다변수 미분 전체 연습문제

561.APEX · 12.7절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서 주어진 함수의 임계점을 구하세요. 이계도함수 판정법을 이용하여 각 임계점이 극댓값, 극솟값, 안장점 중 어느 것에 해당하는지 판단하세요.

$\displaystyle f(x,y) = \frac13x^3-x+\frac13y^3-4y$

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, find the critical points of the given function. Use the Second Derivative Test to determine if each critical point corresponds to a relative maximum, minimum, or saddle point.

$\displaystyle f(x,y) = \frac13x^3-x+\frac13y^3-4y$

정답·풀이 보기

임계점은 4개이다.

$(-1,-2)$ 극대, $(1,-2)$ 안장점,

$(-1,2)$ 안장점, $(1,2)$ 극소.

여기서 $f_{xx} = 2x$ 이고 $D = 4xy$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

There are 4 critical points:

$(-1,-2)$ , rel. max; $(1,-2)$ , saddle point;

$(-1,2)$ , saddle point; $(1,2)$ , rel. min.,

where $f_{xx} = 2x$ and $D = 4xy$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.5절 · 15번

# 접평면과 선형근사활용자동 분류

562.APEX · 12.7절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서 주어진 함수의 임계점을 구하세요. 이계도함수 판정법을 이용하여 각 임계점이 극댓값, 극솟값, 안장점 중 어느 것에 해당하는지 판단하세요.

$\displaystyle f(x,y) = x^2y^2$

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, find the critical points of the given function. Use the Second Derivative Test to determine if each critical point corresponds to a relative maximum, minimum, or saddle point.

$\displaystyle f(x,y) = x^2y^2$

정답·풀이 보기

$x=0$ 또는 $y=0$ 일 때마다 임계점이 되므로 임계점은 무수히 많다. $D = -12x^2y^2$ 이므로 각 임계점에서 $D = 0$ 이고 판정할 수 없다. (간단히 생각해 보면 각 임계점이 모두 최솟값임을 알 수 있다.)

원본 교재 풀이(영어)

There are infinite critical points, whenever $x=0$ or $y=0$ . With $D = -12x^2y^2$ , at each critical point $D = 0$ and the test is inconclusive. (Some elementary thought shows that each is an absolute minimum.)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 15번

# 접평면과 선형근사활용자동 분류

563.APEX · 12.7절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서, 주어진 함수의 임계점을 구하세요. 2계 도함수 판정법을 이용하여 각 임계점이 극댓값, 극솟값, 안장점 중 무엇에 해당하는지 판단하세요.

$\displaystyle f(x,y) = x^4-2x^2+y^3-27y-15$

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, find the critical points of the given function. Use the Second Derivative Test to determine if each critical point corresponds to a relative maximum, minimum, or saddle point.

$\displaystyle f(x,y) = x^4-2x^2+y^3-27y-15$

정답·풀이 보기

임계점은 6개이다: $x=-1,0$ 그리고 1일 때 $f_x = 0$ 이고, $y = -3,3$ 일 때 $f_y = 0$ 이다. 이를 합하면 다음 점들을 얻는다:

$(-1,-3)$ 안장점; $(-1,3)$ 극솟값

$(0,-3)$ 극댓값; $(0,3)$ 안장점

$(1,-3)$ 안장점; $(1,3)$ 극솟값

여기서 $f_{xx} = 12x^2-4$ 이고 $D = 24y(3x^2-1)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Six critical points: $f_x = 0$ when $x=-1,0$ and 1; $f_y = 0$ when $y = -3,3$ . Together, we get the points:

$(-1,-3)$ saddle point; $(-1,3)$ rel. min

$(0,-3)$ rel. max; $(0,3)$ saddle point

$(1,-3)$ saddle point; $(1,3)$ relative min

where $f_{xx} = 12x^2-4$ and $D = 24y(3x^2-1)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 49번

# 접평면과 선형근사활용자동 분류

564.APEX · 12.7절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서, 주어진 함수의 임계점을 구하세요. 2계 도함수 판정법을 이용하여 각 임계점이 극댓값, 극솟값, 안장점 중 무엇에 해당하는지 판단하세요.

$\displaystyle f(x,y) = \sqrt{16-(x-3)^2-y^2}$

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, find the critical points of the given function. Use the Second Derivative Test to determine if each critical point corresponds to a relative maximum, minimum, or saddle point.

$\displaystyle f(x,y) = \sqrt{16-(x-3)^2-y^2}$

정답·풀이 보기

임계점은 1개이다: $x=3$ 일 때 $f_x = 0$ 이고, $y = 0$ 일 때 $f_y = 0$ 이므로 임계점은 $(3,0)$ 하나이며, 이 점은 극댓값이다. 여기서 $f_{xx} = \frac{y^2-16}{(16-(x-3)^2-y^2)^{3/2}}$ 이고 $D = \frac{16}{(16-(x-3)^2-y^2)^{2}}$ 이다.

원 $(x-3)^2+y^2=16$ 위의 모든 점에서 $f_x$ 와 $f_y$ 는 모두 정의되지 않는다. 이 곡선 위의 어느 점에서든 $f(x,y)=0$ 이며, 이는 이 함수의 최솟값이다.

원본 교재 풀이(영어)

One critical point: $f_x = 0$ when $x=3$ ; $f_y = 0$ when $y = 0$ , so one critical point at $(3,0)$ , which is a relative maximum, where $f_{xx} = \frac{y^2-16}{(16-(x-3)^2-y^2)^{3/2}}$ and $D = \frac{16}{(16-(x-3)^2-y^2)^{2}}$ .

Both $f_x$ and $f_y$ are undefined along the circle $(x-3)^2+y^2=16$ ; at any point along this curve, $f(x,y)=0$ , the absolute minimum of the function.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 4번

# 접평면과 선형근사활용자동 분류

565.APEX · 12.7절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서, 주어진 함수의 임계점을 구하세요. 2계 도함수 판정법을 이용하여 각 임계점이 극댓값, 극솟값, 안장점 중 무엇에 해당하는지 판단하세요.

$\displaystyle f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}$

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, find the critical points of the given function. Use the Second Derivative Test to determine if each critical point corresponds to a relative maximum, minimum, or saddle point.

$\displaystyle f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}$

정답·풀이 보기

임계점은 1개이다: $x=0$ 일 때 $f_x = 0$ 이고, $y = 0$ 일 때 $f_y = 0$ 이므로 임계점은 $(0,0)$ 하나이다 (다만 $(0,0)$ 에서는 $f_x$ 와 $f_y$ 가 모두 정의되지 않음에 유의해야 한다). $(0,0)$ 에서 $D=0$ 이므로 2계 도함수 판정법은 적용되지 않는다. 그래프나 간단한 계산으로 $(0,0)$ 이 $f$ 의 최솟값임을 알 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

One critical point: $f_x = 0$ when $x=0$ ; $f_y = 0$ when $y = 0$ , so one critical point at $(0,0)$ (although it should be noted that at $(0,0)$ , both $f_x$ and $f_y$ are undefined.) The Second Derivative Test fails at $(0,0)$ , with $D=0$ . A graph, or simple calculation, shows that $(0,0)$ is the absolute minimum of $f$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.5절 · 1번

# 접평면과 선형근사활용자동 분류

566.APEX · 12.7절 · 15번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–18에서, 주어진 제약 조건 아래에서 함수의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

$\displaystyle f(x,y) = x^2+y^2+y+1$ , 꼭짓점이 $(0,1)$ , $(-1,-1)$ , $(1,-1)$ 인 삼각형으로 제한된다.

영어 원문 보기

In Exercises 15–18, find the absolute maximum and minimum of the function subject to the given constraint.

$\displaystyle f(x,y) = x^2+y^2+y+1$ , constrained to the triangle with vertices $(0,1)$ , $(-1,-1)$ and $(1,-1)$ .

정답·풀이 보기

이 삼각형은 직선 $y=-1$ , $y=2x+1$ , $y=-2x+1$ 로 둘러싸여 있다.

$y=-1$ 위에서는 $(0,-1)$ 에 임계점이 있다.

$y=2x+1$ 위에서는 $(-3/5,-1/5)$ 에 임계점이 있다.

$y=-2x+1$ 위에서는 $(3/5,-1/5)$ 에 임계점이 있다.

함수 $f$ 는 제약 조건과 관계없이 $(0,-1/2)$ 에 임계점이 하나 있다.

이 네 점과 삼각형의 세 꼭짓점에서 $f$ 의 값을 확인하면, 최댓값은 $(0,1,3)$ 에서, 최솟값은 $(0,-1/2,3/4)$ 에서 얻는다.

원본 교재 풀이(영어)

The triangle is bound by the lines $y=-1$ , $y=2x+1$ and $y=-2x+1$ .

Along $y=-1$ , there is a critical point at $(0,-1)$ .

Along $y=2x+1$ , there is a critical point at $(-3/5,-1/5)$ .

Along $y=-2x+1$ , there is a critical point at $(3/5,-1/5)$ .

The function $f$ has one critical point, irrespective of the constraint, at $(0,-1/2)$ .

Checking the value of $f$ at these four points, along with the three vertices of the triangle, we find the absolute maximum is at $(0,1,3)$ and the absolute minimum is at $(0,-1/2,3/4)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 37번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

567.APEX · 12.7절 · 16번대학 수준우리말 번역

연습문제 15~18번에서, 주어진 제약 조건 아래에서 함수의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

$\displaystyle f(x,y) = 5x-7y$ , 영역은 $y=x^2$ 과 $y=1$ 로 둘러싸인 영역으로 제한한다.

영어 원문 보기

In Exercises 15–18, find the absolute maximum and minimum of the function subject to the given constraint.

$\displaystyle f(x,y) = 5x-7y$ , constrained to the region bounded by $y=x^2$ and $y=1$ .

정답·풀이 보기

이 영역에는 $(1,1)$ 과 $(-1,1)$ 에 두 개의 "꼭짓점"이 있다.

$y=1$ 을 따라서는 임계점이 없다.

$y=x^2$ 을 따라서는 $(5/14,25/196)\approx (0.357,0.128)$ 에 임계점이 있다.

함수 $f$ 자체는 임계점이 없다. 꼭짓점 $(1,1)$ , $(-1,1)$ 과 임계점 $(5/14,25/196)$ 에서 $f$ 의 값을 확인하면, 최댓값은 $(5/14,25/196,25/28) \approx (0.357,0.128,0.893)$ 에서 나타나고 최솟값은 $(-1,1,-12)$ 에서 나타난다.

원본 교재 풀이(영어)

The region has two “corners” at $(1,1)$ and $(-1,1)$ .

Along $y=1$ , there is no critical point.

Along $y=x^2$ , there is a critical point at $(5/14,25/196)\approx (0.357,0.128)$ .

The function $f$ itself has no critical points. Checking the value of $f$ at the corners $(1,1)$ , $(-1,1)$ and the critical point $(5/14,25/196)$ , we find the absolute maximum is at $(5/14,25/196,25/28) \approx (0.357,0.128,0.893)$ and the absolute minimum is at $(-1,1,-12)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 3번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

568.APEX · 12.7절 · 17번대학 수준우리말 번역

연습문제 15~18번에서, 주어진 제약 조건 아래에서 함수의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

$\displaystyle f(x,y) = x^2+2x+y^2+2y$ , 영역은 원 $x^2+y^2=4$ 로 둘러싸인 영역으로 제한한다.

영어 원문 보기

In Exercises 15–18, find the absolute maximum and minimum of the function subject to the given constraint.

$\displaystyle f(x,y) = x^2+2x+y^2+2y$ , constrained to the region bounded by the circle $x^2+y^2=4$ .

정답·풀이 보기

이 영역에는 "꼭짓점"이 없고, 매끄러운 경계만 있다.

원 $x^2+y^2=4$ 를 따라 임계점을 찾기 위해 $y^2$ 에 대해 풀면 $y^2=4-x^2$ 이다. 더 나아가 $y=\pm\sqrt{4-x^2}$ 로 쓸 수 있다.

$f$ 를 $f(x)=x^2+2x + (4-x^2) + 2\sqrt{4-x^2} = 2x+4+2\sqrt{4-x^2}$ 로 다시 쓸 수 있다. ( $-\sqrt{4-x^2}$ 는 나중에 다시 다룬다.) $f\,'(x)=0$ 을 풀면 $x=\sqrt{2} \Rightarrow y=\sqrt{2}$ 이다. 또한 $f\,'(x)$ 는 $x=\pm 2$ 에서 정의되지 않으며, 이때 $y=0$ 이다.

$y=-\sqrt{4-x^2}$ 을 이용하면 $f(x,y)$ 를 $f(x) = 2x+4-2\sqrt{4-x^2}$ 로 다시 쓸 수 있다. $f\,'(x) =0$ 을 풀면 $x=-\sqrt{2},\ y=-\sqrt{2}$ 이다. 이 경우에도 $f\,'(x)$ 는 $x=\pm 2$ 에서 정의되지 않는다.

함수 $z=f(x,y)$ 자체는 $(-1,-1)$ 에 임계점을 갖는다.

$(-1,-1)$ , $(\sqrt{2},\sqrt{2})$ , $(-\sqrt{2},-\sqrt{2})$ , $(2,0)$ , $(-2,0)$ 에서 $f$ 의 값을 확인하면, 최댓값은 $(\sqrt2,\sqrt2,4+4\sqrt2)$ 에서 나타나고 최솟값은 $(-1,-1,-2)$ 에서 나타난다.

원본 교재 풀이(영어)

The region has no “corners” or “vertices,” just a smooth edge.

To find critical points along the circle $x^2+y^2=4$ , we solve for $y^2$ : $y^2=4-x^2$ . We can go further and state $y=\pm\sqrt{4-x^2}$ .

We can rewrite $f$ as $f(x)=x^2+2x + (4-x^2) + 2\sqrt{4-x^2} = 2x+4+2\sqrt{4-x^2}$ . (We will return and use $-\sqrt{4-x^2}$ later.) Solving $f\,'(x)=0$ , we get $x=\sqrt{2} \Rightarrow y=\sqrt{2}$ . $f\,'(x)$ is also undefined at $x=\pm 2$ , where $y=0$ .

Using $y=-\sqrt{4-x^2}$ , we rewrite $f(x,y)$ as $f(x) = 2x+4-2\sqrt{4-x^2}$ . Solving $f\,'(x) =0$ , we get $x=-\sqrt{2},\ y=-\sqrt{2}$ . Again, $f\,'(x)$ is undefined at $x=\pm 2$ .

The function $z=f(x,y)$ itself has a critical point at $(-1,-1)$ .

Checking the value of $f$ at $(-1,-1)$ , $(\sqrt{2},\sqrt{2})$ , $(-\sqrt{2},-\sqrt{2})$ , $(2,0)$ and $(-2,0)$ , we find the absolute maximum is at $(\sqrt2,\sqrt2,4+4\sqrt2)$ and the absolute minimum is at $(-1,-1,-2)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 26번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

569.APEX · 12.7절 · 18번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–18에서, 주어진 제약 조건 아래에서 함수의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

$\displaystyle f(x,y) = 3y-2x^2$ , 포물선 $y=x^2+x-1$ 과 직선 $y=x$ 로 둘러싸인 영역으로 제한한다.

영어 원문 보기

In Exercises 15–18, find the absolute maximum and minimum of the function subject to the given constraint.

$\displaystyle f(x,y) = 3y-2x^2$ , constrained to the region bounded by the parabola $y=x^2+x-1$ and the line $y=x$ .

정답·풀이 보기

이 영역에는 $(-1,-1)$ 과 $(1,1)$ 에 두 개의 “꼭짓점”이 있다.

직선 $y=x$ 위에서 $f(x,y)$ 는 $f(x) = 3x-2x^2$ 이 된다. 이 직선 위에서 임계점은 $(3/4,3/4)$ 이다.

곡선 $y=x^2+x-1$ 위에서 $f(x,y)$ 는 $f(x) =x^2+3x-3$ 이 된다. 이 곡선 위의 임계점은 $(-3/2, -1/4)$ 이다. $x=-3/2$ 는 유계인 이 영역 밖에 있으므로 이 임계점은 무시한다.

함수 $f$ 자체에는 임계점이 없다.

$(-1,-1)$ , $(1,1)$ , $(3/4,3/4)$ 에서 $f$ 의 값을 확인하면, 최댓값은 $(3/4,3/4,9/8)$ 에서, 최솟값은 $(-1,-1,-5)$ 에서 나타난다.

원본 교재 풀이(영어)

The region has two “corners” at $(-1,-1)$ and $(1,1)$ .

Along the line $y=x$ , $f(x,y)$ becomes $f(x) = 3x-2x^2$ . Along this line, we have a critical point at $(3/4,3/4)$ .

Along the curve $y=x^2+x-1$ , $f(x,y)$ becomes $f(x) =x^2+3x-3$ . There is a critical point along this curve at $(-3/2, -1/4)$ . Since $x=-3/2$ lies outside our bounded region, we ignore this critical point.

The function $f$ itself has no critical points.

Checking the value of $f$ at $(-1,-1)$ , $(1,1)$ , $(3/4,3/4)$ , we find the absolute maximum is at $(3/4,3/4,9/8)$ and the absolute minimum is at $(-1,-1,-5)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 13번

# 접평면과 선형근사계산자동 분류

570.APEX · 12.8절 · 1번대학 수준우리말 번역

$z=f(x,y)$ 의 등위곡선이 $x=g(t)$ , $y = h(t)$ 로 나타내어진다고 하자. $\frac{dz}{dt}=0$ 인 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Let a level curve of $z=f(x,y)$ be described by $x=g(t)$ , $y = h(t)$ . Explain why $\frac{dz}{dt}=0$ .

정답·풀이 보기

매개변수 방정식이 등위곡선을 나타내므로 모든 $t$ 에 대해 $z$ 는 상수이다. 따라서 $\frac{dz}{dt}=0$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Because the parametric equations describe a level curve, $z$ is constant for all $t$ . Therefore $\frac{dz}{dt}=0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.9절 · 8번

# 극값과 안장점개념 확인자동 분류

571.APEX · 12.8절 · 2번대학 수준우리말 번역

빈칸을 채우세요: 일변수 연쇄 법칙은 $\displaystyle \frac{d}{dx}\Big(f\big(g(x)\big)\Big) = f\,'\big(g(x)\big)\cdot$ _____ 임을 말해 준다.

영어 원문 보기

Fill in the blank: The single variable Chain Rule states $\displaystyle \frac{d}{dx}\Big(f\big(g(x)\big)\Big) = f\,'\big(g(x)\big)\cdot$ _____.

정답·풀이 보기

$g'(x)$

원본 교재 풀이(영어)

$g'(x)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.8절 · 1번

# 극값과 안장점개념 확인자동 분류

572.APEX · 12.8절 · 3번대학 수준우리말 번역

빈칸을 채우세요: 다변수 연쇄 법칙은 다음과 같다.

$\displaystyle \frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot\text{\underline{}}+\text{\underline{}}\cdot\frac{dy}{dt}$ .

영어 원문 보기

Fill in the blank: The Multivariable Chain Rule states

$\displaystyle \frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot\text{\underline{}}+\text{\underline{}}\cdot\frac{dy}{dt}$ .

정답·풀이 보기

$\frac{dx}{dt}$ , 그리고 $\frac{\partial f}{\partial y}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{dx}{dt}$ , and $\frac{\partial f}{\partial y}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.8절 · 2번

# 극값과 안장점개념 확인자동 분류

573.APEX · 12.8절 · 4번대학 수준우리말 번역

$z=f(x,y)$ 이고 $x=g(t)$ , $y=h(t)$ 이면, 대입하여 $z$ 를 $t$ 의 명시적인 함수로 나타낼 수 있다.

참/거짓: $\frac{dz}{dt}$ 를 구할 때 다변수 연쇄 법칙을 사용하는 것이, 먼저 대입한 다음 도함수를 구하는 것보다 더 쉬운 경우가 있다.

영어 원문 보기

If $z=f(x,y)$ , where $x=g(t)$ and $y=h(t)$ , we can substitute and write $z$ as an explicit function of $t$ .

T/F: Using the Multivariable Chain Rule to find $\frac{dz}{dt}$ is sometimes easier than first substituting and then taking the derivative.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

T

원본 교재 풀이(영어)

T

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.8절 · 3번

# 극값과 안장점개념 확인자동 분류

574.APEX · 12.8절 · 5번대학 수준우리말 번역

참/거짓: 다변수 연쇄 법칙은 관련된 함수가 모두 명시적으로 주어져 있을 때에만 유용하다.

영어 원문 보기

T/F: The Multivariable Chain Rule is only useful when all the related functions are known explicitly.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

F

원본 교재 풀이(영어)

F

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.8절 · 4번

# 극값과 안장점개념 확인자동 분류

575.APEX · 12.8절 · 6번대학 수준우리말 번역

다변수 연쇄 법칙을 이용하면 두 개의 _____ 도함수만 계산하여 음함수의 도함수를 쉽게 구할 수 있다.

영어 원문 보기

The Multivariable Chain Rule allows us to compute implicit derivatives easily by just computing two _____ derivatives.

정답·풀이 보기

편

원본 교재 풀이(영어)

partial

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.9절 · 5번

# 극값과 안장점개념 확인자동 분류

576.APEX · 12.8절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–12에서 함수 $z=f(x,y)$ , $x=g(t)$ , $y=h(t)$ 가 주어져 있다.

(a) 다변수 연쇄 법칙을 사용하여 $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ 를 구하세요. (b) 주어진 $t$ 의 값에서 $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ 의 값을 구하세요.

$z=3x+4y$ , $x=t^2$ , $y=2t$ ; $t=1$

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, functions $z=f(x,y)$ , $x=g(t)$ and $y=h(t)$ are given.

(a) Use the Multivariable Chain Rule to compute $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ . (b) Evaluate $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ at the indicated $t$ -value.

$z=3x+4y$ , $x=t^2$ , $y=2t$ ; $t=1$

정답·풀이 보기

(a) $\frac{dz}{dt} = 3(2t)+4(2) = 6t+8$ . (b) At $t=1$ , $\frac{dz}{dt} = 14$ .

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\frac{dz}{dt} = 3(2t)+4(2) = 6t+8$ . (b) At $t=1$ , $\frac{dz}{dt} = 14$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.8절 · 1번

# 극값과 안장점계산자동 분류

577.APEX · 12.8절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–12에서 함수 $z=f(x,y)$ , $x=g(t)$ , $y=h(t)$ 가 주어져 있다.

(a) 다변수 연쇄 법칙을 사용하여 $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ 를 구하세요. (b) 주어진 $t$ 의 값에서 $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ 의 값을 구하세요.

$\displaystyle z=x^2-y^2$ , $x=t$ , $y=t^2-1$ ; $t=1$

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, functions $z=f(x,y)$ , $x=g(t)$ and $y=h(t)$ are given.

(a) Use the Multivariable Chain Rule to compute $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ . (b) Evaluate $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ at the indicated $t$ -value.

$\displaystyle z=x^2-y^2$ , $x=t$ , $y=t^2-1$ ; $t=1$

정답·풀이 보기

(a) $\frac{dz}{dt} = 2x(1)-2y(2t) = 2x-4yt$ (b) $t=1$ 일 때 $x=1$ , $y=0$ 이고 $\frac{dz}{dt} = 2$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\frac{dz}{dt} = 2x(1)-2y(2t) = 2x-4yt$ (b) At $t=1$ , $x=1$ , $y=0$ and $\frac{dz}{dt} = 2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.7절 · 38번

# 극값과 안장점계산자동 분류

578.APEX · 12.8절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–12에서 함수 $z=f(x,y)$ , $x=g(t)$ , $y=h(t)$ 가 주어져 있다.

(a) 다변수 연쇄 법칙을 사용하여 $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ 를 구하세요. (b) 주어진 $t$ 의 값에서 $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ 의 값을 구하세요.

$\displaystyle z=5x+2y$ , $x=2\cos t+1$ , $y=\sin t-3$ ; $t=\pi/4$

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, functions $z=f(x,y)$ , $x=g(t)$ and $y=h(t)$ are given.

(a) Use the Multivariable Chain Rule to compute $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ . (b) Evaluate $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ at the indicated $t$ -value.

$\displaystyle z=5x+2y$ , $x=2\cos t+1$ , $y=\sin t-3$ ; $t=\pi/4$

정답·풀이 보기

(a) $\frac{dz}{dt} = 5(-2\sin t)+2(\cos t) = -10\sin t+2\cos t$ (b) At $t=\pi/4$ , $\frac{dz}{dt} = -4\sqrt{2}$ .

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\frac{dz}{dt} = 5(-2\sin t)+2(\cos t) = -10\sin t+2\cos t$ (b) At $t=\pi/4$ , $\frac{dz}{dt} = -4\sqrt{2}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.7절 · 40번

# 극값과 안장점계산자동 분류

579.APEX · 12.8절 · 10번대학 수준우리말 번역

7–12번 문제에서 함수 $z=f(x,y)$ , $x=g(t)$ , $y=h(t)$ 가 주어져 있다.

(a) 다변수 연쇄 법칙을 이용하여 $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ 를 계산하세요. (b) 주어진 $t$ 의 값에서 $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ 의 값을 구하세요.

$\displaystyle z=\frac{x}{y^2+1}$ , $x=\cos t$ , $y=\sin t$ ; $t=\pi/2$

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, functions $z=f(x,y)$ , $x=g(t)$ and $y=h(t)$ are given.

(a) Use the Multivariable Chain Rule to compute $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ . (b) Evaluate $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ at the indicated $t$ -value.

$\displaystyle z=\frac{x}{y^2+1}$ , $x=\cos t$ , $y=\sin t$ ; $t=\pi/2$

정답·풀이 보기

(a) $\displaystyle \frac{dz}{dt} = \frac{1}{1+y^2}(-\sin t)-\frac{2xy}{(y^2+1)^2}(\cos t)$ 이다. (b) $t=\pi/2$ 일 때 $x=0$ , $y=1$ 이고 $\frac{dz}{dt} = -1/2$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\displaystyle \frac{dz}{dt} = \frac{1}{1+y^2}(-\sin t)-\frac{2xy}{(y^2+1)^2}(\cos t)$ . (b) At $t=\pi/2$ , $x=0$ , $y=1$ , and $\frac{dz}{dt} = -1/2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.8절 · 6번

# 극값과 안장점계산자동 분류

580.APEX · 12.8절 · 11번대학 수준우리말 번역

7–12번 문제에서 함수 $z=f(x,y)$ , $x=g(t)$ , $y=h(t)$ 가 주어져 있다.

(a) 다변수 연쇄 법칙을 이용하여 $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ 를 계산하세요. (b) 주어진 $t$ 의 값에서 $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ 의 값을 구하세요.

$\displaystyle z=x^2+2y^2$ , $x=\sin t$ , $y=3\sin t$ ; $t=\pi/4$

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, functions $z=f(x,y)$ , $x=g(t)$ and $y=h(t)$ are given.

(a) Use the Multivariable Chain Rule to compute $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ . (b) Evaluate $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ at the indicated $t$ -value.

$\displaystyle z=x^2+2y^2$ , $x=\sin t$ , $y=3\sin t$ ; $t=\pi/4$

정답·풀이 보기

(a) $\displaystyle \frac{dz}{dt} = 2x(\cos t) + 4y(3\cos t)$ 이다. (b) $t=\pi/4$ 일 때 $x=\sqrt{2}/2$ , $y=3\sqrt{2}/2$ 이고 $\frac{dz}{dt} = 19$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\displaystyle \frac{dz}{dt} = 2x(\cos t) + 4y(3\cos t)$ . (b) At $t=\pi/4$ , $x=\sqrt{2}/2$ , $y=3\sqrt{2}/2$ , and $\frac{dz}{dt} = 19$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.9절 · 22번

# 극값과 안장점계산자동 분류

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