(d) Since the limit along the positive $x$ -axis

$\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{t\rightarrow 0}{t>0}}|y|^x\Big|_{(x,y)=(t,0)} =\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{t\rightarrow 0}{t>0}}0^t =\lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{t\rightarrow 0}{t>0}}0 =0$

and the limit along the $y$ -axis

$\lim_{t\rightarrow 0}|y|^x\Big|_{(x,y)=(0,t)} =\lim_{t\rightarrow 0}|t|^0 =\lim_{t\rightarrow 0}1 =1$

are different, the limit as $(x,y)\rightarrow 0$ does not exist.

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