다변수 미분 전체 연습문제

541.APEX · 12.6절 · 1번대학 수준우리말 번역

벡터 $\vec v=\left\langle 1,0,3\right\rangle$ 가 어떻게 "기울기" 3을 갖는 것으로 볼 수 있는지 설명하세요.

영어 원문 보기

Explain how the vector $\vec v=\left\langle 1,0,3\right\rangle$ can be thought of as having a “slope” of 3.

정답·풀이 보기

답은 다양할 수 있다. 이 벡터의 변위는 $x$ 방향으로 1단위, $z$ 방향으로 3단위이며 $y$ 는 변하지 않는다. 따라서 $\vec v$ 에 평행한 직선을 따라 $z$ 의 변화량은 $x$ 의 변화량의 3배이다. 즉 "기울기"가 3이다. 구체적으로, $z$ 에 평행한 $x$ - $z$ 평면 위의 직선은 기울기가 3이다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary. The displacement of the vector is one unit in the $x$ -direction and 3 units in the $z$ -direction, with no change in $y$ . Thus along a line parallel to $\vec v$ , the change in $z$ is 3 times the change in $x$ – i.e., a “slope” of 3. Specifically, the line in the $x$ - $z$ plane parallel to $z$ has a slope of 3.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 25번

# 방향도함수와 기울기벡터개념 확인자동 분류

542.APEX · 12.6절 · 2번대학 수준우리말 번역

벡터 $\vec v=\left\langle 0.6,0.8, -2\right\rangle$ 가 어떻게 "기울기" $-2$ 를 갖는 것으로 생각될 수 있는지 설명하세요.

영어 원문 보기

Explain how the vector $\vec v=\left\langle 0.6,0.8, -2\right\rangle$ can be thought of as having a “slope” of $-2$ .

정답·풀이 보기

답은 다양할 수 있다. $\vec u = \left\langle 0.6,0.8\right\rangle$ 라 하자. 이것은 단위벡터이다. 이 벡터의 변위는 $\vec u$ 방향으로 1단위, $z$ 방향으로 $-2$ 단위이다. $z$ 축과 벡터 $\vec u$ 를 포함하는 평면에서, $\vec v$ 에 평행한 직선은 기울기가 $-2$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary. Let $\vec u = \left\langle 0.6,0.8\right\rangle$ ; this is a unit vector. The displacement of the vector is one unit in the $\vec u$ -direction and $-2$ units in the $z$ -direction. In the plane containing the $z$ -axis and the vector $\vec u$ , the line parallel to $\vec v$ has slope $-2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 26번

# 방향도함수와 기울기벡터개념 확인자동 분류

543.APEX · 12.6절 · 3번대학 수준우리말 번역

참/거짓: $z=f(x,y)$ 가 $P$ 에서 미분가능하다고 하자. $\vec n$ 이 $P$ 에서 $f$ 의 접평면에 대한 법선벡터이면, $\vec n$ 은 $P$ 에서 $\ell_x$ 와 $\ell_y$ 에 수직이다.

영어 원문 보기

T/F: Let $z=f(x,y)$ be differentiable at $P$ . If $\vec n$ is a normal vector to the tangent plane of $f$ at $P$ , then $\vec n$ is orthogonal to $\ell_x$ and $\ell_y$ at $P$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

T

원본 교재 풀이(영어)

T

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 27번

# 방향도함수와 기울기벡터개념 확인자동 분류

544.APEX · 12.6절 · 4번대학 수준우리말 번역

곡면 위의 한 점에서 곡면에 대한 접선을 '하나의 접선'이라고 부르지 않고 곡면에 대한 방향 접선들이라고 부르는 이유를 자신의 말로 설명하세요.

영어 원문 보기

Explain in your own words why we do not refer to the tangent line to a surface at a point, but rather to directional tangent lines to a surface at a point.

정답·풀이 보기

한 점을 지나는 곡면 위에는 매끄러운 곡선이 여러 개 있으며, 각 곡선은 그 점에서 접선을 갖는다. 이 접선들은 모두 곡면에 "접"하기도 한다. 접선은 하나만 있는 것이 아니라 여러 개이고, 각각 서로 다른 방향을 향한다. 따라서 하나의 접선이라고 하지 않고 방향 접선들이라고 부른다.

원본 교재 풀이(영어)

On a surface through a point, there are many different smooth curves, each with a tangent line at the point. Each of these tangent lines is also “tangent” to the surface. There is not just one tangent line, but many, each in a different direction. Therefore we refer to directional tangent lines, not just the tangent line.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 20번

# 방향도함수와 기울기벡터개념 확인자동 분류

545.APEX · 12.6절 · 5번대학 수준우리말 번역

연습문제 5~8에서 함수 $z=f(x,y)$ , 벡터 $\vec v$ , 점 $P$ 가 주어져 있다. $P$ 에서 $f$ 에 대한 다음 방향 접선의 매개변수 방정식을 구하세요:

(a) $\ell_x(t)$ (b) $\ell_y(t)$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t)$ , 여기서 $\vec u$ 는 $\vec v$ 방향의 단위벡터이다.

$f(x,y) = 2x^2y-4xy^2$ , $\vec v = \left\langle 1,3\right\rangle$ , $P=(2,3)$ .

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, a function $z=f(x,y)$ , a vector $\vec v$ and a point $P$ are given. Give the parametric equations of the following directional tangent lines to $f$ at $P$ :

(a) $\ell_x(t)$ (b) $\ell_y(t)$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t)$ , where $\vec u$ is the unit vector in the direction of $\vec v$ .

$f(x,y) = 2x^2y-4xy^2$ , $\vec v = \left\langle 1,3\right\rangle$ , $P=(2,3)$ .

정답·풀이 보기

(a) $\ell_x(t) = \left\{\begin{array}{l} x=2+t\\ y=3 \\ z = -48-12t\end{array}\right.$ (b) $\ell_y(t) = \left\{\begin{array}{l} x=2\\ y=3+t \\ z = -48-40t\end{array}\right.$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t) = \left\{\begin{array}{l} x=2+t/\sqrt{10}\\ y=3+3t/\sqrt{10} \\ z = -48-66\sqrt{2/5}t\end{array}\right.$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\ell_x(t) = \left\{\begin{array}{l} x=2+t\\ y=3 \\ z = -48-12t\end{array}\right.$ (b) $\ell_y(t) = \left\{\begin{array}{l} x=2\\ y=3+t \\ z = -48-40t\end{array}\right.$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t) = \left\{\begin{array}{l} x=2+t/\sqrt{10}\\ y=3+3t/\sqrt{10} \\ z = -48-66\sqrt{2/5}t\end{array}\right.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 25번

# 방향도함수와 기울기벡터계산자동 분류

546.APEX · 12.6절 · 6번대학 수준우리말 번역

연습문제 5~8에서 함수 $z=f(x,y)$ , 벡터 $\vec v$ , 점 $P$ 가 주어져 있다. $P$ 에서 $f$ 에 대한 다음 방향 접선의 매개변수 방정식을 구하세요:

(a) $\ell_x(t)$ (b) $\ell_y(t)$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t)$ , 여기서 $\vec u$ 는 $\vec v$ 방향의 단위벡터이다.

$f(x,y) = 3\cos x\sin y$ , $\vec v = \left\langle 1,2\right\rangle$ , $P=(\pi/3, \pi/6)$ .

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, a function $z=f(x,y)$ , a vector $\vec v$ and a point $P$ are given. Give the parametric equations of the following directional tangent lines to $f$ at $P$ :

(a) $\ell_x(t)$ (b) $\ell_y(t)$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t)$ , where $\vec u$ is the unit vector in the direction of $\vec v$ .

$f(x,y) = 3\cos x\sin y$ , $\vec v = \left\langle 1,2\right\rangle$ , $P=(\pi/3, \pi/6)$ .

정답·풀이 보기

(a) $\ell_x(t) = \left\{\begin{array}{l} x = \pi/3+t\\ y = \pi/6 \\ z = 3/4 -\frac{3\sqrt{3}}{4}t \end{array} \right.$ (b) $\ell_y(t) = \left\{\begin{array}{l} x = \pi/3\\ y = \pi/6 +t\\ z = 3/4 +\frac{3\sqrt{3}}{4}t \end{array} \right.$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t) = \left\{\begin{array}{l} x = \pi/3+t/\sqrt{5}\\ y = \pi/6+2t/\sqrt{5} \\ z = 3/4 +\frac{3\sqrt{3/5}}{4}t \end{array} \right.$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\ell_x(t) = \left\{\begin{array}{l} x = \pi/3+t\\ y = \pi/6 \\ z = 3/4 -\frac{3\sqrt{3}}{4}t \end{array} \right.$ (b) $\ell_y(t) = \left\{\begin{array}{l} x = \pi/3\\ y = \pi/6 +t\\ z = 3/4 +\frac{3\sqrt{3}}{4}t \end{array} \right.$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t) = \left\{\begin{array}{l} x = \pi/3+t/\sqrt{5}\\ y = \pi/6+2t/\sqrt{5} \\ z = 3/4 +\frac{3\sqrt{3/5}}{4}t \end{array} \right.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.6절 · 28번

# 방향도함수와 기울기벡터계산자동 분류

547.APEX · 12.6절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 5~8에서 함수 $z=f(x,y)$ , 벡터 $\vec v$ , 점 $P$ 가 주어져 있다. $P$ 에서 $f$ 에 대한 다음 방향 접선의 매개변수 방정식을 구하세요:

(a) $\ell_x(t)$ (b) $\ell_y(t)$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t)$ , 여기서 $\vec u$ 는 $\vec v$ 방향의 단위벡터이다.

$f(x,y) = 3x-5y$ , $\vec v = \left\langle 1,1\right\rangle$ , $P=(4,2)$ .

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, a function $z=f(x,y)$ , a vector $\vec v$ and a point $P$ are given. Give the parametric equations of the following directional tangent lines to $f$ at $P$ :

(a) $\ell_x(t)$ (b) $\ell_y(t)$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t)$ , where $\vec u$ is the unit vector in the direction of $\vec v$ .

$f(x,y) = 3x-5y$ , $\vec v = \left\langle 1,1\right\rangle$ , $P=(4,2)$ .

정답·풀이 보기

(a) $\ell_x(t) = \left\{\begin{array}{l} x = 4+t\\ y = 2 \\ z = 2 + 3t \end{array} \right.$ (b) $\ell_y(t) = \left\{\begin{array}{l} x = 4\\ y = 2+t\\ z = 2-5t \end{array} \right.$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t) = \left\{\begin{array}{l} x = 4+t/\sqrt{2}\\ y = 2+t/\sqrt{2} \\ z = 2 -\sqrt{2}t \end{array} \right.$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\ell_x(t) = \left\{\begin{array}{l} x = 4+t\\ y = 2 \\ z = 2 + 3t \end{array} \right.$ (b) $\ell_y(t) = \left\{\begin{array}{l} x = 4\\ y = 2+t\\ z = 2-5t \end{array} \right.$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t) = \left\{\begin{array}{l} x = 4+t/\sqrt{2}\\ y = 2+t/\sqrt{2} \\ z = 2 -\sqrt{2}t \end{array} \right.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 23번

# 방향도함수와 기울기벡터계산자동 분류

548.APEX · 12.6절 · 8번대학 수준우리말 번역

5–8번 연습문제에서 함수 $z=f(x,y)$ , 벡터 $\vec v$ , 점 $P$ 가 주어져 있습니다. $P$ 에서 $f$ 에 대한 다음 방향 접선의 매개변수 방정식을 구하세요.

(a) $\ell_x(t)$ (b) $\ell_y(t)$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t)$ , 여기서 $\vec u$ 는 $\vec v$ 의 방향의 단위벡터이다.

$f(x,y) = x^2-2x-y^2+4y$ , $\vec v = \left\langle 1,1\right\rangle$ , $P=(1,2)$ .

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, a function $z=f(x,y)$ , a vector $\vec v$ and a point $P$ are given. Give the parametric equations of the following directional tangent lines to $f$ at $P$ :

(a) $\ell_x(t)$ (b) $\ell_y(t)$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t)$ , where $\vec u$ is the unit vector in the direction of $\vec v$ .

$f(x,y) = x^2-2x-y^2+4y$ , $\vec v = \left\langle 1,1\right\rangle$ , $P=(1,2)$ .

정답·풀이 보기

(a) $\ell_x(t) = \left\{\begin{array}{l} x = 1+t\\ y = 2 \\ z = 3 \end{array} \right.$ (b) $\ell_y(t) = \left\{\begin{array}{l} x = 1\\ y = 2+t\\ z = 3 \end{array} \right.$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t) = \left\{\begin{array}{l} x = 1+t/\sqrt{2}\\ y = 2+t/\sqrt{2} \\ z = 3 \end{array} \right.$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\ell_x(t) = \left\{\begin{array}{l} x = 1+t\\ y = 2 \\ z = 3 \end{array} \right.$ (b) $\ell_y(t) = \left\{\begin{array}{l} x = 1\\ y = 2+t\\ z = 3 \end{array} \right.$ (c) $\ell_{\vec u\,}(t) = \left\{\begin{array}{l} x = 1+t/\sqrt{2}\\ y = 2+t/\sqrt{2} \\ z = 3 \end{array} \right.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.6절 · 36번

# 방향도함수와 기울기벡터계산자동 분류

549.APEX · 12.6절 · 21번대학 수준우리말 번역

21–24번 연습문제에서 $x$ , $y$ , $z$ 에 대한 음함수로 정의된 함수와 그 곡면 위의 점 $P$ 가 주어져 있습니다. 기울기 벡터 $\nabla F$ 를 이용하여 다음을 구하세요.

(a) $P$ 에서 곡면의 법선의 방정식 (b) $P$ 에서 곡면에 접하는 평면의 방정식

$\displaystyle \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}4+\frac{z^2}{16}=1$ , $P = (1,\sqrt{2},\sqrt{6})$ 에서

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, an implicitly defined function of $x$ , $y$ and $z$ is given along with a point $P$ that lies on the surface. Use the gradient $\nabla F$ to:

(a) find the equation of the normal line to the surface at $P$ , and (b) find the equation of the plane tangent to the surface at $P$ .

$\displaystyle \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}4+\frac{z^2}{16}=1$ , at $P = (1,\sqrt{2},\sqrt{6})$

정답·풀이 보기

$\nabla F = \left\langle x/4, y/2, z/8\right\rangle$ ; at $P$ , $\nabla F = \left\langle 1/4, \sqrt{2}/2, \sqrt{6}/8\right\rangle$

(a) $\ell_{\vec n}(t) = \left\{\begin{array}{l} x= 1+ t/4 \\ y = \sqrt{2}+ \sqrt{2}t/2\\ z = \sqrt{6} + \sqrt{6}t/8 \end{array}\right.$ (b) $\frac14(x-1) + \frac{\sqrt{2}}{2}(y-\sqrt{2}) + \frac{\sqrt{6}}8(z-\sqrt{6}) = 0$ .

원본 교재 풀이(영어)

$\nabla F = \left\langle x/4, y/2, z/8\right\rangle$ ; at $P$ , $\nabla F = \left\langle 1/4, \sqrt{2}/2, \sqrt{6}/8\right\rangle$

(a) $\ell_{\vec n}(t) = \left\{\begin{array}{l} x= 1+ t/4 \\ y = \sqrt{2}+ \sqrt{2}t/2\\ z = \sqrt{6} + \sqrt{6}t/8 \end{array}\right.$ (b) $\frac14(x-1) + \frac{\sqrt{2}}{2}(y-\sqrt{2}) + \frac{\sqrt{6}}8(z-\sqrt{6}) = 0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 11번

# 방향도함수와 기울기벡터계산자동 분류

550.APEX · 12.6절 · 22번대학 수준우리말 번역

21–24번 연습문제에서 $x$ , $y$ , $z$ 에 대한 음함수로 정의된 함수와 그 곡면 위의 점 $P$ 가 주어져 있습니다. 기울기 벡터 $\nabla F$ 를 이용하여 다음을 구하세요.

(a) $P$ 에서 곡면의 법선의 방정식 (b) $P$ 에서 곡면에 접하는 평면의 방정식

$\displaystyle z^2-\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}9=0$ , $P = (4,-3,\sqrt{5})$ 에서

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, an implicitly defined function of $x$ , $y$ and $z$ is given along with a point $P$ that lies on the surface. Use the gradient $\nabla F$ to:

(a) find the equation of the normal line to the surface at $P$ , and (b) find the equation of the plane tangent to the surface at $P$ .

$\displaystyle z^2-\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}9=0$ , at $P = (4,-3,\sqrt{5})$

정답·풀이 보기

$\nabla F = \left\langle -\frac x2, -\frac{2y}9,2z \right\rangle$ ; at $P$ , $\nabla F = \left\langle -2, 2/3, 2\sqrt{5}\right\rangle$

(a) $\ell_{\vec n}(t) = \left\{\begin{array}{l} x= 4-2t \\ y = -3+ 2t/3\\ z = \sqrt{5} + 2\sqrt{5}t \end{array}\right.$ (b) $-2(x-4) + \frac23(y+3) + 2\sqrt{5}(z-\sqrt{5}) = 0$ .

원본 교재 풀이(영어)

$\nabla F = \left\langle -\frac x2, -\frac{2y}9,2z \right\rangle$ ; at $P$ , $\nabla F = \left\langle -2, 2/3, 2\sqrt{5}\right\rangle$

(a) $\ell_{\vec n}(t) = \left\{\begin{array}{l} x= 4-2t \\ y = -3+ 2t/3\\ z = \sqrt{5} + 2\sqrt{5}t \end{array}\right.$ (b) $-2(x-4) + \frac23(y+3) + 2\sqrt{5}(z-\sqrt{5}) = 0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 12번

# 방향도함수와 기울기벡터계산자동 분류

551.APEX · 12.6절 · 23번대학 수준우리말 번역

21–24번 연습문제에서 $x$ , $y$ , $z$ 에 대한 음함수로 정의된 함수와 그 곡면 위의 점 $P$ 가 주어져 있습니다. 기울기 벡터 $\nabla F$ 를 이용하여 다음을 구하세요.

(a) $P$ 에서 곡면의 법선의 방정식 (b) $P$ 에서 곡면에 접하는 평면의 방정식

$\displaystyle xy^2-xz^2=0$ , $P = (2,1,-1)$ 에서

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, an implicitly defined function of $x$ , $y$ and $z$ is given along with a point $P$ that lies on the surface. Use the gradient $\nabla F$ to:

(a) find the equation of the normal line to the surface at $P$ , and (b) find the equation of the plane tangent to the surface at $P$ .

$\displaystyle xy^2-xz^2=0$ , at $P = (2,1,-1)$

정답·풀이 보기

$\nabla F = \left\langle y^2-z^2, 2xy, -2xz\right\rangle$ ; at $P$ , $\nabla F = \left\langle 0, 4, 4\right\rangle$

(a) $\ell_{\vec n}(t) = \left\{\begin{array}{l} x= 2 \\ y = 1+4t\\ z = -1+4t \end{array}\right.$ (b) $4(y-1) + 4(z+1) = 0$ .

원본 교재 풀이(영어)

$\nabla F = \left\langle y^2-z^2, 2xy, -2xz\right\rangle$ ; at $P$ , $\nabla F = \left\langle 0, 4, 4\right\rangle$

(a) $\ell_{\vec n}(t) = \left\{\begin{array}{l} x= 2 \\ y = 1+4t\\ z = -1+4t \end{array}\right.$ (b) $4(y-1) + 4(z+1) = 0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 13번

# 방향도함수와 기울기벡터계산자동 분류

552.APEX · 12.6절 · 24번대학 수준우리말 번역

21–24번 연습문제에서 $x$ , $y$ , $z$ 에 대한 음함수로 정의된 함수와 그 곡면 위의 점 $P$ 가 주어져 있습니다. 기울기 벡터 $\nabla F$ 를 이용하여 다음을 구하세요.

(a) $P$ 에서 곡면의 법선의 방정식 (b) $P$ 에서 곡면에 접하는 평면의 방정식

$\displaystyle \sin(xy)+\cos(yz)=1$ , $P = (2, \pi/12, 4)$ 에서

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, an implicitly defined function of $x$ , $y$ and $z$ is given along with a point $P$ that lies on the surface. Use the gradient $\nabla F$ to:

(a) find the equation of the normal line to the surface at $P$ , and (b) find the equation of the plane tangent to the surface at $P$ .

$\displaystyle \sin(xy)+\cos(yz)=1$ , at $P = (2, \pi/12, 4)$

정답·풀이 보기

$\nabla F = \left\langle y\cos(xy), x\cos(xy)-z\sin(yz), -y\sin(yz)\right\rangle$ ; at $P$ , $\nabla F = \left\langle \frac{\pi}{8\sqrt{3}}, -\sqrt{3},-\frac{\pi}{8\sqrt{3}}\right\rangle$

(a) $\ell_{\vec n}(t) = \left\{\begin{array}{l} x= 2 +\frac{\pi}{8\sqrt{3}}t\\ y = \frac{\pi}{12}-\sqrt{3}t\\ z = 4-\frac{\pi}{8\sqrt{3}}t \end{array}\right.$ (b) $\frac{\pi}{8\sqrt{3}}(x-2) -\sqrt{3}(y-\frac{\pi}{12}) -\frac{\pi}{8\sqrt{3}}(z-4) = 0$ .

원본 교재 풀이(영어)

$\nabla F = \left\langle y\cos(xy), x\cos(xy)-z\sin(yz), -y\sin(yz)\right\rangle$ ; at $P$ , $\nabla F = \left\langle \frac{\pi}{8\sqrt{3}}, -\sqrt{3},-\frac{\pi}{8\sqrt{3}}\right\rangle$

(a) $\ell_{\vec n}(t) = \left\{\begin{array}{l} x= 2 +\frac{\pi}{8\sqrt{3}}t\\ y = \frac{\pi}{12}-\sqrt{3}t\\ z = 4-\frac{\pi}{8\sqrt{3}}t \end{array}\right.$ (b) $\frac{\pi}{8\sqrt{3}}(x-2) -\sqrt{3}(y-\frac{\pi}{12}) -\frac{\pi}{8\sqrt{3}}(z-4) = 0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.7절 · 3번

# 방향도함수와 기울기벡터계산자동 분류

553.APEX · 12.7절 · 2번대학 수준우리말 번역

참/거짓: 점 $P$ 에서 $f_x$ 와 $f_y$ 가 모두 0이면 $P$ 는 $f$ 의 임계점이다.

영어 원문 보기

T/F: A point $P$ is a critical point of $f$ if $f_x$ and $f_y$ are both 0 at $P$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

T

원본 교재 풀이(영어)

T

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.5절 · 16번

# 접평면과 선형근사개념 확인자동 분류

554.APEX · 12.7절 · 3번대학 수준우리말 번역

참/거짓: 점 $P$ 에서 $f_x$ 또는 $f_y$ 가 정의되지 않으면 $P$ 는 $f$ 의 임계점이다.

영어 원문 보기

T/F: A point $P$ is a critical point of $f$ if $f_x$ or $f_y$ are undefined at $P$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

T

원본 교재 풀이(영어)

T

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.5절 · 17번

# 접평면과 선형근사개념 확인자동 분류

555.APEX · 12.7절 · 4번대학 수준우리말 번역

"제약 조건이 있는 최적화" 문제를 푼다는 것이 무엇을 뜻하는지 설명하세요.

영어 원문 보기

Explain what it means to “solve a constrained optimization” problem.

정답·풀이 보기

답은 다양할 수 있다. 좋은 답은 함수의 정의역에 대한 제약 조건, 즉 한계 안에서 함수를 최적화한다는 점을 서술한다. 정의역의 일부분만 "바라보면서" 함수의 최댓값 또는 최솟값을 찾으려는 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary. A good answer will state that we are optimizing a function subject to a constraint, or limit, on the domain of the function. We are looking to maximize/minimize the function while “looking” at only a certain part of the domain.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.5절 · 13번

# 접평면과 선형근사개념 확인자동 분류

556.APEX · 12.7절 · 5번대학 수준우리말 번역

연습문제 5~14에서 주어진 함수의 임계점을 구하세요. 2계 도함수 판정법을 이용하여 각 임계점이 극댓값, 극솟값, 안장점 중 어느 것에 해당하는지 판단하세요.

$f(x,y) = \frac12x^2+2y^2-8y+4x$

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, find the critical points of the given function. Use the Second Derivative Test to determine if each critical point corresponds to a relative maximum, minimum, or saddle point.

$f(x,y) = \frac12x^2+2y^2-8y+4x$

정답·풀이 보기

임계점은 $(-4,2)$ 하나이다. $f_{xx} = 1$ 이고 $D = 4$ 이므로 이 점은 극솟값에 해당한다.

원본 교재 풀이(영어)

One critical point at $(-4,2)$ ; $f_{xx} = 1$ and $D = 4$ , so this point corresponds to a relative minimum.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.4절 · 2번

# 접평면과 선형근사활용자동 분류

557.APEX · 12.7절 · 6번대학 수준우리말 번역

연습문제 5~14에서 주어진 함수의 임계점을 구하세요. 2계 도함수 판정법을 이용하여 각 임계점이 극댓값, 극솟값, 안장점 중 어느 것에 해당하는지 판단하세요.

$f(x,y) = x^2+4x+y^2-9y+3xy$

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, find the critical points of the given function. Use the Second Derivative Test to determine if each critical point corresponds to a relative maximum, minimum, or saddle point.

$f(x,y) = x^2+4x+y^2-9y+3xy$

정답·풀이 보기

임계점은 $(7,-6)$ 하나이다. $D = -5$ 이므로 이 점은 안장점에 해당한다.

원본 교재 풀이(영어)

One critical point at $(7,-6)$ ; $D = -5$ , so this point corresponds to a saddle point.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 29번

# 접평면과 선형근사활용자동 분류

558.APEX · 12.7절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서 주어진 함수의 임계점을 구하세요. 이계도함수 판정법을 이용하여 각 임계점이 극댓값, 극솟값, 안장점 중 어느 것에 해당하는지 판단하세요.

$f(x,y) = x^2+3y^2-6y+4xy$

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, find the critical points of the given function. Use the Second Derivative Test to determine if each critical point corresponds to a relative maximum, minimum, or saddle point.

$f(x,y) = x^2+3y^2-6y+4xy$

정답·풀이 보기

임계점은 $(6,-3)$ 하나이다. $D = -4$ 이므로 이 점은 안장점에 해당한다.

원본 교재 풀이(영어)

One critical point at $(6,-3)$ ; $D = -4$ , so this point corresponds to a saddle point.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.5절 · 18번

# 접평면과 선형근사활용자동 분류

559.APEX · 12.7절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서 주어진 함수의 임계점을 구하세요. 이계도함수 판정법을 이용하여 각 임계점이 극댓값, 극솟값, 안장점 중 어느 것에 해당하는지 판단하세요.

$\displaystyle f(x,y) = \frac1{x^2+y^2+1}$

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, find the critical points of the given function. Use the Second Derivative Test to determine if each critical point corresponds to a relative maximum, minimum, or saddle point.

$\displaystyle f(x,y) = \frac1{x^2+y^2+1}$

정답·풀이 보기

임계점은 $(0,0)$ 하나이다. $f_{xx} = -2$ 이고 $D = 4$ 이므로 이 점은 극댓값에 해당한다.

원본 교재 풀이(영어)

One critical point at $(0,0)$ ; $f_{xx} = -2$ and $D = 4$ , so this point corresponds to a relative maximum.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 24번

# 접평면과 선형근사활용자동 분류

560.APEX · 12.7절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서 주어진 함수의 임계점을 구하세요. 이계도함수 판정법을 이용하여 각 임계점이 극댓값, 극솟값, 안장점 중 어느 것에 해당하는지 판단하세요.

$\displaystyle f(x,y) = x^2+y^3-3y+1$

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, find the critical points of the given function. Use the Second Derivative Test to determine if each critical point corresponds to a relative maximum, minimum, or saddle point.

$\displaystyle f(x,y) = x^2+y^3-3y+1$

정답·풀이 보기

임계점은 두 개이다. $(0,-1)$ 에서 $f_{xx} = 2$ 이고 $D = -12$ 이므로 이 점은 안장점에 해당한다.

$(0,1)$ 에서 $f_{xx} = 2$ 이고 $D = 12$ 이므로 이 점은 극솟값에 해당한다.

원본 교재 풀이(영어)

Two critical points: at $(0,-1)$ ; $f_{xx} = 2$ and $D = -12$ , so this point corresponds to a saddle point;

at $(0,1)$ , $f_{xx} = 2$ and $D = 12$ , so this corresponds to a relative minimum.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 19번

# 접평면과 선형근사활용자동 분류

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